REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL VOL. 36, NO. 2, , 2015

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1 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL VOL. 36, NO. 2, 33-39, 205 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DEL AIRE EN UNA DIMENSIÓN Y CÁLCULO PARA LA FORMACIÓN DE NUBES POR UN VIENTO Hisao Fujita Yashima, Asma Ayachi an Mohame Zine Aissaoui Laboratoire e Mathématiques Appliquées et Moélisation, Université e Guelma, Algérie. ABSTRACT In this paper e present an example of numerical computation of the motion of the air hich goes over a mountain an, accoring to humiity, causes ifferent quantities of conensation an ifferent variations of temperature. The result of computation coincies satisfactorily ith the theoretical values an those of observation. KEYWORDS: viscous heat-conuctive gas, stationary flo, formation of clous. MSC: 76N5, 86A0, 65L2. RESUMEN En este trabajo presentamos un ejemplo e cálculo numérico el movimiento el aire que pasa sobre una montaña y que, según la humea, provoca iferentes cantiaes e conensación y iferentes variaciones e la temperatura. El resultao el cálculo coincie e manera satisfactoria con los valores teóricos y con los e la observación.. INTRODUCCIÓN El fenómeno e la formación e nubes por el viento que pasa sobre una montaña se observa comúnmente y se explica por los principios e la termoinámica: con la subia el aire la presión isminuye y por eso isminuye también la temperatura, lo que ocasiona la conensación el vapor e agua y el calentamiento relativo el aire por el calor latente. Para escribir este fenómeno e manera científicamente coherente, se necesita también la escripción el movimiento el aire según los principios e la mecánica e fluios, lo que hace bastante complicao el problema (para la problemática general, véanse por ejemplo, Matveev (98) [4], Cotton et al (20) [6]). Como moelo específico, por ejemplo en Clark et al (99) [5] se propuse un moelo bastante exacto el fenómeno y, basánose en este moelo, se analizaron no pocos ejemplos concretos con simulación numérica (por ejemplo Wobrock et al (2003) [7], Planche et al (203) [5] entre otros). Existen también programas e cálculo muy potente como el moelo WRF (Weather Research an Forecasting moel, véase Skamarock et al (2008) [6]), que nos permite hacer simulaciones bastante etallaas a mesoescala con iferentes tipos e relieve e la tierra. Pero en too caso la complejia el fenómeno físico obliga una ``parametrización'', o sea algunas simplificaciones e magnitues físicas e procesos microfísicos, para poer calcular la solución e las ecuaciones el moelo. Dese el punto e vista matemático, las ecuaciones que moelan el movimiento estacionario e un gas viscoso (sin conensación el vapor) son esencialmente el tipo elíptico y, generalmente, se emuestra la existencia e una solución solamente con atos pequeños con respecto a los coeficientes e viscosia y e conuctivia térmica (véanse por ejemplo Farik (989) [8], Benabiallah et al (2007) [3]). Pero, si se consiera un moelo en una imensión con atos regulares (pero no necesariamente pequeños), como sugiere la teoría e las perturbaciones singulares (véase Lions (973) [2]), se puee esperar una solución en la vecina e la solución e las ecuaciones sin viscosia y sin conuctivia térmica. El objetivo el presente trabajo es eucir los aspectos esenciales el fenómeno irectamente e las ecuaciones funamentales e la mecánica e fluios con el término que representa e manera irecta la cantia e conensación sin utilizar la parametrización usual. Naturalmente a causa e la complejia el problema no es practicable resolver las ecuaciones con toas las generaliaes; por eso proponemos el estuio el caso en que el ominio se reuce a él en una imensión, lo que, ese el punto e vista matemático, ofrece la posibilia e resolver las ecuaciones con coeficientes e viscosia y e conuctivia térmica bastante pequeños como en la realia. En concreto, vamos a consierar un sistema e ecuaciones el movimiento e un gas (aire) en una imensión con el término e fuerza externa que resulta e la fuerza gravitacional y el perfil e la superficie terrestre y con el término e la cantia e conensación ao por la erivaa e la parte positiva e la hisao.fujitayashima@unito.it 33

2 iferencia entre la ensia real el vapor y la ensia el vapor saturao, y, utilizano el métoo e iferencias finitas, construiremos la solución numérica el sistema e ecuaciones. Ya que la parte positiva e una función, generalmente, no es erivable en los puntos en que mua el signo, para poer resolver nuestras ecuaciones necesitamos introucir un esquema particular e cálculo. Aemás, para efinir la cantia e conensación es conveniente utilizar la aproximación sucesiva; pero a causa e la propiea el calor latente, que provoca una oscilación e aproximaciones sucesivas usuales, necesitamos utilizar una aproximación sucesiva acumulativa, como veremos en lo que sigue. Como resultao el cálculo se muestra entre otros una corresponencia muy clara entre la humea el aire entrante y la atenuación el escenso e la temperatura, y esta corresponencia correspone e manera satisfactoria a lo que se espera e los atos e observación y e las propieaes conocias e la transformación aiabática y el calor latente. Aemás el uso el métoo e iferencias finitas en estas simulaciones ha resultao eficaz. Nos parece que la iea metoológica el presente trabajo se puee aplicar a no pocos casos interesantes. En efecto, por ejemplo en Ghomrani et al (204) [9] se ha utilizao un métoo análogo para el problema e una corriente vertical ascenente el aire con la conensación el vapor y se ha obtenio un resultao interesante. 2. SISTEMA DE ECUACIONES Consieremos una superficie terrestre, cuya altura se enota por h(x) (x [0, L]), y un flujo estacionario el aire sobre esta superficie terrestre. Denotamos por la velocia el aire en la irección e la superficie el terreno, es ecir, si v x y v z son la componente en la irección e x y la componente en la irección vertical e la velocia, tenemos = v x+h v z (h = h(x)) (2.) Aoptemos la aproximación que consiera la sección el flujo el aire como constante, como si el aire corriera en un tubo e sección constante. Partimos ese el sistema e ecuaciones bien conocias que escribe el movimiento e un gas (véanse Lanau et al (989) [], Antontsev et al (990) []) y lo reformulamos en el caso el movimiento estacionario en un tubo (eventualmente construio solamente en nuestra mente), e manera que tenemos ecuaciones a una imensión espacial. Si amitimos la hipótesis el tubo con sección constante, poemos escribir la ecuación e continuia en la forma ( (x) +(h (x)) 2) = 0 (2.2) one enota la ensia el aire. Por otra parte, enotano por T la temperatura, por η y ζ los coeficientes e viscosia y por R la constante e los gases iviia por la masa molar el gas, e introucieno el término e la fricción con el terreno α y el graiente básico e la presión γ, la ecuación e la cantia e movimiento se escribe en la forma ρ = f 2 + f R h 2 (ρt) ρg α + γ, (2.3) 2 con f = [ η +h 2 3 (3h 2 + 4) + ζ], f 2 = (+h 2 ) 3 h 2 [ η 3 (h 2 + 4) + ζ(2h 2 )] h (ζ + η ) h, 3 (h = 2 h(x), 2 h = 3 h(x)); la expresión e los coeficientes f 3 y f 2 resulta por cálculos bastante largos pero elementales. De manera análoga la ecuación el balance e la energía se escribe en la forma (2.4) one ρc v T = κ 2 T RρT ( ) + g 2 ( )2 + g 2 + g 3 2, g = [η ( 4 + +h 2 3 h 2 ) + ζ], g 2 = 2h (+h 2 ) 2 h [ η + ζ], 3 g 3 = (+h 2 ) 3 h 2 [η ( h 2 ) + ζh 2 ], mientras que c v y κ son el calor específico el gas y el coeficiente e conuctivia térmica. Cuano se prouce la conensación el vapor, se ebe añairle a la ecuación (2.4) el término ebio al calor latente e la conensación L gl H gl, 34

3 one L gl es el calor latente e la evaporación/conensación, mientras que H gl enota la cantia e la conensación (su valor negativo inica la e la evaporación). Para el aire que, partieno ese un lugar inicao por x = 0, pasa sobre la montaña, poemos poner H gl = [máx(0, π 0 π vs (T(x)))], (2.5) one es la ensia el aire al punto inicial x = 0 y π 0 la ensia el vapor en el punto inicial x = 0, mientras que π vs (T) enota la ensia el vapor saturao en la temperatura T. Los valores e L gl y π vs (T) son aproximaamente L gl = L gl (T) (3244 2,72 T) 0 3 (J/kg), (2.6) π vs (T) μ he 0 07,63(T 273,5) T 3,25, E R 0 T 0 = 6,07 (mbar) (2.7) μ h = 8,0 (g/mol), R 0 = 8,34 (J/mol) (véanse por ejemplo Matveev (965, 984, 2000) [3], Kikoïne et al (979) [0]). Por otra parte, e (2.2) se euce que hay una constante K ρ tal que ρ = K ρ. (2.8) Dao que el caso K ρ = 0 no nos interesa, sin restringir la generalia poemos suponer que K ρ > 0. Añaieno L gl H gl a (2.4) y substituyeno (2.5) y (2.8) en (2.3)-(2.4), tenemos el sistema K + RK ρ ρ ( + h 2 T T c v K + RK ρ ρ + h 2 T +g 2 + g L gl ) = f 2 + f h 2 K 2 ρ ( ) = κ 2T 2 + g ( [máx(0, π 0 35 g α + γ, (2.9) )2 + K ρ π vs (T(x)))]. (2.0) Dao que son ecuaciones iferenciales e seguno oren, tenemos que consierar el sistema e ecuaciones (2.9)- (2.0) por ejemplo con las coniciones e frontera (0) = 0, (L) =, T(0) = T 0, T(L) = T. (2.) No es fácil emostrar la existencia e una solución e este problema. Pero, cuano π 0K ρ π vs (T) (anulano el último término e (2.0)) en too el ominio, utilizano la iea e la perturbación singular (véase por ejemplo Lions (973) [2]) poemos emostrar la existencia e una solución en una vecina e la solución e las ecuaciones sin viscosia y conuctivia térmica (Ayachi et al (204) [2]). Por eso, siguieno esta iea, vamos a resolver numéricamente el sistema e ecuaciones (2.9)-(2.0) con las coniciones (2.). 3. ALGUNOS PROBLEMAS DEL CÁLCULO NUMÉRICO Para la resolución numérica el sistema e ecuaciones (2.9)-(2.0), utilizamos el esquema e iferencias finitas. Pero la propiea e la conensación y el calor latente pueen crear oscilación en el cálculo. En efecto tenemos T [máx (0, π 0 π vs (T(x)))] < 0 (cuano máx(0, π 0 π vs (T(x))) > 0) y L gl es bastante grane, lo que crea el efecto oscilatorio: si se valora T un poco más que el real, en la etapa sucesiva el cálculo se a un valor menos que el real y eso prouce un valor más grane que el real en la etapa siguiente, amplificano siempre el error. Para eliminar la aparición e esta oscilación en el punto one inicia la conensación, utilizamos la aproximación siguiente e la erivaa: x=i [ 7 (i + ) ((i) + (i ) + (i 2))], Δ x one Δ x es el paso e la iscretización; en esta efinición los pasos ``pares'' y los ``impares'' tienen el mismo peso. La misma propiea el calor latente puee provocar oscilación también en la aproximación sucesiva. Para evitar eso, introucimos el esquema siguiente e iteración: sea aa la n-ima aproximación ( [n], T [n] ); entonces pongamos ρ [n] = K ρ +h 2 [n], π vs [n] (θ [n] ) = μ 7,63(θ [n] 273,5) he 0 0 R 0 θ [n] θ [n] 3,25, θ [n] = n n k= T[k]

4 (es ecir, θ [n] es el promeio e T [k], k =,, n). Con esos valores pongamos H [n] gl = [n] [máx(0, π ρ [n] (x) 0 ρ π vs (θ [n] (x)))], L [n] 0 gl = (3244 2,72 θ [n] ) 0 3. Con H [n] gl y L [n] gl así efinios poemos resolver el sistema e la n + -ima aproximación = f 2 [n+] K ρ [n+] +f 2 [n+] c v K ρ T [n+] 2 + RK ρ = κ 2 T [n+] 2 +g ( [n+] 2 ) +g 2 ( + h 2 T [n+] [n+]) K h ρ g [n+] α[n+] + γ (3.) RK ρ + h 2 T [n+] [n+] ( [n+] ) + [n+] [n+] + g 3 ( [n+] ) 2 + L [n] gl H [n] gl. (3.2) Las ecuaciones (2.9)-(2.0) son e seguno oren y las coniciones son puestas en los extremos el ominio. Pero los coeficientes e viscosia η y ζ y e conuctivia térmica κ son muy pequeños, e manera que no se puee utilizar el métoo habitual basao en el papel ominante e los términos e viscosia y e conuctivia térmica. Por eso utilizamos el métoo e ``shooting'' (su iea básica se encuentra en muchos manuales, por ejemplo Buren et al (200) [4], Faragó (204) [8]), resolvieno el problema e Cauchy con la conición en un extremo (0) = 0, T(0) = T 0 y la e la erivaa e las funciones incógnitas en el mismo extremo (0) = β, T (0) = β T con iferentes valores e β y β T y escogieno una solución que aproxima mejor la conición (L) =, T(L) = T en el otro extremo el ominio. Se pueen consierar los valores (L), T(L) como función e (β, β T ); pero la complejia e nuestro sistema no permite utilizar propiea e esta función. Por eso consieramos el ominio 0 < x < L con la parte muy regular en la proximia el extremo x = 0, e manera que es suficiente examinar (β, β T ) en una vecina muy pequeña e la erivaa ( (0), T (0)) e la solución ( ( ), T ( )) el sistema sin viscosia y sin conuctivia térmica. 4. RESULTADO DEL CÁLCULO NUMÉRICO Consieremos el ominio y la función h(x) 0 x m h(x) = ( x )4 ( x )4 si x 8 0 4, h(x) = 0 si no; se observa que la cima el terreno representao por la función h(x) es h(x ) = 000 (m), x = 0 5 (m). Utilizano los valores y los esquemas ya mencionaos y los coeficientes g = 9,8 gm 2 /s 2, c v = 5 R = 5 R 0, 2 2 μ a μ a = 28,96 g/mol, α = 0,, γ = 0,2, η = 20, ζ = 40, κ = 00 y ponieno las coniciones (0) = (0) = 2 m/s, (2 0 5 ) = (2 0 5 ), T(0) = T (0) = 293,50 K, T(2 0 5 ) = T (2 0 5 ), ( ( ) y T ( ) son las soluciones e las ecuaciones con η = 0, ζ = 0, κ = 0; en nuestro caso tenemos (2 0 5 ) 2 m/s, T (2 0 5 ) 293,50 K), obtenemos los resultaos ilustraos en los grafos: 294 K Figure - Temperatura sin conensación Figure : Temperatura en el caso en que no hay la conensación, 36

5 Figure 2 : Temperatura en el caso π 0 =,2 0 2, 294 K Figure 2 - Temperatura con conensación ( π 0 =,2 0 2 ) Figure 3 : Velocia en el caso en que no hay la conensación, 2.2 m/s Figure 4 : Velocia en el caso π 0 =,2 0 2, Figure 3 - Velocia sin conensación 37

6 2.2 m/s Figure 4 - Velocia con conensación ( π 0 =,2 0 2 ) Figure 5 : Cantia el agua conensaa en el caso π 0 =,2 0 2 ; g/m Figure 5 - Cantia el agua conensaa ( π 0 =,2 0 2 ) aquí ``caso en que no hay la conensación'' significa el caso en que la ensia el vapor inicial π 0 es menor que el valor critico, e manera que no provoca la conensación en ninguna parte, mientras que en el caso π 0 =,2 0 2, como se ve en la Figure 5, hay la conensación. La cantia el agua conensaa ilustraa en la Figure 5 en este moelo es E l (x) = máx(0, π 0 π vs (T(x))). Ilustramos también en la tabla la cantia máxima el agua conensaa E l,max (en la cima 000 m), la temperatura mínima T min (en la cima 000 m) y la iferencia entre la temperatura inicial T 0 = 293,5 K y la temperatura mínima T min en función e la ensia el vapor inicial π 0 (expresamos por π 0 / ): Las pruebas el cálculo con varios valores e η, ζ, κ, incluso cuano η = ζ = κ = 0, muestran que el resultao esencialmente no epene e los valores e viscosia y e conuctivia térmica utilizaos en el cálculo, a conición e que son bastante pequeños. Este hecho justifica también la elección el métoo e ``shooting''. π 0 / E l,max T min T 0 T min ,3865 9,7635, , ,7525 8,3975,2 0 2, ,608 6,5482, , ,32 4,

7 5. CONCLUSIÓN Hemos conseguio resultaos e cálculo que coincien satisfactoriamente con lo que se espera e los atos e observación y el conocimiento teórico el valor el calor latente. Poemos ecir que las ecuaciones funamentales e la inámica e los gases, con las leyes e la transición e fase el agua, sin utilizar la parametrización empírica, pueen eterminar con exactitu suficiente los valores e la temperatura, e la velocia el aire y la cantia e la conensación en un flujo el aire. Nos parece que el métoo el cálculo utilizao es suficientemente simple y suficientemente eficaz; así poemos esperar aplicaciones e esta iea e cálculo a otros casos e fenómenos atmosféricos en que es presente la conensación el vapor e agua. En el presente trabajo no nos hemos ocupao e problemas en que está implicaa la turbulencia. El estuio e flujos turbulentos es eseable, pero en nuestra opinión, requiere otros instrumentos teóricos y numéricos. Eso será uno e los temas e nuestra investigación futura. RECEIVED JULY, 204 REVISED JANUARY, 205 REFERENCIAS [] ANTONTSEV, S. N., KAZHIKHOV, A. V. an MONAKHOV, V. N. (990): Bounary value problems in mechanics of non homogeneous fluis (translate from Russian). North-Hollan, Amsteram. [2] AYACHI, A., AISSAOUI, M. Z., GUEBAI, H. an FUJITA YASHIMA, H. (204): Système 'équations écrivant certains mouvements stationnaires en une imension 'un gaz visqueux et calorifère. Article submitte. [3] BENABIDALLAH, R., TALEB, L. an FUJITA YASHIMA, H. (2007): Existence 'une solution stationnaire 'un système 'équations 'un fluie visqueux compressible et calorifère moélisant la convection. Bollettino U.M.I. Ser. 8, 0-B: [4] BURDEN, R. L. an FAIRES, D. J. (200): Análisis numérica (7a e.)}. I.T.P. Latin America. [5] CLARK, T. an HALL, W. D. (99): Multi-omain simulations of the time epenent Navier-Stokes equations: Benchmark error analysis of some nesting proceures. J. Comput. Phys., 92: [6] COTTON, W., BRYN, G., VAN DEN HEEVER, S. (20): Storm an clou ynamics (II e.). Acaemic Press, N. York. [7] FARAGÓ, I. (204): Numerical methos for orinary ifferential equations. Typo Tech (Buapest). [8] FARWIG, R. (989): Stationary solutions of compressible Navier Stokes equations ith slip bounary Conitions. Commun. Part. Diff. Eq., 4: [9] GHOMRANI, S., MARÍN ANTUÑA, J. an FUJITA YASHIMA, H. (204): Un Moelo e la subia el aire ocasionao por la conensación el vapor y su cálculo numérico.} To appear in Rev. Cubana Física. [0] KIKOÏNE, A. K., KIKOÏNE, I. K. (979): Physique moléculaire (trauit u russe). Mir, Moscu. [] LANDAU, L. L., LIFCHITZ, E. M. (989): Mécanique es fluies (Physique théorique, tome 6) (trauit u russe). Mir, Moscu. [2] LIONS, J.-L. (973): Perturbations singulières ans les problèmes aux limites et en contrôle optimal. Lecture Notes Math. 323, Springer. [3] MATVEEV, L. T. (965, 984, 2000): Física e la atmósfera (en ruso). Girometeoizat, Moscu. [4] MATVEEV, L. T. (98): Dinámica e las nubes (en ruso). Girometeoizat, Moscu. [5] PLANCHE, C., WOBROCK, W., FLOSSMANN, A. I. TRIDON, F., LABBOUZ, L. an VBAELEN, J. (203): Small scale topography influence on the formation of three convective systems observe uring COPS over the Vosges Mountains. Meteo. Zeitschr., 22: [6] SKAMAROCK, W. C., KLEMP, J. B., DUDHIA, J, GILL, D. O., BARKER, D. M., DUDA, M. G., HUANG, X. Y., WANG, W. an POWERS, J. G. (2008): A escription of the avance research WRF Version 3. NCAR/TN-475+STR, NCAR Technical note, NCAR. [7] WOBROCK, W., FLOSSMANN, A. I. an FARLEY, R. D. (2003): Comparison of observe an moelle hailstone spectra uring a severe storm over the Nothern Pyrenean foothills. Atmos. Res., 67-68: