SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5)

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1 SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 01 (MODELO 5) OPIÓN A EJERIIO 1_A ( 5 putos) U comerciate dispoe de 100 euros para comprar dos tipos de mazaas A y B. Las del tipo A las compra a 0 60 euros/kg y las vede a 0 90 euros/kg, mietras que las del tipo B las compra a 1 euro/kg y las vede a 1 35 euros/kg. Sabiedo que su vehículo a lo sumo puede trasportar 1500 kg de mazaas, cuátos kilogramos de cada tipo deberá adquirir para que el beeficio que obtega sea máximo? uál sería ese beeficio? x = kilos de mazaas del tipo A y = kilos de mazaas del tipo B Fució Beeficio B(x,y) = F(x,y) = lo que gaa lo que gasta = 0 9x 0 6x y 1 y = 0 3x y. Restriccioes: El comerciate compra 0 o más kilos de mazaas A o B, luego x 0; y 0; A lo sumo puede trasportar 1500 kg de mazaas, luego x + y 1500; Dispoe de 100 euros para comprar dos tipos de mazaas A y B, luego 0 6x + 1 y 100; Las desigualdades 0 6x + 1 y 100; x + y 1500; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, 0 6x + 1 y = 100; x + y = 1500; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -0 6x + 100; y = -x ; x =0; y = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. alculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0; teemos el puto de corte es A(0,0) De x = 0 e y = -0 6x + 100; teemos y = 100, de dode el puto de corte es B(0,100) De y = -0 6x e y = -x ; teemos -0 6x = -x , de dode 0 4x = 300, es decir sale x = 750 e y = 750, y el puto de corte es (750,750) De y = 0 e y = -x ; teemos 0 = -x , de dode x = 1500 e y = 0, y el puto de corte es D(1500,0) Vemos que los vértices del recito so: A(0,0); B(0,100); (750,750) y el D(1500,0). alculemos los valores máximo y míimo de la fució F(x,y) = 0 3x y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la 1

2 regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0); B(0,100); (750,750) y el D(1500,0). F(0,0) = 0 3(0) (0) = 0; F(0,100) = 0 3(0) (100) = 40 F(750,750) = 0 3(750) (750) = 487 5; F(1500,0) = 0 3(1500) (0) = 450 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice (750,750), es decir el beeficio máximo es de y se obtiee comprado 750 kg de mazaas tipo a y 750 kg de mazaas tipo B. EJERIIO _A ax a) (0 75 putos) Para la fució f defiida de la forma f(x) =, determie, razoadamete, los valores x+b de a y b sabiedo que tiee como asítota vertical la recta de ecuació x = - y como asítota horizotal la de ecuació y = 3 b) (1 75 putos) Para la fució g, defiida de la forma g(x) = x 3 3x +, determie: su domiio, sus itervalos de crecimieto y decrecimieto y extremos relativos. o esos datos haga u esbozo de su gráfica. a) ax Para la fució f defiida de la forma f(x) =, determie, razoadamete, los valores de a y b sabiedo x+b que tiee como asítota vertical la recta de ecuació x = - y como asítota horizotal la de ecuació y = 3 Sabemos que e los cocietes de poliomios las asítotas verticales suele ser los úmeros que aula el deomiador, e uestro caso x = - b, siempre que verifique que lim f(x) =. E uestro caso lim f(x) x b = x b que la asítota vertical es x = -, luego b =. x b ax lim = -a b/0 =, luego x = - b, es ua asítota vertical y tambié sabemos x+b Sabemos que e los cocietes de poliomios de igual grado tiee ua asítota horizotal ( es la misma e ± ) y es y = al valor del lim f(x). x + ax ax omo lim f(x) = lim = lim = lim (a) x + x + x+b x + x x + = a, la asítota horizotal es y = a, y tambié sabemos que la asítota horizotal es y = 3, luego a = 3. b) Para la fució g, defiida de la forma g(x) = x 3 3x +, determie: su domiio, sus itervalos de crecimieto y decrecimieto y extremos relativos. o esos datos haga u esbozo de su gráfica. Me está pidiedo la mootoía, que es el estudio de f (x). g(x) = x 3 3x +. omo es u poliomio es cotiua y derivable e R. g (x) = 3x 6x. Si f (x) = 0; teemos 3x 6x = 0 = x(3x 6) = 0,de dode x = 0 y x = que será los posibles extremos relativos de g. omo g (-1) = 3(-1) 6(-1) = 9 > 0, g(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,0). omo g (1) = 3(1) 6(1) = -3 < 0, g(x) es estrictamete decreciete ( ) e (0,). omo g (3) = 3(3) 6(3) = 9 > 0, g(x) es estrictamete creciete ( ) e (,+ ). Por defiició x = 0 es u máximo relativo y vale g(0) =. Por defiició x = es u míimo relativo y vale g() = () 3 3() + = -. o estos datos u esbozo de la gráfica de g es:

3 EJERIIO 3_A Ua empresa dispoe de tres máquias A, B y, que fabrica, respectivamete, el 60%, 30% y 10% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de so defectuosos. Elegido, al azar, u artículo de los que se fabrica e la empresa: a) (0 5 putos) uál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquia? b) (1 5 putos) uál es la probabilidad de que o sea defectuoso? c) (0 75 putos) Si sabemos que o es defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la máquia A? Ua empresa dispoe de tres máquias A, B y, que fabrica, respectivamete, el 60%, 30% y 10% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de so defectuosos. Elegido, al azar, u artículo de los que se fabrica e la empresa: Llamemos A, B,, D y D a los sucesos siguietes, maquia A, maquia B, " maquia ", articulo defectuoso y " articulo o defectuoso", respectivamete. De A, B y, que fabrica, respectivamete, el 60%, 30% y 10% de los artículos teemos: p(a) = 60% = 0 6; p(b) = 30% = 0 3; p() = 10% = 0 1; El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de so defectuosos teemos: p(d/a) = 5% = 0 05; p(d/b) = 4% = 0 04; p(d/) = 3% = 0 03; Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). 3

4 (a) uál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquia? Me pide p( D) = p() p(d/) = = (b) uál es la probabilidad de que o sea defectuoso? Aplicado el teorema de la probabilidad total, teemos: p(d ) = p(a).p(d /A) + p(b).p(d /B) + p().p(d /) = = 0 ' 955. c) Si sabemos que o es defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la máquia A? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A D ) p( A) p(d /A) p(a/d 0'6 0'95 ) = = = = 114/ p(d ) p(d ) 0'955 EJERIIO 4_A Ua característica de ua determiada població se distribuye segú ua variable aleatoria Normal X de media descoocida y desviació típica 0 9. Extraída al azar ua muestra de tamaño 9 de esa població y observada X, dio como resultados: a) (1 5 putos) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para la media de la variable X. b) (1 5 putos) Determie el tamaño míimo que debe teer ua muestra de esa població, para que el error máximo que se cometa e la determiació de u itervalo de cofiaza para la media de X sea, a lo sumo, 0 3, co u ivel de cofiaza del 90%. σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. X se distribuye segú ua variable aleatoria Normal X de media descoocida y desviació típica 0 9. Extraída al azar ua muestra de tamaño 9 de esa població y observada X, dio como resultados: (a) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para la media de la variable X. 4

5 Datos del problema: σ = 0 9; = 9; x = ( )/9 = 11; ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, co la cual α/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 995, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que o viee, sio que viee y que correspode a z 1 = 57 y z = 58. Realizado la media de dichos valores teemos z 1-α/ = ( )/ = 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = 0'9 0'9 11 '575,11+ ' = (10 75,11 775) (b) Determie el tamaño míimo que debe teer ua muestra de esa població, para que el error máximo que se cometa e la determiació de u itervalo de cofiaza para la media de X sea, a lo sumo, 0 3, co u ivel de cofiaza del 90%. Datos del problema: σ = 0 9; ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = 0 1, co la cual α/ = 0 1/ = 0 05; Error = E < 0 3 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 95 mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 95 vemos que o viee, sio que viee y que correspode a z 1 = 1 64 y z = Realizado la media de dichos valores teemos z 1-α/ = ( )/ = 1 645, por tato tamaño míimo pedido es: z 1- α/. σ 1'645 0'9 > = E 0'3 4 35, es decir el tamaño míimo es = 5 persoas. OPIÓN B EJERIIO 1_B Los alumos de º de Bachillerato orgaiza ua veta de pasteles para el viaje de fi de curso. Vede pasteles grades, que ecesita huevos, 5 terroes de azúcar y 100 g de haria cada uo, y pasteles pequeños, que ecesita 1 huevo, 3 terroes de azúcar y 80 g de haria cada uo. a) (0 5 putos) Presete e ua matriz M, de dimesió 3x, las catidades de los elemetos ecesarios para la elaboració de u pastel grade y uo pequeño. b) (0 5 putos) Si desea fabricar 0 pasteles de ua clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columa, A (0 grades y 30 pequeños) y B (30 grades y 0 pequeños) que represeta este reparto. c) (1 5 putos) alcule los productos M A y M B e idique si co 8 doceas de huevos, 00 terroes de azúcar y 5 kg de haria se puede elaborar 0 pasteles grades y 30 pequeños. Y 30 grades y 0 pequeños? Los alumos de º de Bachillerato orgaiza ua veta de pasteles para el viaje de fi de curso. Vede pasteles grades, que ecesita huevos, 5 terroes de azúcar y 100 g de haria cada uo, y pasteles pequeños, que ecesita 1 huevo, 3 terroes de azúcar y 80 g de haria cada uo. (a) Presete e ua matriz M, de dimesió 3x, las catidades de los elemetos ecesarios para la elaboració de u pastel grade y uo pequeño. Sea H = º de huevos, T = terroes de azúcar; Ha = gramos de haria; P = Pastel grade; ch = pastel chico. La matriz pedida M 3x es: P ch H 1 M 3x = T 5 3 Ha (b) Si desea fabricar 0 pasteles de ua clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columa, A (0 grades y 30 pequeños) y B (30 grades y 0 pequeños) que represeta este reparto. Las matrices pedidas so: P 0 A = ch 30 y 5 P 30 B = ch 0

6 (c) alcule los productos M A y M B e idique si co 8 doceas de huevos, 00 terroes de azúcar y 5 kg de haria se puede elaborar 0 pasteles grades y 30 pequeños. Y 30 grades y 0 pequeños? 1 50 huevos 0 M A = 5 3 = 190 terroes haria 1 M B = huevos = 10 terroes haria Teemos 8 doceas de huevos so 8 1 = 96 huevos; 00 terroes de azúcar y 5 kg = 5000 gr de haria. Si os fijamos e los resultados del producto de matrices, e el caso de M.A sobra huevos, sobra terroes de azúcar y sobra gramos de haria. Luego vale A es decir se puede elaborar 0 pasteles grades y 30 pequeños. Si os fijamos e los resultados del producto de matrices, e el caso de M.B sobra huevos, falta terroes de azúcar y sobra gramos de haria. Luego o vale B es decir o se puede elaborar 30 pasteles grades y 0 pequeños. EJERIIO _B ax - x si x Sea la fució f(x) = x. - b si x > a) (1 5 putos) alcule a y b para que la fució sea cotiua e todo su domiio y presete u míimo e x = 1. b) (1 puto) Represete gráficamete la fució para a = 1 5 y b = 0 5. a) alcule a y b para que la fució sea cotiua e todo su domiio y presete u míimo e x = 1. La fució ax - x es cotiua e R, e particular e x. La fució x - b es cotiua e R, e particular e x >. omo f es cotiua e R, f es cotiua e x =, es decir f() = lim f(x) = lim f(x). x x + f() = lim f(x) = lim (ax - x) = 4a 4. x x x lim f(x) = lim - b x + x + = 1 - b. omo f es cotiua e x =, teemos 4a 8 = 1 b. omo dice que tiee u míimo e x = 1, teemos f (1) = 0 Vemos que x = 1 está e x, dode f(x) = ax - x, por tato f (x) = ax. De f (1) = 0 teemos a(1) = 0, de dode a = 1. Etrado co a = 1 e 4a 8 = 1 b, teemos 4(1) 8 = 1 b, de dode b = 5. Los valores pedidos so a = 1 y b = 5. (b) Represete gráficamete la fució para a = 1 5 y b = 0 5. Para estos valores teemos 1'5x - x si x f(x) = x - 0'5 si x > 6

7 Si x, la fució es f(x) = 1 5x - x = (3/) x - x cuya grafica es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ). Abscisa del vértice V e la solució de f (x) = 0, f (x) = 3x = 0, de dode x = / El vértice es V(/3, f(/3)) = V(/3, -/3) (0 667, ). [f(/3) = 1 5(/3 (/3) = - /3]. ortes co ejes. De f(x) = 0 = (3/) x - x = x((3/) x - ) = 0, luego x = 0 y x = 4/3. Putos (0,0) y (4/3,0). Recordamos que sólo se dibuja e x (la dibujamos e azul) Si x >, la fució es f(x) = x/ 0 5, que es ua recta y co dos valores es suficiete Para x = +, f( + ) = = 0 5. Para x = 4, f( + ) = = 1 5. Recordamos que sólo se dibuja e x > (la dibujamos e rojo) Jutado ambas ramas teemos EJERIIO 3_B Se sabe que el 90% de los estudiates del último curso de ua Uiversidad está preocupado por sus posibilidades de ecotrar trabajo, el 30% está preocupado por sus otas y el 5% por ambas cosas. a) (1 5 putos) Si hay 400 alumos matriculados e el último curso de dicha Uiversidad, cuátos de ellos o está preocupados por igua de las dos cosas? b) (1 puto) Si u alumo del último curso, elegido al azar, o está preocupado por ecotrar trabajo, cuál es la probabilidad de que esté preocupado por sus otas? 7

8 Llamemos T y N a los sucesos "preocupado por ecotrar trabajo y preocupado por las otas, respectivamete De el 90% de los estudiates está preocupado por ecotrar trabajo, teemos p(t) = 90% = 0 9. De el 30% de los estudiates está preocupado por ecotrar trabajo, teemos p(n) = 30% = 0 3. De el 5% de los estudiates está preocupado por ambas cosas, teemos p(t N) = 5% = 0 5. a) Si hay 400 alumos matriculados e el último curso de dicha Uiversidad, cuátos de ellos o está preocupados por igua de las dos cosas? Recuerdo que º de alumos = Total de alumos Probabilidad. Me está pidiedo p(ot y on) = p(t P ) = {Ley de Morga} = p(t P) = {suceso cotrario} = = 1 - p(t P) = 1 (*) = = 0 05 Alumos o preocupados alumos por igua de las dos cosas = = 0. (*) = p(t P) = p(t) + p(n) - p(t N) = = b) Si u alumo del último curso, elegido al azar, o está preocupado por ecotrar trabajo, cuál es la probabilidad de que esté preocupado por sus otas? ( pn T ) Me está pidiedo p(n/ot) = p(n/t ) = = p( N)-p(N T ) = ( )/(1-0 9) = 0 5 p(t ) 1-p(T) EJERIIO 4_B ( 5 putos) Se cree que al meos el 5% de los usuarios de teléfoos móviles so de cotrato. De ua ecuesta realizada a 950 persoas, elegida al azar, 00 de ellas maifestaro que teía teléfoo móvil de cotrato. A la vista de estos resultados y co u ivel de sigificació del 5%, puede admitirse que la proporció de persoas co cotrato e su teléfoo móvil ha dismiuido? Utilice para la resolució del problema u cotraste de hipótesis co hipótesis ula la proporció p es mayor o igual que 0 5. Nos dice el problema que la hipótesis ula es H 0 : p 0 0 5, para ver las persoas que tiee móvil de cotrato co u ivel de sigificació del 5%. Datos del problema: p 0 = 0 5; = 950; ˆp = 00/ ; regió crítica = α = 5% = Etapa 1: Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p (al meos el 5% tiee móvil de cotrato) y H 1 : p 0 < 0 5, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del puto crítico z α = - z 1-α. Etapa : El ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos 1 - α = 0,95. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es la mitad de y , que correspode a z 1-α = ( )/ = = 1 645, co lo cual el valor crítico es z α = - z 1-α = que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: 8

9 ˆp - p0 Etapa 3 y 4: E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada, p 0.(1-p 0) ˆp - p0 N(0,1), y el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = p.(1-p )/ = = 0'105-0'5 0'5 0' Etapa 5: omo el valor observado del estadístico de prueba z 0 = - 81 es meor que el valor crítico z α = - z 1-α = , vemos que os ecotramos e la regió de rechazo ó regió crítica. Por tato, tomamos la decisió de la rechazar hipótesis ula H 0 : p 0 0 5, y aceptar la hipótesis alterativa H 1 : p 0 < 0 5. o lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que meos del 5% de los usuarios tiee móvil de cotrato. 9

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