Un método eficaz para la modelización dinámica vertical de la interacción rueda-carril

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1 Asociació Española de Igeiería Mecáica XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA U método eficaz para la modelizació diámica vertical de la iteracció rueda-carril N. Correa García, O. Oyarzabal de Celis, E. García Vadillo, J. Satamaría Marique, J. Gómez López Departameto de Igeiería Mecáica. Escuela Técica Superior de Igeiería, Alda Urquijo s/, 483 Bilbao. Uiversidad del País Vasco UPV/EHU E este artículo se preseta u modelo específicamete cocebido para el estudio de la iteracció etre rueda y carril. El modelo trabaja e el domiio del espacio y se costruye de forma secilla a partir de las receptacias de la vía, obteidas, e este caso, mediate u modelo completo de vía e el domiio de la frecuecia desarrollado previamete por los autores, que icluye la deformació de la secció del carril y la propagació de odas de flexió, elogació y de alabeo [-3]. La trasformació etre domiios se ha logrado mediate la aplicació de u método modificado de las fraccioes racioales poliómicas. El método de trasformació utilizado permite obteer u modelo e el domiio del espacio muy secillo, co muy pocos grados de libertad, proporcioado resultados de alta precisió e u rago suficietemete amplio de frecuecias, y e el que los cálculos colleva u coste computacioal muy bajo. Este método está basado e el ajuste de las receptacias de la vía mediate fucioes de trasferecia, y el posterior paso al domiio del espacio. Utilizado algoritmos geéticos se ha coseguido u más fácil y mejor ajuste de las receptacias de la vía. El cotacto se ha represetado por u resorte de Hertz o lieal, de forma que se permite el despegue etre la rueda y el carril que se podría producir al paso de la primera sobre u defecto del carril. Además, al cosiderarse que es la rueda la que se mueve y o la irregularidad, es posible teer e cueta la excitació a la frecuecia de paso por traviesa. El modelo se utiliza para el estudio de las cargas diámicas y los desplazamietos que aparece e los putos de cotacto de rueda y carril al paso por defectos de soldadura de carril.. INTRODUCCIÓN La presecia de soldaduras etre tramos de carril e las vías co carril cotiuo soldado (CCS) produce ua irregularidad e la geometría del carril e las proximidades de la soldadura. A pesar de que esta irregularidad se suaviza mediate el amolado al que se somete a los carriles tras el soldeo, es habitual que se matega u cierto grado de defecto, limitado segú la ormativa para la aceptació de soldaduras de carril. La irregularidad e la superficie de la cabeza del carril puede producir u icremeto cosiderable e las cargas diámicas e el cotacto al paso de la rueda que podría perjudicar a la vía. E geeral, el estudio de la iteracció etre la rueda y el carril se puede llevar a cabo de dos maeras distitas: e el domiio de la frecuecia, o e el domiio del espacio. Cada ua de ellas tiee uas aplicacioes determiadas para las que preseta vetajas respecto de la otra. Así, el trabajo e el domiio de la frecuecia permite obteer modelos lieales muy precisos, que icluye la deformació de la secció del carril y la propagació de las odas de elogació, flexió y alabeo, y que preseta como gra vetaja su rapidez de cálculo. Además, dada esa gra velocidad de cálculo de los modelos e el domiio de la frecuecia, es posible la optimizació de los parámetros de las vías para mejorar su comportamieto [4]. Si embargo, e los problemas o lieales, como es el que se pretede estudiar e este artículo, es ecesario recurrir a modelos e el domiio del tiempo. Estos requiere u mayor tiempo de cálculo, aú co modelos mucho meos precisos que aquellos a los que se puede llegar trabajado e el domiio de la frecuecia. Por ello, e este artículo se ha optado por desarrollar u modelo de vía e el domiio del tiempo obteido a partir de la trasformació de u modelo e el domiio de la frecuecia

2 N. Correa et al. XIX Cogreso Nacioal de Igeiería Mecáica desarrollado por los autores [-3], mediate el método de las fraccioes poliómicas. De esta forma se ha aprovechado u modelo muy detallado e la frecuecia para obteer u modelo simplificado e el domiio del espacio. Métodos de trasformació de este tipo, tato para vías co apoyo cotiuo, como co apoyo discreto ha sido aplicados por Wu y Thompso [5,6] y por otros autores [7,8] para el estudio de diferetes feómeos observados e el cotacto rueda/carril. El método de trasformació utilizado permite obteer u modelo e el domiio del tiempo muy secillo, co muy pocos grados de libertad, proporcioado resultados de buea precisió, y co el que los cálculos colleva u coste computacioal muy bajo. Este método está basado e el ajuste de las receptacias de la vía mediate fucioes de trasferecia, y el posterior paso al domiio del tiempo. A fi de coseguir u más fácil y mejor ajuste de las receptacias de la vía, se ha empleado algoritmos geéticos. La rueda se ha modelizado, por simplicidad, como ua masa sobre la que está aplicada el peso correspodiete del vehículo y el cotacto se ha represetado por u resorte de Hertz o lieal, de forma que se permite el despegue etre la rueda y el carril que se puede producir al paso de la primera sobre u defecto del carril. Además, al cosiderarse que es la rueda la que se mueve y o la irregularidad, es posible teer e cueta la excitació a la frecuecia de paso por traviesa. Módulo (m/n) Fase (grados) frecuecia (Hz) frecuecia (Hz) Figura. Receptacias de la vía e las seccioes del vao correspodietes al milímetro: 3, 36, 44, 5, 6 E el artículo se ha trabajado co ua vía co apoyo discreto, cuyas receptacias e alguas seccioes de u vao de vía se muestra e la figura. Las receptacias se ha obteido a partir de los valores de características de la vía idicadas e la tabla. Los valores de esta tabla so los empleados para la validació del método, lo cual se ha llevado a cabo comparado los resultados co los mostrados e [6,9]. E la figura se puede observar la gra diferecia que preseta etre sí las distitas receptacias, e particular a las frecuecias próximas al primer modo de pied-pied vertical, alrededor de 8 Hz, dode se produce ua resoacia e mitad de vao y ua atirresoacia sobre la traviesa. Las receptacias de seccioes situadas etre mitad de vao y sobre traviesa toma ua forma itermedia etre la de las dos ateriores, de maera que preseta ua resoacia y ua atirresoacia muy próximas alrededor de esa frecuecia. Esta gra diferecia etre las receptacias de las distitas seccioes del vao hace que sea más complicada la trasformació del domiio de la frecuecia al del espacio.

3 U método eficaz para la modelizació diámica vertical de la iteracció rueda-carril 3 Rigidez del pad (KN/mm) Amortiguamieto del pad (-).9 Rigidez del balasto (KN/mm) 5 Amortiguamieto del balasto (-) Masa de la traviesa (kg) 34 Separació etre traviesas (m).6 Carril 6E Separació etre traviesas (m).6 Tabla : Parámetros de la vía El modelo de iteracció desarrollado e este artículo se aplica al estudio de la respuesta diámica de la rueda y el carril cuado éste preseta ua soldadura aceptable segú los criterios de la ormativa [].. MODELO DE VÍA EMPLEADO.. Método de las fraccioes racioales poliómicas aplicado al caso de la vía El método de las fraccioes racioales poliómicas [] cosiste e obteer las fucioes de trasferecia e el plao s (de Laplace) que tega por receptacias las dadas como dato (las de la vía e uestro caso), las cuales defie el comportamieto del sistema para u determiado rago de frecuecias. Estas fucioes de trasferecia G(s) se expresa como cocietes de poliomios (ecuació ()), cuyos coeficietes se calcula mediate la resolució del problema de miimizació de la ecuació (). Ésta se correspode co la miimizació del error cuadrático etre la receptacia origial y la receptacia ajustada durate la optimizació e el rago de frecuecias e el que se está realizado el ajuste. Y ( s) B( s) G( s) = = = F( s) A( s) s b s + + b s m m as + as bm s + bm a s + a () E la ecuació (), Y(s) es la trasformada de Laplace de la fució de desplazamieto del puto del carril e cotacto co la rueda, F(s) la trasformada de Laplace de la fuerza de cotacto y A(s) y B(s) el deomiador y el umerador de la fució de trasferecia. E la ecuació (), h es la receptacia dato que se pretede ajustar, ω es el vector de frecuecias agulares, cuya logitud es l, y wt es u vector de pesos del error a las distitas frecuecias e las que se está haciedo el ajuste. k= l B( ω( k)) mi wt ( k) h( k) a, b A( ω( k )) () Los grados de los poliomios de umerador y deomiador m y de las fucioes de trasferecia resultado de la ecuació () coicide co el úmero de ceros y de polos de estas fucioes de trasferecia, respectivamete. Ua vez calculada la fució de trasferecia e distitas seccioes del vao de la vía, el sistema de ecuacioes difereciales asociado se obtiee mediate la trasformada iversa de Laplace de las fucioes de trasferecia. El resultado de esta operació es ua ecuació diferecial ordiaria (ecuació (3)) de orde igual al grado del poliomio del deomiador de la fució de trasferecia, dode y es el desplazamieto del puto del carril e cotacto co la rueda y f es la fuerza de cotacto. Esta ecuació (3) se puede trasformar e u sistema de ecuacioes difereciales de orde uo (ecuació (4)). y ) ) ) + a y + a y a y + a y( t) = m) m ) b f + b f bm f ( t) + bm f (3)

4 N. Correa et al. XIX Cogreso Nacioal de Igeiería Mecáica 4 x = x + c f x = x + c... x 3 = x + c f x = a x a f x a x... a x 3 + c f (4a) dode los valores que correspode a c so []: cumpliédose que: c = b c 3... c = b c = b 3 = b a b ( a b k= a + a b ) c k k y = x (4b) La miimizació de la expresió de la ecuació (), tomado como variables los coeficietes de los poliomios de la fució de trasferecia, se lleva a cabo mediate la utilizació de u algoritmo de Gauss-Newto amortiguado y modificado para garatizar la estabilidad del sistema. Este se ecuetra implemetado e la fució ivfreqs icluida e la toolbox de MATLAB llamada Sigal Processig [3]. Pero, para llevar a cabo esta optimizació aterior, es ecesario defiir u vector de pesos wt. Los vectores de peso wt (ecuació ()) del error a cada frecuecia de la receptacia tiee gra importacia e la calidad del ajuste de las receptacias realizado. E el método desarrollado se ha icluido el método de optimizació de algoritmos geéticos multiobjetivo para calcular el vector de pesos óptimo a utilizar e los ajustes. Se utiliza dos fucioes objetivo. La primera de ellas es la correspodiete al error e el ajuste, de forma que los vectores de pesos que produzca meor error e el ajuste lleve a valores más bajos de la fució objetivo. La seguda fució objetivo es la correspodiete al orde de magitud de los coeficietes. Esta fució objetivo tiee importacia para la itegració de las ecuacioes e el domiio del espacio, ya que si los coeficietes de las fucioes de trasferecia de las seccioes adyacetes tiee órdees de magitud muy diferetes la itegració se dificulta e gra medida. E esta optimizació por algoritmos geéticos, las compoetes del vector de pesos wt se ha cosiderado como valores biarios. Ello facilita u ajuste más rápido y eficaz que si se hubiera utilizado variables reales... Aplicació del método de trasformació para obteer el modelo de vía E este apartado se muestra los ajustes realizados para alguas de las receptacias de ua vía cuyos parámetros so los presetados e la tabla. Estas receptacias ha sido calculadas, como ya se ha mecioado ateriormete, co el primer módulo de ua herramieta matemática desarrollada por los autores [-3]. Las receptacias, e este caso, se ha calculado para seccioes del vao de vía separadas 4 cm etre sí. Esta distacia es suficiete para que se pueda apreciar ua variació de las receptacias etre las seccioes, y a la vez, suficietemete pequeña como para poder captar de maera correcta el efecto de la excitació paramétrica que se produce al pasar por cada vao de vía, lo cual se ha comprobado que tiee ua gra importacia e la iteracció etre la rueda y el carril.

5 U método eficaz para la modelizació diámica vertical de la iteracció rueda-carril 5 La figura muestra los ajustes de la receptacia sobre traviesa y a 3mm de la traviesa respectivamete. Cabe destacar que coseguir u ajuste muy bueo de las receptacias a todas las frecuecias resulta muy complicado, especialmete a baja frecuecia y a alta frecuecia. Auque podría pesarse e prescidir de u bue ajuste a baja frecuecia y cetrarse e frecuecias medias y altas, hay que teer e cueta que la frecuecia de paso por traviesa, que puede ser muy importate, se produce precisamete a frecuecia baja, salvo para alta velocidad. Es por ello, que e estos ejemplos de las figuras se ha preferido teer u ajuste ligeramete peor a frecuecias medias (e el caso de las figuras mostradas, alrededor de la primera atirresoacia) que a bajas. Además, e la represetació e escala logarítmica, el error e ua atirresoacia aparece exagerado, mietras que e escala lieal este error resulta completamete despreciable. Ua vez coseguidas las fucioes de trasferecia asociadas a las receptacias de cada secció del vao, se les aplica la trasformada iversa de Laplace. El resultado, como ya se ha cometado, es ua ecuació diferecial ordiaria del mismo grado que el deomiador de las fucioes de trasferecia, que se puede pasar a u sistema de ese mismo úmero de ecuacioes de orde. Se obtiee, por tato, u sistema de ecuacioes co coeficietes variables e el espacio (debido a las distitas posicioes del eje motado sobre el vao de la vía). Co este método para el paso al domiio del espacio, la mayor dificultad reside e la obteció de este sistema. Si embargo, ua vez calculado, la itegració es muy rápida, dado que el sistema al que se ha aproximado tiee muy pocos grados de libertad. Hay que teer e cueta que este cálculo se realiza ua sola vez, y que ua vez ajustado, salvo que se produzca u cambio e la vía, o es ecesario volver a hacer este ajuste Módulo (m/n) Fase (grados) receptacia origial receptacia ajustada 5 5 frecuecia (Hz) frecuecia (Hz) Módulo (m/n) Fase (grados) receptacia origial receptacia ajustada 5 5 frecuecia (Hz) frecuecia (Hz) Figura. Ajustes de las receptacias de la secció situada sobre la traviesa (izquierda) y de la secció a 3 mm de la traviesa (derecha) 3. INTERACCIÓN ENTRE CARRIL Y RUEDA Auque el eje motado podría estar represetado por u modelo mucho más complejo, e este caso se ha optado por ua simple masa putual, sobre la que está aplicado el peso del vehículo que soporta esa rueda (W). Su ecuació sería, por tato, de la forma idicada e la ecuació (5). m & x + f W (5) w w cotacto = dode x w es el desplazamieto vertical de la rueda y m w es su masa. La fuerza de cotacto f cotacto etre la rueda y el carril se describe mediate la expresió o lieal dada e la ecuació (6).

6 N. Correa et al. XIX Cogreso Nacioal de Igeiería Mecáica 6 3/ cotacto= CH ( xw y r) para x w y r f f = para cotacto x w y r (6) dode y es el desplazamieto vertical del carril e el puto de cotacto, C H es la costate de Hertz del cotacto y r represeta ua irregularidad cualquiera del carril o de la rueda. Si la irregularidad es del carril, el que r sea positivo idica que hay u hudimieto del carril, y que sea egativo, u saliete. Los valores tomados ha sido: M w =6 kg, C H =93.7 GN/m 3/ [6] y W=KN. 4. APLICACIÓN DEL MÉTODO A LA MODELIZACIÓN DE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS AL PASO POR UNA SOLDADURA Las soldaduras de carril costituye uo de los elemetos críticos e el CCS. Depediedo de la calidad de la soldadura tras su amolado, se puede producir grades cargas diámicas al paso del eje motado sobre la vía. Co el paso repetido de los ejes sobre las soldaduras puede aparecer grietas e el carril debido a la fatiga, que puede llevar a ua rotura de carril, que es especialmete peligrosa cuado se trata del carril exterior e ua curva. 6 Desplazamietos (m) x x (m) Fuerza (kn) Desplazamietos (m) Fuerza (kn) x (m) x x (m) x Irregularidad (m) Figura 3. Fuerza ( ) y desplazamietos de rueda ( ) y carril ( ) e el cotacto (izquierda) para velocidad de km/h. Detalle de la fuerza (superior derecha) y detalle de los desplazamietos de rueda ( ) y carril ( ) e irregularidad (--) (iferior derecha) E este apartado se muestra u ejemplo obteido para la vía ateriormete ajustada mediate el método desarrollado, cuado el eje pasa sobre la irregularidad debida a la soldadura. El método desarrollado es especialmete idóeo para este tipo de cálculos, ya que se reproduce co gra precisió el comportamieto de la vía, icluyedo el efecto de la excitació periódica al paso por las traviesas, a la vez que el cosumo computacioal de cada simulació es míimo. Para este artículo, se ha utilizado ua irregularidad que respode a la forma mostrada e la parte iferior derecha de la figura 3, obteida de [4] y que preseta u valor aceptable segú la orma europea EN 473- []. E la figura 3 se represeta la fuerza de cotacto y los desplazamietos de los putos de cotacto de rueda y carril, que se produce cuado la rueda circula a km/h sobre la irregularidad de la superficie del carril debida a la soldadura. Se ha de otar que la

7 U método eficaz para la modelizació diámica vertical de la iteracció rueda-carril 7 separació que existe etre los desplazamietos de la rueda y el carril se debe a la deformació e el cotacto debido al peso del vehículo soportado por esa rueda. Ates de ecotrarse co el defecto de la soldadura, se puede observar, e la figura izquierda, la ifluecia del paso por traviesa, que hace que las fuerzas y los desplazamietos o tega u valor costate sio periódico, co periodo espacial defiido por la separació etre traviesas (.6 m). Esta figura izquierda se ha ampliado e la zoa e la que se ecuetra la soldadura para poder apreciar mejor las fuerzas y los desplazamietos e esa zoa, y se ha represetado e la parte derecha de la figura. Al comiezo de la irregularidad, los desplazamietos de rueda y de carril o sufre grades alteracioes, dado que la primera parte del defecto debido a la soldadura cosiste e ua leve y suave elevació de la superficie del carril. Al iiciar la rueda el desceso debido al hudimieto de la superficie del carril e la parte cetral de la soldadura, se produce ua caída de la fuerza a la cual le sigue u aumeto brusco, llegado a u icremeto de la fuerza de cotacto respecto a su valor medio de u 47.5%. E la figura tambié se aprecia la variació de la fuerza que supoe el paso por las distitas posicioes del vao, cuyo valor pico-pico es aproximadamete u 9% de la fuerza estática. Se puede observar tambié que la excitació tras el impacto dura muy poco, desapareciedo prácticamete tras pasar la soldadura. 5. CONCLUSIONES Se ha desarrollado u método para mejorar y facilitar el paso de modelos de vía e el domiio de la frecuecia a modelos e el domiio del espacio. Esto puede ser muy iteresate cuado se dispoe ya de u modelo muy preciso e el domiio de la frecuecia que, frete a los modelos habituales e el domiio del espacio, pueda teer e cueta co gra precisió el comportamieto diámico de la vía, icluyedo la deformació de la secció del carril y la propagació de las odas de elogació, flexió y alabeo, y se quiere aprovechar las vetajas que éste preseta frete a otros modelos más simplificados e el domiio del espacio. Además, el modelo al que se llega mediate este método es muy secillo, co muy pocos grados de libertad, co lo cual se compesa el tiempo que requiere el paso al domiio del espacio co la gra reducció e el tiempo de simulació. El método desarrollado parte de las receptacias obteidas co el modelo e el domiio de la frecuecia e seccioes de la vía ta próximas etre sí como se desee, y a partir de ellas costruye u modelo e el domiio del espacio que se ajuste a esas mismas receptacias. Para ello se basa e la aplicació del método de las fraccioes racioales poliómicas co u vector de pesos a cada frecuecia del ajuste que se optimiza mediate algoritmos geéticos, para coseguir el mejor ajuste posible de las receptacias de la vía, que so el dato de etrada. El resultado de este ajuste es ua fució de trasferecia cuya respuesta e frecuecia se aproxima a la receptacia dato, y que se puede trasformar e u sistema de ecuacioes difereciales ordiarias aplicado la trasformada iversa de Laplace. Este ajuste se repite para distitas seccioes del vao de la vía, obteiedo como resultado u sistema de ecuacioes e el domiio del espacio que varía a lo largo del vao de la vía. Además, el método garatiza la estabilidad del sistema e el domiio del espacio resultate y uos coeficietes del ajuste acotados, que facilita la itegració del sistema de ecuacioes. El modelo de iteracció etre rueda y carril se ha aplicado al estudio de los desplazamietos y de las fuerzas de cotacto que aparece cuado el eje motado pasa sobre ua soldadura. 6. AGRADECIMIENTOS Los autores agradece al Miisterio de Ivestigació e Iovació MICINN su ayuda a través del cotrato TRA-8386, icluyedo los fodos FEDER, y al Gobiero Vasco por su ayuda IT-453- y la beca de ivestigació BFI8.7. Agradecemos tambié la asistecia y las valiosas sugerecias de Euskal Trebide Sarea/Red Ferroviaria Vasca ETS/RFV y de

8 N. Correa et al. XIX Cogreso Nacioal de Igeiería Mecáica 8 Metro Bilbao. Se agradece asimismo, la ayuda ecoómica de la UPV/EHU a través de la Uidad de Formació e Ivestigació UFI/9. 7. REFERENCIAS [] I. Gómez, E.G. Vadillo. A aalytical approach to study a special case of booted sleeper track rail corrugatio, Wear. 5 () [] I. Gómez, E.G. Vadillo. A liear model to explai short pitch corrugatio o rails, Wear. 55 (3) 7-4. [3] J. Gómez, E.G. Vadillo, J Satamaría. A comprehesive track model for the improvemet of corrugatio models, J.Soud Vibrat. 93 (6) [4] O. Oyarzabal, J. Gómez, J. Satamaría, E.G. Vadillo. Dyamic optimizatio of track compoets to miimize rail corrugatio, J.Soud Vibrat. 39 (9) [5] T.X. Wu, D.J. Thompso. Theoretical ivestigatio of wheel/rail o-liear iteractio due to roughess excitatio, Veh.Syst.Dy. 34 () 6-8. [6] T.X. Wu, D.J. Thompso. O the parametric excitatio of the wheel/track system, J.Soud Vibrat. 78 (4) [7] G. Boi, G. Catisai, M. Carboari, G. Loprecipe, A. Pacotto, Railway traffic vibratios: geeratio ad propagatio - Theoretical aspects, 4th Iteratioal SIIV Cogress - Palermo (Italy). (7). [8] G. Boi, G. Catisai, M. Carboari, G. Loprecipe, A. Pacotto, Railway traffic vibratios: geeratio ad propagatio - Use of computatioal models, 4th Iteratioal SIIV Cogress - Palermo (Italy). (7). [9] T.X. Wu, D.J. Thompso. O the rollig oise geeratio due to wheel/track parametric excitatio, J.Soud Vibrat. 93 (6) [] EN 473-:6. Railway applicatios. Track. Alumiothermic weldig of rails. Qualificatios of alumiothermic welders, approval of cotractors ad acceptace of welds. [] M.H. Richardso, D.L. Formeti, Parameter estimatio from frequecy respose measuremets usig ratioal fractio polyomials, st Iteratioal Modal Aalysis Coferece. Orlado, FL (98). [] F.H. Rave, Automatic cotrol Egieerig, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 987. [3] The MathWorks Ic., Sigal Processig Toolbox User s Guide,. [4] M.J.M.M. Steeberge. Quatificatio of dyamic wheel rail cotact forces at short rail irregularities ad applicatio to measured rail welds, J.Soud Vibrat. 3 (8)

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