Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

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1 Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos e el tiempo Ambas represeta herramietas para el aálisis de ciertas propiedades de las señales que so más difíciles de evaluar e el domiio del tiempo Ejemplo Covolució es trasformada e producto Ecuació de diferecias puede solucioarse de forma más secilla e el domiio de la frecuecia compleja que e el domiio del tiempo Señales y sistemas discretos () Señal e tiempo cotiuo La variable varía e forma cotiua co el tiempo Señal e tiempo discreto La señal sólo está defiida e istates específicos de la variable idepediete Señales y sistemas discretos () Ua señal discreta puede idetificarse e u úmero fiito o ifiito cotable de istates de tiempo Ua variable discreta se idetifica por la variable de tiempo t, dode toma valores eteros. La señal se defie para los istates t 3, t, t, t, t, t Se puede iterpretar las señales e tiempo discreto como ua secuecia de úmeros ordeados por el parámetro t :,t ], t ], t ] Por coveiecia se deota la señal e tiempo discreto por Defiicioes Señales eseciales So aquellas señales de importacia vital para describir el comportamieto de u sistema Sistema de tiempo cotiuo Se defie como u sistema dode las señales eseciales so cotiuas e el tiempo Sistema e tiempo discreto U sistema dode las señales eseciales so discretas e el tiempo Sistemas e tiempo híbrido Alguas de las señales eseciales so e tiempo discreto y otras e tiempo cotiuo

2 Represetació de fucioes de variable discreta () Represetació gráfica Ua señal discreta puede ser iterpretada como ua secuecia de úmeros deotados por {}, ordeados por la variable Z {} ], ], ], ], ] A esta secuecia se le puede dar ua iterpretació gráfica Represetació de fucioes de variable discreta () Represetació fucioal Utiliada e el aálisis matemático de fucioes discretas 6 para para para 5 cualquier otro Represetació de fucioes de variable discreta (3) Represetació Tabular Usado e programas para maipulació y modelado digital de sistemas Ejemplo: Matlab utilia por u lado los úmeros de muestra () y por otro los valores de las muestras (x()) Represetació de fucioes de variable discreta (4) Represetació como secuecia Como se dijo ateriormete, ua señal discreta puede ser iterpretada como ua secuecia de úmeros deotados por {x()}, ordeados por la variable Z La flecha idica el orige () de ua secueci de duració ifiita Si la secuecia es cero para < puede represetarse como: Si la secuecia es fiita:

3 Represetació de fucioes de variable discreta (5) está defiida úicamete para valores eteros de A se le deomia úmero de muestra y a la -ésima muestra de la señal Señales de variable discreta () E el estudio de sistemas e tiempo discreto se utilia co frecuecia las siguietes señales elemetales: Impulso uitario Rampa uitaria Escaló uitario Señal expoecial Señales de variable discreta () Impulso uitario Está defiido por: para δ [ para E forma geeral: para p δ [ p] para p δ[ p] es igual a la secuecia δ[ desplaada a la derecha p uidades de tiempo discreto. Co esta iterpretació se puede represetar cualquier sucesió como ua suma de sucesioes delta Dirac Señales de variable discreta (3) Escaló uitario Está defiido como: para < u[ para Puede represetarse tambié como: u [ δ ( i) u[ i k δ[ k]

4 Señales de variable discreta (3) Rampa uitaria Está defiido como: u r [ para < para Puede represetarse tambié como: u [ u( i ) r i Señales de variable discreta (4) Señal Expoecial Está defiido como: Su comportamieto depede de la costate a : El comportamieto es estable si a < El comportamieto es iestable si a > Si a es complejo: a re jθ r x [ a r e cos( θ ) + jθ j r si( θ ) Señal expoecial Fucioes expoeciales para valores de a reales Propiedad de muestreo del impulso uitario Si cosideramos u impulso uitario δ[ ] e etoces x δ [ ] ] δ[ ] [ <a< a> -<a< a<-

5 Proceso de muestreo de ua fució cotiua e el tiempo Muestreo Uiforme Los muestreos se da cada T segudos Variable t: señal cotiua Variable : señal discreta T :itervalo de muestreo ttf s F s : frecuecia o tasa de muestreo Muestreo Uiforme E el aálisis matemático de señales y sistemas discretos se acostumbra represetar la señal muestreada x a [T] usado impulsos de Dirac co áreas modificadas de acuerdo al valor de la muestra: x ˆ ( t) { x ( t) δ ( t T ) x ( T ) δ ( t T ) a a a fució muestreada Esta otació es la misma que se utilia para represetar el espectro de magitud de la trasformada de Fourier de ua señal periódica Coversió Aalógica-Digital Muestreo Coversió de ua señal de variable cotiua a otra de variable discreta. Es el resultado de tomar muestras de x a (t) e ciertos istates Si x a (t) es la etrada, etoces x a (T) es la salida

6 Coversió Aalógica-Digital Coversió Aalógica-Digital Cuatificació Coversió de la señal de variable discreta y valores cotiuos e ua señal de variable discreta y valores discretos Cada valor de muestra se aproxima a u valor de u cojuto fiito de posibles valores Se itroduce error de cuatificació Codificació Asigació de ua represetació (por lo geeral biaria) para los valores cuatificados Trasformada Z Trasformada Z Notació Z { } { ( T )} {... x( T ), x(), x( T ), x(t ),..., x( T )...} x a x ˆ ( t) { x ( t) δ ( t T ) x ( T ) δ ( t T ) a a a fució muestreada L { ˆ } a( t) x x( ) Trasformada Z bilateral Cosiderado st e y xa( T ) x( ) Para sucesioes {} que so causales, es decir, para <, la trasformada Z está dada por: Z { } Trasformada Z uilateral

7 Regió de Covergecia () Como X() es ua serie ifiita de potecias, etoces sólo existe para valores de e que la serie coverge ROC: es el cojuto de valores de para los cuales X() es fiita El cambio de variable realiado e st puede cosiderarse como mapeo coforme Bajo esta trasformació e σ T e jωt Regió de Covergecia () Ua líea vertical e el plao s es mapeada e u círculo de radio e σ T e el plao Ua bada vertical etre σ < σ < σ es mapeado e u aillo cuyo radio itero está limitado por e σ T y el extero por e σ T El semiplao iquierdo del plao s (Re{s}<) es mapeado e la regió detro del círculo uitario e el plao ( <) El semiplao derecho del plao s (Re{s}>) es mapeado e la regió fuera del círculo uitario e el plao ( >) Comparació co la ROC de la trasformada de Laplace La ROC de L {x(t)} es ua bada vertical y la ROC de Z {} equivale a aillos e el plao Si la señal es derecha, la ROC de X() es el exterior de u círculo Si la señal es iquierda, la ROC de X() es el iterior de u círculo Si la ROC de X() icluye el círculo uitario el sistema es estable Resume de propiedades de la ROC de la trasformada Z () La ROC de X() cosiste e u aillo e el plao cetrado alrededor del orige La ROC o cotiee igú polo Si es fiita, etoces la ROC es el plao completo, excepto posiblemete y causal excluye aticausal excluye bilateral excluye e

8 Resume de propiedades de la ROC de la trasformada Z () Si es derecha, y la ROC cotiee el círculo r etoces todos los valores de para los cuales > r tambié está e la ROC Si es ua secuecia iquierda, la ROC está detro de u círculo e el plao Si es bilateral la ROC es u aillo Si X() es racioal etoces su ROC está limitada por los polos o se extiede al ifiito Resume de propiedades de la ROC de la trasformada Z (3) Si X() de es racioal y es derecha, la ROC es la regió del plao fuera del círculo de radio igual a la magitud mayor de los polos de X(). Además si es causal la ROC icluye a Si X() de es racioal y es iquierda, la ROC es la regió del plao detro del círculo de radio igual a la magitud del polo diferete de cero más itero. Además si es aticausal la ROC icluye a Si u sistema es estable y causal etoces los polos de su fució de trasferecia debe estar detro del círculo uitario Propiedades de la trasformada Z () Liealidad Si X( ); x [ ; etoces: a x [ + a x [ a + a X ROC : cotiee R R La itersecció de R y R puede estar vacía o la ROC puedes ser más grade que dicha itersecció si la combiació lieal itroduce alguos ceros y se cacela polos ( ); Propiedades de la trasformada Z () Desplaamieto e el tiempo Si etoces x [ ; ] ; ROC puede añadir o elimiar el orige o el ifiito debido a la multiplicació por

9 Propiedades de la trasformada Z (3) Escalamieto e el domiio de Si etoces: x [ ; X ; ROC : R Propiedades de la trasformada Z (4) Iversió de tiempo Si etoces: x [ ; ( ); X R es la versió escalada de R Propiedades de la trasformada Z (5) Cojugació Si etoces x [ ; * ( ); ROC R * * x [ X : Los polos y ceros aparece como pares complejos cojugados e la trasformada Z de secuecias reales de Propiedades de la trasformada Z (6) Covolució Si x [ ; etoces x [ ; X( ) X ( ); ROC : cotiee R R Similar a la propiedad de liealidad, la itersecció etre R y R puede ser más grade que las regioes origiales si e el producto se cacela polos y ceros

10 Propiedades de la trasformada Z (7) Difereciació e el domiio de Si etoces x [ ; d ; d Propiedades de la trasformada Z (8) Teorema del valor iicial Si para <, es decir es causal, etoces: ] lim X ( Z) Esta propiedad se obtiee al cosiderar el límite de cada térmio idividualmete de Z {} co causal Trasformada Z iversa Dada X() hay tres métodos para obteer la trasformada iversa. Estos métodos está basados e: Itegral de Iversió Desarrollo de Fraccioes parciales Desarrollo de ua serie ifiita de potecias Trasformada Z iversa por medio de la itegral de iversió Expresió formal de la trasformada Z iversa Solució π j residuos de e los polos de Esta defiició es utiliada sólo para fucioes causales. Por lo geeral, se prefiere la descomposició e fraccioes parciales y el uso de tablas d

11 Trasformada Z iversa por medio del desarrollo de fraccioes parciales Se expade ua expresió algebraica racioal de X() e u desarrollo e fraccioes parciales y la trasformada iversa se obtiee por ispecció Se expresa X() como ua combiació lieal: α + α α k k Por liealidad se obtiee: α x [ + α x [ α x [ k k Fucioes propias e impropias () Si X() es ua expresió racioal: X N( ) b + b ) D( ) + a ( b a m m Esta fució se deomia propia si a y m <, es decir, el úmero de ceros fiitos es meor al úmero de polos fiitos Fucioes propias e impropias () Si la fució es impropia (m ) se puede represetar como la suma de u poliomio y ua fució propia de la siguiete maera: N( ) X ) C D( ) + C C N ( ) + D( ) ( m ) ( La trasformada Z iversa de estos térmios correspode directamete a las primeras muestras causales de la señal Trasformadas de fucioes racioales propias () Si X() es ua expresió racioal: N( ) b + b b D( ) + a a Co a y m <. Multiplicado por tato el umerador como el deomiador: b + b b m + a a Como >m etoces b + b bm + a a m m m m

12 Trasformadas de fucioes racioales propias () Polos diferetes de primer orde Si todos los polos so diferetes y de primer orde, se busca la expasió A p dode A + p Ai ( pi ) p i A p Trasformadas de fucioes racioales propias (3) Polos orde múltiple Si hay u polo de orde l, ( p k ) l, etoces la expasió parcial tedrá térmios: A k Ak Alk p k ( p ) ( p ) l k Los coeficietes se puede obteer por medio de derivacioes sucesivas k Trasformada Z iversa por medio de expasió e series de potecia Se expade X() e ua serie de potecias que coverge e la ROC de X(), de la forma: C Este es el caso particular de series de Lauret cetradas e Este método es útil para obteer Z {X()} para X() o racioal Series de Potecias. Si la regió de covergecia está detro de u círculo, la divisió poliomial es de la forma a + y se obtiee ua expasió e potecias positivas de. Si la regió de covergecia es el exterior de u círculo, la divisió poliomial es de la forma a y se obtiee ua expasió e potecias egativas de

13 Sistemas e tiempo discreto U sistema discreto trasforma etradas de variable discreta e salidas de variable discreta. y[t {} Tipos de sistemas e tiempo discreto Sistemas Ivariates y Variates e el tiempo Sistemas Lieales Sistemas LTI caracteriados por ecuacioes de diferecias lieales co coeficietes costates Sistema LTI discreto: Y()H()X() X(): Trasformada Z de la etrada Y(): Trasformada Z de la salida H(): Trasformada Z de la respuesta del sistema al impulso H() es coocida como la fució de trasferecia o fució del sistema Sistemas LTI caracteriados por ecuacioes de diferecias lieales co coeficietes costates Sistemas LTI caracteriados por ecuacioes de diferecias lieales co coeficietes costates Cosiderado ua ecuació ua ecuació de diferecias de orde : N k k a y( k) M b x( j) j j La fució del sistema H() de u sistema descrito por ua ecuació de diferecias lieal co coeficietes costates es siempre racioal Aplicado la trasformada Z ambos miembros de la ecuació y usado las propiedades liealidad y desplaamieto e el tiempo N k k k a Y ( ) M b j j j La ecuació de diferecias o da iformació sobre la ROC. Es ecesario iformació adicioal como causalidad o estabilidad del sistema para poder defiir la ROC de la trasformada Z Como H(s) Y(s)/X(s), etoces H ( ) M j N k b j a k j k Y ( )

14 Trasformada Z Uilateral Se defie como: u Se utilia pricipalmete para el aálisis de sistemas causales descritos por ecuacioes de diferecia lieales co coeficietes costates y codicioes iiciales Comparació etre la trasformada Z bilateral y uilateral X b () icluye valores egativos de, X u () es la sumatoria sobre valores positivos de si importar si para <. Etoces X u ()Z u { }Z b { u[ } Si es cero para < etoces: X u () X b () u[ siempre es ua secuecia derecha, por tato la ROC de X u () es siempre el exterior de u círculo La evaluació de la trasformada iversa es idética e ambos casos co la limitació que la ROC de la trasformada uilateral es siempre el exterior de u círculo Trasformada Z uilateral Iversa Restricció e el caso uilateral Como: u La expasió e series de potecias para Z {X()} o puede coteer térmios e potecias positivas de. Si X()N()/D() para que sea uilateral: Propiedades de la Trasformada Z uilateral () La regió de covergecia es siempre el exterior de u círculo, es decir, afuera del polo mas extero La propiedad de iversió e el tiempo o tiee setido e la trasformada Z uilateral ROC es el exterior de u círculo Grado de N() < grado de D()

15 Propiedades de la Trasformada Z uilateral () Propiedad de desplaamieto Si y[ ], etoces u retardo e el tiempo: ] + ] Propiedades de la Trasformada Z uilateral (3) Propiedad de covolució Tiee la restricció que para <. Si esta restricció se cumple: x [ X( ) X ( ) Esta propiedad se puede aplicar e forma repetida, es decir: ] y[ ] y por tato ] + ] + ]

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