Análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia

Transcripción

1 Aálisis de sistemas e el domiio de la frecuecia Prof. Mª Jesús de la Fuete Aparicio Dpt. Igeiería de Sistemas y Automática Facultad de Ciecias Uiversidad de Valladolid maria@autom.uva.es

2 Domiio frecuecial El estudio e el domiio frecuecial permite ver y aalizar los sistemas de cotrol desde otra perspectiva. Muchos aspectos se ve mas fácilmete desde el domiio de la frecuecia.

3 Obetivos Las señales se puede expresar como valores e el tiempo, o como suma de señales siusoidales de distita amplitud y frecuecia. Como respode los sistemas ate etradas de distita velocidad de cambio (frecuecias) ó cualquier tipo de etrada? Aalizar el comportamieto diámico desde el puto de vista de la frecuecia Filtrado de señales

4 Ídice Trasformadas de Fourier Respuesta e frecuecia Filtrado de señales Estabilidad e lazo cerrado e el domio de la frecuecia Retardos Robustez

5 Señales siusoidales Alta frecuecia: cambio rápido T T periodo frecuecia π/t rad/tiempo f /T /tiempo Hz u A se(t) Baa frecuecia: cambio leto

6 Compoetes de frecuecia Aálisis de Fourier F( ) f (t) F( )e t d e t... cos( t) se( t) Espectro de f(t) Cualquier señal puede descompoerse e ua suma ifiita de señales siusoidales de diferete amplitud y frecuecia

7 Respuesta de u sistema ate ua etrada arbitraria U(s) G(s) Y(s) La respuesta de la fució de trasferecia de u sistema, G(s), ate ua señal cualquiera es la suma de las respuestas del sistema a cada ua de las seoides que la compoe

8 Etradas siusoidales U(s) G(s) Y(s) Estudiar la respuesta de u sistema lieal estable ate cambios tipo siusoide a la etrada Nos cetraremos e el estado estacioario Diferetes frecuecias diferetes velocidades de cambio Y(s) G(s) U(s) Lim sy(s) S 0 A U(s) G(s) s N(s) D(s)

9 Respuesta e frecuecia ) AG( a ) D( a A ) N( s para ) AG( a ) D( a A ) N( s para ) )(s b(s)(s )D(s) a(s )D(s) a(s A N(s) )D(s) )(s (s ) )(s b(s)(s )D(s) a(s )D(s) a(s s A D(s) N(s) D(s) b(s) s a s a s A D(s) N(s) G(s)U(s) Y(s)

10 Respuesta e frecuecia )) arg(g( ) t )se( A G( e e ) A G( y e ) e A G( e ) e A G( y e ) AG( e ) AG( lim y(t) y e estado estacioario : es estable, D(s) si... e ) AG( e ) AG( y(t) D(s) b(s) L s a L s a L [Y(s)] L y(t) ) t ( ) t ( t t t t t t t φ φ φ φ φ φ

11 Respuesta e frecuecia U(s) G(s) Y(s) u(t) Ase( t) y A G()se( t φ) φ arg(g( )) La respuesta oscila co la misma frecuecia pero ateuada por u factor G() y desfasada u águlo φ arg(g()) que depede de CStatio

12 Respuesta e frecuecia Los valores de la ateuació G() y el desfase φ arg(g()) que itroduce u sistema lieal depede solo de G(s) y puede represetarse e fució de la frecuecia e diversos tipos de diagramas si más que sustituir la variable s por e G(s) y calcular el módulo y argumeto del compleo G() resultate para distitos valores de G(s) s G( ) ( s ) ( ) ( ) G( ) 3s 4 ( ) 9 3 arg(g( )) 3 3 arctg arctg

13 Diagrama de Bode Bode Diagrams G() e db 0 From: U() 0 arg(g()) e grados Phase (deg); Magitude (db) To: Y() e escala logaritmica db 0log Frequecy (rad/sec) Matlab: bode(sys)

14 Desfase e grados φ 360º T El desfase φ e grados puede traducirse a tiempo de retardo como φ T/360

15 Diagrama de Nyquist Para cada valor de, se dibua el módulo y argumeto de G() Imagiary Axis To: Y() Nyquist Diagrams From: U() arg( G( )) Diagrama polar: parametrizado e frecuecia G() Real Axis Matlab: yquist(sys)

16 Diagrama de Nichols 0 Nichols Charts From: U() Valores de G() e db e fució de arg(g()) e grados Ope-Loop Gai (db) To: Y() Matlab: ichols(sys) Ope-Loop Phase (deg)

17 Por qué diagramas logarítmicos? ds d Ke (cs )(...) Ke (c )(...) G(s) G() s( τs )(...) ( τ )(...) d Ke (c )(...) 0log G() 0log ( τ )(...) 0log K 0log e d 0log c... 0log 0log τ... E db, el diagrama de G() puede obteerse por superposició de los diagramas de térmios elemetales correspodietes a cada polo, cero, gaacia y retardo. arg(g( )) arg(k) arg(e d ) arg(c )... arg(/ ) arg(/( τ ))...

18 0log 0log τ para 0 0 log( τ Bode: polo simple τ moótoamete decreciete 0 log( τ ) G() e db 0 db /τ -0 db ) 0 para 0 log( τ ) 0log τ 0log argg() e º recta de pediete - 0dB y 0º /τ que pasa por ( / τ, 0 db) 0 φ 0-45º arg arctg( τ) -90º τ φ 90º moótoamete decreciete, φ 45º para / τ Frecuecia de corte 0/τ log log

19 Bode: polo simple Ateuació pequeña hasta la frecuecia /τ, luego crece progresivamete Sistemas letos (τ grade) tiee frecuecias de corte pequeñas y ateua los cambios rápidos. Sistemas rápidos respode a u rago mayor de velocidades de cambio. Phase (deg); Magitude (db) To: Y() Bode Diagrams From: U() /τ Frequecy (rad/sec)

20 Acho de bada B frecuecia a la cual la ateuació es de -3 db Da ua medida del rago de velocidades de cambio de la etrada al que el sistema respode si ateuació otable. Agilidad -3 db Phase (deg); Magitude (db) To: Y() Bode Diagrams From: U() B Frequecy (rad/sec) log( / ) 3

21 Diagrama de Nyquist τ τ moótoamete decreciete para 0 τ para τ 0 0 φ 0 arg arctg( τ) τ φ 90º moótoamete decreciete, φ 45º para / τ G() Otra rama para w - to 0

22 0 log para para c moótoame te 0 log( c recta que de pasa 0 pediete 0 log( c ) 0 log Bode: Cero simple creciete 0dB y c por ( / τ, 0 db) ) 0 log( c ) 0 log G() e db 0 db -0 db argg() e º 45º 0 φ 0 arg( c ) arctg ( c) φ 90º moótoame te creciete, φ 45º para / c 0 log c 0 0º /c /c Frecuecia de corte 0/τ log 90º Las frecuecias altas se amplifica log

23 0log ( τ ) para 0 0log moótoamete decreciete 0 log( τ Bode: polo doble ( τ ) 0 db ) 0 G() e db para -40 db 0 log( τ ) 40log τ 40log argg() e º recta de pediete - 40dB y que pasa por ( / τ, 0 db) 0º /τ 0 φ 0 arg τ ( ) arctg( ) τ φ 80º -90º moótoamete decreciete, φ 90º para / τ /τ Frecuecia de corte 0/τ log log -80º

24 Diagrama de Nyquist ( τ ) para 0 para τ moótoamete decreciete ( τ ) ( τ ) 0 0 φ 0 arg ( ) arctg( τ) τ φ 80º moótoamete decreciete, φ 90º para / τ G()

25 Bode: polos compleos cougados s 0log si si δ 0 >> s δ 0log. 0 δ 0log 0log. 0log recta de pediete - 40 db y que pasa por ( δ 40log 40log δ,0 db)

26 Bode: polos compleos cougados ( ) r r r la frecuecia a M pico de resoacia como coocido ) u máximo e G( existirá si ) ( 0 d d 0log 0log Preseta u máximo? δ δ δ δ δ δ δ r r ) G( M δ δ G() e db?

27 Bode: polos compleos cougados 80º si 90º si 0 0 si arctg arg s s φ φ φ δ δ δ δ δ

28 Caso δ < Resoacia: La amplitud de la salida se ve amplificada a ciertas frecuecias y es máxima para r,, creciedo iversamete co δ G() e db 0 db argg() e º r Frecuecia de trasició -40 db por década 0º -90º log -80º

29 Eemplo Bode Diagrams 0 From: U() 0.8 Nyquist Diagrams From: U() Phase (deg); Magitude (db) To: Y() Imagiary Axis To: Y() Frequecy (rad/sec) Real Axis

30 Si Resoacia, la ateuació es moótoamete decreciete, co pediete -40dB por década para frecuecias superiores a Caso δ > G() e db 0 db -40 db argg() e º 0º Frecuecia de trasició -90º 0 log -80º

31 Bode: itegradores G() e db 0log arg 0log 90º recta de pediete -0 db que pasa por (, 0 db) 0 db argg() e º 0º log -90º log

32 Primer orde más itegrador Nyquist Diagrams From: U() s ( s ) Imagiary Axis To: Y() Real Axis

33 Retardos Cuado existe retardos es difícil aplicar ciertas técicas de aálisis, tales como el lugar de las raíces Esta técica requiere aproximar el retardo por Pade mediate ceros y polos es s (s (s 3s 3) 3s 3)(s ) Si embargo, e el domiio de la frecuecia, el aálisis co diagramas de Nyquist o Bode o preseta especial dificultad.

34 Bode: K, retardo G() e db 0log K es ua cte. arg(k) 0 o - π 0 db log argg() e º 0log e arg(e d d 0 log ) d 0 0º log

35 Primer orde más retardo e s s Nyquist Diagram Nyquist Diagram Imagiary Axis Imagiary Axis Real Axis s Real Axis

36 Filtros U(s) Filtro Y(s) G() U filtro es u dispositivo que permite elimiar frecuecias o deseadas e ua señal 0 db Itroduce u retardo! Filtros

37 Lead/Lag Cero/polo 0 Bode Diagram 8 Bode Diagram Magitude (db) -5-0 Magitude (db) Phase (deg) -30 Phase (deg) s 5s Frequecy (rad/sec) La posició del cero determia el comportamieto a altas frecuecias Frequecy (rad/sec) 0s 5s Polo domiate Cero domiate

38 Respuesta e frecuecia e lazo cerrado V(s) D(s) W(s) - E(s) R(s) U(s) G(s) Y(s) Y(s) G(s)R(s) G(s)R(s) D(s) W(s) V(s) G(s)R(s) G()R() G()R() D() G()R()

39 Respuesta e frecuecia e lazo cerrado V(s) D(s) W(s) - E(s) R(s) U(s) G(s) Y(s) G()R() G()R() D() G()R() log Puede estudiarse el rechazo de ruidos o perturbacioes, así como la rapidez de respuesta co el acho de bada

40 Teorema del argumeto Cotoro cerrado que o pasa por igua sigularidad de F(s) s F(s) P º de polos de F(s) detro del cotoro Z º de ceros de F(s) detro del cotoro N º de rodeos al orige de F(s) e el setido horario N Z - P

41 Estabilidad e lazo cerrado V(s) D(s) W(s) - E(s) R(s) U(s) G(s) Y(s) Y(s) G(s)R(s) G(s)R(s) D(s) W(s) V(s) G(s)R(s) Cuatas raíces de G(s)R(s) 0 so positivas?

42 Criterio de Nyquist G(s)R(s) Cotoro que ecierra el semiplao derecho s G( )R( ) GR Num De Polos de GR polos de GR De Num De P º de polos iestables de GR Z º de ceros de GR e el semiplao derecho

43 Criterio de Nyquist G(s)R(s) N Z - P P º de polos iestables de GR Z º de ceros de GR e el semiplao derecho N º de rodeos al orige de G()R() e setido horario Para la estabilidad del sistema e lazo cerrado Z 0 N - P G( )R( )

44 Criterio de Nyquist G( )R( ) Es igual cosiderar los rodeos al orige de G()R() que los rodeos de G()R() al puto - - G()R( ) Si el sistema es estable e lazo abierto P 0, y la estabilidad e lazo cerrado se logra si el diagrama de Nyquist o evuelve al puto (-,0) Sysquake

45 Medidas de robustez w u y R(s) G(s) Si el modelo o es correcto, cambia o se modifica la sitoía, seguirá el sistema siedo estable e lazo cerrado? - Cua cerca está el sistema e lazo cerrado de la iestabilidad?

46 Marge de fase MF Diagrama de Nyquist Marge de fase - ϕ f O G()R() El MF idica como de leos está el sistema e lazo cerrado de la iestabilidad co respecto al águlo de fase. El marge de fase debe ser positivo e u sistema e lazo cerrado estable. f mayor frecuecia a la que G( f )R( f ) ϕ agulo que verifica arg(g( f )R( f )) π ϕ

47 Eemplo: Marge de fase, º orde W(s) - E(s) K p U(s) K s(s δ ) Y(s) E lazo cerrado: G(s)K p G(s)K p s K p δ K s K p K Cual es el MF de este sistema? Que relació tiee el comportamieto e lazo cerrado y el MF?

48 Marge de fase, º orde K p U(s) - Y(s) W(s) E(s) ) K K 4 ( K 4K ) (4 4 0 K K 4 4 K K 4 ) ( KK ) s(s KK p 4 4 p 4 p p p s p δ ± δ δ ± δ δ δ δ δ Si el marge de fase correspode a la frecuecia : ) s(s K δ

49 Marge de fase, º orde ( δ ± 4δ4 K K p ) KK p ϕ π arg s(s δ ) π π arctg δ π arctg δ s ± 4δ δ 4 K K p Hay ua relació directa etre el Marge de Fase ϕ y el amortiguamieto δ e u sistema de º orde. Para órdees mas altos la relació solo es aproximada. MF δ

50 Marge de fase w u y R(s) G(s) y t El marge de fase ϕ esta relacioado co el sobrepico y la estabilidad. Sistemas co más sobrepico tiede a ser meos robustos El marge de fase debe ser mayor que 30º, idealmete ~55º La frecuecia f esta relacioada co la velocidad de respuesta

51 MF y tiempo A mayor ϕ meor sobrepico Valores mayores de f da respuestas mas rápidas y cotroles mas activos

52 Qué efectos tiede a dismiuir el marge de fase? Phase margi - ϕ O Aquellos que tiede a aumetar el desfase de G(s)R(s). E particular: Añadir más polos al proceso f Nyquist Diagram Icremetar el retardo del proceso argg() i º Retardo AC AT 0º log AC AT

53 Sistemas de mayor orde relativo Marge de fase - ϕ ϕ f O Al aumetar el úmero de polos sobre el de ceros se aumeta el desfase Diagrama de Nyquist G()R() G()R() ( τ ) Sistemas co polos adicioales (por añadir u filtro, etc.) so mas difíciles de cotrolar (más cercaos a la iestabilidad)

54 Fucioes de trasferecia v w - R u G Proceso y y GR GR S wy w GR S vy v G y w v / R G GR if R y w 0.v u R R w v GR GR S wu S vu Trabaar co gaacias altas puede, de acuerdo co esta expresió, meorar el seguimieto de la referecia (SP) y el rechazo de perturbacioes, pero u aumetará y...

55 Marge de gaacia - g R()G() Aumetar la gaacia e el cotrolador o e el proceso dismiuirá el MG MG arg(g( R( g g )G( )R( g )) g ) π MG factor e el que se puede icremetar la gaacia ates de que el sistema e lazo cerrado se haga iestable. El MG idica cómo de leos está el sistema e lazo cerrado de la iestabilidad co respecto a cambios e la gaacia. MG debe ser mayor que para u sistema e lazo cerrado estable. Medida de robustez

56 MF y MG e el diagrama de Nyquist

57 MF y MG e el diagrama de bode

58 Rechazo de perturbacioes Svy GR G()R() si R tieeaccio itegral si si 0 S S vy vy 0 S vy () e db E u rago de frecuecias, el regulador puede empeorar el rechazo de perturbacioes. Importate miimizar el maximo S vy ()

59 Marge de Módulo - N O NM NM OM G()R() GR S vy M Marge de módulo mi NM mi NM Diagrama de Nyquist ( max S ( )) vy S ( vy ) U marge de módulo mayor meora el rechazo de perturbacioes

60 Por qué es difícil el cotrol de u sistema co retardo? - O f - O Marge de fase ϕ G()R() f G()e -d R() Marge de fase / Marge de modulo meor

61 Sistemas de fase o-míima G(s) ds Ke (cs ± )(...) s( τs )(...) 0log d Ke (c ± )(...) ( τ )(...) El módulo o se modifica arg(g( )) arg(g( )) arg 45º 0º arg(k) arg(e arg(k) arg(e /c d d ) arg(c )... arg(/ ) arg(/( τ ))... ) arg(c )... arg(/ ) arg(/( τ ))... 90º log arg 45º 0º El cero desfasa e lugar de adelatar la fase /c log - 90º

62 Por qué es dificil el cotrol de u sistema co fase o-míima? - O f - O Marge de fase ϕ G()R() f G() R() Marge de fase / Marge de modulo meor

63 Por qué, ate la duda, se debe escoger ua gaacia mayor del proceso? - Si deamos u marge de gaacia pequeño, y luego la gaacia del proceso es meor siempre se está e el lado seguro. g R()G() Para el mismo marge de gaacia, si la gaacia del proceso se escoge la meor se tedrá u regulador quizá co excesiva gaacia, si la del proceso resulta ser mayor

64 Esfuerzos de cotrol S wy GR R G G S GR GR wu GR() 0log 0log G() GR() R() 0log GR() 0log. GR GR log U acho de bada grade implica esfuerzos de cotrol elevados G esfuerzos de cotrol

65 Robustez del diseño v w - R u G Proceso y Sesibilidad y T T G G GR GR G T T G w GR Cuato varía la respuesta e lazo cerrado cuado varía los parámetros del proceso? GR T GR v

66 Robustez del diseño v w - R u G Proceso y y GR w GR Tw Sv GR v G T G GR GR G( GR) ( GR)R GRR GR ( GR) GR R R ( GR) ( GR) S vy G S G GR G( GR) ( R) ( GR) GR ( GR) T Fució de sesibilidad S vy sesibilidad frete a errores e G Térmicos