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1 74 MÉTOOS NUMÉRICOS Informática de Sistemas - curso 9/1 Hojas de problemas Tema I - Cálculo diferencial e integral en varias variables I.1 Representación de funciones de dos variables 1. ibuja el plano definido por la función f(x, y) = 6 3x y. elimita en él la parte que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (, ), (, 1), (1, 6) y (3, 5).. Representa en el plano XY las curvas de niveles,,, 4,, 6,, 8 y 1 de la función f(x, y) = 1 xy en el dominio [, 1]. ibuja la gráfica de la función en este dominio y sitúa en ella las curvas de nivel. 3. ibuja en el plano XY las curvas de nivel 1,, 1 y de la superficie definida por la función f(x, y) = 3 x y en el dominio = [, 1] [, ]. ibuja la gráfica de f en este dominio. 4. etermina las curvas de nivel y dibuja la gráfica aproximada de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x y + b) f(x, y) = x + y c) f(x, y) = x + y d) f(x, y) = x + 4y e) f(x, y) = xy f) f(x, y) = x y I. Límites y continuidad 5. Halla los límites iterados y el límite en coordenadas polares de la función f(x, y) = x+1 sen y cuando (x, y) tiende a (, ). Existe lim y+1 x (x,y) (,) x+1sen y? y+1 x 6. emuestra que la función f(x, y) = xy x +y no tiene límite cuando (x, y) tiende a (, ). 7. a) Halla los límites iterados y el límite en coordenadas polares de la función f(x, y) = xy x +y 5 cuando (x, y) tiende a (, ). xy b) Comprueba que no existe el límite lim (x,y) (,) calculando el límite de la función x +y 5 cuando (x, y) se acerca a (, ) según la curva x = y. 1

2 8. Calcula los límites siguientes, si existen: x a) lim (x,y) (,) x +y b) lim (x,y) (,) x x +y c) lim (x,y) (,) xy x +y + d) lim (x,y) (,) (x y) x +y I.3 iferenciales y derivadas 9. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: a) f(x, y) = xe x +y b) f(x, y) = x +y x y c) f(x, y) = senx cos(ye xy ) d) f(x, y, z) = xe x y z e) f(x, y, z) = z e x cos y f) f(x, y, z) = xyz x +y +z 1. Calcula las derivadas direccionales en el punto P y la dirección v que se indican. En cada caso, determina en qué dirección es máxima la derivada direccional. a) f(x, y) = x 6y, P = (7, ) y v = (1, 1). b) f(x, y) = y xe xy, P = (, 3) y v es la dirección que forma un ángulo de 6 con el eje X. c) f(x, y, z) = xy + xz y + z, P = (1,, 1) y v = (1, 1, ). 11. La distribución de temperatura de un cierto espacio viene dada por la función f(x, y) = cos x cos y + 3 cos x + 4 cos 3y. Halla en el punto ( π, π ) la dirección de máximo 3 3 aumento de la temperatura y la dirección de máximo descenso de la temperatura. 1. Supongamos que una montaña tiene la forma de paraboloide elíptico z = c ax by, donde a, b y c son constantes positivas que verifican c > a + b; x e y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar. En el punto de coordenadas (1, 1), en qué dirección aumenta más rápidamente la altitud? Si dejáramos caer una pelota en (1, 1), en qué dirección comenzaría a rodar? 13. Halla la dirección de máxima pendiente, y la máxima pendiente, de la superficie f(x, y) = x + y en el punto (1, ). Representa en el plano XY los conjuntos de nivel, 3 y 4 de la superficie, el punto (1, ) y la dirección de máxima pendiente en él, marcando con una flecha el sentido de subida. 14. Halla la ecuación del plano tangente a la superficie definida por f(x, y) = x e y en el punto (3, ). Halla la derivada direccional de f y la del plano tangente en ese punto, según la dirección (1, 1), y comprueba que coinciden.

3 15. Halla la derivada direccional según una dirección genérica (v 1, v ), la dirección de máxima pendiente, la máxima pendiente y el plano tangente a la función f(x, y) = 3 x y en el 4 punto ( 1, ). Representa la superficie, el plano tangente y la recta de máxima pendiente. 16. Halla todas las derivadas parciales segundas de las funciones: a) f(x, y) = sen(x 3xy) b) f(x, y) = x y e xy c) f(x, y) = x arctan x y 17. Sea f(x, y) = { xy(x y ) x +y si (x, y) (, ) si (x, y) = (, ) (a) Calcula f x y f y en un punto cualquiera (x, y) R. (b) Comprueba que las derivadas cruzadas f xy y f yx son diferentes en (, ). (c) Por qué no contradice lo anterior el teorema de igualdad de las derivadas cruzadas? 18. Estudia la continuidad, la existencia de las derivadas direccionales y la diferenciabilidad en (, ) de las funciones: { x si (x, y) (, ) a) f(x, y) = x +y si (x, y) = (, ) { y si (x, y) (, ) b) f(x, y) = x +y si (x, y) = (, ) { x y si (x, y) (, ) c) f(x, y) = x +y 4 si (x, y) = (, ) { x d) f(x, y) = + y si x y y x si x = y = 19. Escribe la regla de la cadena para a cada una de las siguientes funciones: a) h(x, y) = f(x, u(x, y)) b) h(x) = f(x, u(x), v(x)) c) h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)) d) h(x, y, z) = f(u(y, z), v(x, z)). Sea f : R R definida por f(x, y) = x y. Expresa f en coordenadas polares r, θ (recuerda que las expresiones que relacionan coordenadas cartesianas y coordenadas polares son x = r cos θ e y = rsenθ). Calcula f y f directamente y con la regla de la r θ cadena y comprueba que se obtiene el mismo resultado. 1. Calcula, empleando la regla de la cadena, h y h x y a) f(u, v) = u +v u v u(x, y) = e x y v(x, y) = e xy b) f(u, v) = sen(u + v) u(x, y) = x y v(x, y) = x y, donde h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) y 3

4 . Si u = f(x y, y x), prueba que u x + u y =. 3. Sea g(x, y) = f(x 3 + 3y ), donde f es una función derivable de una variable. Prueba la igualdad y g g = x. x y 4. Sea f(x, y) una función de dos variables y sean x = u + v e y = u v. emuestra que f u v = f x f y 5. Prueba que x F y = y F x, donde F es la función definida por F (x, y) = f(x + y ). 6. ada la función z = f(x y ), donde f es una función derivable de una variable, demuestra que se cumple y z + x z =. x y 7. Sea f(x, y), donde x = g(t) e y = h(t). emuestra esta igualdad: d f dt = f xx(g ) + f xy g h + f yy (h ) + f x g + f y h. 8. Comprueba que el punto (, 3) es un punto crítico de la función f(x, y) = x + y + xy 3x 6y + 1. Qué tipo de punto crítico es? 9. Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y determina si son máximos, mínimos o puntos de silla. a) f(x, y) = x + y + 3xy b) f(x, y) = (x y)(xy 1) c) f(x, y) = x 3 + 3x + 4xy + y d) f(x, y) = xy + 1 x + 1 y e) f(x, y) = x 4 + y 4 (x y) f) f(x, y) = y + xseny 3. Sea f(x, y) = Ax + 1, donde A es una constante. Cuáles son los puntos críticos? Son máximos, mínimos o puntos de silla? 31. Calcula los máximos, mínimos y puntos de silla de la función f(x, y) = xy(a x y) en función del parámetro a >. I.4 Integración múltiple 3. Evalúa las siguientes integrales en el cuadrado C = [, 1] : a) C (x3 + y ) dxdy b) C yexy dxdy c) C (xy) cos x 3 dxdy d) ln((x + 1)(y + 1)) dxdy C 4

5 33. Calcula xy dxdy, donde T es el triángulo de v ertices ( 1, ), (, 1) y (, ). T 34. Calcula el volumen de la porción del prisma recto cuya base es el rectángulo R = [, 1] [1, ] del plano XY y la superficie z = x + y (o, dicho de otra forma, calcula la integral R (x + y) dxdy). 35. En cada uno de los casos siguientes, dibuja la región que delimitan los límites de integración y calcula la integral: a) 1 b) c) 1 d) 1 e) x 3x+1 1 x e x 1 x f) 1 1 dydx x 3 y dydx (x + y)dydx y dydx 3 x x ex+y dydx (x + y) dxdy 36. Integra las funciones siguientes, en las regiones indicadas: a) f(x, y) = 1 en la región acotada por y = x, x = 1, x = e y =. x+y b) f(x, y) = x y en el triángulo de vértices ( 1, 1), (, ) y (1, 1). c) f(x, y) = x 3 y en la región acotada por el eje Y y la parábola x = 4y + 3. d) f(x, y) = x + xy + en la región acotada por y = x + x, el eje X, x = y x =. 37. Representa el dominio delimitado por las curvas 1 = y + x y 1 = y x; calcula la integral de la funciń f(x, y) = x + y sobre este dominio. 38. Representa el dominio limitado por la recta x + y = 1 y la curva x + y = 1. Calcula la integral de f(x, y) = xy en este dominio de las dos formas posibles, según el orden de integración de las variables, y comprueba que dan el mismo resultado. 39. Cambia el orden de integración de las siguientes integrales, y calcula las tres primeras: a) 1 1 xydydx x b) π c) 1 d) 1 cos x y 1 y 1 y cos xdydx 1 (x + y) dxdy f(x, y)dxdy 4. Calcula y dxdy, donde es la región del plano que delimitan las curvas y = x e y = x Calcula 3 1 x e y dydx invirtiendo el orden de integración etermina el área de una elipse de semiejes a y b mediante una integral doble. 43. Sea T (u, v) = (4u, u + 3v). Sea el rectángulo [, 1] [1, ]. escribe el dominio = T ( ) y evalúa la integral (x y) dxdy haciendo el cambio de variables correspondiente. 5

6 44. Sea la región y x y x 1. Evalúa (x + y) dxdy haciendo el cambio de variables x = u + v, y = u v. 45. Calcula C (x + y ) dxdy, donde C es el cuadrado acotado por las rectas x + y = 1, x + y = 4, x y = 1 y x y = Calcula (x + y) dxdy on R es el rectángulo de vértices (, 1), (1, ), (3, 4) y (4, 3). R 47. Calcula C (x + y) e x y dxdy, donde C es el cuadrado acotado por x + y = 1, x + y = 4, x y = 1 y x y = Calcula mediante un cambio a coordenadas polares (x3 y + y x) dxdy, donde es el semicírculo derecho de centro el origen de coordenadas y radio Representa en el plano XY el dominio = {(x, y) R : 1 (x ) + (y + ) } (es la mitad superior de una corona circular de centro (, ) y radios 1 y ). Calcula (x + y) dxdy con un cambio a coordenadas polares. 5. ibuja en el plano XY la región R formada por los puntos (x, y) que satisfacen las desigualdades x + y 1, x + y 4, y y x + y. Expresa esta región en coordenadas polares y calcula la integral de x(x + y ) 3 sobre con estas coordenadas. 51. (1 + xy) dxdy, donde es el dominio formado por los puntos (x, y) tales que 1 x + y e y. 5. Halla el volumen de la región del interior de la superficie z = x + y delimitada por el plano z = Halla el volumen acotado por el paraboloide z = x + y y el cilindro z = 4 y. 54. Calcula el volumen del sólido interior al cilindro x + y = 1 limitado por la esfera x + y + z =. 55. Calcula mediante integración el volumen del sólido interior a la esfera x + y + z = 1 que está por debajo del plano z < Calcula la integral de la función f(x, y, z) = x sobre la porción del cilindro x + y a situada entre los planos z = y z = b >. 6

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