Lección 18: Plano car tesiano. Mapas y planos

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1 GUÍA DE MATEMÁTICAS II 9 Lección 8: Plano car tesiano. Mapas y planos Mapas y planos La siguiente figura es un plano de una porción del Centro Histórico de la Ciudad de México. En él se ha utilizado la siguiente nomenclatura: Zócalo Academia de San Carlos Catedral Metropolitana Palacio de Iturbide Templo Mayor San Francisco Palacio Nacional Torre Latinoamericana Suprema Corte de Justicia Casa de los Azulejos 6 Departamento del D.F. Palacio de Bellas Artes 7 Santo Domingo 6 Palacio de Correos 8 S.E.P. / La Encarnación 7 Palacio de Minería 9 San Ildefonso 8 Museo Nacional de Arte

2 LECCIÓN 8 NORTE A B C D E F G H I Usted posiblemente ha consultado ya planos similares. Están divididos en cuadros (líneas finas), y cada cuadro está caracterizado por la columna y el renglón al que pertenece. Si queremos localizar un lugar que esté en el cuadro E, ubicamos la columna correspondiente a la letra E y bajamos hasta el renglón al que le corresponde el número. También podemos realizar el proceso inverso, si queremos saber la ubicación en el plano de un lugar que ya hemos localizado en él, subimos por la columna para ver la letra que le corresponde y después buscamos hacia la izquierda el número del renglón. Esta convención permite la ubicación rápida de puntos de interés. Así, por ejemplo, el Zócalo está ubicado en este plano en el cuadro F, esto lo podemos saber al leer en la nomenclatura que el Zócalo está representado con el número, y al ver ese número en el plano encontramos hacia arriba la letra F (caracterización de la columna) y en el margen izquierdo el número (caracterización del renglón). 9

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS II El uso de cuadros con letras y números es frecuente no sólo en planos de ciudades sino también en mapas. El uso de los ejes puede variar, en algunas ocasiones se marcan los renglones con letras y las columnas con números; en otras ocasiones los renglones no se leen de arriba hacia abajo, sino de abajo hacia arriba; en ocasiones las letras o los números no se encuentran arriba y también, a la izquierda sino abajo o a la derecha. El efecto, sin embargo, es el mismo: permite localizar fácilmente sitios de interés, dándole a cada cuadro una referencia específica. Dé la ubicación en el plano anterior de los siguientes sitios: a) Suprema Corte de Justicia b) Secretaría de Educación Pública (SEP) c) Academia de San Carlos d) San Francisco e) Palacio de Bellas Artes f) Departamento del D.F. 9 Indique qué construcciones se encuentran en las siguientes ubicaciones: a) A e) A b) I f) E c) A g) G d) G h) B

4 LECCIÓN 8 Responda las siguientes preguntas: a) La calle de Noviembre se encuentra en el renglón del plano y desemboca en el Zócalo. En qué columna está? b) La calle Motolinía se encuentra en los cuadros C, C y C. Qué dirección tiene, Este-Oeste, o Norte-Sur? c) La calle de Donceles (y su continuación, llamada Justo Sierra) recorre el Centro Histórico de Oeste a Este y lleva a San Ildefonso y el Templo Mayor. Por qué cuadros del plano pasa? d) La calle de San Ildefonso (y su continuación, llamada Pino Suárez) recorre el Centro Histórico de Norte a Sur y pasa entre el Zócalo y el Palacio Nacional. Por qué cuadros del plano pasa? Plano cartesiano Otra manera para localizar puntos en un plano es el llamado plano cartesiano. Aunque funciona de manera parecida a la de los planos y los mapas, tiene algunas diferencias. eje de las ordenadas eje de las abscisas El plano cartesiano consta de dos ejes perpendiculares. Uno es horizontal y recibe el nombre de eje de las abscisas. Otro es vertical y recibe el nombre de eje de las ordenadas. La figura de la derecha ilustra un plano cartesiano. 9

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS II En ambos ejes se marcan números, esto es, cada eje funciona como una recta numérica. En general, el número se coloca en la intersección de ambos ejes. La combinación de un número del eje horizontal con un número del eje vertical es lo que permite ubicar a cualquier punto en el plano. Para evitar confusiones, se usa siempre primero el número en el eje horizontal y después el del eje vertical, se separan con una coma y se pone la pareja de números entre paréntesis. A esta pareja se le conoce con el nombre de pareja ordenada y se dice también que son las coordenadas del punto. En el siguiente plano cartesiano se han marcado los puntos (, ), (, ) y (, ). 6 (, ) (, ) (, ) 6 96 Observe que, a diferencia del plano presentado al principio de esta lección, los marcadores de los ejes no señalan regiones sino puntos. Así, el punto (, ) está exactamente arriba del número del eje horizontal y exactamente a la derecha del número del eje vertical. Las coordenadas de ese punto son las siguientes: su abscisa es y su ordenada es. Cuando conocemos las coordenadas de un punto, digamos el (,) y queremos colocarlo en un plano cartesiano, ubicamos primero el valor de la abscisa (en nuestro ejemplo el ) en el eje horizontal y trazamos una línea vertical por ahí, después

6 LECCIÓN 8 trazamos una línea horizontal que pase por el valor de la ordenada (en nuestro ejemplo el ) en el eje vertical. El punto que buscamos se encuentra en la intersección de las dos líneas, es decir, donde ambas se cruzan. En el ejemplo anterior, los números utilizados son todos enteros y positivos. Sin embargo, se pueden utilizar toda clase de números, en particular decimales y negativos. Los números utilizados en los ejes no necesitan estar graduados de uno en uno. Según la magnitud de los números utilizados, la escala puede ser mayor o menor de uno. El siguiente ejemplo ilustra todo esto: (-.6, ) (., ) ordenadas (-., -9) - (-., -7) - abscisas Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante I Cuadrante IV Observe que en esta gráfica cada uno de los puntos está ubicado en una región distinta del plano, si consideramos a éste como separado en cuatro grandes regiones por los dos ejes. A estas regiones se las llama cuadrantes. El primer cuadrante está constituido por todos los puntos que tienen abscisa y ordenadas positivas, un ejemplo, es el punto con coordenadas (., ); el segundo cuadrante está constituido por los puntos que 97

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS II tienen abscisa negativa y ordenada positiva, como el punto de coordenadas (-.6, ); el tercer cuadrante está constituido por los puntos que tienen abscisa y ordenada negativas, como el punto (-., -7) y el cuarto cuadrante es el de los puntos con abscisa positiva y ordenada negativa, como el (., -9). Para saber en qué cuadrante está un punto, lo representamos gráficamente o nos fijamos en los signos de sus coordenadas. Indique qué coordenadas tienen los puntos marcados con letras de cada uno de los siguientes planos cartesianos: a) 7 6 A C B D E G H F 6 7 b) A C E D F B 98

8 LECCIÓN 8 Indique en qué cuadrante se encuentran los puntos con las siguientes coordenadas: a) (8, -) e) (-8., -6.) b) (-., -.) f) (., 9986) c) (., 87) g) (6.77, -6.77) d) (-.7,.6) h) (., -.7) En cada uno de los siguientes incisos, dibuje un plano cartesiano como el que se muestra, y ponga en él los puntos con las coordenadas que se indican. (Puede considerar una unidad mayor). a) b) (, ) (, ) (, -) (, 7) (, 7) (, 9) (, -) (, ) (, ) (, )

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