A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores.

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1 Apéndice A: Vectores A.1. Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un módulo (valor numérico) y la unidad de medida respectiva. Ejemplos: la masa, la distancia, la temperatura, el potencial eléctrico, la presión, etc. Las magnitudes vectoriales quedan completamente definidas por un módulo (valor numérico), la unidad de medida respectiva, dirección y sentido. Ejemplos: velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético, etc. Para representar y operar con las magnitudes vectoriales se utilizan los vectores. A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores. A.2.1. Representación gráfica Un vector se representa gráficamente por un segmento dirigido de un punto llamado origen (o punto de aplicación) a otro llamado extremo. Su módulo lo determina la longitud, de acuerdo con la escala elegida; su dirección viene dada por la recta soporte del segmento, y se especifica mediante los ángulos que forma con los ejes de coordenadas. El sentido viene dado por la ordenación de los puntos origen y extremo, y se denota con una punta de flecha en el extremo (figura 54). Un vector perpendicular al papel y de sentido entrante se representa mediante un aspa. Un vector perpendicular al papel pero en sentido saliente, se representa mediante un punto (figura 55). Figura 54. Vector v o AB. La línea negra de trazos es la recta soporte. Figura 55. Vector entrante (izda) y uno saliente (dcha). A.2.2. Notación Los vectores se representan por una letra (o dos letras representando la diferencia entre los puntos extremo y origen) en negrita o con una flecha encima. El módulo de un vector se representa poniendo el vector entre barras o mediante la letra o letras sin negrita (generalmente, en cursiva). A continuación se resumen las diferentes notaciones para el caso del vector de la figura 54. Vector: v, v r, AB, AB Módulo: v, v r, AB, AB A.2.3. Tipos de vectores Vectores paralelos: son aquellos vectores que tienen sus líneas soporte (también llamadas líneas de acción) paralelas (figura 56). Vectores equipolentes: tienen el mismo módulo, dirección y sentido pero distinta recta soporte. Vectores opuestos: tienen el mismo módulo y misma dirección pero sentido opuesto. Figura 56. Vectores equipolentes (izda) y opuestos (dcha). 73

2 Vectores ligados: su punto de aplicación tiene que satisfacer una condición determinada: Vector localizado o aplicado (fijo): su punto de aplicación es fijo. Vector deslizante o cursor: su punto de aplicación puede ser cualquier punto de la recta soporte, pueden moverse sobre la recta soporte sin cambiar de módulo ni de sentido (véase la figura 57). Vectores libres: son aquellos vectores cuyo punto de aplicación puede ser cualquier punto del espacio. Pueden moverse libremente por el espacio conservando su módulo, dirección y sentido. Vectores concurrentes: son aquellos cuyas rectas soporte pasan por un punto de intersección (figura 57 (c)). Vector unitario o versor de un vector dado v es un vector de módulo unidad cuya dirección y sentido son los mismos que el vector v (figura 57). Todo vector puede ser expresado mediante su módulo y su vector unitario. Si u v = V/V entonces el vector V se puede escribir como V = V u v A.3. Operaciones con vectores (c) Figura 57. : Vector deslizante. : Vector unitario. (c): Vectores concurrentes. Figura 58. Componentes de un vector Figura 59. Producto de un escalar por un vector. A.3.1. Componentes cartesianas de un vector Todo vector puede ser expresado como la suma de otros. Si elegimos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, con vectores unitarios i, j, k de módulo la unidad y de dirección y sentido el de los ejes positivos x, y, y z, cualquier vector se puede descomponer en otros dirigidos a lo largo de los ejes de coordenadas. En el plano, las componentes de cualquier vector se obtienen, trazando perpendiculares desde el extremo del vector a los ejes de coordenadas, formando un paralelogramo cuya diagonal es el vector suma. En la figura 58, el vector V en el plano xy se expresa como la suma de sus componentes V x y V y a lo largo de los ejes x e y. V=V x +V y = V x i+v y j V=V cosα i+v senα j El módulo del vector V, V, se puede determinar usando el teorema de Pitágoras V 2 =V x 2 +V y 2 V=(V 2 x+v 2 y) 1/2 A.3.2. Producto de un escalar por un vector. Como resultado de la multiplicación de un escalar n por un vector V se obtiene un nuevo vector nv, de módulo n veces mayor que el módulo de V y con la misma dirección. El sentido del vector resultante depende del signo del escalar n. Si n>0, el sentido de nv es el mismo que el de V. Si n<0, el sentido de nv es opuesto al del vector V (figura 59). nv=n(v x +V y )=nv x +nv y 74

3 A.3.3. Suma y resta de vectores Analíticamente, las operaciones de suma (resta) de vectores se realizan descomponiendo los vectores y sumando (restando) sus componentes. Por ejemplo, la suma S de dos vectores V y P contenidos en el plano xy vale: V=V x i+v y j P=P x i+p y j S=V+P=(V x +P x )i+( V y +P y )j De forma gráfica, la suma y resta de vectores libres se puede hacer aplicando las denominadas «regla del paralelogramo» y «regla del polígono» (figura 60). Suma de vectores aplicando la regla del paralelogramo Se dibujan los vectores V y P con origen común y se trazan rectas paralelas a ambos para formar el paralelogramo. El vector resultante es la diagonal del paralelogramo, que va desde el origen de ambos hasta la intersección de las rectas trazadas (figura 60) Suma de vectores aplicando la regla del polígono Se trazan los vectores consecutivos, es decir, se traza un vector equipolente al segundo de manera que su origen coincida con el extremo del primero. El vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo (figura 60). Este método es ventajoso cuando hay que sumar más de dos vectores. La resta de vectores es una suma, haciendo uso del vector opuesto (véase la figura 61). Dados los mismos vectores P y V, el vector diferencia es R=P V=P+(-V). Figura 60. Suma gráfica de vectores.. Figura 61. Resta gráfica de vectores. Figura 62. Producto escalar. A.3.4. Producto escalar de dos vectores Se define como el producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman. El resultado es un número, una magnitud escalar. La operación se representa por medio de un punto V P=PVcosα y puede interpretarse como la proyección de un vector sobre otro V P=PVcosα=PV P donde V P es la proyección del vector V sobre el vector P (véase la figura 62). La tabla 1 recoge algunas de las propiedades del producto escalar. Conmutativa P V=V P Distributiva con respecto a la suma P (V+W)=P V+P W Asociativa con respecto escalares m(v P)=(mV) P=V (mp) Tabla 1. Propiedades del producto escalar Atención: el producto escalar no cumple la propiedad asociativa con respecto a vectores: (V P) W V (P W). 75

4 Supongamos que los dos vectores V y P están contenidos en el plano xy. Si los representamos en función de sus componentes en un sistema de coordenadas cartesiano, tendremos V P=(V x i+v y j) (P x i+p y j) = V x P x (i i)+v x P y (i j)+ V y P x (j i)+ V y P y (j j) Los componentes de ejes diferentes desaparecen, pues los vectores unitarios son perpendiculares entre sí (véase la figura 58) i j=i j cos 90º=0 Para las componentes en el mismo eje simplemente se multiplican sus módulos, pues los vectores unitarios son paralelos i i=i i cos 0º=1 Por tanto, el producto escalar de dos vectores en 2D, expresado en coordenadas cartesianas, se escribe V P= V x P x + V y P y Si V y P fueran vectores en 3 dimensiones, la expresión sería V P= V x P x + V y P y + V z P z A.3.5. Producto vectorial de dos vectores Figura 63. Producto vectorial La tabla 2 recoge algunas de las propiedades del producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores A y B, representado por A B, es otro vector con las siguientes características: Módulo: A B=A B sen α Dirección: perpendicular al plano definido por los dos vectores A y B. Sentido: el vector A B sale del plano definido por A y B si el giro necesario para llevar el primer vector del producto (A) sobre el segundo (B) por el camino más corto es antihorario (figura 63). Como regla mnemotécnica, podemos pensar que es el movimiento que hacemos al abrir un bote o una botella: el tapón sale de la rosca. El vector A B entra en el plano definido por A y B si el giro necesario para llevar el primer vector del producto (A) hacia el segundo (B) por el camino más corto es horario. Es el movimiento que hacemos al cerrar un bote o una botella: el tapón entra en la rosca (figura 63). Distributiva con respecto a la suma P (V+W)=P V+P W Asociativa con respecto escalares m(v P)=(mV) P=V (mp) Tabla 2. Propiedades del producto vectorial Atención: el producto vectorial no cumple la propiedad conmutativa P V=-V P ni la asociativa con respecto a vectores (V P) W V (P W). 76

5 A.3.6. Momento de un vector El momento de un vector deslizante F con respecto a un punto O es otro vector M dado por M = r F=r F sen α= F d siendo r el vector que une el punto O con un punto cualquiera de la recta soporte del vector F, y d la perpendicular que va del punto O a dicha recta soporte (figura 64). El vector momento es un vector libre, pero se suele representar aplicado en el punto O. Figura 64. Momento de un vector 77

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