Tema 7: Valores y vectores propios

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1 Tema 7: es y clausura s Espacios y

2 Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de los números {1, 2,..., n} es una nueva ordenación de los elementos {1, 2,..., n}, es decir, un cambio en el orden de dichos números. En particular {1, 2,..., n} es una permutación de {1, 2,..., n} y se denomina permutación identidad. Teorema El conjunto de todas las permutaciones de {1, 2,..., n} se denota por S n y tiene n! = n elementos.

3 Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de {1, 2,..., n} es par o impar dependiendo de si el número de intercambios entre dos elementos que hay que hacer en p para transformarla en la permutación identidad {1, 2,..., n} es par o impar respectivamente. Sea p una permutación. Se define el signo de p como sigue: { +1, si p es par; sig(p) = 1, si p es impar.

4 Ejemplo. Permutaciones S 3 está formado por los 6 elementos siguientes: es y clausura {1, 2, 3} permutación identidad {1, 3, 2} permutación impar {2, 1, 3} permutación impar {2, 3, 1} permutación par {3, 1, 2} permutación par {3, 2, 1} permutación impar sig({1, 2, 3}) = sig({2, 3, 1}) = sig({3, 1, 2}) = 1 sig({1, 3, 2}) = sig({2, 1, 3}) = sig({3, 2, 1}) = 1

5 Permutaciones es y clausura Observación Al transformar una permutación p de S n en la permutación identidad {1, 2,..., n}, los intercambios (entre dos elementos) posibles no son únicos, pero sí la paridad del número de intercambios.

6 s es y clausura El determinante de una matriz A de orden n es el escalar (número real en nuestro caso) definido por: Ejemplo det(a) = A = p S n sig(p) a 1p1 a 2p2 a npn. Utiĺıcese la definición de determinante para calcular el determinante de ( ) a11 a A = 12. a 21 a 22

7 Regla de Sarrus es y clausura Ejemplo Demuéstrese la regla de Sarrus para el cálculo de los determinantes de matrices de orden 3. Regla de Sarrus: a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. Ejemplo Utiĺıcese la regla de Sarrus para calcular el determinante de A =

8 de los determinantes es y clausura Sea A M n. Se verifican las siguientes propiedades: det(a) = det(a T ). OBS: Este resultado permite extender las propiedades que vamos a enunciar por filas a la correspondiente situación por columnas. Si dos filas de A son iguales, entonces det(a) = 0. Si una fila de A consta sólo de ceros, entonces det(a) = 0. Si A es triangular, entonces det(a) = a 11 a 22 a nn. det(ab) = det(a) det(b). det(αa) = α n det(a), α R.

9 s y operaciones elementales es y clausura Con respecto a las operaciones elementales por filas se cumplen las siguientes propiedades: Tipo I: f i f j, i j. El determinante de la matriz que resulta cambia de signo. Tipo II: f i f i + λf j, i j. El determinante no cambia. Tipo III: f i βf i, β 0. El determinante queda multiplicado por β. OBS: Como hemos dicho anteriormente, estas operaciones pueden realizarse también por columnas.

10 Menor complementario. Adjunto. es y clausura Sea A = (a ij ) M n. Dado un elemento A ij de A, se llama menor complementario de a ij al determinante de la submatriz de orden n 1 que resulta al suprimir en A la fila i y la columna j. Se denotará por α ij. El adjunto del elemento a ij se define como A ij = ( 1) i+j α ij.

11 Desarrollo del determinante por los elementos de una fila o columna es y clausura Teorema Sea A = (a ij ) M n. Entonces det(a) = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in, i = 1,..., n, desarrollo del determinante de A por los elementos de la i-ésima fila. det(a) = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj, j = 1,..., n, desarrollo del determinante de A por los elementos de la j-ésima columna.

12 Ejemplo. de determinantes es y clausura Ejemplo Calcúlese utilizando el teorema anterior el determinante de A =

13 Operaciones elementales y cálculo de determinantes es y clausura del determinante de una matriz A M n Paso 1: Transformamos A en una matriz escalonada B empleando operaciones elementales tipo I y II. Paso 2: Sea p el número de operaciones elementales tipo I que se han realizado, entonces det(a) = ( 1) p det(b) = ( 1) p b 11 b 22 b nn.

14 Ejemplo. de determinantes es y clausura Ejemplo Calcúlese utilizando el procedimiento anterior el determinante de A =

15 Invertibilidad es y clausura Teorema A es invertible det(a) 0.

16 Ejemplo introductorio. Vectores en el plano R 2 = {(x, y) : x, y R} es y clausura Sean v = (a, b) y w = (c, d) del plano xy, y λ R. Se define el vector suma v + w como Se define el vector λ v como v + w = (a + c, b + d). λ v = (λa, λb). (R 2, +, ) es un espacio vectorial.

17 de espacio vectorial es y clausura Se llama espacio vectorial sobre (R, +, ) a un conjunto V dotado de una operación interna (+, suma de ) y una operación externa (, producto de un escalar por un vector) con dominio de operaciones R que verifica las 8 propiedades siguientes: 1 u + v = v + u, u, v V 2 u + (v + w) = (u + v) + w, u, v, w V 3 Existe elemento neutro 0 V tal que u + 0 = 0 + u = u, u V 4 Para cada u V existe elemento opuesto u V tal que u + ( u) = 0.

18 de espacio vectorial es y clausura 5 λ(u + v) = λu + λv, λ R, u, v, V 6 (λ + µ)u = λu + µu, λ, µ R, u V 7 λ(µu) = (λµ)u, λ, µ R, u V 8 1u = u, u V donde 1 es el elemento unidad de R. Los elementos de V se denominan.

19 El espacio vectorial R n es y clausura R n = { x = x 1 x 2. x n } : x 1, x 2,..., x n R Sean x, y R n, λ R. x 1 + y 1 x + x 2 + y 2 y =., λ x = x n + y n (R n, +, ) es un espacio vectorial. λx 1 λx 2. λx n.

20 El espacio vectorial M m n es y clausura (M m n, +, ) es un espacio vectorial, donde M m n es el conjunto de las matrices m n con elementos en R, + es la suma de matrices y es el producto de un número real por una matriz.

21 Subespacios es y clausura Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Si W es un espacio vectorial con respecto a las operaciones en V, entonces W es un subespacio vectorial de V. Ejemplo Todo espacio vectorial tiene al menos dos : El subespacio cero: { 0 }. El propio espacio vectorial. Ambos se denominan triviales del espacio vectorial.

22 Caracterización de subespacio vectorial es y clausura Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Entonces W es un subespacio vectorial de V si y sólo si 1 u + v W, u, v W. 2 λu W, u W, λ R.

23 Ejemplo. Subespacio vectorial es y clausura Ejemplo W = {(x, y) R 2 : y = mx, m R} es un subespacio vectorial de R 2. W es el conjunto de puntos en R 2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen. Ejemplo El conjunto de puntos en R 2 que se encuentran en una recta que no pasa por el origen no es un subespacio vectorial de R 2.

24 es es y clausura Una familia o sistema de de un espacio vectorial V es cualquier subconjunto A de V, en el que puede haber elementos repetidos. Sea A = {v 1, v 2,..., v k } una familia finita de de V. Un vector v V es una combinación de los de A si v = c 1 v 1 + c 2 v c k v k, para ciertos c 1, c 2,..., c k R.

25 Clausura es y clausura Notación Sea A = {v 1, v 2,..., v k } una familia de de V. El conjunto de todos los que son combinación de los de A se denota por Teorema A = v 1, v 2,..., v k Sea A = {v 1, v 2,..., v k } una familia de de V. A = v 1, v 2,..., v k en un subespacio vectorial de V. A A = v 1, v 2,..., v k se le denomina clausura de A = {v 1, v 2,..., v k }.

26 Ejemplo. Clausura es y clausura Ejemplo Sean los de R 3 : 3 v 1 = 0 y v 2 = Probar que W = v 1, v 2 es un subespacio vectorial de R 3.

27 es y clausura Se dice que los de la familia A = {v 1, v 2,..., v k } del espacio vectorial V son mente dependientes si existen constantes c 1, c 2,..., c k R no todas iguales a 0 tales que: c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0. En caso contrario se dice que son mente independientes. Los de la familia A = {v 1, v 2,..., v k } son mente independientes si la única combinación suya que da como resultado el vector 0 es aquella en la que c 1 = c 2 = = c k = 0.

28 Interpretación geométrica en R 3 es y clausura En R 3, si consideramos que todos los salen del origen la dependencia es fácil de visualizar: Dos son mente dependientes si están en la misma recta. Tres son mente dependientes si están en el mismo plano.

29 Procedimiento es y clausura El procedimiento para determinar si una familia de A = {v 1, v 2,..., v k } son, o no, mente independientes es: Paso 1: Se plantea la ecuación c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0, que conduce a un sistema homogéneo. Paso 2: Si el sistema obtenido en el Paso 1 tiene únicamente la solución trivial, entonces los de A son mente independientes. En otro caso son mente dependientes.

30 Ejemplos. es y clausura Ejemplo Estúdiese si los de R 4 v 1 = son mente independientes. y v 2 =

31 Sistema generador es y clausura Se dice que una familia de A = {v 1, v 2,..., v k } del espacio vectorial V es un un sistema generador de V, si cada vector v V es una combinación de los de A. Ejemplo Estúdiese si los ( 1 v 1 = 1 ), v 2 = ( 3 2 son un sistema generador de R 2. ) y v 3 = ( 2 0 )

32 Base es y clausura Los del sistema A = {v 1, v 2,..., v k } del espacio vectorial V forman una base para V si: Ejemplo A es sistema de generadores de V. Los de A son mente independientes. A = { ( 1 0 ), ( 0 1 Es la base canónica de R 2. ) } es una base de R 2.

33 Ejemplos. Base es y clausura Ejemplo B = { , es la base canónica de R n ,..., }

34 Número de de dos bases de un mismo espacio vectorial es y clausura Teorema Si B = {v 1, v 2,..., v n } y A = {w 1, w 2,..., w m } son dos bases del espacio vectorial V, entonces m = n.

35 Dimensión es y clausura La de un espacio vectorial no nulo V es el número de que tiene una de sus bases. Observación Como { 0 } es mente dependiente, es natural decir que el espacio vectorial { 0 } tiene cero. Ejemplo dim(r n ) = n.

36 Introducción es y clausura Sea A M n, x R n A Ax R n. En ocasiones: Ax = λx para cierto λ R. λ valor propio de A. x vector propio de A asociado a λ. APLICACIONES: ecuaciones diferenciales, física, ingeniería, biología... OBJETIVO: Estudiar los valores y de una matriz A M n.

37 es y clausura Sea A M n y x un vector no nulo de R n tal que Ax = λx para cierto λ R. Entonces decimos que λ es un valor propio (autovalor) real de A y que x es un vector propio (autovector) real de A asociado a λ. Observación Nos referiremos a los valores y reales simplemente como valores y. Observación A M n y λ R se cumple A 0 = λ 0. Por esta razón el vector nulo 0 no se considera vector propio.

38 de los valores es y clausura Teorema Sea A M n y λ R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 λ es un valor propio de A. 2 det(a λi n ) = 0. Sea A M n. El polinomio característico de A es det(a λi n ). La La multiplicidad algebraica de un valor propio de A es el número de veces que aparece como raíz del polinomio característico.

39 Ejemplo. de valores es y clausura Ejemplo Calcúlese el polinomio característico de A = 0 3 0, sus valores, así como la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos.

40 Valores de una matriz triangular es y clausura Lema Si A M n es una matriz triangular, entonces los valores de A son los elementos de su diagonal principal.

41 de. Subespacios es y clausura Sea A M n y λ R. El subespacio propio de A asociado a λ es el conjunto V λ formado por todos los x R n tal que (A λi n )x = 0. V λ es un subespacio vectorial de R n. La multiplicidad geométrica de λ es la de V λ.

42 Ejemplo. Subespacios es y clausura Ejemplo Calcúlense los asociados a cada uno de los de la matriz A del ejemplo anterior. Recordamos que A = , y que sus valores son λ 1 = 1, λ 2 = 2 y λ 3 = 3.

43 Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica es y clausura Teorema Las siguientes afirmaciones son ciertas: 1 La multiplicidad geométrica de un valor propio es mayor o igual que 1. 2 La multiplicidad algebraica de un valor propio es siempre mayor o igual que su multiplicidad geométrica.

44 es y clausura Notación A la matriz diagonal de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son λ 1, λ 2,..., λ n la denotaremos por Observación diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) = λ λ λ n. Los valores de diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) son λ 1, λ 2,..., λ n.

45 es y clausura Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existen matrices D digonal y P invertible tales que: Lema A = PDP 1 Sea A M n diagonalizable, con A = PDP 1, D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ), entonces los valores de A son λ 1, λ 2,..., λ n.

46 es y clausura Teorema Sea A M n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 A es diagonalizable. 2 Existe una base de R n formada por de A. 3 Todos los valores de A son reales y para cada valor propio coinciden su multiplicidad algebraica y geométrica.

47 Ejemplo. Diagonalización de matrices es y clausura Ejemplo Diagonaĺıcese la matriz A =

48 es y clausura Teorema Sea A M n con valores λ 1, λ 2,..., λ n, entonces los valores de A k son λ k 1, λk 2,..., λk n. Cada vector propio de A sigue siendo vector propio de A k, y si P diagonaliza a A, entonces P también diagonaliza a A k. D k = (P 1 AP)(P 1 AP) (P 1 AP) = P 1 A k P.

49 El caso particular A 1 es y clausura Observación Si A M n es invertible y tiene valores λ 1, λ 2,..., λ n, entonces los valores de A 1 son 1 λ 1, 1 λ 2,..., 1 λ n.

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