DR Geo. Características Generales

Transcripción

1 DR Geo Características Generales Software de Geometría Interactiva que permite la creación de figuras geométricas de manipulación interactiva Utilizado en la enseñanza en los niveles de primaria y secundaria. Introducción gradual en la programación. Integra el lenguaje de Programación Scheme para definir scripts dentro de una figura. También es usado para definir la figura funcionalmente interactiva. A través de los scripts es posible calcular productos escalares, superficies o asignar coordenadas puntuales con respecto a la variación de otras. Ha sido diseñado para facilitar la enseñanza empleando medios didácticos, para el uso del sw como sustituto del tablero clásico Soportado para GNU/Linux y MAC OSX Permite la exportación de figuras en Latex, PostScript y png El software proporciona una gran cantidad de ejemplos que permiten determinar cómo calcular la distancia entre dos puntos, la longitud de un segmento, la amplitud de un ángulo Posibilita la implementación de programas relativamente simples, y como forma de refuerzo para el uso de las fórmulas, por ejemplo para el cálculo de áreas. Ejemplo: se pretende calcular el área de un triángulo, donde se define la base y la altura del mismo, a partir de la figura es posible determinar que el área permanece constante idependiente del movimiento del punto C. Programa en Scheme (define b (getlength a1)) (define h (getlength a2)) (* 0.5 ( * b h )) Herramientas Numéricas Distancias, Longitudes y Números Crea un valor numérico. El valor numérico puede ser computado o editado por el usuario dependiendo de lo que seleccione: 1. dos puntos: la distancia entre dos puntos 2. un segmento: la longitud de este segmento 3. un vector; la magnitud de ese vector (también llamada norma del vector) 4. un círculo: el perímetro del círculo 5. un arco de círculo; la longitud del arco 6. una línea recta: la pendiente de la recta

2 7. una línea recta y un punto: la distancia entre la línea y el punto 8. un click directamente sobre el fondo de la figura permite al usuario entrar un valor nuevo Esta última posibilidad es muy interesante en ciertas situaciones. Por ejemplo, ella permite fijar una longitud, el radio de un círculo, la medida de un ángulo (en radianes) o las coordenadas de un punto. Estos valores numéricos pueden ser enseguida utilizados por las herramientas de construcción de círculos, de rotación de objetos o para la creación de puntos dadas sus coordenadas. Coordenadas Al seleccionar un punto o un vector, nos da como resultado las coordenadas del punto o nos da las coordenadas del vector (coordenadas del punto final menos coordenadas del punto inicial). Esta herramienta crea tanto a la abscisa como a la ordenada. Angulos Calcula la magnitud de un ángulo definido por tres puntos o dos vectores. En el primer caso, el ángulo se considera no orientado (i.e. un ángulo geométrico con valores en el intervalo [0 ; 180 ]. En el segundo caso, el ángulo se considera orientado y toma valores en el rango [-180 ; 180]. Herramientas de Puntos Punto Libre-->Crear un punto libre en el área o un punto libre en un objeto unidimensional(segmento, semirrecta,recta, arco de círculo, círculo, lugar geométrico). Punto Medio-->Crear el punto medio de un par de puntos o la mitad de un segmento. Intersección--> Crear el(los) punto(s) de intersección de dos líneas (objetos unidimensionales, i.e. recta, semirrecta, segmento, arco de círculo, círculo o lugar geométrico). El usuario necesita seleccionar dos líneas (v.g. arco de círculo y semirrecta). Punto definido por sus coordenadas-->crear un punto definido por sus coordenadas. El usuario necesita seleccionar dos números, el primer número seleccionado es la abscisa, el segundo la ordenada. Herramientas de Líneas-->construcción de rectas, semirrectas, segmento, vector, círculo, arco de círculo, lugar geométrico, polígono Herramientas de Transformación--> Linea Paralela --> Crea una línea paralela a una dirección y que pase a través de un punto. El usuario selecciona un punto y una dirección Linea Perpendicular --> Crea una línea perpendicular a una dirección y que pasa a través de un punto. El usuario selecciona un punto y una dirección Simetría Axial --> Crea la imagen de un objeto a través de una simetría axial (reflexión en una recta). El usuario selecciona el objeto a transformar y el eje de simetría (que debe ser una recta). Cuando el usuario quiere construir la imagen de una línea recta, la primera línea recta seleccionada por el usuario será la recta a reflejar. Simetría Central --> Crea la imagen de un objeto a través de una simetría central. El usuario selecciona los objetos que serán transformados y el centro de simetría (un punto). Cuando el usuario quiere construir la imagen de un punto, el primer punto seleccionado es el punto a transformar.(la simetría central es equivalente a una rotación de 180 grados). Traslación --> Crear la imagen de un objeto a través de una traslación. El usuario selecciona el objeto que será transformado y el vector de traslación. Cuando el usuario quiere construir la imagen de un vector, el primer vector seleccionado es el vector que será trasladado. Rotación --> Crea la imagen de un objeto a través de una rotación. El usuario selecciona el punto que será rotado, el centro y el ángulo de la rotación (radianes o grados). Cuando el usuario quiere crear la imagen de un punto, el primer punto seleccionado es el punto a transformar. Escala (Homotecia) --> Crea la imagen de un objeto a través de una transformación de escala (es decir, homotecia). El usuario selecciona el objeto a transformar, el centro de homotecia, y el factor (i.e. un número). Cuando el usuario quiera crear la imagen de un punto, el primer punto seleccionado es el punto a transformar. (Por ejemplo, si se desea hacer un polígono un tercio de grande, se selecciona un punto -centro de homotecia-, el polígono, y el valor ) Herramientas para Macros de Construcciones Aplicaciones

3 Resolución de problemas clásicos con soluciones basadas en el Teorema de Pitágoras. Ejemplo: calcular el perímetro del polígono que se encuentra en la gráfica (no se conoce la longitud de los segmentos HB y CB). Cálculo de BH (define AB (getlength a1)) (define CD (getlength a2)) (- AB CD) Aplicación del Teorema de Pitágoras sobre el triángulo CHB (define CH (getlength a1)) (define BH (getvalue a2)) (+ (* CH CH) (* BH BH)) (define q (getvalue a1)) ( sqrt q ) Cálculo del Perímetro (define AB (getlength a1)) (define CB (getvalue a2)) (define DC (getlength a3)) (define AD (getlength a4)) (+ (+ AB CB )(+ DC AD )) Los scripts Scheme permiten no sólo resolver ejercicios, sino también comprender mejor el enunciado de los teoremas (y las hipótesis de los mismos) así como corroborar o descartar conjeturas. El teorema de Ptolomeo enuncia lo siguiente: Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales.

4 Al crear un script en Scheme se logra corroborar el teorema, sin embargo, a partir de la manipulación interactiva del cuadrilátero es posible determinar que la igualdad sólo se cumple para cuadriláteros convexos (Cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º ), lo que conlleva a que el teorema se complemente de la siguiente manera: Dado un cuadrilátero CONVEXO inscrito en una circunferencia, la suma del producto de lados opuestos es igual al producto de las diagonales En la figura podemos observar un cuadrilátero no convexo para el cual no se cumple la igualdad. Por otra parte, podría probarse si el teorema de Ptolomeo podría aplicarse a cuadriláteros convexos no inscritos en una circunferencia. Observemos la figura:

5 A partir de los datos arrojados es posible inferir que: La conclusión del teorema de Ptolomeo no es válida para un cuadrilátero convexo no inscrito en un círculo Números Irracionales: construcción clásica, relacionada con los números irracionales, conocida bajo el nombre de "Espiral de Teodoro" permite construir geométricamente la raíz cuadrada de números enteros a partir de un triángulo isósceles. Se basa en la construcción del triángulo OAB donde AO=1 y AB=1. La hipotenusa del triángulo por el teorema de Pitágoras es la raíz cuadrada de 2. Ahora sobre B se construye un triángulo rectángulo con lados OB y OC, donde BC=1, el valor de la hipotenusa de este nuevo triángulo es la raíz cuadrada de 3. Repitiendo el proceso, se obtienen las raíces cuadradas de cada uno de los números naturales. Código en Scheme (define (triangle p1 p2 p3 n) (let* ((s1 (Segment "" extremities p1 p2)) (s2 (Segment "" extremities p2 p3)) (s3 (Segment "" extremities p3 p1)) (pe (Line "" orthogonal p3 s3)) (ci (Circle "" center-segment p3 s2)) (p4 (Point "" intersection2 pe ci))) (send pe masked) (send ci masked) (send p4 masked)

6 (if (> n 0) (triangle p1 p3 p4 (- n 1))))) (lets Point "O" free 0 0) (lets Point "A" free -1 0) (lets Point "B" free -1 1) (triangle O A B 15) Cálculo aproximado de PI --> Se han empleado diversos métodos para el cálculo de PI. Con DrGeo es posible atacar el problema con una aproximación al método empleado por Arquímedes llamado el Método de la Exhaución el cual consiste en construir un hexágono regular inscrito en una circunferencia; para calcular pi se divide el perímetro del hexágono (calculado con anterioridad) entre el diámetro del círculo. Duplicando en cada paso el número de lados del polígono regular inscrito se obtienen mejores aproximaciones de pi. Bibliografía Yenny Alexandra Méndez ymendal@unicauca.edu.co July Jiménez Orjuela jejimenez@unicauca.edu.co