Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

Transcripción

1 CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que represet prolems de igeierí. El prolem de determir los eigevlores de u mtriz se preset e prolems de equilirio diámico (vircioes, elsticidd, sistems osciltorios). U sistem liel homogéeo tiee l form geerl: [] {X} () E el sistem de ecucioes mostrdo e () e form mtricil, se puede oteer solucioes o triviles (dode el vector X es distito de cero). Geerlmete ests solucioes o so úics, y que ls ecucioes simultáes e () estlece relcioes etre ls, ls cules puede crer vectores {X} co distitos vlores, cd vector puede stisfcer l sistem (), esto es, puede eistir más de u vector solució. El sistem mtricil e (), se puede represetr e l form geerl de u sistem de ecucioes: ( ) ( ) L L L ( ) () E (), es u vlor descoocido llmdo vlor propio (eigevlor).u solució {X} pr el sistem (), se cooce como vector propio (eigevector). El sistem de ecucioes e () se puede epresr como: [ [ ] [ I ] ]{ X } () Pr resolver () se requiere coocer, y pr que eist u solució o trivil, el determite de l mtriz [] [ [ ] [ I ] ] dee ser igul cero. El desrrollo del determite iguládolo cero, d como resultdo u poliomio (coocido como ecució crcterístic) de grdo (tmño de l mtriz) y ls ríces de este poliomio so ls solucioes de los eigevlores, pudiedo ser estos co vlor repetido. Est ecució crcterístic es de l form: L (4) l sustituir uo de los eigevlores e l mtriz [], se otiee u sistem liel de ecucioes homogées co solució diferete de l trivil. Pr resolver el sistem se d u de ls icógits de {X} u vlor ritrrio, por ejemplo, co esto se otiee mcruz@uzo.uem.m

2 CIICp los vlores de ls otrs icógits e térmios de l resolver el sistem resultte. Co l solució del sistem se otedrá el eigevector correspodiete l eigevlor utilizdo. étodo de Leverrier-Fddeev pr l oteció de l ecució crcterístic. Este método hce uso de l trz de u mtriz (tr[]), est es l sum de los elemetos de l digol pricipl. El método se epres por el siguiete cojuto de ecucioes cocurretes: tr, e dode, tr, e dode I,, 4,, () Dode,,,,, so ls costtes,, -,, de l ecució crcterístic (4),. Ejemplo. Resolver el sistem mtricil [] {X} utilizdo eigevlores: ) Oteer los coeficietes de l ecució crcterístic de l mtriz [], usdo el método de Leverrier-Fddeev. ) Oteer los eigevlores (ríces) de l ecució crcterístic. c) Oteer los {X} eigevectores resulttes del sistem mtricil. [ ] [ ] ) ( tr I mcruz@uzo.uem.m

3 CIICp 8 4 I 7 8 7) ( tr I ) ( tr L ecució crcterístic es: 8 Utilizdo el método de isecció pr oteer ls ríces de l ecució crcterístic se tiee:..4.4 mcruz@uzo.uem.m

4 CIICp El sistem mtricil es de l form [ ] [ ] [ ]{ } X I : () Sustituyedo el eigevlor e el sistem mtricil (): (7) Resolviedo (7) por Guss-Jord se tiee:..84. Que es equivlete l sistem:.84. Si se hce, se otiee que pr el eigevlor 4., el eigevector es:..8. Sustituyedo el eigevlor e el sistem mtricil (): (8) Resolviedo (8) por Guss-Jord se tiee: mcruz@uzo.uem.m

5 CIICp Que es equivlete l sistem: Si se hce, se otiee que pr el eigevlor. 4, el eigevector es: Ejercicio : Oteer el último eigevector pr el eigevlor.. mcruz@uzo.uem.m