Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b

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1 La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente a 0 corresponde a la ordenada al origen b de la notación que usamos el semestre pasado y a 1 corresponde a la pendiente m. Ya estudiamos también el concepto de pendiente de la recta y vimos su interpretación geométrica. m = y 2 y 1 = y Incremento en y = x 2 x 1 x Incremento en x La pendiente m de la recta nos dice cuánto debemos subir (en la dirección del eje y) por cada unidad que avancemos hacia la derecha (en la dirección del eje x). En otras palabras, la pendiente es una razón de cambio. David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta $ pesos. Escribe una función que le ayude a calcular el importe y al comprar x litros de pintura. Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función polinomial de grado uno. Ejemplo 1 Sabemos que cada litro le cuesta $ pesos. Si compra x litros, el importe y será de 125 x pesos. La función es, entonces: y = 125 x En esta función a 0 = 0, y a 1 = 125, el precio de cada litro de pintura. Y esa es la interpretación de la pendiente: ésta nos indica el precio de cada litro de pintura. Un litro de pintura cuesta $ pesos. Observa cómo es que la pendiente nos indica que si queremos comprar un litro más de pintura debemos pagar $ pesos más. Y de hecho, por cada litro de pintura, pagamos esa cantidad. La pendiente nos dice a qué razón crece el importe de la pintura comprada por David, por cada litro más que compre. Gabriel viaja en su coche de Chetumal a Cancún a una velocidad promedio de 85 km/h. Escribe la distancia y medida en kilómetros como una función del tiempo x medido en horas. Ejemplo 2 El problema dice que Gabriel viaja a una velocidad constante de 85 km/h. Esto significa que en una hora avanza 85 km. En dos horas avanza el doble y así sucesivamente. 1/8

2 Entonces, la distancia y que recorre en x horas es: y = 85 x En este caso, la pendiente nos indica cuántos kilómetros de distancia recorre en una hora de tiempo. Es decir, la pendiente nos indica la velocidad. En la sección?? tuvimos oportunidad de deducir que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales. Ahora vamos a deducir el contradominio de la función lineal, es decir, de la función polinomial de grado 1. Utilizando el concepto de cerradura, y sabiendo que los números reales son cerrados bajo la suma y bajo la multiplicación, es evidente que, independientemente del valor x que le demos a la función, ésta siempre podrá devolvernos un número para asignarlo a y. Si suponemos que el coeficiente principal, que en este caso coincide con la pendiente de la recta, es positivo, cuando los valores de x sean negativos y suficientemente grandes, tendremos valores de y negativos también. Por otra parte, cuando los valores de x sean positivos y suficientemente grandes, vamos a tener valores de y positivos. Usando este mismo argumento podemos mostrar que si a 1 < 0, los valores de y van desde hasta. Es decir, el contradominio de la función lineal y = a 1 x + a 0 con a 1 = 0, es el conjunto de los números reales. El caso particular cuando a 1 = 0 convierte la función en la función constante que estudiamos en la sección anterior: y = a 0. Como ya dijimos, en este caso el contradominio consta de un solo punto: a 0. También es claro que la función polinomial de grado uno no incluye a la recta vertical. En primer lugar, debes recordar que una recta vertical no es una función, pues asigna a un solo valor de x una infinidad de valores de y. Y en segundo lugar, la pendiente en ese caso no estaría definida para la función 1. De los ejemplos que hemos estudiado en lo que llevamos de esta sección podrás ver que podemos calcular el valor y en cada caso usando una regla de tres directa. Esto es así porque cada uno de los ejemplos resueltos involucra a dos cantidades que presentan variación directa. Para resolver el problema del viaje de Gabriel en forma de regla de tres, escribimos en una columna el número de horas que ha viajado y en otra la distancia en kilómetros que ha recorrido en ese tiempo: Tiempo (hr) Distancia (km) Datos conocidos: 1 85 Para calcular: x y 1 Recuerda la definición de pendiente para convencerte de que esto es verdad. 2/8

3 Entonces, Y para el problema de David, tenemos: y = (85) (x) 1 = 85 x Pintura (L) Importe ($) Datos conocidos: Para calcular: x y Entonces, y = (125) (x) 1 = 125 x Esto ya lo sabías, pero lo que tal vez no habías observado es que podemos relacionar a la función polinomial de grado uno con la variación directa, pero esto ocurre solamente en el caso en el que a 0 = 0. Porque si a 0 = 0 no se cumplirá en la regla de tres que cuando una cantidad sea cero, la otra sea cero también. Cuando a 0 = 0 lo que podemos hacer es «forzar» a que pase por el origen, definiendo a 0 = 0, y realizar el cálculo. Después, sumamos de nuevo el valor que restamos a la función. Así podemos crear nuevos modelos lineales. Ahora vamos a recordar cómo graficar funciones lineales. Para eso es una buena idea recordar lo que estudiamos en la sección?? y en el semestre pasado al estudiar la ecuación de la recta. Cuando escribimos la función polinomial de la forma: Profesor: Usted puede relacionar la función lineal y = a 1 x + a 0 con las sucesiones aritméticas. y = a 0 + a 1 x a 0 es la ordenada al origen, es decir, el punto donde la gráfica de la función corta aleje y, a 1 es la pendiente de la recta. La función, entonces, debe cortar al eje y en el punto (0, a 0 ), que es la ordenada al origen, y por cada uno que avancemos en el sentido del eje x debemos subir a 1 en el sentido del eje y, si a 1 > 0 o bajar cuando este coeficiente sea negativo. Grafica la función polinomial de primer grado: y = 2 x 1 Ejemplo 3 Para graficarla, empezamos con la gráfica de la función y = x En el siguiente paso dilatamos, multiplicando por dos. Finalmente hacemos una traslación vertical. 3/8

4 4 3 y y = 2 x x 2 y = x 3 y = 2 x Observa que en este caso, a 0 = 1. Por eso la gráfica corta al eje y en el punto (0, 1). Esta gráfica también satisface que por cada uno que nos movemos en el sentido positivo del eje x avanzamos a 1 = 2 en el sentido del eje y. Grafica la función polinomial de primer grado: Ejemplo 4 y = 1 2 x + 2 Ahora vamos a aplicar el método que aprendimos el semestre pasado. Primero vemos que la ordenada al origen de esta recta es el punto (0, 2). También la pendiente nos está diciendo que por cada dos unidades que avanzamos en el sentido positivo del eje x debemos subir una unidad en el sentido positivo del eje y: 4/8

5 y y = x y = 1 2 x + 2 y = 1 2 x x 2 3 En los anteriores casos los dominios estaban formados por variables que podían tomar valores contínuos. Pero no siempre será así. Ahora graficaremos un caso aplicado. Aquí, el dominio estará formado por números racionales, dado que los precios se consideran ordinariamente en múltiplos de centavos, que equivalen a un centésimo de un peso. Doña Carmen compra y vende libros usados. Siempre los compra a un precio razonable para la persona que se los vende y los vende aumentando un 15% del precio al que lo compró. Grafica la función que considera a x como el precio del libro cuando lo compra Doña Carmen y a y como el precio de venta del mismo libro. Ejemplo 5 En este caso, si el precio del libro era de $1.00 peso, ella lo vende a $1.15 pesos. Es decir, por cada peso que invierte al comprar un libro ella recibe $1.15 pesos al venderlo. En otras palabras, la pendiente de la recta es ese número: m = a 1 = Obviamente, si invierte cero pesos obtiene cero pesos. Así que la gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas. 5/8

6 y y = 1.15 x x Observa que cuando el libro le cuesta $ pesos ella lo vende a $ pesos. Puedes ver que el dominio de esta función está formado por todos los múltiplos de un centésimo mayores a cero. Sin embargo, se ha graficado como si se tratara de una función contínua. Esto se hace así para facilitar su estudio. Cuando realicemos un cálculo, es muy sencillo redondear el resultado al centésimo más cercano y así conocer el valor que tomará la función. Ejemplo 6 Una fotocopiadora imprime 2 hojas por segundo. Si y representa el número de hojas impresas y t es el número de segundos, calcula la función y = f (t). En primer lugar, observamos que esta función tiene por dominio al conjunto de los números enteros no negativos. Esto, porque no podemos poner a trabajar la fotocopiadora un número negativo de segundos. El contradominio de esta función también es el conjunto de los números enteros no negativos, porque no se pueden imprimir, por ejemplo, hojas. La función debe indicar cómo depende el número de hojas impresas del tiempo. Esto es muy sencillo: como se imprimen dos hojas por segundo, multiplicamos el número de segundos por 2: y = 2 t 6/8

7 Aunque la función que encontramos en este último ejemplo, estrictamente hablando es una función escalonada (es decir, definida por intervalos), es mejor tratarla como si fuera contínua. Si la vamos a graficar, tardamos menos y si la vamos a estudiar, sabemos que debemos truncar el resultado. En este caso no es conveniente redondear porque si obtenemos que en segundos la fotocopiadora puede imprimir 20.5 hojas, no tiene caso decir que se imprimieron 21, puesto que hay 20 impresas, la última está en proceso dentro de la fotocopiadora. Tú debes reconocer estos detalles. En matemáticas generalmente se hacen este tipo de simplificaciones para hacer el análisis de sistemas y el analista debe saber qué es lo que la ecuación o función dice y qué otras cosas no puede notar. Un inversionista sabe que si alquila cuartos para estudiantes universitarios a $ pesos la mensualidad, puede rentar 25 cuartos, pero si la mensualidad es de $1 000 pesos, puede rentar 30 cuartos. Encuentra la funcición de grado uno (una recta) que modela esta situación. Ejemplo 7 Podemos considerar a y como el precio mensual del alquiler del cuarto y a la variable x como el número de cuartos alquilados a ese precio. Entonces, tenemos dos puntos por donde pasa la recta: A(25, 1 200) y B(30, 1 000). Primero encontramos la pendiente de esta recta: m = y 2 y = = 200 x 2 x = 40 Ahora podemos calcular la ecuación de la recta usando la forma punto - pendiente: y y 1 = m (x x 1 ) y = 40 (x 30) y = 40 x = 40 x Entonces, la ecuación que modela esta situación es: Este ejemplo se y = 40 x donde x es el precio mensual de alquiler del cuarto y y es el número de cuartos que puede alquilar a ese precio. En palabras, esta función nos dice que si cobra la renta mensual a $2 200 pesos, podrá alquilar cero cuartos. Si aumenta el precio de alquiler en $40.00 pesos, deja de alquilar un cuarto. Si resolvemos 40 x = 0, obtenemos x = 55. Es decir, si logra rentar 55 cuartos, tendría que alquilarlos a $0.00 pesos. utilizará en la siguiente sección. Observa que si damos un valor a x obtenemos un valor para y diferente. Esto nos sugiere que si desea cambiar el número de cuartos que logre alquilar debe cambiar la renta mensual. 7/8

8 Igualmente, podemos despejar x para saber cuántos cuartos va a poder alquilar dependiendo del precio de la renta mensual: x = y 40 Al escribir la función de esta forma vemos que si y = 2 200, se sigue que x = 0. Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: 8/8

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