Algunos Conceptos simples en

Transcripción

1 Caítulo 1 Algunos Concetos simles en Geometría. El roósito de este caítulo es revisar algunos concetos básicos de Geometría Diferencial que subyacen todos los desarrollos osteriores en el camo de la Relatividad General y la Cosmología relativista (entre muchos otros camos de la Física). Asimismo, introduciremos la notación básica que emlearemos luego a lo largo de estas notas Vectores y Esacio Tangente. Para fijar ideas e introducir algunos de los concetos que utilizaremos reetidamente, consideremos un ejemlo muy simle esacio vectorial; a saber R 2.ElesacioR 2 se uede definir/concebir de dos formas: bien como el conjunto de todos los ares ordenados de números reales (que llamaremos R 2 ), o bien como flechas tangentes al lano con un origen común en un unto de éste (que llamaremos T R 2 o esacio tangente al lano en el unto ): (a) R 2 = { u =(u 1,u 2 ), u 1,u 2 R}, con la suma y el roducto or un escalar definidos como es habitual; i.e.: u =(u 1,u 2 ), v =(v 1,v 2 ) entonces u + v (u 1 + v 1,u 2 + v 2 ) ara la suma, y a R, u =(u 1,u 2 ) entonces a u (au 1,au 2 ) ara el roducto or un escalar. Notemos que los vectores de R 2 son ares ordenados de números reales. (b) T R 2 = {flechas en el lano con origen en el mismo unto }, con la suma definida mediante la regla del aralelogramo (i.e.: dadas dos flechas u, v conorigenenelmismounto,susuma u + v es la flecha que tiene or origen el mismo que u y v y or extremo el unto ouesto al origen según la diagonal del aralelogramo que tiene or lados las flechas u y v 1 ; y el roducto or un escalar mediante una regla que odría exresarse como: dada una flecha u y un escalar a, la flecha a u es la que tiene or origen y direcciónlosmismosque u, longitud a veces la de u y sentido el mismo que u si a>0ocontrariosia<0. Este esacio se llama esacio tangente al lano en el unto y se reresenta como T R 2. Notemos que los vectores de este esacio son flechas que tienen un mismo origen. 1 Una imagen vale más que mil alabras, o no? 3

2 4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS u=(u 1, u 2 ) u 2 u u 1 Figura 1.1: Equivalencia entre u R 2 y u T R 2. La equivalencia entre ambos esacios está tan rofundamente enraizada en nuestra manera de ensar que la asumimos como obvia, aunque debería resultar claro que los vectores son objetos diferentes en uno y otro caso: ares ordenados de números reales y flechas en el lano con origen común (que ueden ser dibujadas). Asimismo, las oeraciones son también diferentes: suma ordenada y regla del aralelogramo resectivamente, etc. De hecho, los vectores en uno y otro esacio se uede decir que son reresentaciones diferentes (ares ordenados de números reales/flechas en el lano con origen común) de un mismo objeto. Para asar de una reresentación a otra necesitamos una regla de aso, que no es sino lo que en álgebra lineal se llama isomorfismo; estoes:unafunción que asigna a cada ar ordenado de números reales una flecha y sólo una y viceversa (función o alicación biyectiva) y que conserva la suma y el roducto or un escalar (i.e.: dado un ar (w 1,w 2 ) que es suma de dos ares ordenados (w 1,w 2 )=(u 1,u 2 )+(v 1,v 2 ), dicha función asigna una flecha al ar (w 1,w 2 ) que coincide con la flecha suma -mediante la regla del aralelogramo- de las flechas asignadas a los ares (u 1,u 2 )y(v 1,v 2 ), etc.). En este caso, la regla de aso se odría esquematizar mediante el siguiente algoritmo: (1) Tomar ejes sobre el lano: ueden ser erendiculares entre si o cortarse formando un cierto ángulo diferente de π/2. (2) Dado el ar (u 1,u 2 ), reresentar el unto del lano que tiene coordenadas (u 1,u 2 ) con resecto a los ejes dibujados. (3) Dibujar la flecha que tiene or origen el unto de intersección de los ejes tomados en (1), y or extremo el unto del lano dibujado en (2). La flecha así obtenida, que designaremos u reresenta el vector u lo mismo que el ar ordenado (u 1,u 2 ),yasí escribiremos u =(u 1,u 2 ) simlemente. Notemos que cada elección de ejes (cada ángulo de corte entre los ejes que suongamos) genera una función diferente, y así un ar ordenado (u 1,u 2 ) viene reresentado or diferentes flechas según tomemos ejes diferentes, ero en cualquier caso la relación ar ordenado flecha es biyectiva(una vez se han escogido los ejes), y se conservan la suma y el roducto or un escalar.

3 1.2. COORDENADAS Y CURVAS COORDENADAS. 5 v φ v ρ v 2 curvas coordenadas x 1 v 1 curvas coordenadas ρ, φ curvas coordenadas x 2 Figura 1.2: Curvas coordenadas y Vectores tangentes a ellas. Coordenadas olares y coordenadas arbitrarias x a = {x 1,x 2 }. Resulta obvio que lo anterior se uede generalizar a R n y T R n ara n cualquiera y más aún: dada una suerficie n dimensional M contenida en un esacio R N con n<n, siemre odemos definir T M como el conjunto de las flechas n-dimensionales tangentes a la suerficie M y con origen en el unto de ésta. Como ejemlo se uede ensar en la esfera S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =1} R 3 ; tenemos entonces T S 2 = {flechas tangentes a la esfera en el unto } y claramente este esacio es idéntico (isomorfo) a T R 2. En lo sucesivo llamaremos a estas suerficies n- dimensionales variedades n-dimensionales Coordenadas y curvas coordenadas. En esta sección seguiremos utilizando el lano como variedad a la hora de resentar y desarrollar los concetos que siguen, siendo la generalización a variedades n-dimensionales (véase el final de la sección anterior) absolutamente trivial. Consideremos el lano euclideo con coordenadas cartesianas {x, y}, o olares{ρ, φ}, o en general, unas coordenadas cualesquiera x a = {x 1,x 2 },a=1, 2 y dibujemos las curvas coordenadas corresondientes a cada uno de estos sistemas de coordenadas. Así se tiene que ara un unto dado de coordenadas (x 0,y 0 ), o (ρ 0,φ 0 ), o (x 1 0,x 2 0), la curva coordenada x que asa or ese unto está formada or todos los untos tales que y = y 0 (constante) mientras que su coordenada x toma todos los valores osibles; la curva coordenada ρ que asa or está formada or todos los untos tales que su coordenada φ = φ 0 (constante) y ρ varía, etc. En el caso de unas coordenadas cualesquiera {x 1,x 2 }, la curva coordenada x 1 que asa or consiste en los untos tales que x 2 = x 2 0 y x 1 varía, mientras que la curva coordenada x 2 através de ese mismo unto está formada or los untos ara los que x 1 = x 1 0 y x 2 varía (véanse las figuras). Consideremos asimismo los vectores { v ρ, v φ } T R 2 tangentes (con unto de alicación) en el unto

4 6 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS a las curvas coordenadas ρ y φ que se cortan en. Esfácil comrobar que estos vectores constituyen una base de T R 2. Sea ahora una función f : R 2 R cualquiera, si utilizamos, or ejemlo, coordenadas olares tendremos f(ρ, φ) y entonces [ ] f variación de f según ρ con φ = φ 0 en ρ variación de f en la dirección de v ρ [ f ] variación de f según φ con ρ = ρ 0 en φ variación de f en la dirección de v φ yentoncessetieneque a [ ] [ ] f f + b ρ φ variación de f en la dirección de a v ρ + b v φ quenoessinólaexresión de la derivada direccional. De modo similar y ara unas coordenadas cualesquiera {x 1,x 2 } se tendrá también que si { v 1, v 2 } son los vectores tangentes en a las curvas coordenadas x 1 y x 2 resectivamente entonces [ ] f x 1 variación de f según x 1 con x 2 = x 2 0 en variación de f en la dirección de v 1, etc. y or consiguiente [ ] [ ] f f a x 1 + b x 2 variación de f en la dirección de a v 1 + b v 2 De modo que odemos definir oeradores derivada direccional en un unto como [ a x 1 + b ] x 2 Derivada Direccional en la dirección de u = a v 1 + b v 2 Es inmediato e intuitivo ver que los oeradores derivada direccional en un unto se ueden sumar y multilicar or escalares: [ Suma : a x 1 + b ] [ ] x 2 + a x 1 + b x 2 [ Producto : k a x 1 + b ] x 2 [ (a + a ) x 1 +(b + b ) x 2 ] [ ka x 1 + kb x 2 ]

5 1.2. COORDENADAS Y CURVAS COORDENADAS. 7 x 2 u =u 1 v 1 +u 2 v 2 v 2 u =u 1 D 1 +u 2 D 2 Figura 1.3: Equivalencia entre flechas y oeradores derivada direccional. En la figura se tiene D 1 = 1 y D 2 = 2. con estas oeraciones así definidas, el conjunto de todos los oeradores derivada direccional en un unto tiene estructura de esacio vectorial. Todo lo anterior establece una identificación entre flechas tangentes al lano con origen en y oeradores derivada direccional en el mismo sentido y con las mismas roiedades que en el caso de la identificación entre ares ordenados de números reales y flechas tangentes al lano con origen en (véase la sección anterior); esto es: se trata de una biyección que conserva la suma y el roducto or un escalar (isomorfismo) y or lo tanto se uede decir que un ar ordenado de números reales, una flecha conorigenen y tangente al lano y un oerador derivada direccional en son reresentaciones de un mismo objeto. Dada esta identificación, al esacio vectorial de los oeradores derivada direccional en un unto se le llama también Esacio Tangente a R 2 en y se le reresenta como T R 2. N1Notemos que según esta asignación entre vectores flecha y oeradores derivada direccional se tiene v a : vector tangente a la curva coordenada x a en [ ] x a : derivada arcial según x a en Claramente se tiene que, B = es una base de T R 2 llamada Base Coordenada. { [ ] [ ] } x 1, x 2 N2A artir de ahora y ara simlificar la notación emlearemos [ ] x a a

6 8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS y a menudo (y siemre que ello no ueda dar lugar a confusión) rescindiremos de toda referencia al unto sobreentendiéndola. Emlearemos también el llamado Convenio de Sumación de Einstein; así u u 2 2 = u a a ; o de modo general C k B k = C 1 B C m B m, esto es: índices reetidos que aarezcan como sueríndices y como subíndices se consideran sumados sobreentendiéndose tanto el sumatorio como los límites de sumación, siemre y cuando ello no ueda inducir a error o confusión Cambio de Coordenadas y Definición de Vector en Física. Consideremos ahora dos sistemas de coordenadas arbitrarios válidos sobre el lano (o sobre una misma región abierta de éste); x a = {x 1,x 2 } y x a = {x 1,x 2 }, a los nos referiremos como coordenadas x y coordenadas x ; se tiene entonces, alicando la regla de la cadena: ] ] [ x 1 1 = x x2 [ x 1 x 1 2, 2 = x x2 x 2 2 Dado u =(u u 2 2 ) y teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores se tiene ) ) ] ( ) u = [(u 1 x1 x1 x 1 + u2 x (u 1 x2 x2 x 1 + u2 x 2 2 u u 2 2 o equivalentemente [ ] u 1 = u 2 [ x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 ] [ u 1 u 2 ] ; u a = ] [ x a x m u m de modo semejante se tendría [ ] x u a a = esto es, las matrices de transición entre las dos bases son las matrices Jacobianas del cambio de coordenadas. La generalización a una variedad M de dimensión n es inmediata y se tienen en todo momento ecuaciones semejantes a las anteriores, esto es, ara dos sistemas de coordenadas x a = {x 1,,x n } y x a = {x 1,,x n }, se tiene que B = { 1,, n } y B = { 1,, n } son dos bases (coordenadas) de T M (esacio tangente a M en el unto M) y entonces un vector cualquiera u T M se odrá exresar en comonentes según ambas bases como ] [ x u = u a a = u a a a, siendo u a = x m u m (1.1) x c u c Esto lleva directamente a la definición de vector (contravariante) tal y como se utiliza habitualmente en Física:

7 1.2. COORDENADAS Y CURVAS COORDENADAS. 9 Definición 1 Un vector (contravariante) en una variedad n-dimensional M (o simlemente vector n-dimensional) esunconjuntoden números, asociados a un unto M, que escribimos como (u 1,,u n ) en el sistema de coordenadas {x 1,,x n } y (u 1,,u n ) en el sistema de coordenadas {x 1,,x n } de modo que ] [ x a u a = x m u m. N1Notemos que esto roorciona un modo muy simle de encontrar las exresiones de los vectores tangentes a unas determinadas curvas coordenadas en función (como combinación lineal) de los vectores tangentes a otras curvas coordenadas dadas. N2El adjetivo contravariante aquí significa simlemente que lleva los índices arriba (sueríndices), más adelante veremos en qué se distingue de covariante Camos de Vectores. Hasta aquí hemos hablado de vectores definidos en un unto, con lo que todos los desarrollos son los roios del álgebra lineal elemental, en los esacios vectoriales R n, indeendientemente de que ara determinados roósitos interretaramos los vectores como flechas con origen en el unto en cuestión o como oeradores derivada direccional. Para muchas alicaciones ocurre que tenemos un vector en cada unto de la variedad ditribuídos de forma continua, esto es: untos cercanos tienen vectores con valores cercanos de sus resectivas comonentes según las bases coordenadas en esos untos; esta es la idea de camo vectorial (contravariante) de la cual abundan los ejemlos en Física: el camo gravitatorio, donde en cada unto del esacio (variedad) hay un vector definido: la fuerza que exerimentaría una masa unidad situada en ese unto; el camo electrostático definido de modo similar ero con resecto a la carga eléctrica, etc. Más concretamente se tiene: Definición 2 Un camo vectorial (contravariante) X sobre una variedad n-dimensional M es una función continua que asigna a cada unto M un vector de T M; i.e. (definición Física): es un conjunto de n funciones continuas definidas sobre M, que escribimos X a (x) en las coordenadas x ({x 1,,x n })yx a ) en las coordenadas x ({x 1,,x n })demodoque ] [ x X a (x a )= x m X m (x(x )). N1En rigor lo que hemos definido más arriba es un camo vectorial continuo. Un camo vectorial resonde a la definición anterior sin el requisito de continuidad; ocurre sin embargo que los únicos camos que nos interesan son no sólo continuos, sino también infinitamente diferenciables: C (esto es: las funciones X a (x) son funciones C ), a artir de ahora suondremos salvo indicación exresa en sentido contrario que los camos vectoriales que manejamos son C Curvas y Vectores Velocidad. A continuación revisaremos los concetos de curva y vector tangente a ésta, como hemos venido haciendo hasta aquí, veremos estos concetos en el caso del lano euclideo, siendo inmediata su generalización al

8 10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS caso de una variedad n-dimensional. Definición 3 Una curva γ en R 2 es una función diferenciable γ :(a, b) R R 2 tal que ara todo t (a, b), la imagen γ(t) R 2. En unas coordenadas arbitrarias x a = {x 1,x 2 } se tiene γ(t) = (x 1 (t),x 2 (t)) y esta exresión se llama entonces reresentación aramétrica de la curva γ, yse dice también que la curva está arametrizada or t (o que t es el arámetro a lo largo de la curva). Definición 4 El vector tangente a la curva γ(t) en el unto (o vector velocidad de la curva en ) es u T R 2 definido como [ ] [ dγ(t) dx 1 ] (t) u = = 1 + dx2 (t) 2 dt dt dt ara unas coordenadas cualesquiera x 1,x 2. A artir de la interretación geométrica de la derivada se uede ver que el vector así definido es una flecha tangente a la curva y con unto de alicación en el unto. Ejemlo 1: Sea γ :(0, 2π) R 2 definida como C(t) =(x(t),y(t)) = (cos t, sin t). Claramente esta curva consiste en una circunferencia de radio 1. N1 Dada una curva arametrizada or t, siemre odemos rearametrizarla mediante otro arámetro t = h(t) donde h es una función diferenciable en el intervalo (a, b), se obtiene así lo que denomina una rearametrización de la curva, γ(t )yésta asa a estar definida como C :(h(a),h(b)) R 2 si h(a) <h(b) obiencomoc :(h(b),h(a)) R 2 en caso contrario. N2 A menudo, en el caso del lano, las curvas se exresan como y = f(x). El aso de la reresentación aramétrica a ésta es simle: de x = x(t) se deseja t como función de x; i.e.:t = t(x) y se substituye en la exresión de y = y(t) así: y = y(t(x)) y(x). Hay que tener cuidado uesto que, mientras que la reresentación aramétrica de una curva es, or definición, una función; las exresiones del tio y = f(x) ueden resultar un tanto roblemáticas; así en el ejemlo anterior se tiene: x =cost y or tanto t = arc cos x con lo que y = sin arc cos x = ± 1 x 2 que no es una función monovaluada. N3 El aso contrario es muy simle también: dada y = f(x), onemos, or ejemlo, x = t y entonces y = f(t); así se tiene (x(t), y(t)) = (t, f(t)). Cualquier otro tio de asignación x = h(t) (conh una función monovaluada de t con un rango adecuado) conduce entonces a y = f(h(t)) = (f h)(t) = y(t), otra reresentación aramétrica (una rearametrización) de la curva. Así or ejemlo, la arábola y = x 2 uede ser reresentada aramétricamente como: (x(t),y(t)) = (t, t 2 ) o también (x(t),y(t)) = (tan t, tan 2 t); sin embargo asignaciones tales como x(t) =sint sólo serían válidas ara valores de x ( 1, 1). Un tio articularmente imortante de curvas son las curvas coordenadas que asan or un unto dado, así, dado un unto R 2 de coordenadas (x 0,y 0), la curva coordenada-x que asa or, que llamaremos X,es X :(, + ) R 2 t (x(t),y(t)) = (x 0 + t, y 0) esto es: mantenemos la coordenada y constante e igual a y y dejamos variar la coordenada x de modo que ara t = 0 se tiene x(t =0)=x 0. De manera similar se definiría la curva coordenada-y que asa or, Y,i.e.: Y :(, + ) R 2 t (x(t),y(t)) = (x 0,y 0 + t)

9 1.2. COORDENADAS Y CURVAS COORDENADAS. 11 Para coordenadas cualesquiera x 1,x 2 tendremos igualmente que las curvas coordenadas que asan or el unto de coordenadas (x 1 0,x 2 0) serán, en una notación obvia: X 1 :(a, b) R 2 t (x 1 (t),x 2 (t)) = (x t, x 2 0) X 2 :(a,b ) R 2 t (x 1 (t),x 2 (t)) = (x 1 0,x t) donde los intervalos (a, b) y(a,b ) corresonden a los valores que ueden tomar las coordenadas x 1 y x 2 resectivamente (or ejemlo, si x 1,x 2 = ρ, φ; coordenadas olares, entonces a = ρ 0,b= y a = φ 0,b =2π φ 0). Las definiciones anteriores en el caso de una variedad M de dimensión n son simlemente Definición 5 Una curva γ en una variedad n-dimensional M es una función diferenciable γ : (a, b) R M tal que ara todo t (a, b), la imagen γ(t) M. En unas coordenadas arbitrarias x a = {x 1,,x n } se tiene γ(t) =(x 1 (t),,x n (t)) y esta exresión se llama entonces reresentación aramétrica de la curva γ. El vector tangente a la curva γ(t) en el unto (o vector velocidad de la curva en ) es u T M definido como [ ] dγ(t) u = dt [ dx 1 ] (t) = dxn (t) n dt dt Si en lugar de considerar el vector tangente a la curva (vector velocidad de la curva) en un unto de ésta consideramos el conjunto de todos los vectores tangentes a γ en todos sus untos, tenemos el camo de velocidades de la curva γ; esto es: un camo de vectores, definido esta vez no sobre toda la variedad sino tan sólo sobre la curva en cuestión y tal que al articularizar a un unto concreto de la curva se obtiene el vector tangente a la curva en ese unto; en general lo escribiremos: u(x(t)) = dxa (t) a dt

10 12 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS 1.3. Variedades: una aroximación informal. Las Variedades Diferenciables, o simlemente en nuestro caso Variedades, son el objeto de estudio de la rama de las matemáticas llamada Geometría Diferencial. En la sección siguiente daremos la definición recisa de variedad; mientras tanto, en esta sección describiremos el conceto de variedad de forma intuitiva. Existen básicamente dos aroximaciones a la idea de variedad; or un lado, una variedad no es sino la generalización de la idea de suerficie (bidimensional) en el esacio euclideo R 3, a una dimensión cualquiera; de hecho se uede demostrar 2 que cualquier variedad (analítica) de dimensión n se uede considerar como una suerficie en un esacio euclideo R N con n N n(n +1)/2, el esacio R N se llama a veces esacio ambiente de la variedad en cuestión. Por otra arte, una variedad n-dimensional se uede ver como un conjunto de untos que localmente (i.e.: en entornos equeños alrededor de cada unto) se arece al conjunto de untos R n (esacio euclideo n-dimensional), aunque globalmente uedan ser muy distintos. El rimer unto de vista tiene la ventaja de que en R N odemos definir coordenadas cartesianas globalmente (con todo lo que ello suone) y restringir desuésalavariedadencuestión. Las suerficies en R 3 son desde luego variedades 2-dimensionales; así or ejemlo, utilizando coordenadas cartesianas en R 3 la esfera S 2 (centrada en el origen y de radio 1) se uede definir como S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 =1}; como hemos dicho odemos utilizar las coordenadas cartesianas ara coordenar untos de la esfera; así or ejemlo, un unto del hemisferio norte tendrá coordenadas (x, y, 1 x 2 y 2 ), con lo que tan sólo son recisas dos coordenadas (x e y or ejemlo) ara describir los untos de la esfera, de acuerdo con la idea de suerficie como un conjunto de untos bidimensional, esto es: con dos grados de libertad. Ver la suerficie (la esfera en este caso) como un subconjunto del esacio ambiente R 3 y utilizar coordenadas cartesianas allí tiene ventajas; or ejemlo, los vectores (flechas) de T R 3 tienen comonentes, según la base cartesiana de ese esacio, iguales a la diferencia entre las coordenadas del extremo de la flecha y el origen de ésta (); sin embargo, resulta difícil ver si un determinado vector de T R 3 lo es tambien de T S 2 ara un unto sobre la esfera; esto es: si una flecha con origen en es o no tangente a la esfera. Además, uno tiene que estar refiriéndose todo el tiemo al esacio ambiente. El segundo unto de vista es intrínseco; esto es: considera la variedad or si misma, y no como subconjunto de algún esacio ambiente. En general, no odremos definir coordenadas cartesianas, ero todo lo que digamos estará yadirectamentereferidoalageometría de la roia variedad. El unto clave está enelconcetodelocalmente como R n.así diremos, or ejemlo, que la esfera es una variedad 2-dimensional orque localmente (en un entorno alrededor de cualquier unto): (i) Podemos coordenar todos los untos de ese entorno de manera continua utilizando tan sólo dos coordenadas (or ejemlo: longitud y latitud). (ii) En ese entorno la geometría es arecida a la de R 2 (or ejemlo, ara nosotros, habitantes de la Tierra -considerándola como una esfera erfecta-, ésta nos arece lana, como R 2,enunentornode nuestra osición). Esta segunda condición es lo que significa el adjetivo diferenciable que acomaña al sustantivo variedad, y simlemente significa que la suerficie no uede tener untas o crestas ; e.g.: un cono incluyendo el vértice no sería una variedad diferenciable, ya que en un entorno del vértice, las cosas no son como en R 2 ; or ejemlo: el vector tangente a cualquier curva que asara or ese vértice es dicontinuo en el vértice (esto es: la derivada de la reresentación aramétrica de la curva no existe en ese unto, la curva no es diferenciable en ese unto), y eso no ocurre ara ningún unto de R 2. 2 Véase, or ejemlo: Eisenhart, LP, Riemannian Geometry, Princeton University Press, Princeton (1949), o también Friedman, A, Isometric embedding of Riemann manifolds into euclidean saces, Rev. Mod. Phys. 37, 201, (1965).

11 1.3. VARIEDADES: UNA APROXIMACIÓN INFORMAL. 13 Para nosotros, todas las variedades serán diferenciables salvo que digamos lo contrario. Notemos que en el caso de la esfera además es imosible establecer una corresondencia continua y uno-a-uno entre la totalidad de los untos de la esfera y el lano. Intuitivamente, esto es fácil de ver, ero no es tan fácil de demostrar con las herramientas matemáticas 3 de que disonemos Coordenadas en una suerficie Σ R 3. Veamos a continuación la definición recisa de coordenadas en el caso de una suerficie bidimensional Σ R 3, la generalización de esta definición a n dimensiones conduce directamente a la definición de coordenadas en una variedad M cualquiera de dimensión n. Consideremos un unto Σ cualquiera y un abierto, que llamaremos O, contenido en Σ y que contenga ese unto 4 ; esto es: O Σ. Diremos que ξ = {x 1,x 2 } son coordenadas válidas en la región O si existe un abierto de U R 2 y una función x de O en U : tal que 1. x es biyectiva (i.e.: inyectiva y exhaustiva). 2. x es continua. x : O Σ U R 2 q (x 1 q,x 2 q) 3. x 1 (que existe orque x es biyectiva) es también continua. Parafraseando: {x 1,x 2 } son coordenadas válidas en la región O si a todo unto q O de esa región se le ueden hacer corresonder dos números reales (x 1 q,x 2 q) que llamamos coordenadas del unto q, de manera que(1) biyectividad de x: a untos distintos corresonden valores distintos de sus coordenadas y fijado un unto sus coordenadas (x 1,x 2 ) son únicas. Además, (2) continuidad de x: al variar continuamente los untos de O (i.e.: al asar de un unto de O a otro infinitamente cercano), los valores de (x 1,x 2 ) varían continuamente (i.e.: asan de un valor a otro infinitamente cercano), y también: (3) continuidad de x 1 : al variar los valores de x 1,x 2 de manera continua, obtenemos una variación continua de untos de O Σ. Veamos algunos comentarios y recisiones al resecto: N1 Notemos que, dado que x es biyectiva y tanto ella como su inversa son continuas, también hubiéramos odido definirla como una función de U R 2 en O Σ, esto es: x : U R 2 O Σ (x 1 q,x 2 q) q 3 Sin embargo, esto es trivial utilizando concetos toológicos: la esfera es un conjunto comacto de untos mientras que el lano no lo es, y se sabe que la imagen de un conjunto comacto or una función continua debe ser otro conjunto comacto. 4 Recordemos que este conjunto abierto será simlemente la intersección de un conjunto abierto de R 3 que contenga a, con la suerficie Σ en cuestión.

12 14 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS en algunos libros las coordenadas se definen de este modo y en otros del otro. En cualquier caso, el abierto U de R 2 es el conjunto de todos los valores osibles de las coordenadas x. N2 Las funciones x : O U es lo que en Física llamamos sistemas de coordenadas (y normalmente, no nos molestamos demasiado en esecificar el dominio O y recorrido U ); en Matemáticas se llaman normalmente cartas coordenadas. En general (esto es: ara una suerficie cualquiera) no odremos definir una carta coordenada (i.e.: un solo sistema de coordenadas) que abarque toda la suerficie y que verifique todos los requisitos de la definición. Tendremos que artir la suerficie en varias regiones abiertas del tio O considerado, que se solaen unas con otras y que recubran toda la suerfice y definiremos en cada una de ellas coordenadas tal y como hemos visto. En las regiones de solaamiento entre abiertos, coexisten dos sistemas de coordenadas y or tanto odremos hablar de cambio de coordenadas, ya que si tenemos coordenadas x : O U y coordenadas x : O U, dado un unto q O O, tendremos que f x x 1 : U U será una función de R 2 en R 2 (que es a la que llamamos cambio de coordenadas y que es biyectiva, continua y con la inversa continua también); si estas funciones son todas ellas de tio C n entonces se dice que la suerficie Σ es diferenciable C n, y diferenciable C, o analítica si dichas funciones son C o analíticas, resectivamente. Fijémonos que las coordenadas x así definidas, suonen, de hecho, una reresentación aramétrica de Σ, ya que ara un unto q Σ R 3, se tiene en coordenadas cartesianas (x q,y q,z q)yen las coordenadas x 1,x 2 definidas sobre la suerficie (x 1 q,x 2 q), y lo mismo ara todos los untos de la región O, es decir: tenemos las coordenadas cartesianas (x, y, z) roias de R 3, y las coordenadas (x 1,x 2 ) definidas en esa región de Σ, con lo cual se tendrá x = x(x 1,x 2 ), y = y(x 1,x 2 ), z = z(x 1,x 2 ) esto es: una reresentación aramétrica de los untos de Σ, recuerándose así la idea de que una suerficie es un conjunto de untos con dos grados de libertad, en el mismo sentido en que una curva es un conjunto de untos con un grado de libertad (que arametrizamos/coordenamos mediante t). Esto encaja con la reresentación de una suerficie mediante una ligadura: Σ={(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) =0}. Fijémonos que de la exresión anterior odemos desejarüna de las coordenadas en función de las otras dos, or ejemlo: z = h(x, y) y de aquí se tiene directamente una reresentación aramétrica, uesto que basta oner, or ejemlo: x = x, y = y, z = h(x, y); y a artir de aquí rearametrizando: x = F (x 1,x 2 ), y = G((x 1,x 2 ), donde F y G sean tales que det[ (x, y)/ (x 1,x 2 )], se asa a cualquier otra reresentación aramétrica que convenga. Ejemlo 1: La esfera S 2 a = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 } se uede exresar de forma aramétrica conveniente como: x = a sin θ cos φ, y = a sin θ sin φ, z = a cos θ donde θ y φ son los arámetros/coordenadas sobre esta suerficie. Ejemlo 2: El cono C 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 z 2 =0} se uede exresar de forma aramétrica conveniente como: x = ξ 1 cos ξ 2, y = ξ 1 sin ξ 2, z = ξ 1 donde ξ 1 y ξ 2 son los arámetros/coordenadas sobre esta suerficie. La reresentación de la suerficie como ligadura es f(x, y, z) =x 2 + y 2 z 2 =0 y resulta claro que ( xf, yf, zf) 0 ara cualquier unto exceto ara el vértice O (que coincide con el origen) que tiene coordenadas (0, 0, 0). N3 Es interesante notar que, ara oder desejar z = h(x, y) a artir de f(x, y, z) = 0, el teorema de la función imlícita (o de la función inversa), requiere que en algún unto (x,y,z )dela región de interés se tenga: zf(x, y, z) 0, entonces la existencia de la función z = h(x, y)

13 1.3. VARIEDADES: UNA APROXIMACIÓN INFORMAL. 15 está garantizada en un entorno del unto (x,y ). Pudiera ocurrir que zf(x, y, z) = 0 ero que, or ejemlo, xf(x, y, z) 0, en cuyo caso estaría garantizada la existencia de una función x = H(y, z), etc. En resumen, ara que una exresión del tio f(x, y, z) =0 reresente una suerficie en una región alrededor de un unto (i.e.: un conjunto de untos con dos grados de libertad/reresentable mediante 2 arámetros o coordenadas) es necesario que en ese unto ( xf, yf, zf) 0. Si ello no ocurre significa que el unto en cuestión es un unto singular (una unta, etc.), donde la suerficie uede no ser suave. Ver el Ejemlo Variedades: una definición formal. Como ya hemos dicho, una variedad es la generalización a una dimensión cualquiera del conceto de suerficie. A continuación, y or razones de comletitud, daremos la definición formal tal y como viene en la mayor arte de textos. Conviene recordar sin embargo y en todo momento la imagen intuitiva de variedad descrita en la sección anterior, a la que añadimos esta otra: Una variedad está hecha de trozos que son como conjuntos abiertos de R n, cosidos entre si sin formar untas, crestas, etc., esto es: suavemente. Definición 6 Una variedad real, C, n-dimensional M es un conjunto de untos junto con una colección de subconjuntos {O α } = T, que son sus abiertos (i.e.: T es una toología y or tanto (M,T ) es un esacio toológico; en articular esto imlica que cada unto M está contenido en al menos un subconjunto O α yquelos{o α } forman un recubrimiento de M), de modo que: 1. Para cada O α existe una función x α : O α U α, donde U α es un abierto de R n,demodoque la función x α (que tendrá n comonentes: x α () =(x 1 (),,x n ()) U α R n ) es biyectiva y continua y la inversa es también continua Si dos subconjuntos O α,o β se solaan; i.e.: O α O β, consideremos la función f definida como f = x β x 1 α ; i.e.: f x β x 1 α : x α [O α O β ] U α R n x β [O α O β ] U β R n Entonces f y f 1 (que son funciones de R n en R n ) son C. N1Como en el caso de las suerficies, las funciones x α : O α U α se llaman en Física sistemas de coordenadas (y normalmente, no nos molestamos demasiado en esecificar el dominio O α ni el recorrido U α ); mientras que en Matemáticas se llaman cartas coordenadas. Nosotros utilizaremos indistintamente un nombre u otro. N2A fin de evitar que odamos fabricar variedades nuevas introduciendo un nuevo sistema de coordenadas, o introduciendo un abierto O γ O γ y definiendo allí nuevas coordenadas, se requiere en la definición anterior que el recubrimiento {O α } y la familia de cartas (o sistemas de) coordenadas {x α } sea maximal, esto es: que todos los sistemas de coordenadas comatibles con los requisitos (1) y (2) de la definición estén incluídos. Ni que decir tiene que esto no suone ninguna comlicación ara los desarrollos que vienen a continuación y no debe reocuarnos. 5 En matemáticas, una función biyectiva, continua y con la inversa también continua se llama homeomorfismo, ysi además ella y su inversa son C, se llama difeomorfismo.

14 16 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS N3Si los cambios de coordenadas son continuos simlemente (ni siquiera diferenciables) hablamos de variedades toológicas, si son diferenciables tan sólo n veces, de variedades C n. Nosotros suondremossiemrequenuestrasvariedadessonc (suaves: smooth en inglés) y las llamaremos simlemente variedades (en lugar de variedades diferenciables); éste es desde luego el caso de la Física, donde las variedades de interés son, en muchos casos, de dimensiónes bajas: dimensión 2 (suerficies en R 3 incluyendo el lano R 2 ), dimensión 3: el roio esacio R 3 (o alguna región abierta de éste), dimensión 4: diferentes tios de esacio-tiemo (sobre los cuáles está formulada la Teoría de la Relatividad). Hay otros casos de interés en que los untos de la variedad no son necesariamente o directamente identificables como untos en el sentido geométrico (i.e.: elementos de R 3 o de alguna suerficie contenida allí, o incluso untos del esacio-tiemo): or ejemlo dado un sistema holónomo 6 en mecánica clásica, el conjunto de todas las configuraciones osibles, tiene estructura de variedad diferenciable (es el llamado esacio de configuraciones del sistema) siendo sus coordenadas las coordenadas canónicas q =(q 1,,q f )dondef el número de grados de libertad del sistema Tensores Vectores covariantes. Sea M una variedad n-dimensional, M un unto de esta y consideremos un sistema de coordenadas x (con coordenadas x a = {x 1,,x n }) definido en una región abierta alrededor de. Consideremos el esacio tangente a M en, T M y la base coordenada asociada al sistema de coordenadas x, esto es: B = { a,a=1,,n} Consideremos también el conjunto B = {dx a,a=1,,n} y definamos la función (rescindiendo de los subíndices ara mayor claridad) dx a : T M R u = u m m u a Claramente esta función es lineal: dx a ( u + v) =u a + v a = dx a ( u)+dx a ( v) ydx a (k u) =kdx a ( u) ara vectores cualesquiera u, v T M ynúmeros reales k. Además se tiene dx a ( b )=δ a b (1.2) Podemos definir la suma y el roducto or un escalar en B como sigue: 6 Sistema comuesto or artículas sometidas a ligaduras geométricas (restringen las configuraciones -osiciones- osibles del sistema) e ideales (las fuerzas que estas ligaduras ejercen, no realizan trabajo en un deslazamiento virtual comatible con las ligaduras del sistema.

15 1.4. TENSORES. 17 (kdx a + k dx b )( u) kdx a ( u)+k dx b ( u) ara números reales cualesquiera k, k. Definición 7 El conjunto T M {θ = θ a dx a,θ a R} con la suma y el roducto or un escalar definidos anteriormente es un esacio vectorial real llamado esacio dual de T M o esacio cotangente. La base de T M es B = {dx a,a=1,,n} y se denomina base dual de B = { a,a=1,,n}, y sus elementos son funciones lineales θ : T M R llamadas 1-formas, ovectores covariantes, o tensores covariantes de orden 1. Es fácil ver que todas las funciones lineales de T M en R son elementos de T M, esto es: se ueden escribir como combinaciones lineales de diferenciales de las coordenadas en el unto. Si θ = θ a dx a T M y u = u m m entonces θ( u) =θ a u a (1.3) donde hemos rescindido del subíndice (referencia al unto) ara mayor claridad. Por cuestiones de conveniencia se definen también las funciones u : T M R (1.4) θ u(θ) θ( u) y se dice entonces que un vector u T M es un Tensor Contravariante de orden 1. Cambio de Coordenadas y Vector Covariante en Física. Consideremos ahora dos sistemas de coordenadas x y x (con coordenadas x a = {x 1,,x n } y x a = {x 1,,x n } resectivamente) y las bases de T M y T M asociadas a dichos sistemas; esto es: B = { a,a=1,,n}, B = { a,a =1,,n } B = {dx a,a=1,,n}, B = {dx a,a =1,,n } Dada θ T M,setendrá θ = θ a dx a = θ a dx a (donde de nuevo obviamos la referencia a ), y utilizando la regla de la cadena es inmediato ver [ ] x m θ a = θ m (1.5) x a Lo anterior lleva a la definición de vector covariante tal como se usa habitualmente en Física: Definición 8 Un vector covariante (1-forma, tensor covariante de orden 1)θ en una variedad n- dimensional M es un conjunto de n números reales asociados al unto que notamos θ a en las coordenadas x a y θ a en las coordenadas x a de modo que

16 18 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS θ a [ ] x m = θ m x a Como en el caso de los vectores contravariantes, odemos hablar de camos vectoriales covariantes como funciones que asignan a cada unto de la variedad un vector covariante, sus comonentes son or lo tanto funciones de las coordenadas y se tiene [ ] x θ a (x )=θ m (x(x m )) x a Producto tensorial de formas y vectores. Dadas dos formas, ω, θ V se define su Producto Tensorial, reresentado or ω θ como la función: ω θ : V V R ( u 1, u 2 ) ω( u 1 ) θ( u 2 ) esto es: la rimera forma actúa sobre el rimer vector del ar ( u 1, u 2 ) dando como resultado un número real, la segunda forma sobre el segundo vector dando como resultado otro número real y ambos números se multilican; i.e.: ω θ ( u 1, u 2 ) ω( u 1 ) θ( u 2 ) (1.6) Dada al roiedad de linealidad de las formas es inmediato comrobar que ω θ (a u 1 + b v 1, u 2 )=a ω( u 1 ) θ( u 2 )+b ω( v 1 ) θ( u 2 ). ω θ ( u 1,a u 2 + b v 2 )=a ω( u 1 ) θ( u 2 )+b ω( u 1 ) θ( v 2 ). ysediceentoncesqueω θ es una función bilineal,oqueesunafunción lineal en cada argumento Ejemlo 1: Sea V = R 2 y consideremos ω, θ R 2 definidas como ω(u 1,u 2 )=au 1 + bu 2 y θ(u 1,u 2 )= cu 1 + du 2, ara un vector cualquiera u =(u 1,u 2 ), entonces ω θ ( u, v) =ω( u) θ( v) = ( au 1 + bu 2)( cv 1 + dv 2). ara vectores cualesquiera u =(u 1,u 2 )y v =(v 1,v 2 ). Al igual que hemos hecho ara las formas, también odemos definir el roducto tensorial de dos vectores a artir de (1.4); así ues, dados u, v V definimos u v como la función u v : V V R (ω, θ) u(ω) v(θ) ω( u) θ( v) A artir de las definiciones de esacio tangente y esacio cotangente en un unto, es osible definir tensores covariantes, contravariantes y mixtos de cualquier orden, y si trabajamos en unas coordenadas determinadas y consideramos las bases coordenadas de dichos esacios, resulta inmediato encontrar exresiones dichos tensores. A continuación damos las definiciones ertinentes en las casos de tensores de orden 2 y la definición general de un tensor mixto de orden cualquiera.

17 1.4. TENSORES Tensores Covariantes de orden suerior. Definición 9 Un Tensor Covariante de orden 2 es una función T : T M T M R tal que es lineal en cada argumento, esto es: 1. T (a u 1 + b u 2, v) =at( u 1, v)+bt( u 2, v) ara vectores cualesquiera u 1, u 2 y v T M,ynúmeros reales cualesquiera a, b R. 2. T ( u, a v 1 + b v 2 )=at( u, v 1 )+bt( u, v 2 ) ara vectores cualesquiera u, v 1 y v 2 T M,ynúmeros reales cualesquiera a, b R. N1Notemos que en la definición de tensor (covariante de orden 2) está imlícito el que el resultado de alicar T a cualquier ar de vectores es siemre un número real; esto es: siemre está definido, no uede ser infinito, imaginario, etc. N2La definición anterior se extiende trivialmente a la de tensor covariante de orden r del siguiente modo: Un Tensor Covariante de Orden r es una función T : T M T r M R tal que es lineal en cada argumento, esto es: T (,a u + b u, )=at(, u, )+bt(, u, ) ara cualquier osición en que se encuentre a u + b u. Consideremos ahora un sistema de coordenadas x (x a = {x 1,,x n })válido en una región alrededor de M y consideremos los esacios T M y T M con sus bases coordenadas resectivas B = { a,a= 1,,n} y B = {dx a,a=1,,n}; se tiene entonces: Definición 10 Dado un tensor covariante de orden 2, T, se denominan comonentes de T en la base B = { a,a=1,,n} alosn 2 números reales T ab T ( a, b ) (1.7) A artir de la definición y roosición anteriores, y recordando lo exuesto en la sección?? resecto a roductos tensoriales de 1-formas, es inmediato demostrar el teorema siguiente: Teorema 1 Dado un tensor covariante de orden 2 T, se tiene, en la notación establecida (y rescindiendo del subíndice ): T = T ab dx a dx a, siendo T ab T ( a, b ) (1.8) T ( u, v) =T ab u a v b, siendo u = u c c, v = v m m (1.9) Si se tienen dos sistemas de coordenadas x y x en una misma región de M, es inmediato comrobar [ ] [ ] ] ] x r x s [ x [ x a b T a b = T rs, T cd = x a x b x c x d T a b (1.10) Lo cual lleva a la definición de uso habitual en Física, que arafrasea las dadas ara los vectores covariantes y contravariantes:

18 20 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS Definición 11 Un Tensor Covariante de orden 2 sobre M, es un conjunto de n 2 números asociados al unto, que escribimos T ab en las coordenadas {x 1,,x n } y T a b en las coordenadas {x 1,,x n } de modo que [ ] [ ] x r x s T a b = T rs. x a x b De modo semejante a como se hizo en el caso de vectores contravariantes y covariantes, aquí también se uede decir que un Camo Tensorial Covariante de orden 2 es una función que asigna a cada unto de la variedad un tensor covariante de orden 2 de modo continuo. Las comonentes del camo tensorial son funciones de las coordenadas y se tiene [ ][ x r x s T a b (x )= x a x b ] T rs (x(x )) Tensores Contravariantes de orden suerior. Definición 12 Un tensor contravariante de orden 2 es una función T : T M T M R tal que es lineal en cada argumento, esto es: 1. T (aω 1 + bω 2, θ) =at(ω 1, θ) +bt(ω 2, θ) ara 1-formas cualesquiera ω 1, ω 2 y θ T M,y escalares cualesquiera a, b R. 2. T (ω,aθ 1 + bθ 2 )=at(ω, θ 1 )+bt(ω, θ 2 ) ara 1-formas cualesquiera ω, θ 1 y θ 2 T M,y escalares cualesquiera a, b R. Todos los comentarios que hicimos en el caso de tensores covariantes son trasladables directamente al caso de tensores contravariantes, y se uede establecer un teorema análogo al Teorema 1, teniéndose: Teorema 2 En la notación establecida reviamente, se tiene ara todo tensor contravariante de orden 2 T : T = T ab a b, siendo T ab = T ( dx a,dx b) (1.11) T (θ, ω) =T ab θ a ω b, siendo θ = θ c dx c, ω = ω m dx m (1.12) En lo que resecta al cambio de base, siguiendo un rocedimiento análogo en todo al visto anteriormente ara el caso de tensores covariantes, se tiene ] ] T a b [ x [ x a b = x r x s T rs (1.13) donde, siguiendo la notación establecida T a b = T (dx a,dx b ), etc. También en este caso odemos dar la definición de uso habitual en Física y la de camo tensorial contravariante de orden 2:

19 1.4. TENSORES. 21 Definición 13 Un Tensor Contravariante de orden 2 sobre M, es un conjunto de n 2 números asociados al unto, que escribimos T ab en las coordenadas {x 1,,x n } y T a b en las coordenadas {x 1,,x n } de modo que ] ] T a b [ x [ x a b = x r x s T rs. Un Camo Tensorial Contravariante de orden 2 es una función que asigna a cada unto de la variedad un tensor contravariante de orden 2 de manera continua y se tiene entonces ] T a b [ x ][ x (x a b )= x r x s T rs (x(x )) Tensores Mixtos. Definición 14 Un Tensor Mixto (1,1) (o una vez covariante, una vez contravariante) es una función T : T M T M R tal que es lineal en cada argumento, esto es: 1. T (a u 1 + b u 2, θ) =at( u 1, θ)+bt( u 2, θ) ara vectores y 1-formas cualesquiera u 1, u 2 T M y θ T M, y escalares cualesquiera a, b R. 2. T ( u, aθ 1 + bθ 2 )=at( u, θ 1 )+bt( u, θ 2 ) ara un vector cualquiera u T M y 1-formas cualesquiera θ 1, θ 2 T M, y escalares cualesquiera a, b R. De nuevo todos los comentarios hechos en los casos anteriores son trasladables a éste: estructura de esacio vectorial, generalización a tensores mixtos (, q) (o -veces covariantes y q-veces contravariantes; i.e.: funciones T : T M T M T M q T M R lineales en cada argumento, etc. El equivalente a los Teoremas 1 y 2 es en este caso: Teorema 3 En la notación establecida, y ara todo tensor mixto (1,1) T se tiene T = Tb a dx b a, siendo Tb a = T ( b,dx a ) (1.14) T ( u, θ) =Tb a u b θ a, siendo θ = θ c dx c, u = u m m. (1.15) Atendiendo al modo en que cambian las comonentes de un tensor mixto al cambiar de coordenadas, se tiene la definición habitual en Física: Definición 15 Un Tensor Mixto de tio (1,1) sobre M, T, es un conjunto de n 2 números asociados al unto, que escribimos Tb a en las coordenadas {x1,,x n } y Tb a en las coordenadas,,x {x1 n } de modo que [ ] [ ] Tb a = x a x s x r T x b s r.

20 22 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS Un Camo Tensorial Mixto de tio (1,1) sobre M, T, es una función que asigna a cada unto de la variedad un tensor mixto de tio (1,1) de manera continua y se tiene entonces T a b (x )= ] [ [ x a x s x r x b ] T r s (x(x )) Tensores de orden cero o escalares. Dentro del formalismo tensorial, resulta conveniente ara determinados roósitos referirse a los escalares (i.e.: números reales) como tensores de orden cero, yasí lo haremos a veces. Así ues,odemos dar también la definición de uso habitual en Físicacomosigue: Definición 16 Un Tensor de orden 0 sobre M (o escalar) esunnúmero real asociado al unto, que escribimos Φ y cuyo valor no cambia al cambiar de coordenadas. Un Camo Escalar (o Camo tensorial de orden 0) esunafunción continua que asigna un número real a cada unto de la variedad, y or consiguiente su valor numérico no cambia al cambiar de coordenadas Φ(x )=Φ(x(x )). Los ejemlos en el camo de la Física abundan: el valor de la temeratura, el del otencial gravitatorio, el de la resión, etc. Todos ellos son números reales, asociados a un unto del esacio cuyo valor es totalmente indeendiente de las coordenadas que estemos utilizando ara describir ese unto (i.e.: indeendientes de la base del esacio vectorial T R 3 ). Aunque sea evidente, no está de más reflexionar, a la luz de estas definiciones, sobre or qué, or ejemlo, dado un fluído que ocua una región de R 3, la velocidad de una de las artículas que lo comonen es un tensor contravariante de orden 1 (i.e.: un vector), que se uede describir totalmente mediante tres números u =(u 1,u 2,u 3 ) una vez que hemos fijado una base de T R 3 ; y sin embargo el conjunto de tres números reales comuesto or la resión, la densidad y la temeratura del fluído, todos en ese unto: (P, ρ, T ), no es un vector (tensor contravariante de orden 1) Simlificando convenios y notación. Usos y costumbres en Física. En todo lo que sigue, suondremos que tenemos una variedad M de dimensión n sobre la cual (en regiones abiertas de ella) tenemos definidos diferentes sistemas de coordenadas {x 1,,x n } {x a }, {x 1,,x n } {x a }, etc. Las bases de T M y T M ara un unto dado serán bases coordenadas; esto es: B = { e a = a }, B = { e a = a };ysusdualesb = {ω a = dx a }, B = {ω a = dx a }; donde una vez más, hemos hecho exlícita la identificación entre el vector (flecha) tangente a la curva coordenada x a en ( e a ) con la derivada arcial resecto de esa coordenada evaluada en ( a ). Siguiendo el uso habitual en Física, nos referiremos a los tensores a través de sus comonentes en una base fijada, y así en lugar de hablar del tensor covariante de orden 2, T, nos referiremos a él como el tensor covariante T ab (y ya queda imlícito el que sea de orden 2). Asimismo, entenderemos directamente que en las coordenadas {x a } el tensor tiene comonentes T a b tales que ] [ ] x s T a b = [ x r x a x b T rs y a menudo rescindiremos también de toda referencia al unto sobreentendiéndola.

21 1.4. TENSORES. 23 La condición de linealidad en cada argumento; or ejemlo: T (a u 1 + b u 2, v) =at( u 1, v)+bt( u 2, v) (y algo similar ara el segundo argumento), se exresa en comonentes de una forma mecánica, de modo que basta alicar las reglas y roiedades habituales de la suma y el roducto de números reales (en articular, la roiedad distributiva): T ab (au a 1 + bu a 2)v b = at ab u a 1v b + bt ab u a 2v b. A menudo nos referiremos a los sueríndices como índices contravariantes, y a los subíndices como índices covariantes. Fijémonos que cada índice contravariante cambia de coordenadas con la matriz jacobiana y que cada índice covariante lo hace con la jacobiana inversa. Nombre habitual Re. en Matemáticas Re. en Física Cambio coordenadas [ ] x a x u r r Vector contravariante u = u a a u a u a = [ ] Vector covariante θ = θ a dx a x θ a θ a = r θ x a r [ ][ ] Tensor covariante T = T ab dx a dx b T ab T a b = x r x s T x a x b rs [ ][ ] Tensor contravariante T = T ab a b T ab T a b x = a x b x r x T rs [ s ] Tensor mixto T = Tadx b a b Ta b Ta b = x s x b x T r r s x a ][ La Métrica. Definición 17 Una Métrica (o Tensor Métrico) en una variedad M es un camo tensorial covariante, de orden 2 y simétrico, que en unas coordenadas cualesquiera x = {x a } se escribe como g ab (x). Una variedad M donde se tiene definida una métrica g ab (x) se llama Variedad Riemanniana yse nota como (M,g). Así ues, ara un unto cualquiera M consideramos T M y entonces g ab () (tensor métrico en ) se obtiene sin más que substituir las coordenadas del unto en el camo g ab (x)). N1El hecho que g ab (x) seasimétrica significa, recordemos, que g ab (x) =g ba (x) ara cualesquiera índices a,b = 1,,n y en cualquier sistema de coordenadas. Recordemos además que se verifica la roiedad de linealidad en cada argumento; i.e.: g ab (x)(f(x)u a 1(x) +h(x)u a 2(x))v b (x) = f(x) g ab (x)u a 1(x)v b (x)+h(x) g ab (x)u a 2(x)v b (x), ara camos vectoriales cualesquiera u a 1(x),u a 2(x) y v a (x), y funciones arbitrarias f(x) yh(x). N2Dado que la métrica es un tensor de orden 2, se uede (y se acostubra a) reresentar mediante una matriz, como en el ejemlo de R 3. Si el determinante de dicha matriz es cero, entonces la métrica se denomina singular; si es distinto de cero entonces la métrica se denomina no singular. Nosotros trabajaremos exclusivamente con métricas no singulares, en cuyo caso odremos construir la métrica inversa o métrica contravariante, g ab (x), que es un camo tensorial contravariante de orden 2 tal que sus comonentes disuestas en forma de matriz, forman la matriz inversa de la que reresenta g ab (x); esto es: g ab (x)g bc (x) =δ a c, g ab (x)g bc (x) =δ c a. La métrica contravariante es también simétrica or construcción. N3Una métrica se dice que es definida ositiva si, ara todo unto M y todo vector u a T M

22 24 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS se tiene g ab u a u b > 0yg ab u a u b = 0 si y solo si u a =0 7.Siellonoesasí, entonces se dice que la métrica es indefinida; en este caso existen vectores k a tales que g ab k a k b =0ysinembargo k a 0, dichos vectores se llaman vectores nulos o isótroos. Esteeselcasodelateoría de la Relatividad. La métrica se utiliza en rimer lugar ara definir el roducto escalar (o roducto interno) en el esacio tangente a la variedad en cada unto T M, ara cada M; y también ara definir la norma de un vector, asísetiene: Definición 18 Se llama Norma del vector u a (camo vectorial u a (x)), y se reresenta u al escalar (la función): u g ab u a u b ( u g ab (x)u a (x)u b (x)). Ejemlo 1: Sea M = Sa 2 la esfera de radio a, sumétrica en coordenadas esféricas x = {θ, φ} es [ ] a 2 0 g ab (x) = 0 a 2 sin 2 θ La métrica contravariante o inversa es g ab (x) = [ a 2 0 ] 0 a 2 sin 2 θ Ejemlo 2: Sea M = R 4 con coordenadas cartesianas x = {ct,x,y,z}, consideremos la métrica siguiente: η ab (x) = llamada Métrica de Minkowski. Elar(R 4,η) se llama esacio-tiemo de Minkowski y es la variedad en la que está formulada la relatividad esecial. Los untos de esta variedad se llaman sucesos, c es la velocidad de la luz en el vacío y t es el tiemo medido en un sistema de referencia fijado. Es fácil ver que, en un unto cualquiera, elvectork a =(1, 1, 0, 0) (en las coordenadas cartesianas descritas más arriba) es un vector nulo. Asimismo, ara cualquier función de las coordenadas f(x) se tiene que el camo X a =(f(x),f(x), 0, 0) es también un camo nulo. En estas coordenadas, la métrica inversa o contravariante coincide con la covariante, esto es: η ab (x) = Naturalmente, la rimera arte se uede formular también como g ab (x)u a (x)u b (x) > 0 ara todo camo vectorial u a (x), ero la segunda arte no: uede darse que u a () =0enununto M dado, ero u a (x) 0 como camo evctorial.