INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES

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1 C U R S O: FÍSIC Mención MTERIL: FM-01 INTRODUCCIÓN VECTORES Y MGNITUDES La Física tiene por objetivo describir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, a través de relaciones entre magnitudes físicas. La Física hizo sus mayores progresos en el siglo XVI cuando descubrió que era posible analizarla por medio de las matemáticas. La experimentación y el uso de las matemáticas condujeron al enorme éxito de las ciencias. Los experimentos permiten verificar nuestras leyes y las matemáticas nos permiten expresar nuestros resultados sin ambigüedades. Magnitudes Escalares Son magnitudes físicas fáciles de reconocer, ya que para identificarlas sólo necesitamos saber su magnitud, en algunos casos es necesario acompañarlos de la unidad de medida como los que se mencionan a continuación. Ejemplos: rapidez, masa, tiempo, distancia, área, perímetro, densidad, volumen, temperatura, etc. Magnitudes Vectoriales Un vector se identifica por 3 características fundamentales: magnitud (módulo o largo), sentido (indicado por la flecha) y dirección (indicado por la línea recta que pasa sobre el vector). DIRECCIÓN MGNITUD SENTIDO Punto de aplicación u origen fig. 1

2 Una magnitud vectorial se simboliza con una letra y una flecha en su parte superior, Si queremos referirnos a la magnitud del vector se denota por. lgunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momentum lineal, torque, etc. Representación de un vector Sea C un vector tridimensional (tres dimensiones X, Y, Z) Donde: C = (C X, C Y, C Z ) C X es la componente del vector en la dirección de X. C Y es la componente del vector en la dirección de Y. C Z es la componente del vector en la dirección de Z. La otra forma de escribir un vector es en función de vectores unitarios, es decir vectores que tienen magnitud de valor uno, asociados a cada eje. - l eje X asociamos el vector unitario i. Z - l eje Y asociamos el vector unitario j. - l eje Z asociamos el vector unitario k. k j i = j = k = 1 X i fig. 2 Y El vector C queda representado de la siguiente forma: C = C X i + C Y j + C Z k La magnitud de C es: C = (C X) + (C Y) + (C Z) 2

3 Proyección de un vector Proyectar un vector es trazar la perpendicular a los ejes cartesianos. Por ejemplo en dos dimensiones la figura 3 muestra al vector y las dos componentes que se obtienen en esta proyección X y Y donde: Y Y = sen α X = cos α y α x fig. 3 X Álgebra de vectores i. dición (método del triángulo) l sumar dos vectores y B, primero se dibuja y a continuación se dibuja B, procurando mantener las proporciones, luego el origen de se une con el final de B (punta de la flecha). B + B B ii. Multiplicación de un vector por un escalar l multiplicar un vector por un escalar, el resultado es un vector, este vector tiene la misma dirección del original, si el escalar es distinto de 1, su módulo varía. Su sentido depende del signo del escalar, si éste es positivo su sentido es el mismo del original y si el escalar es negativo, el sentido es contrario al del original. En los siguientes ejemplos, los vectores a, b y c, son los vectores originales los cuales son multiplicados por 3 y -1/2, respectivamente: 3a a b b 3

4 iii. Sustracción Se procede como en la suma, es decir, para obtener B, se procede a efectuar la operación + (-B) obteniéndose así una suma de dos vectores. B + (-B) -B iv. Producto Punto (escalar) El resultado del producto punto es un escalar. Propiedades: - el producto punto es conmutativo B = B. - el producto punto entre dos vectores perpendiculares es cero. v. Producto Cruz (vectorial) El resultado del producto cruz es un vector perpendicular al vector y B. Propiedades: - el producto cruz no es conmutativo. - el producto cruz entre dos vectores paralelos es cero. Nota 1: Un caso especial es la multiplicación de un vector por -1. Esta operación corresponde a encontrar el vector opuesto o negativo de un vector. sí, encontrar el opuesto de un vector equivale a hallar otro, que posea igual magnitud y dirección, pero con sentido opuesto. Matemáticamente el opuesto de es -. - Nota 2: Dos vectores paralelos de sentido opuesto se llaman antiparalelos. 4

5 Sistema Internacional (SI) En 1960, un comité internacional estableció un conjunto de patrones para estas magnitudes fundamentales. El sistema que se aceptó es una adaptación del sistema métrico, y recibe el nombre de Sistema Internacional (SI) de unidades. Magnitudes Fundamentales Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica ampere Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol Mol Intensidad luminosa candela Cd También existen Magnitudes Derivadas que se obtienen a partir de las fundamentales por medio de ecuaciones matemáticas. Como por ejemplo, el área que es derivada de longitud. Nota: en cualquier fenómeno físico que se analiza, se deben tener en cuenta las unidades de medidas con las cuales se trabaja, ya que deben ser compatibles, de lo contrario se procede a la conversión de unidades. nálisis Dimensional El principio de Fourier o principio de homogeneidad establece que toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una suma o diferencia son de iguales dimensiones. Es decir para que una fórmula física sea correcta todos los términos de la ecuación deben ser iguales dimensionalmente. En el S.I. la unidad de medida de la longitud es m, pero su dimensión es L, la unidad de medida de masa es kg y su dimensión es M, y la unidad de medida del tiempo es s y su dimensión es T. Ejemplo: l analizar la ecuación para determinar la altura, se observa que todos los términos tienen dimensiones de longitud 1 2 h = v t + a t 0 2 m (m/s) s (m/s 2 ) s 2 5

6 Transformación de Unidades En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo si tenemos una rapidez que esta expresada en km/h y la queremos expresar en m/s debemos dividir por 3,6 y así quedará la rapidez en m/s esto se debe a lo siguiente: 1 km = 1000 m; para pasar de kilómetro a metro debemos multiplicar por h = 3600 s; para pasar de hora a segundo debemos multiplicar por De lo anterior si tenemos v = 72 km/h para llevarlo a m/s debemos hacer lo siguiente: 72km 1000m 1 m 1 m m v = = 72 = 72 = 72 = 20 1h 3600s 3600 s 3,6 s s 1000 Es decir 72 km/h es equivalente a 20 m/s. Prefijos Las unidades del sistema métrico utilizan los mismos prefijos para todas las cantidades. Un milésimo de gramo es un milígramo, y mil gramos son un kilógramo. Para usar eficientemente las unidades del SI, es importante conocer el significado de los prefijos de la tabla. Factor Prefijo Símbolo giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro G M k h da d c m µ 6

7 EJEMPLOS 1. La dimensión de masa es M, de longitud es L y de tiempo es T. Si la unidad de medida de la rapidez es m/s entonces la dimensión de la rapidez es ) L T B) L T -3 C) L -1 T D) L T -1 L 2. En la ecuación x = 5t 2 la variable x tiene unidad m y la variable t tiene como unidad de medida s, entonces la unidad de medida de la constante 5 es ) m B) s C) s 2 D) s 2 m m 2 s 3. l multiplicar 100 Mkg por 400 Gkg y luego dividir por 20 µkg se obtiene la cantidad ) kg B) kg C) D) kg g 4. El vector resultante de - B tendrá la dirección y sentido indicado en ) B) C) D) B 7

8 PROBLEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. El vector -4C se muestra en la figura, entonces el vector C es el que se muestra en ) B) C) -4C D) 2. l realizar la suma X + Y se obtiene aproximadamente un vector que tendrá igual dirección y sentido que el vector ) B) C) D) X Y 3. La diferencia vectorial Y X da como resultado un vector de dirección y sentido, ) B) C) D) X Y 8

9 4. La suma de los vectores M + N + L considerando que son de igual módulo, M es vertical y N horizontal, da como resultado un vector de dirección y sentido igual a ) B) C) M N L D) 5. La suma vectorial + B considerando que sus módulos son 6 y 8, y que son perpendiculares entre sí, da como resultado un vector de módulo ) 14 B) 12 C) 10 D) 4 2 B 6. La suma de los vectores + B y la diferencia C D, considerando que cada uno de los vectores es de módulo 3, da como resultado respectivamente vectores de módulo ) 0 y 0 B) 0 y 6 C) 9 y 0 D) -6 y 6 0 y -6 B C D 7. La figura 4 muestra un rectángulo formado por cuatro vectores, respecto a los vectores que componen la figura es correcto afirmar que ) X + Y = Y + X B) X - S = 0 Y C) X + Y = S + T X S D) X + S = 2Y 2T = 2 Y T fig. 4 9

10 8. El vector B tiene la misma dirección que el vector, pero su módulo es el doble y su sentido es opuesto, entonces el vector -2 + B + - 2B es igual a ) 2 B) 2B C) D) B - 9. De las siguientes afirmaciones I) el mpere es una unidad fundamental. II) el Volt no es una unidad fundamental. III) el gramo es una unidad fundamental. De estas afirmaciones es (son) verdadera(s) ) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. I, II, y III. 10. La unidad de energía en el S.I. es el Joule, esta unidad se puede descomponer finalmente en kg m 2 /s 2. Si las dimensiones de longitud, masa y tiempo son respectivamente L, M, T, cuál es la dimensión de energía? ) ML 2 /T 2 B) M/L 2 T 2 C) ML/T 2 D) ML 2 T 2 ML 11. Si P es distancia, Q es tiempo, R tiene unidades de m/s y Z tiene unidades de m/s 2, donde m es metro y s es segundo, entonces de las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas ) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. sólo I y III. I) II) III) P = Q R + Z Q 2 P = Q Z R Z P = Q R Z + R 10

11 12. Las dimensiones de las magnitudes físicas j, b, y g son respectivamente L, L T y L/T entonces para que la ecuación sea dimensionalmente correcta la constante k debe tener dimensiones de ) L 2 T B) L 3 C) L T D) T 2 L -2 T j = k b g La posición de una partícula en función del tiempo, en el S.I. viene dada por la expresión x = 2t 2 6t, de acuerdo con esta información el móvil pasará por el origen en el tiempo ) t = -2 s B) t 1 = 0 s y t 2 = 3 s C) t = 6 s D) t = -3 s t 1 = 0 s y t 2 = 6 s 14. La relación vectorial correcta entre los vectores representados en la figura 5 es ) Z + U = V B) V + U = Z C) Z + V = U D) V + U = -Z Z + U + V = 0 Z V U fig Todos los vectores mostrados en la figura 6 sólo son de igual módulo entre sí, por lo tanto es correcto afirmar que el vector ) B es igual al vector C D. B) + B es igual al vector C + D. C) y C son paralelos. D) + B + C + D es igual 2( + B) ( + B) (C + D) es distinto de cero. B C D fig. 6 11

12 16. De la figura 7 se observa que el vector T se puede obtener de la relación mostrada en ) P + Q + R + S B) -S R + P + Q Q C) -R + S D) P + Q P T R (S + P)/2 fig. 7 S 17. El vector P = Q + R S tendrá la dirección y sentido, mostrado en ) B) C) Q R S D) 18. La suma vectorial P + Q + R + S, siendo estos vectores de magnitudes respectivas 20, 3, 5, 11 da como resultado un vector de módulo Q ) 10 B) 12 C) 17 D) P R S CLVES DE LOS EJEMPLOS 1 D 2 E 3 B 4 D DMONFM-01 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 12

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