ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

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1 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Unidad 10 CONTENIDOS Introducción..- Magnitudes escalares vectoriales. 3.- Sistemas de referencia. Concepto de movimiento. 4.- Operaciones con vectores. 5.- Traectoria, posición desplazamiento. 6.- Velocidad media e instantánea (introducción al concepto de derivada). 7.- Aceleración media e instantánea. 8.- Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial normal. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Escalares: Quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) una unidad. el tiempo 3 s; la masa 8 kg. Vectoriales (vectores): Se caracterizan por: Módulo: (cantidad unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar. Dirección: es la recta que contiene el vector. Sentido: indicado por la punta de la flecha. Punto de aplicación: origen de la flecha. la posición, velocidad, fuerza... SISTEMA DE REFERENCIA Y MOVIMIENTO Es un punto del espacio respecto al cual describimos el movimiento. Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su posición respecto al sistema de referencia. j Los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (), dos (,) o tres ejes (,,z), perpendiculares entre sí, según trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio. z k i

2 Representación de un sistema de referencia tridimensional. Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1): i sobre el eje j sobre el eje k sobre el eje z VECTORES Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud. Se suelen epresar en forma cartesiana en donde a, a a z son sus componentes cartesianas: a = a i + a j + a z k A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita azul para maor comodidad: a = a i + a j + a z k en donde i, j k representan los vectores unitarios sobre los ejes,, z. Suma de vectores Sean dos vectores: a = a i + a j + a z k b = b i + b j + b z k El vector suma vendrá dado por: a + b = (a + b ) i + (a + b ) j + (a z + b z ) k a 5 Sean: a = 3 i + j b = i 3 j a + b = (3+) i + ( 3) j = 5 i j Cálculo del módulo de un vector. b Sean un vector: a = a i + a j + a z k El módulo de a, que se representa como a se calcula aplicando el teorema de Pitágoras: a = (a + a + a z ) 1/ En el vector anterior : c = a + b = 5 i j a = (a + a + a z ) 1/ = [5 + ( 1) + 0 ] 1/ = (6) 1/ = 5,1

3 VECTOR POSICIÓN (r). Para un punto P de coordenadas (,,z) el vector posición viene dado por: r = i + j + z k Representación de vectores posición En dos dimensiones P En tres dimensiones Ecuación del movimiento La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama ecuación del movimiento : Ejercicio: j i r(t) = (t) i + (t) j +z(t) k r(t) = [t i + (1 t) j + (3t +4) k] m En el S.I. la unidad será el m. r r = 4 i + 3 j Sea el movimiento definido por la siguiente ecuación r = t i + 8 j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0,, 4 6 segundos. z k j i P r = 3 i + j + k t (s) r (m) Coordenadas 0 8 j (0,8) 4 i + 8 j (4,8) i + 8 j (8,8) 6 1 i + 8 j (1,8) 5 10

4 Ecuaciones paramétricas. Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo. = f(t); = g(t); z = h(t) Son ecuaciones escalares (no vectores). En el vector: r(t) = [t i + (1 t) j + (3t +4) k] m, las ecuaciones paramétricas serían: = t ; = 1 t ; z = 3t + 4 TRAYECTORIA Es la línea que sigue el movimiento. Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a t en la ecuación del movimiento (paramétricas). traectoria Ecuaciones de la traectoria. Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una ecuación sustituendo el valor en la otra. Son ecuaciones escalares (no vectores). j i r(t) = [t i + (1 t) j + (3t +4) k] m = t ; = 1 t ; z = 3t + 4 t = / = 1 / ; z = 3 /4 + 4 En el caso del espacio bidimensional, únicamente eiste una ecuación de la traectoria: = f(). Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas de la traectoria del siguiente movimiento epresado por la ecuación: r(t) = [(t ) i + (t + 4t 3 ) j] m Ecuaciones paramétricas: = t ; = t + 4t 3 Despejando t de la 1ª ecuación: t = +, sustituendo en la segunda: = ( + ) + 4 ( + ) 3 = ( ) + 4 ( + ) 3 = Ecuación de la traectoria: =

5 Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t i + (t 6) j] m en los instantes de tiempo t = 0,, 4, 6 s calcula el módulo de dichos vectores la ecuación de la traectoria. t (s) r(t) (m) r(t) (m) 0 6 j ( 6) 1/ = 6,00 6 i + j 1/ (6 + ) = 6,3 4 1 i + 6 j 1/ (1 + 6 ) = 8, i + 66 j ( ) 1/ = 68,41 Despejando t de = 3 t t = /3, sustituendo en = t 6 queda: = (/3) 6; = /9 6 Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación anterior: (0, 6); (6,); (1,6); (18,66) VECTOR DESPLAZAMIENTO (Δr) Es el vector diferencia de dos vectores de posición en dos momentos distintos. Sean r 0 = 0 i + 0 j + z 0 k r 1 = 1 i + 1 j + z 1 k dos vectores posición. Se llama vector desplazamiento Δra: Δr = r 1 r 0 = (1 0 ) i + ( 1 0 ) j + (z 1 z 0 ) k Δr = Δ i + Δ j + Δz k En el S.I. la unidad será el m.

6 Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior: r(t) = 3t i + (t 6) j en unidades del S.I entre los instantes t = s t = 4 s. r 1 (t = s) = (6 i + j) m ; r (t= 4 s) = (1 i + 6 j) m Δr = r r 1 = Δ i + Δ j + Δz k = [(1 6) i + (6 ) j] m Δr = (6 i + 4 j) m Δr = (6 + 4 ) 1/ m = ( ) 1/ m = 4,74 m ESPACIO RECORRIDO (Δs) Es una magnitud escalar que mide la longitud de traectoria recorrida. NO ha que confundir con el vector desplazamiento; normalmente Δs > Δr, aunque en traectorias rectilíneas que no cambien de sentido el movimiento: Δs = Δr Δr Δs r 1 r En el S.I. la unidad será el m. VELOCIDAD MEDIA (v ) Δr Δ i + Δ j + Δz k v m = = Δt Δt Δ Δ Δz v m = i + j + k Δt Δt Δt El módulo del vector v m toma el valor: M v m = v m i + v m j + v mz k v m = (v m + v m + v mz ) 1/ j i La dirección el sentido son los que Δt es un escalar. mismos que los del vector desplazamiento Δr a NO ha que confundir v m con el escalar Δs/Δt que, en Física, llamaremos rapidez o celeridad media. Ni siquiera v m tiene porqué coincidir con la rapidez o celeridad media. Por ejemplo, un corredor que da una vuelta completa a un circuito tendrá v m = 0 a que Δr = 0. Sin embargo tiene una rapidez que viene determinada por la longitud de la pista (Δs) dividido por el tiempo empleado en cubrir la vuelta (Δt).

7 Ejercicio: En el S.I. la unidad será el m/s. Calcular la velocidad media entre los instantes t = s t= 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(t 4) i + (1 4t) j] m r 1 (t = s) = ( 4 i 7 j) m r (t =5 s) = (46 i 19 j) m Δr (s 5s) = r r 1 = (4 i 1 j) m Δ r (4 i 1 j) m v m (s 5s) = = = (14 i 4 j) m/s Δt 5 s s v m (s 5s) = [(14 m/s) + ( 4 m/s) ] 1/ = 14,56 m/s VELOCIDAD INSTANTÁNEA (v) Es el vector valor límite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo Δt van aproimándose a 0. Δr 03 tiene un módulo más cercano al espacio recorrido Δs 03 que Δr 0 a Δs 0 Δr 01 a Δs 03. A medida que Δt se hace más pequeño también es menor Δs Δr además ambos valores se van aproimando cada vez más, por lo que en el límite cuando Δt 0, Δr será tangent e a la traectoria su módulo coincidirá con Δs. r 0 r 3 Δr 03 Δr 01 r r 1 Calcular la velocidad instantánea aproimada en el instante t = s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + ( t 6) j] m Sea Δ t = 0,1 s, suficientemente pequeño: deberemos conocer la posición en r 1 (t = s) en r (t =,1 s) r 1 (t = s) = (6 i + j) m ; r (t =,1 s) = (6,3 i +,8 j) m Δr = r r 1 = (0,3 i + 0,8 j) m Δr (0,3 i + 0,8 j) m v apro (t= s) = = = (3 i + 8, j) m/s Δt 0,1 s v apro (t= s) = (3 + 8, ) 1/ m/s = 8,73 m/s Δr 0

8 Calcular la velocidad instantánea más aproimada en el instante t = s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (t 6) j] m Si queremos calcular v (t = s) de forma más aproimada deberemos tomar un Δt aún menor, por ejemplo 0,01 s, conocer la posición en r 1 (t = s) en r 3 (t =,01 s). r 1 (t = s) = (6 i + j) m r 3 (t =,01 s) = (6,03 i +,080 j) m Δr = r3 r 1 = (0,03 i + 0,080 j) m Δr (0,03 i + 0,080 j) m v apro (t= s) = = = (3 i + 8,0 j) m/s Δt 0,01 s v apro (t= s) = (3 + 8,0 ) 1/ m/s = 8,56 m/s Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v Δr Δ i + Δ j + Δz k v = lim = lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt V 1 dr d d dz v = = i + j + k dt dt dt dt V r 1 r V V v = v i + v j + v z k La dirección de v es tangente a la traectoria en el instante en el que calculemos la velocidad. El sentido es el del movimiento. v = v + v = v i + v j Calcular la epresión del vector velocidad del movimiento anterior: r(t) = [3t i + (t 6) j] m la velocidad en los instantes 0,, 4 6 s así como su módulo. Δr Δ i + Δ j + Δz k v = lim = lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt 3(t+Δt) 3t [(t+δt) 6 [t 6] v = i + j = Δt Δt 3t + 3 Δt 3t [t + 4t Δt + (Δt) 6] [t 6] = i + j = Δt Δt

9 Ecuació n de la velocidad: v = dr/dt = 3 i + 4t j t ( s) v(t) (m/s) v(t) (m/s) 0 3 i (3 ) 1/ = 3 3 i +8 j (3 + 8 ) 1/ = 8, i +16 j ) 1/ = 16,8 6 3 i + 4 j (3 + 4 ) 1/ = 4,19 Método práctico de derivación de polinomios Por ahora sólo se necesitará derivar polinomios, lo cual en la práctica es bastante sencillo: basta multiplicar el eponente de la variable dependiente por el coeficiente rebajar en un grado el eponente de la variable d ependiente; eso con cada uno de los términos del polinomio. Lógicamente, la derivada del término independiente es nula. En general, sea = a n + b n f + g La derivada d/d se obtiene: d/d = n a n 1 + (n 1) b n f Obtener d/dt sabiendo que: = 5 t t 3 t + d/dt = 15 t + 8t 3 ACELERACIÓN MEDIA (a m ) La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variación de velocidad con el tiempo. a m = Δv Δv i + Δ v j + Δv z k = Δt Δt a m = a m i + a m j + a m z k En el S.I. la unidad será el m/s. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA (a). Δv Δv i + Δv j + Δv z k a = lim = lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt dv dv dv dv z a = = i + j + k dt dt dt dt r 1 V 1 V ΔV r V Δv = v v 1

10 a = a i + a j + a z k La dirección el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad Δv a que Δt es un escalar. Calcu lar la epresión del vector acelera-ción del movimiento anterior r(t) = 3t i + (t 6) j, cuo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0,, 4 6 s así como su módulo. Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t i + (t 6) j Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j Ecuación de la acelera ción: a = dv/dt = 4 j Para todos los valores de tiempo a = 4 j m/s, a que se observa que a no depende de t. a (m/s ) = 4 m/s = 4 m/s Componentes intrínsecas de la aceleración (a t a n ) Únicamente en los movimientos rectilíneos a tiene la misma dirección sentido que v. En general, atiene una dirección sen-tido hacia dentro de la curva, con o que normalment e se descompone en dos vectores a t (acel. tangencial) a n (acel. normal) tangente perpendicular a la traectoria. a = a t + a n = a t u t + a n u n siendo u t u n los vectores unitarios tangente perpendicular a la traectoria en el punto en el que calculamos la aceleración. Δ v d v v a t = a t = lim = ; a n = a n = Δt 0 Δt dt R siendo R el radio de curvatura de la traectoria. Suele llamarse v = v por lo que: dv v a t = ; a n = dt R Igualmente llamamos a = a = (a t + a 1/ Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la ve locidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal el módulo del vector a a los 6 s. n )

11 a) dv 7(t+Δt) 7t 7t + 7 Δt 7t 7 Δt a t = = = = = 7 m/s d t Δt Δt Δt a t = 7 u t m/s a n = = = m/s b) v 49 t m s - 0,049 t R 1000 m a n (t = 6 s) = 0,049 6 m/s = 1,76 m/s ; a n = 1,76 u n m/s a (t = 6 s) = (a t + a n ) 1/ = (7 + 1,764 ) 1/ m/s = 7, m/s