2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

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1 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid por un número su unidd, es decir, por su módulo. Ej.: longitud, energí, tiempo, etc. Mgnitud ectoril: Es quell que ienen perfectmente definid por un módulo, un dirección, un sentido un punto de plicción. Ej.: elocidd, fuer, celerción, etc. Ls mgnitudes ectoriles se representn gráficmente por ectores (Fig. 1). En esenci un ector es un segmento rectilíneo con un determind orientción. MÓDULO DIRECCIÓN PUNTO DE APLICACIÓN SENTIDO El módulo es l longitud del ector. Figur 1. Representción gráfic de un ector. L dirección es l rect que contiene l ector. El sentido es el indicdo por l flech. El punto de plicción es el origen del ector Pr distinguir ls mgnitudes ectoriles se les coloc un flech encim del símolo de l mgnitud, o ien se escrien en negrit (sólo en liros de teto). F,,. Así: F, es el ector fuer. El módulo se represent por el símolo o más frecuentemente con el ector entre línes prlels: F, o ien, F.. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR Pr representr un ector gráficmente, en el espcio, necesitmos sus tres coordends (,, ) (Fig. ). Ejemplo: (,4,1). CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 1

2 Figur. Representción gráfic de un ector. El ector se otiene uniendo el origen de coordends, con el punto del espcio, que posee ess coordends. Sentido: desde el origen l punto en cuestión. Pr representrlo nlíticmente es necesrio definir los llmdos ectores unitrios. Un ector unitrio (u) es un ector de módulo l unidd cu dirección, sentido punto de plicción, coinciden con el ector, de tl mner que l relción entre mos es u. u. Pr hllr un ector unitrio u, en l dirección sentido de otro ector, st diidir el ector por su módulo. u u En físic h tres ectores unitrios, signdos los tres ejes de coordends, que son respectimente: i, j. j i Figur. Representción gráfic de los ectores unitrios. Ls coordends de los ectores unitrios son: i (1,0,0); j (0,1,0); (0,0,1). Pr representr nlíticmente un ector, empleremos los ectores unitrios nteriormente menciondos. Por ejemplo, el ector nterior se design como: CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic).

3 . i 4. j. CÁLCULO DEL MÓDULO DE UN VECTOR 1º. El ector tiene su punto de plicción en el origen de coordends (0, 0, 0): Se el ector (,, ), cuo punto de plicción está en el origen de coordends. (,, ) O (0, 0, 0) Figur 4. Vector que prte del origen de coordends El cálculo se reli de l siguiente mner:. i. j. ( 0) ( 0) ( 0) Hemos plicdo l fórmul que nos d l distnci entre puntos culesquier del espcio, con l que otendremos l longitud del ector: Si 1, se trtrí de un ector unitrio si 1, no serí un ector unitrio. Pr clculr un ector unitrio en l dirección sentido de otro st con diidir el ector entre su módulo: u Así, por ejemplo, se el ector (, 0, -4) u. i 0. 0 j 4. ( 4 ). i i 4 5. Así otenemos un ector unitrio, en l dirección sentido del ector, cus coordends son (/5, 0, -4/5). CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic).

4 º. El ector tiene su punto de plicción en el punto ( 1, 1, 1 ): En el cso de que ls coordends del punto de plicción del ector no coincidn con el origen de coordends, el ector se epresrí de form nlític de l siguiente mner: (,, ) ( 1, 1, 1 ) Figur 5. Vector que prte de un punto distinto l origen de coordends. ). i ( ). j ( ). ( ( 1) ( 1) ( 1) Así, por ejemplo, se el ector de coordends de su origen (,,1) de su etremo (6,4,). Epresr dicho ector en form nlític. ( 6 ). i (4 ). j ( 1).. i. j. El ector unitrio serí: u. i. j.. i. j i 17. j COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Se un ector, que form unos ángulos, β, γ con los respectios ejes de coordends. O (0, 0, 0) γ (,, ) β Figur 6. El ector form ángulos, β, γ con los respectios ejes de coordends. Mtemáticmente se cumple que: cos cos β cos γ 1 CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 4

5 L demostrción de est ecución mtemátic es l siguiente, como: cos,,cos β,, cosγ, se cumplirá:. cos.cos β.cos γ cos cos β cos γ Lo que implic que cos cos β cos γ 1 5. OPERACIONES MATEMÁTICAS CON VECTORES 5.1. SUMA DE VECTORES L sum de ectores tiene l propiedd conmutti, es decir, Cálculo nlítico: Ddos los ectores: sum serí:. i. j,. i. j,el ector.. S. i. j.. i. j. ( ). i ( ). j ( ). Cálculo gráfico: S En generl, pr sumr gráficmente rios ectores, se coloc el primero prtir de su etremo, se sitú el segundo, prlelo sí mismo, sí sucesimente, constituendo lo que se llm el polígono de ectores. d S c d c CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 5

6 COMPONENTES DE UN VECTOR: Culquier ector,, puede considerrse como l sum de dos o más ectores. A culquier conjunto de ectores, que l sumrse den el ector, se les llm componentes de. Cundo ls componentes del ector son perpendiculres se llmn componentes rectngulres o crtesins. En el plno:. i. j (.cos ). i (. sen). j En el espcio:. i. j. (.cos ). i (.cos β ). j (.cosγ ).. Un ejemplo típico de ector tridimensionl, es el ector posición, r, de un punto P, de coordends (,, ). r γ P (,, ) O r r r r r r r. i. j. ( r.cos ). i ( r.cos β ). j ( r.cosγ ). 5.. RESTA DE VECTORES L rest de ectores tiene l propiedd nticonmutti, es decir, ( ) Cálculo nlítico: Ddos los ectores: rest serí. i. j,. i. j,el ector.. R ( ). i. j. (. i. j. ) ( ). i ( ). j ( ). CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 6

7 Cálculo gráfico: I.E.S. POLITÉCNICO. CARTAGENA. CÁLCULO VECTORIAL. R - R - L diferenci l trnsformmos en un sum, l de (- ). Pr restr gráficmente dos ectores, se coloc el primero () prtir de su etremo, se sitú el segundo, prlelo sí mismo, pero con sentido contrrio. Luego, uniendo el origen del primero con el etremo del segundo, se otienen el ector diferenci. Un ejemplo típico de rest de ectores, es el ector desplmiento r. Se un punto P(1), cuo ector posición es r(1), que represent l situción de un prtícul en un instnte t, l co de un cierto tiempo, ps otro punto P(), cuo ector posición es r(). Pues ien, el ector desplmiento será r r() r(1). r 1 ). i. j., r ). i. j., ( ( r r ) r(1) ( ). i ( ). j ( ). ( P 1 r r 1 r P En generl, pr hllr un ector diferenci entre otros dos, se restn ls coordends del ector etremo o finl, menos el de origen o inicil. Así, por ejemplo, ddos los puntos A(, -1, ) B(,, 4), clcul el ector que de A B. ( B) ( A) ( ). i ( ( 1)). j (4 ).. j. 5.. PRODUCTO ESCALAR El producto esclr de dos ectores, representdo por el símolo., se define como un esclr, de módulo el producto de los módulos de los ectores multiplicdo por el coseno del ángulo que formn con.....cos,, cos. /.,, rc cos. /. El símolo. del producto., signific producto esclr. Ejemplo típico es el trjo mecánico: W F. s. cos. CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 7

8 PROPIEDADES: I.E.S. POLITÉCNICO. CARTAGENA. CÁLCULO VECTORIAL.. El producto esclr de un ector por sí mismo es igul l cudrdo del módulo del ector.....cos0, que cos El producto esclr de dos ectores perpendiculres es nulo.....cos90 0, que cos c. El producto esclr tienen l propiedd CONMUTATIVA I cudrnte - IV cudrnte Como cos cos (-), pues se cumple que... d. Los productos esclres entre los ectores unitrios i, j son: i. i j. j. 1 i. i i. i.cos0 1 i. j i.. j j. i. i j. 0 i. j i. j.cos 90 0 e. El producto esclr de dos ectores, en función de sus componentes, es igul :. i. j.,,. i. j.. (. i. j. ).(. i. j. )... CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 8

9 Y que. i.. i. j 0,,. i. i. i. j.. Por tnto: PRODUCTO VECTORIAL El producto ectoril de dos ectores, representdo por el símolo, se define como un ector; de módulo, el producto de los módulos de los ectores, multiplicdo por el seno del ángulo que formn con ; de dirección, perpendiculr l plno formdo por los ectores ; sentido, el de nce de un sccorchos, que pod su punt en el punto de corte de mos ectores, gire de, por el cmino más corto. El símolo del producto, signific producto ectoril. (es perpendiculr l plno del ppel).. sen PROPIEDADES:. El producto ectoril NO ES CONMUTATIVO. Como sen - sen (-), pues se cumple que: ( ) I cudrnte - IV cudrnte -.. sen,,.. sen( ) CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 9

10 . Si el ángulo que formn los dos ectores es de 0, es decir, son prlelos, su producto ectoril es nulo... sen0 0, que sen 0 0. Recordemos los lores del seno coseno de los ángulos de 0 90 : Sen Cos c. Los productos ectoriles entre los ectores unitrios i, j son: i i j j 0, por ser prlelos. i. i i. i. sen0 0 i j ji,, j i j,, i j i d. El producto ectoril de dos ectores, en función de sus componentes, es igul : (. i. j. )(. i. j. ) Cu solución nos d un determinnte, que se resuele plicndo l regl de Srrus. i j.. i.. j i.. j i j (.. ). i (.. ). j (.. ). Ejemplo: Ddos los siguientes ectores: ( - ) c.. i j,. i. j, c. j, clculr. i j (. i. j ) i j CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 10

11 i j ( ) c i j MOMENTO DE UN VECTOR, CON RESPECTO A UN PUNTO El momento (o torque) de un ector p, plicdo en el punto A, con respecto l punto O, se define como el producto ectoril del ector posición r, que une el punto O con A, por el ector p. El momento de un ector, con respecto un punto, se represent por l letr M. Si el ector p, es el ector momento linel o cntidd de moimiento, M se le llm momento ngulr, se represent por l letr L. 1 M o ( p) r p El momento es un ector; de módulo r. p. sen ; de dirección, perpendiculr l plno formdo por el punto el ector; sentido, el de nce de un sccorchos, que pod su punt en el punto, girse en el sentido del ector. A p r O TEOREMA DE VARIGNON: El momento de rios ectores, con respecto un punto, es igul l sum de los momentos de cd uno de ellos, con respecto dicho punto. F 1 F F M T M 1 M r 1 F 1 r F r O r 1 O r R F 1 r O Si un ector es l sum de otros ectores concurrentes, su momento con respecto un punto es l sum de los momentos de los ectores componentes, con respecto dicho punto: R F 1 F,, M T M 1 M r F 1 r F r R. CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 11

12 EJERCICIOS 1. Descompong un ector fuer de 100 N en sus dos componentes rectngulres, tles que sus módulos sen igules.. Dos ectores, ienen epresdos por:.i 4.j 4.i 5.j... Clcule los módulos los cosenos directores de mos ectores.. Señle si son perpendiculres. Ddos los ectores (, -, 0) (5, 1, -), deduc sus módulos, su producto esclr, el ángulo que formn su diferenci. 4. Conocidos los ectores (4,, -) (-,, 8), erigüe el lor de, si dichos ectores son perpendiculres. 5. Determine l sum de los ectores (4, 8, -6) (-5, 0, 6) el ángulo que form l resultnte con cd ector. 6. Si el producto ectoril de dos ectores.i - 6.j., sus módulos son 4 7, respectimente, infier su producto esclr. 7. Suponiendo dos ectores cuos módulos son 7 8, el ángulo que formn es de 0, compute el módulo de su producto ectoril e indique el ángulo que formrá con mos ectores. 8. Los ectores (,, -5), (6, -4, 0) c (0, 7, 4) están sometidos l siguiente operción:. c. Especifique: c. El módulo de. d. El producto esclr de. 9. Ddos los ectores (, -1, 0), (, -, 1) c (0, -, 1), indgue:. ( ). c.. ( - ) c. c. ( ). c d. (. ). c e. ( ) c 10. El origen de un ector es el punto A (, -1, ) su etremo B (,, 4). Indique su momento respecto l punto C (1, 1, ). 11. El ector (1, -, ) está plicdo en el punto P (, 1, ). Cuál es su momento respecto l origen de coordends? Cuánto ldrá su módulo? 1. Los ectores (-,, 1), (, -4, 0) c (4, 1, -8), son concurrentes en el punto P (, 1, ). Determine el momento de cd ector respecto l origen de coordends, el momento del ector resultnte respecto l origen de coordends compruee que se cumple el teorem de Vrignon. 1. Hllr un ector unitrio perpendiculr los ectores (-,, 1), (, -1, 0). CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Ctedrático de Físic Químic). 1

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