Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

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1 Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción representr gráficmente muchs mgnitudes físics. En este cso, l situción se refiere l futol, pero este tem puede ser visto en csi culquier conteto que pued ser de tu interés. Sigue delnte disfrut mientrs prendes. Qué ses de...? Eiste un form de grficr el desplzmiento, l velocidd l celerción de un móvil. Pr esto se utilizn los vectores Recuerds qué son los vectores cuáles son sus elementos? El reto es... Eisten lgunos dtos de l vid cotidin que pueden ser representdos medinte vectores. Vemos lo siguiente: en un prtido de futol del F.C. Brcelon juegn sus principles figurs: Xvi le d un pse en digonl hci su izquierd Iniest que está 10 m, éste (luego de 3 segundos) le d el pse Aleis, quien se encuentr 25 m l derech de Iniest, 15 segundos más trde, Aleis se l d Messi con un pse verticl de 10 mts Messi pte el lón hci l porterí que está 18 m en digonl hci su izquierd mrc el gol. Anliz responde: 1. Puedes representr el tiempo que trd cd jugdor como un vector?, por qué? 2. Puedes representr cd pse como un vector?, por qué? Orgniz los dtos grfic los vectores que corresponden los desplzmientos del lón cundo lo pten Xvi, Iniest, Aleis Messi con ls notciones, i, m, respectivmente (suponiendo que ls digonles son de 45º).

2 Repso de vectores Semn 2 4. Une l jugd como lo indic el enuncido grfic el desplzmiento totl del lón desde que comienz l jugd hst el gol. Serís cpz de clculr l distnci totl recorrid por el lón determinr l mgnitud dirección del desplzmiento totl? Pr relizr este ejercicio, dees poner en práctic tus seres sore rzones trigonométrics. Vmos l grno Un vector es un segmento dirigido que tiene mgnitud, dirección sentido. El mismo cumple con l le del prlelogrmo pr l sum permnece invrinte l rotr el sistem de referenci. Los vectores, por lo generl, se representn medinte letrs minúsculs con un flech en l prte superior ( v ). Aunque eisten muchs otrs forms de representrlos, intentremos mntener est notción. Geométricmente un vector puede ser representdo por un flech que const de un punto inicil un punto terminl o etremo, situdo en un plno crtesino. Algericmente un vector puede ser representdo por un pr ordendo de números reles (, ). Donde los números se denominn coordends del vector, l primer corresponde l eje (eje de ls sciss) l segund l eje (de ls ordends). Tmién se puede representr el vector v =(; ) de l siguiente form: v =i +j, donde i j son los componentes del vector. L mgnitud de un vector es l longitud del mismo, es decir, l distnci entre el punto inicil el etremo del vector. Se define l mgnitud de un vector v =(; ) como v = L dirección es el ángulo que form el vector con el ldo positivo del eje de ls sciss. Es positivo si se mide en sentido contrrio ls gujs del reloj negtivo si se mide en sentido horrio. Y se define l dirección α de un vector v =(; ) como α=rctg ( ). α El sentido de un vector es el modo de precir l dirección del vector de un punto otro lo indic l punt de l flech. El vector enmordo dice: Yo sólo er un esclr hst que llegste me diste dirección. 153

3 Semn 2 Repso de vectores Los vectores permiten representr, entre otrs coss, l descripción de un movimiento, específicmente el desplzmiento, l velocidd, l celerción ls fuerzs, pues son ls mgnitudes físics que poseen mgnitud, dirección sentido, se denominn mgnitudes vectoriles. Llmremos mgnitudes esclres quells que no pueden representrse como vectores. Ejemplos de ests son: el áre, el volumen, el tiempo l ms de un cuerpo. Se dice que son esclres porque no están dirigids en prticulr, por lo tnto, no tienen dirección ni sentido. L dición de vectores por el método gráfico puede relizrse de dos forms: 1. Por l regl del prlelogrmo: este método permite solmente sumr vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficmente los dos vectores, de mner que los orígenes de mos coincidn en un punto, trzndo rects prlels cd uno de los vectores, en el etremo del otro, formndo sí un prlelogrmo. El vector resultdo de l sum es l digonl de dicho prlelogrmo que prte del origen común de mos vectores. Así, por ejemplo, pr sumr dos vectores se deen seguir los psos mostrdos en l tl 1. Tl 1 Pso 1. Los vectores deen tener definid su mgnitud, sentido dirección con respecto un sistem de referenci, por lo generl se utiliz el sistem de coordends crtesins. Gráfic 2. Disponer gráficmente los dos vectores de mner que los orígenes de mos coincidn en el punto de origen. Not: se dee tener especil cuiddo de no cmir l mgnitud, el sentido, ni l dirección de ninguno de los vectores. 154

4 Repso de vectores Semn 2 3. Trzr rects prlels cd uno de los vectores, en el etremo del otro, formndo sí un prlelogrmo. 4. El vector resultdo de l sum es l digonl de dicho prlelogrmo que prte del origen común de mos vectores Por el método del triángulo o método de l líne poligonl: consiste en disponer gráficmente un vector continución de otro, ordendmente: el origen de cd uno de los vectores coincidirá con el etremo del siguiente. El vector resultnte es quel cuo origen coincide con el del primer vector termin en el etremo del último. Así, por ejemplo, pr sumr 2 vectores se deen seguir los psos indicdos en l tl 2. Tl 2 Pso Gráfic 1. Los vectores deen tener definid su mgnitud, sentido dirección con respecto un sistem de referenci; por lo generl se utiliz el sistem de coordends crtesins. 2. Disponer gráficmente un vector continución de otro prtiendo desde el origen, ordendmente: el origen de cd uno de los vectores coincidirá con el etremo del siguiente. 3. El vector resultnte es quel cuo origen coincide con el del primer vector termin en el etremo del último

5 Semn 2 Repso de vectores L dición de vectores tmién puede relizrse trvés del método nlítico en culquier de sus representciones. Pr esto deerás sumr ls coordends de ls sciss de ls ordends respectivmente, sí: Ddos los vectores v =(; ) u =(m;n) se define l dición: v+u =(; )+(m; n)=(+m; +n) Ddos los vectores v =i +j u =mi +nj se define l dición: v+u = (i +j )+(mi +nj)=(+m) i + (+n)j Ls propieddes que cumple l dición de vectores son: l propiedd conmuttiv, l propiedd socitiv, l eistenci del elemento neutro (vector nulo) l eistenci del elemento opuesto. Con los vectores tmién pueden definirse otrs operciones, como el producto de un vector por un número rel, producto punto producto cruz entre dos vectores. Tods ells tienen propieddes mu interesntes pero, durnte est semn, nos limitremos presentr sólo l dición. Pr ser más Investig eperiment con ls plicciones diseñds pr que prends vectores que encontrrás en el siguiente link: Sum de vectores por l regl del prlelogrmo: Sum de vectores por el método de l líne poligonl: Aplic tus seres Pr representr un vector necesits conocer siempre su mgnitud, dirección sentido. Es es l clve de est situción. Ahor, hzte ls siguientes pregunts: el tiempo tiene dirección?, el desplzmiento tiene ests tres culiddes? Seguro hor será mu fácil responder ls dos primers prtes del reto. 156 Pr hcer l gráfic, l regl del prlelogrmo es mu útil cundo queremos sumr dos vectores; sin emrgo, si desemos sumr vrios vectores es mejor hcerlo uniendo el etremo de cd uno con el origen del siguiente. El vector resultnte tiene su origen en el origen del primer vector su etremo en el etremo del último vector.

6 Repso de vectores Semn 2 Comproemos demostremos que Discute tus resultdos con el resto de los prticipntes compr los gráficos. Son precidos?, cómo h queddo el vector resultnte: horizontl, verticl o inclindo?, en qué sentido? Ests pregunts l comprción de sus resultdos les udrán determinr si ls gráfics que relizron son corrects hn desrrolldo ls competencis necesris en l dición de vectores. Resultdos de los cálculos: Vector desplzmiento totl: r =(5,2; 29,79), r =30,24 m; α=80,09 Distnci recorrid: 63 m 157

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