CAPÍTULO II. 5 El grupo ortogonal
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- José María Tebar Parra
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1 CAPÍTULO II 5 El grupo ortogonal Desde el punto de vista afín, no existen discriminaciones entre el sistema de referencia canónico y otro sistema de referencia arbitrario. Ello se debe a que uno puede transformarse en otro por medio de una afinidad. Esto significa, hablando en términos intuitivos, que la geometría afín no percibe que haya distintas escalas de medir en los diferentes ejes coordenados, o si estos son perpendiculares o forman cualquier otro ángulo (siempre no nulo). Las transformaciones del grupo afín permanecen indiferentes a todas esas propiedades que involucran medidas numéricas, ya sean de longitudes o de ángulos. Por eso ha llegado el momento de introducir conceptos métricos en nuestros espacios afines R n. Figura II.17 2
2 Comencemos definiendo el módulo de un vector. Para ello nos inspiraremos en la noción que de ello poseen los físicos. En el espacio R de dimensión 1, donde los vectores coinciden con los números y se representan como una flecha que parte del origen, es claro que el módulo debe coincidir con el valor absoluto. Así, dado un real (vector unidimensional) u, su módulo sería el valor absoluto u de u, o, escrito de una manera algo más enrevesada, u2. Elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada no es más que un procedimiento algebraico para hallar el valor absoluto de un número real. En dimensiones 2 y 3 el teorema de Pitágoras proporciona una fórmula para el cálculo de la longitud de un vector u, ilustrada en la figura II.17. En concreto, si u = (x, y) R 2 entonces su longitud es x 2 + y 2, mientras que si u = (x, y, z) R 3, entonces su longitud será x 2 + y 2 + z 2. De ahí que resulte natural la siguiente R n Definición II.8 Se define el módulo de un vector u = (x 1, x 2,..., x n ) como el real no negativo u dado por la expresión u 2 = x x x 2 n. Podemos concebir entonces la aplicación : R n R, que a cada vector u le asocia su módulo u, cuyas propiedades básicas quedan reflejadas en el siguiente Teorema II.7 i) u 0 para cada vector u, y u = 0 si y solo si u es el vector 0. ii) Para cada vector u, se tiene que u = u. iii) (Desigualdad triangular) Si u y v son dos vectores de R n, entonces u + v u + v, 3
3 y la igualdad se satisface si y solo si u = αv para algún escalar α > 0. Las dos primeras aseveraciones son evidentes. La tercera se desprende de un hecho bien conocido de la geometría elemental: en un triángulo, un lado siempre es menor o igual que la suma de los otros dos (figura II.18). De ahí el adjetivo triangular aplicado a la desigualdad. Figura II.18 Recuérdese que en el espacio afín R n, el vector AB de origen A y extremo B es aquél que sumado con el vector de posición de A da el vector de posición de B. Por consiguiente, nada más natural que definir la distancia d(a, B) entre A y B como el módulo del vector AB, o sea, d(a, B) = AB. Si A = (a 1, a 2,..., a n ) y B = (b 1, b 2,..., b n ), entonces d(a, B) = AB = B A = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) (b n a n ) 2. Los enunciados i), ii) y iii) del teorema II.7 se traducen ahora en términos de distancias en las siguientes propiedades: i) d(a, B) 0 para cualesquiera puntos A y B de R n, y d(a, B) = 0 si y solo si A = B. ii) d(a, B) = d(b, A), para cada par A, B R n. iii) d(a, B)+d(B, C) d(a, C), y la igualdad se produce solo si C pertenece al segmento de extremos A y B. 4
4 Matemáticamente, que C pertenezca al segmento de extremos A y B se expresa afirmando la existencia de un escalar α tal que 0 α 1 y C = αa + (1 α)b (véase la figura II.19). Es lícito operar con los puntos A y B, multiplicándolos por los respectivos escalares α y 1 α y sumar los resultados, pues en ellos subyace la doble naturaleza puntos-vectores. Figura II.19 En lenguaje coloquial, el enunciado iii) viene a decir que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, o sea, que si uno se desplaza de A a C pasando por B, se recorre más distancia que viajando directamente a C (Véase la figura II.20). Si se hace notar esta verdad, aparentemente de Perogrullo, es porque se verá más adelante que, en relatividad especial, esta situación puede variar de forma sustancial. Hay que recordar ahora otra noción muy emparentada con la de módulo de un vector: el producto escalar de vectores. Dados dos vectores u = (x 1, x 2,..., x n ) y v = (y 1, y 2,..., y n ) de R n, en la enseñanza secundaria se describía el producto escalar u v como el número real dado por u v = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. 5
5 Figura II.20 La estrecha relación entre el producto escalar y el módulo se pone de manifiesto en la igualdad u u = u 2, es decir, que si ése hubiera sido nuestro gusto y se hubiese optado por la estrategia de economizar ideas, habríamos comenzado definiendo el producto escalar de vectores e introduciendo después el concepto de módulo de un vector mediante u = u u. Lo curioso del asunto es que también nos está permitido operar a la inversa, en concreto, recuperar la noción de producto escalar a partir de la de módulo. En efecto, aunque realicemos este razonamiento en dimensión 2, el lector imaginará cómo proceder en otras dimensiones. Dados dos vectores u 1 = (x 1, y 1 ) y u 2 = (x 2, y 2 ) de R 2, se tiene u 1 + u 2 2 u 1 2 u 2 2 = ((x 1 + x 2 ) 2 + (y 1 + y 2 ) 2 ) (x y 2 1) (x y 2 2) = = x x 1 x 2 + x y y 1 y 2 + y 2 2 x 2 1 y 2 1 x 2 2 y 2 2 = 2(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = 2u v. 6
6 En definitiva, que el producto escalar se recupera a partir del módulo por la fórmula u 1 u 2 = 1 2 ( u 1 + u 2 2 u 1 2 u 2 2 ). Si nos hemos detenido en este particular es porque en relatividad especial habrá también algo parecido a un módulo y algo parecido a un producto escalar, y entre ambos conceptos se establecerán vínculos semejantes a los que acabamos de observar. Otras propiedades conocidas sobre el módulo y el producto escalar se sumarizan en el siguiente Teorema II.8 i) Para cualesquiera vectores u, v y w de R n y cualesquiera escalares α y β, se tiene que (αu + βv) w = α(u w) + β(u w) y u (αv + βw) = α(u v) + β(u w). ii) El producto escalar es simétrico, es decir, u v = v u, cualesquiera que sean u, v R n. iii) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Dados los vectores u y v de R n, se tiene u v u v, y la igualdad se satisface si y solo si u y v son proporcionales. El enunciado i) se resume diciendo que el producto escalar es bilineal. Conviene aclarar el origen del término. Fijado un vector w de R n, la aplicación a a w que a cada vector a R n le asocia el escalar a w es, según afirma i), lineal. Igual sucede, escogido un u R n, con la aplicación a u a. Por eso el producto escalar es lineal en cada componente (bilineal). Demostración Solo nos detendremos en la desigualdad de Cauchy- Schwarz. Se partirá de la desigualdad triangular, u + v u + v, 7
7 satisfecha para cualesquiera vectores u y v de R n. Como el módulo de un vector siempre es una cantidad no negativa, la desigualdad se mantendrá si elevamos al cuadrado ambos miembros, por lo que (1) u + v 2 ( u + v ) 2 = u u v + v 2. Ahora bien, (2) u + v 2 = (u + v) (u + v) = u u + u v + v u + v v = u 2 + 2(u v) + v 2, donde se ha aplicado la bilinealidad y la simetría del producto escalar. Y combinando (1) y (2), se escribe (3) u v u v. Si se obrara de la misma forma, pero partiendo de la desigualdad u v u + v = u + v, se llegaría a (4) (u v) u v. De (3) y (4) se obtiene (5) u v u v u v, en definitiva, u v u v. Además, tal como se ha deducido la desigualdad de Cauchy-Schwarz, es obvio que u v = u v si y solo si u ± v = u + v, igualdad que equivalía a la proporcionalidad entre u y v (teorema II.7.iii). 8
8 La desigualdad de Cauchy-Schwarz juega un papel importante en álgebra lineal, geometría y análisis matemático. No solo constituye una herramienta muy útil en los razonamientos, sino que de ella se desprenden interesantes resultados. Por ejemplo, si u y v son vectores no nulos de R n y dividimos los tres miembros de (5) por u v, entonces 1 u v u v 1. Que el número real (u v)/( u v ) se mantenga siempre entre 1 y 1 sugiere que sea el coseno de algún ángulo. Recuérdese que, cualquiera que sea el valor del ángulo x, tanto sen x como cos x son cantidades entre 1 y 1. De ahí que se defina el ángulo entre los vectores no nulos u y v como el único α entre 0 y π (o entre 0 o y 180 o si se prefiere medir en grados en lugar de en radianes) tal que cos α = u v u v. Escrita la igualdad de arriba de otra forma, surge la expresión tan familiar para la física u v = u v cos α. Figura II.21 Y por qué se decide uno por el coseno y no por el seno? Pues porque esta definición de ángulo entre vectores casa bien con un conocido resultado de la geometría elemental, el llamado teorema del coseno : En un triángulo 9
9 de lados a, b y c (figura II.21), se tiene que a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. En efecto, para vectores u y v no proporcionales de R n y circunscribiendo el argumento al plano vectorial < u, v > que ellos engendran, se tendría u v 2 = (u v) (u v) = u u 2(u v) + v v = u 2 2 u v cos α + v 2, igualdad esta que encaja a la perfección con el teorema del coseno. Por otro lado, los vectores no nulos u y v son proporcionales si y solo si u v = ± u v, lo que equivale a que cos α = ±1 y α sea 0 o un ángulo llano. Para recordar algo más acerca del teorema del coseno, pinche aquí. Las disquisiciones realizadas hasta ahora en esta sección tienen como objetivo dejar patente que los conceptos métricos introducidos en los espacios R n, tanto longitudes de vectores como distancias de puntos como ángulos entre vectores, pueden expresarse todos ellos en función del producto escalar. Por el momento se dispone de un método de cálculo del producto escalar de dos vectores conocidas sus coordenadas en la base canónica. Conviene también saber cómo hallar ese producto si los factores vienen dados por sus coordenadas en otra base. Sea (u 1, u 2,..., u n ) una base de R n. Para cualesquiera u i y u j, denotemos por a ij al producto escalar u i u j. Pues bien, a continuación se verá que es suficiente con proporcionar estos datos, los a ij, para resolver el problema. Aunque, por simplicidad, se argumentará en dimensión 2, el lector deberá sospechar cómo se generaliza a dimensión arbitraria. Tomemos entonces una base (u 1, u 2 ) del plano R 2 de la que se conocen los productos escalares a 11 = u 1 u 1, a 12 = u 1 u 2, a 21 = u 2 u 1, y a 22 = u 2 u 2. Sean a y b vectores del plano con respectivas coordenadas (a 1, a 2 ) y (b 1, b 2 ) en la base (u 1, u 2 ). Esto quiere decir que a = a 1 u 1 + a 2 u 2 y b = b 1 u 1 + b 2 u 2. 10
10 Entonces a b = (a 1 u 1 + a 2 u 2 ) (b 1 u 1 + b 2 u 2 ) = = a 1 b 1 (u 1 u 1 ) + a 1 b 2 (u 1 u 2 ) + a 2 b 1 (u 2 u 1 ) + a 2 b 2 (u 2 u 2 ) = = a 1 b 1 a 11 + a 1 b 2 a 12 + a 2 b 1 a 21 + a 2 b 2 a 22 = = (a 1 a 11 + a 2 a 21 )b 1 + (a 1 a 12 + a 2 a 22 )b 2 = ( ) b1 = ( a 1 a 11 + a 2 a 21 a 1 a 12 + a 2 a 22 ) = b 2 ( ) ( ) a11 a = ( a 1 a 2 ) 12 b1. a 21 a 22 b 2 E igual sucede en cualquier dimensión, esto es, si u y v representan a los respectivos vectores fila de coordenadas de dos vectores a y b de R n respecto de una base (u 1, u 2,..., u n ), y se denota por A a la matriz (a ij ) integrada por los productos escalares a ij = u i u j (i, j {1, 2..., n}), entonces el producto escalar de a por b viene dado por la expresión a b = uav t. Nótese que la matriz A es simétrica, es decir, A = A t, puesto que a ij = u i u j = u j u i = a ji. Ciertas matrices n n adquieren ahora un nuevo uso. Aparte de representar cambios de base o automorfismos cuando su determinante no se anula, también cabe la posibilidad de interpretarlas como la matriz del producto escalar de R n en una base distinta de la canónica. Ahora bien, al igual que entonces, no cualquier matriz n n sirve para ello. En principio, han de ser simétricas, pero este es un problema que no se abordará aquí en toda su generalidad. Un mínimo esfuerzo permite ahora relacionar las matrices del producto escalar en dos bases diferentes. 11
11 Tómense dos bases (u 1, u 2,..., u n ) y (v 1, v 2,..., v n ) de R n. Sea y = xp la ecuación del cambio de base que proporciona las coordenadas y de un vector en la base de los u i, conocidas las coordenadas x del mismo vector en la base de los v i. Llamemos A = (a ij ) y B = (b ij ) a las respectivas matrices del producto escalar en sendas bases, esto es, a ij = u i u j y b ij = v i v j (i, j {1, 2,..., n}). Para vectores a y a con coordenadas x y x en la base de los u i, se tendrá a a = xa(x ) t. Pero si se desea hallar su producto escalar utilizando las coordenadas de los mismos vectores en la base de los v i, habrá primero que recurrir a la ecuación del cambio y a a = (xp )A(x P ) t = x(p AP t )(x ) t, donde se ha utilizado que la traspuesta de un producto de matrices coincide con el producto de las traspuestas en orden inverso. El argumento anterior conduce al Teorema II.9 Si A es la matriz del producto escalar en una base de R n, B la matriz del mismo producto escalar en una segunda base y P la matriz no singular del cambio de la primera base a la segunda, entonces B = P AP t. Quizás convenga, antes de proseguir, ilustrar la situación con un ejemplo sencillo. Sean u 1 = ( 2, 1) y u 2 = (0, 3) dos vectores de R 2. Entonces lo que da una matriz u 1 u 1 = 5, u 1 u 2 = 3 y u 2 u 2 = 9, A = ( ) para el producto escalar en la base (u 1, u 2 ). Tomemos ahora v 1 = ( 2, 4) y v 2 = ( 2, 2). En la base (v 1, v 2 ), la matriz B del producto escalar será ( ) 20 4 B =
12 Como v 1 = u 1 + u 2 y v 2 = u 1 u 2, la matriz P del cambio de base es P = ( ) El lector debería de comprobar como ejercicio que la matriz B del producto escalar en la base (v 1, v 2 ) es B = P AP t. Es fácil ver cuál es la matriz del producto escalar en la base canónica (e 1, e 2,..., e n ). Por un lado e i e i = 1 y, por otro, e i e j = 0 si i j. Por consiguiente, en la matriz (a ij ) del producto escalar en la base canónica figurarán unos si i = j y ceros si i j. Esta ya es una matriz conocida, es la matriz unidad I. Así, en la base canónica, donde el vector fila de coordenadas de un vector dado como una n-upla es la propia n-upla, se tendrá a b = aib t = ab t. Ahora bien, la base canónica no es la única con la propiedad de que la matriz del producto escalar en ella es la matriz unidad. Por ejemplo, si tomamos en R 2 la base (u 1, u 2 ) con u 1 = ( 1 2, 3 2 ) y u 2 = ( 3 2, 1 2 ), entonces u 1 u 1 = ( ) ( 3 2 ) 2 = = 1. Cálculos semejantes conducen a u 1 u 2 = 0 y u 2 u 2 = 1, con lo que la matriz del producto escalar en esta base también es la matriz unidad I. Definición II.9 A un vector u se le llamará unitario si u = 1. De dos vectores u y v de R n se dirá que son ortogonales si u v = 0. Por base ortogonal se entenderá a aquella constituida por vectores ortogonales dos a dos. A una base ortogonal integrada por vectores unitarios se la denominará base ortonormal. Tanto la base canónica como la base (u 1, u 2 ) del ejemplo precedente son bases ortonormales. De la definición se deduce que la matriz del producto escalar referido a una base ortonormal no es sino la matriz unidad I. Supóngase entonces 13
13 que P es la matriz de cambio de una base ortonormal a la base canónica de R n. El teorema II.9 da I = P IP t y, multiplicando ambos miembros por la inversa de P a la izquierda, resulta que la matriz inversa de P es la traspuesta (P 1 = P t ). Las matrices que satisfacen esta curiosa propiedad, la de coincidir su traspuesta con su inversa, se conocen como matrices ortogonales. Tomando determinantes en la igualdad anterior y aplicando las propiedades de los determinantes del teorema II.3 se tiene 1 = I = P IP t = P I P t = P P = P 2, luego las matrices ortogonales poseen determinante 1 ó 1. ( figura II.22). Figura II.22 Teorema II.10 Si S es un subconjunto no vacío de un espacio R n, entonces el conjunto S = {v R n : v u = 0, para todo u S} de los vectores que son ortogonales a todos los de S, es un subespacio. Si, además, S es un subespacio de R n, entonces se tiene la suma directa R n = S + S. 14
14 Cuando S es un subespacio, a S se le denomina el subespacio ortogonal a S, y de la suma S + S se dice que es ortogonal-directa. Demostración El subconjunto S es no vacío pues contiene al menos al vector nulo (0 u = 0 para cada u S). Tómense ahora vectores u y v en S, escalares α y β y un vector arbitrario w de S. Se sabe que u w = 0 = v w, pues u, v S. Entonces (αu + βv) w = α(u w) + β(v w) = = 0, y cualquier combinación lineal de vectores de S pertenece a S, es decir, S constituye un subespacio de R n. La segunda parte del teorema afirma que la suma S + S es directa. Recuérdese que ello decir que S S = 0 y S + S = R n. La primera condición es fácilmente comprobable. En efecto, si u S S, entonces u sería ortogonal a sí mismo y 0 = u u = u 2, de donde u = 0 (Se ha utilizado el apartado i) del teorema II.7). Por simplicidad, no se expondrá aquí con detalle la demostración de la segunda igualdad, sino que se ilustrará con un ejemplo. Supóngase que S es el subespacio de R 4 engendrado por los vectores u 1 = (1, 2, 0, 1) y u 2 = (0, 1, 1, 2). Será verdad que un vector u = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) pertenece a S si y solo si u u 1 = 0 = u u 2? Una de las dos implicaciones es trivial ya que si u S, entonces u será ortogonal a todo vector de S, en particular, a u 1 y u 2. Y el recíproco también es cierto, por que si u fuese ortogonal a u 1 y u 2, también lo sería a cada combinación lineal de u 1 y u 2, esto es, a todo vector de S. Se deduce entonces que u S si y solo si { x1 2x 2 + x 4 = 0 = u u 1 x 2 x 3 + 2x 4 = 0 = u u 2 lo que plantea un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales en cuatro incógnitas. Dando a x 3 el valor λ y a x 4 el valor µ, se obtiene }, x 2 = λ + µ y x 1 = 2x 2 x 4 = 2( λ + µ) µ = 2λ + µ. 15
15 Así, todo vector u de S puede escribirse en la forma ( 2λ + µ, λ + µ, λ, µ) = λ( 2, 1, 1, 0) + µ(3, 2, 0, 1), y S no es sino el subespacio < u 3, u 4 > engendrado por los vectores u 3 = ( 2, 1, 1, 0) y u 4 = (3, 2, 0, 1). La comprobación rutinaria de que el determinante es no nulo, lleva a la conclusión de que (u 1, u 2, u 3, u 4 ) constituye una base de R 4. Dicho de otra forma, R 4 = S+S, pues S =< u 1, u 2 > y S =< u 3, u 4 >. Figura II.23 En dimensión 3, por ejemplo, el ortogonal a una recta vectorial será un plano, mientras que en dimensión 2, el ortogonal a una recta es otra recta. (Véase figura II.23.) Ha llegado el momento de introducir las transformaciones que jugarán aquí un papel equivalente al de los automorfismos en los espacios vectoriales o las afinidades en los espacios afines. Definición II.10 Una isometría es una aplicación f : R n R n que satisface: 16
16 i) f es biyectiva (véase la definición II.1). ii) f es lineal. iii) f conserva los productos escalares, esto es, f(u) f(v) = u v, para cualesquiera vectores u y v de R n. En realidad, las condiciones impuestas son superabundantes en el sentido de que puede demostrarse que iii) implica i) y ii). Y también se prueba que el conjunto de todas las isometrías de R n es un grupo, denominado el grupo ortogonal y al que se denotará por O n. Asociada al grupo ortogonal surge, según el modelo de Erlangen, la geometría euclídea, la cual se ocupa de todos los conceptos invariantes por isometrías. Puesto que una isometría f O n es, en particular, un automorfismo, quedará totalmente descrita por una ecuación del tipo f y = xa, con A una matriz no singular. Sin embargo, el hecho de conservar productos escalares dota a A de ciertas características que nos proponemos estudiar. Por lo pronto, si f conserva productos escalares, debe también conservar módulos ya que f(u) 2 = f(u) f(u) = u u = u 2. Así mismo, f transformará vectores ortogonales en vectores ortogonales ya que si u v = 0, debe ser f(u) f(v) = 0. Por consiguiente, la imagen por f de una base ortonormal ha de ser otra base ortonormal. Y si A era la matriz de f referida a la base canónica, que es ortogonal, la matriz A debe ser una matriz ortogonal. Entonces, como vimos más arriba, A 1 = A t y A = ±1. Cuando se introdujo el grupo lineal GL n se hizo notar que este era, en esencia, el grupo de las matrices n n no singulares. Ahora, tras las consideraciones del párrafo precedente, ha de quedar claro que el grupo ortogonal O n puede verse como el subgrupo del grupo lineal de las matrices ortogonales. 17
17 En dimensiones pequeñas resulta relativamente fácil describir por completo el grupo ortogonal. Vamos a ello. En dimensión 1, un automorfismo f : R R quedará determinado por la imagen de 1, donde hemos considerado al número real 1 como una base del espacio vectorial unidimensional R. Ahora bien, el carácter isométrico de f obliga a que f(1) 2 = f(1) f(1) = 1 1 = 1, luego sólo hay dos posibilidades, o bien f(1) = 1 o bien f(1) = 1. primera opción da f(α) = f(α 1) = αf(1) = α, de donde f = Id R. segunda conduce a f = Id R. La La En definitiva, O 1 = {Id, Id} y el grupo ortogonal O 1 se reduce a dos elementos, la identidad y la simetría respecto al origen de coordenadas. Sea ahora f una isometría de O 2 cuya matriz en la base canónica es ( ) a11 a A = 12. a 21 a 22 Se sabe que A = ±1. Supóngase en primer lugar que A = 1. Entonces, si aplicamos el método de cálculo de la inversa descrito en la sección 3, ( ) ( ) A 1 a22 a = 12 y A t a11 a = 21. a 21 a 11 a 12 a 22 De ser A 1 = A t se obtiene a 11 = a 22 y a 12 = a 21. Además, como f preserva la ortonormalidad de las bases, los vectores u 1 = (a 11, a 12 ) y u 2 = (a 21, a 22 ), que constituyen las imágenes respectivas de los vectores e 1 y e 2 de la base canónica, han de ser unitarios y ortogonales entre sí. Por otro lado, ( ) 1 a 11 = ( a 11 a 12 ) = u 0 1 e 1 = u 1 e 1 cos α = cos α, donde α es el ángulo entre e 1 y u 1. Así, teniendo en cuenta que u 1 = 1 implica que a a 2 12 = 1 y a la vista de la la igualdad fundamental de la trigonometría (cos 2 α + sen 2 α = 1), se concluye con que a 12 = ± sen α. Las relaciones obtenidas encorsetan a la matriz A en uno de los dos únicos tipos ( ) ( ) cos α sen α cos α sen α o. sen α cos α sen α cos α 18
18 Gráficamente se interpreta como un giro de ángulo α de todo el plano R 2 alrededor del origen de coordenadas O, bien en sentido directo para las matrices del primer tipo, bien en sentido inverso para las del segundo tipo. Se recomienda experimentar con la figura II.24. Figura II.24 Veamos a continuación qué ocurre si A es una matriz ortogonal de determinante 1. Ahora A 1 = A t se escribe ( ) ( a22 a 12 a11 a = 21 a 21 a 11 a 12 a 22 de donde a 11 = a 22 y a 12 = a 21. Haciendo a 11 = α y a 12 = β, la matriz A cobra la forma ( ) α β. β α Las imágenes de los vectores de la base canónica son u 1 = (α, β) = f(e 1 ) y u 2 = (β, α) = f(e 2 ), los cuales integran una base ortonormal. En particular 1 = u i 2 = α 2 + β 2. Considérese el vector v 1 = e 1 + u 1 = (1 + α, β) y ), calculemos su transformado por la isometría f: ( ) α β f(v 1 ) = ( 1 + α β ) = β α (α + α 2 + β 2, β + αβ αβ) = (1 + α, β) = v 1. Sorpresa: el vector v 1 se aplica en sí mismo, la isometría f no lo modifica. Si queremos completar v 1 a una base ortogonal, solo hay que permutar sus 19
19 coordenadas y cambiar una de ellas de signo. Sea entonces v 2 = ( β, 1 + α). Es evidente que v 1 v 2 = 0 y {v 1, v 2 } es una base ortogonal. Por otro lado, ( ) α β f(v 2 ) = ( β 1 + α ) = β α ( αβ + β + αβ, β 2 α α 2 ) = (β, 1 α) = v 2, Y el vector v 2 se transforma por f en su opuesto. En la base {v 1, v 2 } la matriz de f será entonces ( ) 1 0, 0 1 y la transformación f se interpreta gráficamente como la simetría de eje L =< v 1 >, que a cada vector u le aplica su simétrico respecto de la recta vectorial L engendrada por v 1 (véase la figura II.25). Figura II.25 Queda pues determinado el grupo ortogonal O 2 : toda isometría f del plano es, o bien un giro alrededor del origen si su determinante es 1, o bien la simetría axial respecto de una recta vectorial si el determinante vale 1. 20
20 Una aplicación curiosa de este hecho es que la composición de dos simetrías es una rotación (figura II.26). En efecto, si f y g son simetrías axiales del plano R 2 con matrices asociadas A y B, entonces g f será una isometría de matriz AB, con lo que AB = A B = ( 1)( 1) = 1. Figura II.26 En dimensiones superiores no hay una clasificación tan simple de las isometrías como las descritas para la recta y el plano, pero sí que existe una cierta analogía. Ello se observa en el teorema II.11, que se enuncia sin demostración. Teorema II.11 Si f es una isometría de R n, existe entonces una base ortonormal del R n en la cual la matriz de f es del tipo A =... 1 A 1... donde cada A i (i {1,..., k}) es un bloque 2 2 del tipo ( ) cos αi sen α i. sen α i cos α i A k, 21
21 Los 1 de la diagonal de A corresponden a los vectores de la base que no son modificados por f, los 1 a los vectores que se transforman en sus opuestos, y los bloques A i a giros en planos engendrados por parejas de vectores de la base. En general a una isometría de R n de determinante 1 se le denomina isometría propia. Si el determinante es 1, se le llama isometría impropia. Al conjunto de las isometrías propias de O n se le denota por O + n, y al de las impropias por O n. Es evidente que para que la composición f g de dos isometrías f, g O n sea una isometría propia es necesario y suficiente que f y g sean del mismo tipo (ambas propias o ambas impropias), mientras que la composición de isometrías de distinto tipo es una isometría impropia. Más arriba se hizo notar que las isometrías, al conservar el producto escalar, conservan también el módulo de los vectores, y como el ángulo α entre dos vectores u y v de R n viene dado por el único escalar α entre 0 y π tal que cos α = u v u v, una isometría conserva también tales ángulos. Se finalizará la sección con la traducción de todos estos conceptos a los espacios afines. Definición II.11 Dados tres puntos P, Q y R de R n con P y R distintos de Q, se define el ángulo P QR como el ángulo entre los vectores QP y QR. Para dos rectas secantes r y s en el punto Q, se define el ángulo entre r y s como el ángulo P QR con P r {Q} y R s {Q}. Puede probarse que esta definición es independiente de los puntos P y R elegidos. De dos subespacios afines a + S y b + T de un espacio afín R n se dirá que son ortogonales si todo vector del subespacio vectorial S es ortogonal a todo vector del subespacio vectorial T. A una afinidad α = τ a f se le llamará un movimiento si el automorfismo f es una isometría. Si P y Q son dos puntos de un espacio afín R n y τ a es una traslación en 22
22 dicho espacio, entonces d(τ a (P ), τ a (Q)) = τ a (Q) τ a (P ) = (a + Q) (a + P ) = Q P = d(p, Q), luego las traslaciones preservan las distancias entre puntos. Del mismo modo podría probarse que las traslaciones no modifican los ángulos ni la ortogonalidad entre subespacios afines. De las consideraciones precedentes debe resultar entonces claro que los movimientos conservan las distancias entre puntos, no modifican ni los ángulos formados por ternas de puntos ni los ángulos entre rectas secantes, así como que transforman subespacios ortogonales en subespacios ortogonales. El conjunto de todos los movimientos de R n constituye también un grupo. La geometría afín-euclídea será entonces aquella parte de la matemática que estudia los conceptos invariantes por el grupo de los movimientos. 23
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