Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca

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1 ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES Ana Morata Gasca 1

2 DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Origen o Punto de aplicación: Punto sobre el que actúa el vector. Módulo: Longitud o tamaño del vector. Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE UN VECTOR Donde:, y Ejemplo 1: EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN VECTOR 2

3 OPERACIONES CON VECTORES Suma y Diferencia: Sean dos vectores a y b: Ordenando por componentes: En notación matricial: Ejemplo 2: Calcula la suma y diferencia de los siguientes vectores: 3

4 Producto por un escalar Ejemplo3: Combinación lineal de vectores Ejemplo 4: Producto de vectores Ejemplo 5: 4

5 DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es un conjunto de elementos ordenado en una estructura de filas y columnas. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. CARACTERÍSTICAS DE UNA MATRIZ Elementos: Los elementos de una matriz pueden ser objetos matemáticos de diferentes tipos. Se trabajará con números reales. Los elementos de una matriz se identifican por la fila (i) y la columna (j) que ocupan y se designan por a ij. Así, el elemento a 32 estará situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A. Dimensión: El número de filas (m) y columnas (n) que tiene una matriz se denomina dimensión de la matriz. La dimensión es m x n. Si m=n se dice que A es una matriz cuadrada. Si m n se dice que A es rectangular. 5

6 OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices y producto por un escalar Dadas dos matrices y, del mismo tamaño m x n y formadas por un cuerpo cualquiera, se llama suma A + B a la matriz, de dimensión m x n; es decir: + Se llama producto σa (σ escalar) a la matriz, de tamaño m x n; es decir: Ejemplo6: Calcular A+B siendo: y Ejemplo 7: Calcular siendo: 6

7 Propiedades Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C, del mismo tamaño m x n, y para cualesquiera escalares σ y ρ, se verifica: 1) a) 2) b) 3) c) 4) d) Notas: es la matriz nula, de tamaño m x n, y es aquella cuyos elementos son todos iguales al escalar nulo. es la matriz opuesta de, y es aquella de tamaño m x n, cuyos elementos son escalares opuestos de los respectivos elementos de. 7

8 Producto de matrices Dadas dos matrices de tamaño m x p y de tamaño p x n (B tiene el mismo número de filas p, que de columnas tiene A), se llama producto AB o, de A por B, a la matriz, de dimensión m x n; cuyo elemento del lugar (ij) es: Para dos matrices A y B matriz de dimensión 2 x 2 el producto AB es: Ejemplo 8: Calcular AB siendo: y = Casos particulares Si A es una matriz fila (1 x p) y B es cualquiera (p x n), entonces: = Donde (i=1,2,,n) Ejemplo 8: Calcular ca siendo: 8

9 Si A es cualquier matriz (m x p) y B es matriz columna (p x 1) entonces: Donde (i=1,2,,m) Ejemplo 9: Calcular Ac siendo: Si A es una matriz fila (1 x p) y B es matriz columna (p x 1) entonces: Donde Ejemplo 10: Calcular ab siendo: = =48 9

10 Propiedades 1) Asociativa 2) Distributiva 2b) Distributiva 3) e donde es la matriz identidad. 4) (en general) No es conmutativo. 5) Puede ser sin que o cuando esto ocurra se dirá que A y B son divisores de cero. 10

11 Traspuesta de una matriz Dada una matriz de tamaño m x n, se llama traspuesta de A a la matriz, de tamaño n x m, que tiene por elemento de lugar (ij) al elemento de lugar (ji) de A, para i=1, 2,, n y j= 1, 2,, m. La correspondencia se llama trasposición de matrices. Ejemplo 11: Calcular la matriz traspuesta de la matriz A, siendo Propiedades 1) (la trasposición es involutiva) 2) (A y B del mismo tamaño) 3) (σ cualquier escalar) 4) (A de tamaño m x p; B de tamaño p x m) Si A es una matriz cuadrada: entonces A es simétrica. entonces A es antisimétrica. 11

12 Matrices invertibles Una matriz cuadrada de tamaño n x n, se dice que es invertible si existe otra matriz, de igual tamaño, que se llama matriz inversa de A y se denotará por, tal que: Calculo de la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos: Sea una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2: Para una matriz A de orden superior: Donde: es el determinante de A. es la matriz de adjuntos de la matriz traspuesta de A. LOS SIGUIENTES EJEMPLOS SE RESOLVERÁN EN PIZARRA Ejemplo 12: Sea una matriz cuadrada calcular la matriz inversa. Resultado: 12

13 Ejemplo 13: Sea una matriz cuadrada calcular la matriz inversa. Resultado: Propiedades 1) La inversa de una matriz, si existe, es única. 2) 3) entonces es una matriz invertible. 4) donde k es un número entero positivo entonces es una matriz invertible. 5) 6) 13

14 EJERCICIOS 1. Dadas las matrices, y, se pide calcular cuando sea posible: a) A+B b) AC c) CB y d) e) ABC f) g),, 2. Dadas las matrices y se pide calcular cuando sea posible: a) AB y BA Comentar el resultado. b) y Comentar el resultado. c) y Comentar el resultado. 3. Dadas las siguientes matrices, calcular su matriz inversa: a) b) 14

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