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1 2.1 Vectores Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próximo año, etc.). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares. producirá exactamente el efecto requerido). Estas magnitudes se denominan vectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial que recordaremos brevemente a continuación Vector. Lo definiremos como elementos que poseen tres atributos: magnitud y dirección. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura y otras magnitudes que luego definiremos apropiadamente. También existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud ( camine 5 metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada Los vectores son elementos abstractos, pero pueden representarse en el espacio a través de segmentos dirigidos (flechas) cuya longitud y dirección son proporcionales a las de los vectores representados. origen extremo Fig 2. 1 Representación gráfica de un vector persona que la reciba; en cambio, camine 5 metros por lameda hacia el Este! 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 64

2 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si son iguales sus respectivas magnitudes direcciones y sentidos. Esta definición, Fig 2. 4 Ponderación de vectores: =2 que implica que un vector puede estar en cualquier punto del espacio sin alterar sus características, define a los vectores libres Suma gráfica de vectores. Gráficamente la suma o RESULTNTE de vectores se obtiene uniendo C sucesivamente los extremos y orígenes de ellos, como se muestra en la figura. El D vector suma o resultante se obtiene Fig 2. 2 Vectores equipolentes: ==C=D uniendo el primer origen con el último extremo Vectores opuestos. Dos vectores son opuestos cuando sus R C magnitudes son iguales y sus direcciones son opuestas. Fig 2. 5 Resultante: + + C = R Fig 2. 3 Vectores opuestos: = Ponderación de Vectores. El producto entre un escalar m y un vector se conoce como ponderación del En el caso de dos vectores este procedimiento produce un triángulo formado por los vectores y la resultante. Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes y trazar líneas auxiliares paralelas a los vectores, que pasen por el extremo del otro. vector. 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 65

3 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - La resultante es el vector que une los - orígenes comunes con la intersección de las paralelas auxiliares (método del paralelógramo). R` R Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelógramo Si consideramos el paralelógramo que resulta de los vectores y y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores Note que el orden de la suma no afecta el resultado, mostrando que es conmutativa: constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente. + Si sumamos los vectores, y C de la figura anterior a través del método del paralelógramo, veremos claramente que: - C C Fig 2. 8 Suma y resta gráfica de vectores. Mostrando que la suma es asociativa (se recomienda comprobarlo gráficamente). Por otra parte, es innecesaria la definición de resta, pues claramente - es la suma de y el opuesto de Vector unitario. Se define como un vector cuya magnitud es la unidad y cuya dirección y sentido son las del vector sobre el que está definido. - - Si consideramos un vector cuya magnitud es, existe un vector unitario " en la dirección de, tal que: 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 66

4 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - " Observe que entonces: " 1 L L Fig Componente de sobre la recta L Fig 2. 9 = Vector Unitario en la dirección de Vectores en el plano coordenado cartesiano. Un vector puede definirse en el plano Vector nulo. Vector cuya magnitud es cero. Gráficamente es representado por un punto. cartesiano, conformado por dos líneas perpendiculares denominadas ejes. l eje horizontal se le denomina SCIS y se identificará con una letra mayúscula (usualmente, aunque en física será una letra que represente una Componente de un vector. La proyección ortogonal de un vector sobre una recta es una cantidad que se denomina componente (es un escalar). Esta se determina como la magnitud del segmento de la recta comprendido entre magnitud física), mientras que al eje vertical se le denominará ORDEND (identificado por la letra, o una magnitud física). 1 dos rectas perpendiculares a ella, y que pasan por el origen y el extremo del 0 vector respectivamente. 0 1 Fig Vector en el plano coordenado cartesiano 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 67

5 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - El dibujo anterior muestra el primer cuadrante de este plano (que contiene los semiejes positivos de e ), dividido en cuatro partes. Note que ( 1 # 0 ) es la componente del vector sobre el eje ; y que ( 1 # 0 ) es la componente del vector sobre el eje. El origen del vector puede indicarse con propiedad a través de su ubicación en el plano, pues se encuentra en el punto ( 0, 0 ), mientras el extremo se encuentra en el punto ( 1, 1 ). Vectores en el espacio coordenado cartesiano. En el espacio un vector tiene tres componentes, pues a las anteriores debe agregarse aquella que proyectará en el tercer eje, denominado eje Z. El espacio coordenado cartesiano está conformado por tres rectas perpendiculares entre sí (trirectangulares) denominados ejes,,z habitualmente, como se muestra en la figura siguiente. llí se muestra el primer octante (las tres rectas dividen el espacio en 8 partes iguales), octante Vectores unitarios en el plano Resulta útil definir vectores unitarios cuyas direcciones y sentidos sean las de los semiejes positivos del plano cartesiano, direcciones que ocuparemos como referencia en el futuro. denominado positivo, pues contiene los tres semiejes positivos. Z Z l vector unitario en dirección de + se le define como " i, mientras que al vector unitario en dirección de + se le define Fig Proyecciones de un vector en el espacio como " j. Como se ve en esta figura, un vector que no se encuentra ubicado en alguno de los planos cartesianos (, Z o Z), proyecta tres componentes, cuyas magnitudes son: 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 68

6 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - =( 1 # 0 ), = ( 1 # 0 ) Z = (Z 1 # Z 0 ) Note que aquí el plano se encuentra en el piso. Finalmente, se puede definir un vector unitario en dirección y sentido del semieje positivo de Z, que se define usualmente como k " Componentes cartesianas de un vector. hora estamos en condiciones de encontrar relaciones analíticas para trabajar con los vectores, prescindiendo de las representaciones gráficas, que si bien es cierto prestan mucha ayuda didáctica, nos confundirán cuando trabajemos con magnitudes físicas, pues se tiende a relacionar la longitud del dibujo de un vector con su magnitud. Este versor, junto a los versores " " i, j del Consideremos un vector libre en el plano plano forman un trío de versores, representado con su origen en el trirectangulares. origen del sistema cartesiano de Z coordenadas para simplificar el análisis; representemos gráficamente además, sus k componentes cartesianas y sus versores: Fig i j Versores trirectangulares j i Fig Vector en el plano; componentes y versores En virtud de lo previamente definido, se puede suponer la existencia de dos vectores ficticios (que llamaremos 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 69

7 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - vectores componentes), tales que sumados tengan al vector como resultante. El vector componente situado en la ( = " " " i + j+z k ; en el espacio) Esta nos será muy útil para encontrar una forma más analítica de sumar vectores, como se verá a continuación. abscisa tiene magnitud equivalente a y dirección " i, mientras el vector componente situado en la ordenada tiene magnitud equivalente a y y dirección " j Suma de Vectores en función de sus componentes. Supongamos la los vectores y en el plano como en la figura siguiente. Como son vectores libres, los hemos dibujado de manera tal que el extremo de coincida con el origen de, con lo que la suma de ambos se puede obtener Fig Vectores componentes gráficamente uniendo el origen de con quí resulta claro que: + el extremo de, como ya sabemos. esta resultante le denominaremosr. si recordamos nuestra definición de versor tenemos que: " i= " j= por lo que " =x i por lo que " = j R R R Entonces el vector puede escribirse como: Fig Suma de vectores y sus componentes = " i " j 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 70

8 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Entonces las componentes de R son la a) suma aritmética de las componentes de los vectores y. R b) c) 2 Por lo que: R Solución: a) = 3 1 " i 4 3 " j 2-5 k " R ( " " + )i +( + )j Si el vector estuviese en el espacio, por extensión, se encuentra que: R ( + )i+ ( )j ( )k " " " Z Z Esta expresión es válida para la suma de varios vectores, pues en ese caso a cada dimensión se le agregarán los términos correspondientes a las componentes de los nuevos vectores. = 4i " 7j-3k " " Pues la resultante se obtiene sumando las componentes respectivas. b) (- ) 3 1 " i 4 3 " j 2 5 k " (-) 2i " " j 7k" Pues la resta no es más que la suma del opuesto. c) 2 6i " 8j " 4k" Del mismo modo, la expresión permite restar vectores, pues como hemos visto, la resta corresponde a la suma del opuesto. Ejemplo 2.1 Sean los siguientes vectores: 3i " 4j " 2k" ; =i " 3j-5k " " Encontrar: Notación polar. En muchas ocasiones nos veremos enfrentados a la necesidad de calcular o referirnos a los vectores en función de su magnitud y dirección directamente. Para ello recurriremos a la notación polar, que da cuenta de su magnitud a través de su módulo y a su dirección a través de un 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 71

9 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - ángulo respecto de una recta de referencia. calcular las polares a través de las expresiones: Consideremos un vector en el plano 2 = coordenado cartesiano, como se ve en la figura siguiente: = arctg Ejemplo 2.2 Sea un vector de módulo 5 y dirección 37º respecto de + situado en el plano. Encontrar sus componentes cartesianas. Fig Componentes cartesianas y polares Solución: Se tiene que =5 y x =37º. La dirección y sentido del vector pueden indicarse a través de un ángulo, que usualmente es el ángulo entre el vector y el semieje positivo de la abscisa y su magnitud, a través del módulo del vector; analíticamente: =(,) Las componentes cartesianas se pueden encontrar fácilmente a través de las Por tanto: =5cos37º=5(0,8)=4 =5sen37º=5(0,6)=3 Si suponemos que el origen está en el punto (0,0) del sistema de coordenadas, entonces el extremo del vector estará en el punto (4,3) polares mediante las expresiones: = cos = sen Del mismo modo, conocidas las componentes cartesianas, se pueden Fig º 4 = 5 Representación gráfica del vector del ej. 2 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 72

10 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Note que si el origen del vector estuviera por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el figura siguiente muestra los ángulos directores: extremo estaría en el punto (6,4) pues sus componentes cartesianas son =4 y = Fig Un vector en el espacio. quí se ve que los ángulos directores, Fig Componentes del vector del ej. 2 Ejemplo 2.3 Sea un vector cuyas componentes cartesianas son =10 y =5 situado en el plano. Encontrar su magnitud y dirección. Solución: Se tiene que x =10 y =5., Z determinan la dirección. La magnitud corresponde el módulo del vector (). El vector se puede representar analíticamente a través de su módulo y de sus ángulos directores ; ; Z Muy importantes son las siguientes relaciones extraídas de la figura anterior: Por tanto: 2 = ; = 11,2 5 rctg 26, 6º En el espacio cos = cos = cos Z = Z En el espacio la dirección queda determinada cuando se conocen los Denominados cosenos directores, permiten calcular las componentes ángulos respecto de los tres ejes. La 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 73

11 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - cartesianas a partir de la magnitud y los ángulos directores, pues de ellos se tiene: = cos C 2 =3 2 +(-6) = 49 Por lo tanto su magnitud es: C=7 sus direcciones: = cos Z = cos Z x =arcos 3 7 =64,6º Dadas las componentes cartesianas se pueden conocer la magnitud y los ángulos directores a través de las siguientes y =arcos 6 7 =149 º relaciones, provenientes también de los z =arcos 2 7 =73,4º cosenos directores: arccos Productos entre Vectores. arccos Z arccos Z El módulo se puede calcular a través de la expresión: 2 = Z 2 Existen dos formas de multiplicar vectores, siendo una denominada producto escalar (interno o de punto) y la otro producto vectorial (exterior o de cruz), puesto que ofrecen como resultado un escalar y un vector respectivamente. Producto Escalar. Ejemplo 2.4 Consideremos el vector C=3i-6j+2k " " " ubicado en el espacio coordenado Dados dos vectores y, su producto escalar se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. cartesiano. dirección. Encontrar su magnitud y! =cos (0) Solución: Se tiene que C =3, C =-6 y La definición de producto escalar tiene aplicaciones muy relevantes, pues permite C Z =2. Podemos calcular su magnitud: 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 74

12 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - expresar magnitudes muy importantes para la física en forma muy sencilla. 4.- De acuerdo a lo anterior, entonces: " i " j =0 " j " k =0 " i " k =0 Las propiedades del producto escalar son: 1.- = (Conmutatividad) +C = + C 2.- respecto de la suma). (Distributividad pues los vectores unitarios " i, " j, k " forman un sistema trirectangular. 5.- hora estamos en condiciones de encontrar una expresión que permita 3.- m = m = m un escalar. plicaciones: 1.- = 2 siendo m multiplicar escalarmente dos vectores expresados en coordenadas cartesianas. Sean los vectores: = i j k ; = " " " xi y j z k " x " " y z El producto escalar entre un vector y si mismo, constituye el cuadrado del vector, y corresponde al cuadrado de su módulo. Esto se debe a que si aplicamos la definición, tenemos: =cos0º=(1)= " i " i =1 " j " j =1 k " k " =1 Por las razones expuestas en el punto 1. Si queremos multiplicarlos escalarmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto escalar respecto de la suma de vectores: " " " " " x y z " x y z i j k i j k " " " " " " x x x y x z " " " " " " " " " " " " i i i j i k j i j j j k y x y y y z k i k j k k z x z y z z 3.- Si dos vectores son perpendiculares, entonces según la definición se tiene: =cos90º=(0)= 0 Por tanto: x x y y z z Esta es condición de perpendicularidad. 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 75

13 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejemplo 2.5 Sean los vectores: =3i+4j+2k " " " ; =i+3j-5k " " ". Encontrar su producto escalar. =5 según el ejercicio 2.5. sí que: 5 arcos 5,4 5,9 arcos0,1681º Solución: De acuerdo a la definición, se tiene: =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5 Producto Vectorial Sean los vectores y ; entonces su producto vectorial se define como: Ejemplo 2.6 = (sen "u (0) Dados los vectores del ejercicio anterior, calcular el ángulo entre ellos. Solución: De acuerdo a la definición de producto escalar, se tiene que: =cos Donde y son las magnitudes de los vectores y respectivamente; es el ángulo que forman ambos vectores y "u es un vector unitario cuya dirección es perpendicular al plano que forman y. Donde es el ángulo entre los vectores que nos solicitan. Por lo tanto: u arcos note que aquí es el producto entre las magnitudes de los vectores y respectivamente. 2 = Entonces: =5,4 Fig Producto vectorial Entonces el vector es un vector libre, perpendicular al plano, cuya magnitud es ( sen 2 = (-5) 2 =5,9 Los vectores, y forman un trío a derechas (un sistema dextrosum), 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 76

14 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - lo que quiere decir que la dirección es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector hacia el vector, en el plano. 2.- " i " i = 0 ; " j " j = 0 ; k " k " = 0 Según la aplicación anterior. 3.- También se tiene aplicando la definición que: " i " j ={(1)(1)(sen90º)} " k = " k " j " k ={(1)(1)(sen90º)} " i = " i "k " i ={(1)(1)(sen90º)} " j = " j Fig Regla de la mano derecha. según la propiedad de anticonmutatividad: Las propiedades del producto vectorial son: 1.- = nticonmutatividad " j " i =- " k "k " j =- " i " i " k =- " j 2.- x( + C )= x + x C Distributividad respecto de la suma). 3.- m( x )=(m )x = x(m ) siendo m un escalar El gráfico siguiente resume lo encontrado, proporcionando además una buena forma de recordarlo en el futuro. k plicaciones: 1.- Si los vectores y son paralelos, entonces, por definición: Fig i j Producto vectorial entre versores. =(senº "u = 0 Esta es condición de paralelismo. Note que el producto vectorial entre 2 versores es el tercer versor, y es positivo cuando el producto sigue la dirección de 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 77

15 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - las flechas en el gráfico, es decir, cuando el sentido es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (sentido antihorario). 4.- hora estamos en condiciones de encontrar una expresión que permita encontrar el producto vectorial para vectores que están expresados en función de sus componentes rectangulares (cartesianas) y sus respectivos versores. Sean los vectores: = " i + " j + Z k " y = " i + " j + Z k ". =( Z # Z ) " i +( Z # Z ) " j + +( - ) k " Que equivale al desarrollo del determinante siguiente: " i " j k" Z Z 5.- La magnitud del producto vectorial es numéricamente igual que el área del paralelógramo formado por los vectores multiplicados y las paralelas que pasan por sus extremos. Si queremos multiplicarlos vectorialmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto vectorial respecto de la suma de vectores: =( " i + " j + Z k " )( " i + " j + Z k " ) = ( " i " i )+ ( " i " j )+ Z ( " i k " )+ + ( " j " i )+ ( " j " j )+ Z ( " j k " )+ + Z ( k " " i )+ Z ( k " " j )+ Z Z ( k " k " ) reemplazando los productos vectoriales entre paréntesis, se tiene: = k " + Z (- " j )+ (- k " )+ + Z " i + Z " j + Z (- " i ) Para mostrar esto, consideraremos la figura siguiente, que muestra dos vectores unidos por el origen y las paralelas a ellos. sen sen Fig Área del paralelogramo formado por 2 vectores. El área de este paralelógramo se calcula multiplicando la base () por la altura (sen 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 78

16 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - rea=sen Ejemplo 2.8 Que es igual a la magnitud del producto vectorial entre los vectores y. Note que el área del triángulo formado por los vectores y alguna de sus diagonales es justamente la mitad del área calculada. Encontrar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores del ejemplo 7. Solución: Según la definición de producto vectorial se tiene que: = u" Ejemplo 2.7 Encontrar el producto vectorial entre los vectores: De donde: "u = -26i " 17j " 5k" =3i+4j+2k " " " ; =i+3j-5k " " ". -26i " 17j " 5 k " "u 0,83i " 0,54 " j 0,16k" 31,5 Solución: de acuerdo a la definición se tiene: " i " j k" Que es el vector solicitado, cuya magnitud es 1 y dirección es la del vector. = i 15 2 j 9 4 k " " " =-26i " 17j 5k" 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. 79

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