Vectores, Rectas y Planos.

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1 Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F. wmora2@yahoo.com.mx Centro de Recursos Virtuales - CRV Reista digital Matemática, Educación e Internet Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica. CONTENIDO 1 GEOMETRIA VECTORIAL Introdución Vectores Notación Operaciones Básicas Igualdad Suma y resta Multiplicación por un escalar Propiedades de los ectores Producto punto y norma Propiedades del producto punto Norma 9

2 1.12 Propiedades de la norma Ángulo entre ectores Paralelismo, perpendicularidad, cosenos directores Proyección ortogonal Producto Cruz en R Propiedades del producto cruz 20 2 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Rectas Ángulo,paralelismo, perpendicularidad e intersección Planos. Ecuación ectorial, normal y cartesiana Paralelismo, perpendicularidad y ángulo Intersección entre recta y plano Distancia de un punto a una recta y a un plano. 39 Referencias 41

3 CAPITULO 1 GEOMETRIA VECTORIAL 1.1 INTRODUCIÓN Los ectores, que eran utilizados en mécanica en la composición de fuerzas y elocidades ya desde fines del siglo VII, no tuieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo I cuando Gauss usa implícitamente la suma ectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellaitis desarrolla sus equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equiale al cálculo ectorial de hoy. El paso siguiente lo da Hamilton, quien inicia el estudio de los ectores. Se le debe a él el nombre de ector producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado cuaterniones, muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los ectores. En este tema, estudiaremos los ectores en R n, las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actiidades interactias en 3D (en la ersión en internet) para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados. 2 Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F. Derechos Reserados c 2008 Reista digital Matemática, Educación e Internet (

4 VECTORES VECTORES A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos (a,b) R 2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a (0,0) y cada (a,b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje ) y la coordenada b en la recta ertical (eje ). Figura 1.1 Punto (a, b) Analógamente, los elementos (a,b,c) R 3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes, y ). Figura 1.2 Punto (a, b, c) Los ectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R 2 y en R 3. La dirección de la flecha indica la dirección del ector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

5 4 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( Figura 1.3 Vector (a, b) Figura 1.4 Vector (a, b, c) 1.3 NOTACIÓN Los ectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como, y, z. Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. En el contexto de los ectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursias tales como α, β, k. Si el punto inicial de un ector es A y el punto final es B, entonces = AB El ector nulo se denota con 0 = (0,0,,0) Para las subsecciones que siguen y con el afán de generalizar, estudiaremos las propiedades de los ectores en el R n. Un ector en el R n es un ene-tuple (x 1,x 2,,x n ) con cada x i R. A x i se le llama componente i-ésima del ector. 1.4 OPERACIONES BÁSICAS 1.5 IGUALDAD Dos ectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes. Definición 1

6 SUMA RESTA 5 Consideremos los ectores = ( 1, 2,, n ) R n y w = (w 1,w 2,,w n ) R n. Decimos que = w si y sólo si 1 = w 1, 2 = w 2,, n = w n. Ejemplo 1 Sea = (1,3,4) y w = (3,1,4), entonces w. w Figura SUMA RESTA La suma y resta se hace componente a componente Definición 2 Consideremos los ectores = ( 1, 2,, n ) R n y w = (w 1,w 2,,w n ) R n. + w = (1 + w 1, 2 + w 2,, n + w n ) w = (1 w 1, 2 w 2,, n w n ) Ejemplo 2 Sea = (1,3,4) y w = (3,1,4), entonces i.) + w = (4,4,8) ii.) w = ( 2,2,0)

7 6 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( +w w Figura w w Figura MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Un escalamiento de un ector, por un factor k, se logra multiplicando cada componente por el mismo número real k Definición 3 Consideremos el ector = ( 1, 2,, n ) R n y el escalar k R, entonces k = (k 1,k 2,,k n ) Ejemplo 3

8 PROPIEDADES DE LOS VECTORES 7 Sea = (1,3,4) entonces 2 = (2,6,8) ( ) 1 2 = 2 1, 3 2, Figura PROPIEDADES DE LOS VECTORES Teorema 1 Consideremos el ector, w, u R n y α,β R entonces = 2. + = = = 5. + w = w + 6. ( + w ) + u = + ( w + u ) 7. α( + w ) = α + α w 8. (α + β) = α + β

9 8 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( 9. (αβ) = α(β ) Ejemplo 4 i.) (1,1,3) + 5(2,2,3) + 2(0,1,2) = (1,1,3) + [5(2,2,3) + 2(0,1,2)] = (1,1,3) + (10,12,19) = (11, 13, 22) ii.) (1,1,3) +t (2,2,3) + s(0,1,2) = (1,1,3) + [t (2,2,3) + s(0,1,2)] = (1,1,3) + (2t, 2t + s, 3t + 2s) = (1 + 2t, 1 + 2t + s, 3 + 3t + 2s) 1.9 PRODUCTO PUNTO NORMA El producto punto (o escalar) es una operación entre ectores que deuele un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud. Definición 4 Consideremos los ectores = ( 1, 2,, n ) R n y w = (w 1,w 2,,w n ) R n. producto punto (o escalar) w se define de la siguiente manera El w = 1 w w n w n R Ejemplo 5 i.) Sean = ( 1,3,4) y w = (1,0, 2) entonces w = = ii.) Sea u = (a,b,c) entonces u u = a 2 + b 2 + c 2 De aquí se deduce que u u 0

10 PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO Teorema 2 Consideremos los ectores, w, u R n y α R entonces 1. 0 = 0 2. w = w 3. u ( + w ) = u + u w 4. (α ) w = α( w ) Obseración: no hay propiedad asociatia pues ( w u ) no tiene sentido dado que w u es un número real NORMA La norma define la longitud de un ector desde el punto de ista de la geometría euclideana Definición 5 Consideremos el ector = ( 1, 2,, n ) R n. La norma de se denota y se define de la siguiente manera = = n La distancia de A a B se define como d(a,b) = B A. De igual manera se define la distancia entre ectores. Ejemplo 6 i.) Sea w = (1,0, ( 2 ) 2 2) entonces w = = 3 ii.) La distancia de A = (x,y,z) a B = (1, 3,2) es B A = (x 1) 2 + (y + 3) 2 + (z 2) 2

11 10 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( PROPIEDADES DE LA NORMA Teorema 3 Consideremos los ectores, w R n y α R, entonces 1. 0 y = 0 si y sólo si = 0 2. α = α 3. w = w 4. + w + w (desigualdad triangular) 5. w w (desigualdad de Cauchy-Schwarz) Ejemplo 7 i.) (Vectores unitarios) Sea w = (1,0,2) entonces w w = 1 5 w w = = 1 5 i.) Sea w = (1,0,2) entonces 2w = 2 w = 2 5 Definición 6 Un ector se dice unitario si su norma es 1. Obsere que si w 0 entonces w w es unitario. El ector w = (cosθ,sinθ) es unitario.

12 ÁNGULO ENTRE VECTORES ÁNGULO ENTRE VECTORES A partir de la Ley de los cosenos podemos establecer una relación entre el producto punto, normas y ángulos, como se muestra a continuación. Ley de los cosenos. Si a,b y c son las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario, se tiene la relación c 2 = a 2 + b 2 2ab cosθ donde θ es el ángulo entre los lados de longitud a y b. Para isualizar esta ley usando ectores, consideremos el triángulo determinado por los ectors y w, como se muestra en la figura. - w a θ c b w Figura 1.9 entonces w = 2 + w 2 2 w cosθ ( ) ahora, puesto que w 2 = ( w ) ( w ) = 2 + w 2 2 w entonces, despejando en (*) obtenemos w = w cosθ En el caso del R n, si, w R n son ectores no nulos, entonces usando la desigualdad d Cauchy-Schwarz

13 12 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( w w y la propiedad del alor absoluto x k k x k para un número k 0, obtenemos y entonces w w w 1 w w 1 Se puede garantizar que para, w R n ectores no nulos, es posible encontrar un único θ [0,π] tal que Formalmente w = w cosθ Definición 7 Si, w R n son ectores no nulos, se dice que el único θ [0,π] tal que es el ángulo entre y w w = w cosθ Notación:, w denota el ángulo entre y w Como consecuencia tenemos una caracterización para ectores ortogonales. Recordemos que dos ectores son ortogonales si al menos uno de ellos es nulo o si el ángulo entre ellos es π/2. Entonces Teorema 4 Los ectores, w R n son ortogonales si y sólo si w = 0 Ejemplo 8 i.) Sean w = (1,0, 2) y = ( 2,1, 2) entonces w y son ortogonales pues w = = 0

14 ÁNGULO ENTRE VECTORES w Figura 1.10 ii.) Sean w = (1,0, 2) y = ( 2,1,1) entonces el ángulo entre w y es ( ) 1 θ = arccos dado que cosθ = w w ( ) ( ) w 1 = θ = arccos = arccos w w Figura 1.11

15 14 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( iii.) Sean = (1, 1,0) y w = (1,1,0). Consideremos el problema de encontrar un ector u R 3 que cumpla las tres condiciones siguientes u, u = 4, u, w = π 3 Para resoler el problema, supongamos que u = (x,y,z), entonces tenemos que u = 0 u = 4 = x y = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 16 = x = y 2x 2 + z 2 = 16 u w = u w cos π 3 x + y = 4 2cos π 3 x = 2 2cos π 3 de donde finalmente obtenemos que ( u = 2 2, 2 2, ±4sin π ) u -1. π/3 π/3 w u Figura PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, COSENOS DIRECTORES. Definición 8 Dos ectores u, R n distintos de cero 1. Son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π. En este caso u = λ, λ R

16 PROECCIÓN ORTOGONAL 15-1 λ (λ < 0).. λ (λ >0) Figura Son perpendiculares si el ángulo entre ellos es π/2. En este caso u = 0 3. Los cosenoss directores del ector w = OP = (w 1,w 2,w 3 ) son cosα = w 1 w, cosβ = w 2 w, cosγ = w 3 w donde α, β, γ son los ángulos directores de w α: ángulo entre OP y la parte positia del eje β: ángulo entre OP y la parte positia del eje γ: ángulo entre OP y la parte positia del eje Obsere que si w es unitario, entonces w = (cosα, cosβ, cosγ) 1.15 PROECCIÓN ORTOGONAL Geométricamente lo que queremos es determinar un ector que se obtiene al proyectar ortogonalmente el ector u 0 sobre el ector w. Si denotamos a este ector con proy u w entonces, de acuerdo con la figura, se debe cumplir que

17 16 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( u u - tw tw w Figura 1.14 proy u w = t w w ( u t = w ) = 0 proy u w = t w = w u w t w = 0 proy u w = t w t = = w u w w y finalmente proy u w = w u w w w Definición 9 Si u, R n con w 0, se llama proyección ortogonal de u sobre w al ector proy u w = w u w w w Proy w w Figura 1.15 Al ector u proy u w se le conoce como la componente de u ortogonal a w.

18 PROECCIÓN ORTOGONAL 17 Ejemplo 9 Sean u = (5,0, 2) y = (2,1, 2) entonces proy ( u w u w = 12 w w = w 7 (2,1, 24 2) = 7, 12 7, 12 ) 2 7 proy ( ) w w u u = 12 u u = u 27 (5,0, ) =, 0, Proy w 1. w Proy w Figura 1.16 Ejemplo 10 Sean = (3,1,0) y w = (2,2,0). Consideremos el problema de determinar un ector u R 3 tal que u = (x,y,x) y que cumpla las dos condiciones proy u = 2, u w entonces proy u = 2 u w = 0 = 3x+y 10 (3,1,0) = 2(3,1,0) 2x + 2y = 0 de donde obtenemos, resoliendo el sistema, x = 10, y = 10, con lo que u = ( 10,10, 10)

19 18 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( w -2 u Figura 1.17 Ejemplo 11 Consideremos un triángulo determinado por los puntos A,B,C R 3. Podemos calcular la altura y el área de la siguiente manera Sean u = B A, w = C A, entonces la altura es h = u proy u w. Luego, como la base mide w entonces Área = w u proy u w 2 u B A w h C w Figura PRODUCTO CRU EN R 3 El producto cruz entre dos ectores de R 3 se define de la siguiente manera

20 PRODUCTO CRU EN R 3 19 Definición 10 Consideremos los ectores u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 y = ( 1, 2, 3 ) R 3. El producto cruz u se define de la siguiente manera u = (u2 3 u 3 2 ) i (u 1 3 u 3 1 ) j + (u 1 2 u 2 1 ) k = (u 2 3 u 3 2 ) i + (u 3 1 u 1 3 ) j + (u 1 2 u 2 1 ) k xw w wx Figura 1.19 Recordemos que i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), entonces también podríamos escribir u = (u2 3 u 3 2, u 3 1 u 1 3, u 3 1 u 1 3 ) Esta fórmula se puede escribir en la forma de un determinante como sigue u = i j k u 1 u 2 u El producto cruz w es un ector que es tanto perpendicular a como a w. En general, con las propiedades que amos a establecer para este producto cruz, solamente sería posible definirlo en R 3 y R 7. El ector w se puede er como la dirección

21 20 Reista Digital Matemática, Educación e Internet ( de una recta que sire de eje de rotación única, perpendicular a y a w. En dos dimensiones no existe una tal dirección perpendicular a y a w. En cuatro o más dimensiones, esta dirección es ambigua. Una generalización,en cierto sentido, del producto cruz a n dimensiones es el producto exterior del algebra multilineal. El producto exterior w tiene magnitud u sinθ pero no es un ector ni un escalar, es una área dirigida o biector" [Gull], [?]. Este producto también comparte la propiedad w = w Ejemplo 12 Sean u = (5,0, 2) y = (2,1, 2) entonces u = i j k = ( 2, 3 2, 5) u = i j k = ( 2, 3 2, 5) u x u xu Figura PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRU Teorema 5

22 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRU 21 Consideremos los ectores, w, u R n y α R, entonces 1. u ( u ) = 0 2. ( u ) = 0 3. u 2 = u 2 2 ( u ) 2 (igualdad d Lagrange) 4. u = ( u ) 5. u ( + w ) = u + u w 6. ( u + ) w = u w + w 7. α( u ) = (α u ) = u (α ) 8. u 0 = 0 u = 0 9. u u = 0 Obsere que no tenemos una propiedad de asociatiidad para el producto cruz. De la propiedad 9 y la propiedad 7 podemos deducir que si dos ectores son paralelos, el producto cruz es cero u = u = α = u = 0 De la igualdad de Lagrange se puede deducir la fórmula u = u sinθ Consideremos un paralelogramo determinado por dos ectores u, R 3, como se e en la figura. Si θ es el ángulo entre estos ectores, el área del paralelogramo es A = u sinθ = u Consideremos un paralelelípedo en el espacio determinado por tres ectores no coplanares u,, w R 3, como se e en la figura. El olumen del paralelelípedo es

23 u h = u senθ u θ Figura 1.21 u w Figura 1.22 V = w ( u ) = Det u 1 u 2 u w 1 w 2 w 3 Ejemplo 13 El área del triángulo con értices en P = (1,3, 2), Q = (2,1,4), R = ( 3,1,6) es Área = PQ QR = 2 i j k =

24 6. R Q P Figura 1.23 CAPITULO 2 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F. Derechos Reserados c 2008 Reista digital Matemática, Educación e Internet ( 23

25 24 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO 2.1 RECTAS Consideremos la recta L que pasa por P y por Q. Esta recta es paralela al ector = PQ, por lo tanto, dado un punto R = (x,y,z) L, se debe cumplir que PR = t, o sea R P = t ; t R de donde (x,y,z) = P +t. L (x,y,z) P Q t Figura 2.1 Definición 11 Si L es una recta que pasa por los puntos P = (p 1, p 2, p 3 ), Q = (q 1,q 2,q 3 ), y si ponemos = Q P entonces 1. La ecuación ectorial de L es (x,y,z) = P +t,; t R 2. Despejando x,y z obtenemos las ecuaciones parámetricas de L x = p 1 +t 1 y = p 2 +t 2 z = p 3 +t 3

26 RECTAS Si cada i 0, despejando t obtenemos las ecuaciones simétricas de L x p 1 1 = x p 2 2 = x p 3 3 Ejemplo 14 Consideremos la recta L que pasa por P = (1,3, 2) y Q = (2,1, 2). = Q P = (1, 2,0), luego En este caso L -1 Q -2 P Figura Ecuación ectorial: (x,y,z) = (1,3, 2) +t (1, 2,0) 2. Ecuaciones parámetricas: x = 1 +t y = 3 2t z = 2 3. Ecuaciones simétricas: x 1 = y 3 2 ; z = 2.

27 26 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Obsere que el segmento que a de P a Q es el conjunto de puntos {P +t (Q P); t [0,1]} En particular, si t = 2 1, obtenemos el punto medio del segmento P P+Q (Q P) = 2 Q (P+Q)/2 P Figura ÁNGULO,PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD E INTERSECCIÓN Consideremos dos rectas, L 1 : (x,y,z) = P +t ; t R L 2 : (x,y,z) = Q + s w ; s R 1. L 1 L 2 si y sólo si w 2. L 1 L 2 si y sólo si w 3. El ángulo entre L 1 y L 2 es igual al ángulo entre y w

28 ÁNGULO,PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD E INTERSECCIÓN 27 L1 Q P w L2 Figura 2.4 L1 P Q w L2 Figura 2.5 Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta, las ecuaciones no son únicas. Consideremos el sistema P +t = Q + sw, o sea,

29 28 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO L2 P Q L1 Figura 2.6 t 1 sw 1 = q 1 p 1 t 2 sw 2 = q 2 p 2 t 3 sw 3 = q 3 p 3 Si este sistema tiene solución, entonces esta solución nos da el o los puntos de intersección entre L 1 y L 2. Como el sistema es lineal, puede pasar que hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto hay infinitas soluciones: las rectas coinciden no hay solución: las rectas no se intersecan Obsere que, para el cálculo de la intersección usamos un párametro distinto en cada recta. Esto es así porque el punto de intersección puede ser que se obtenga en cada recta, con un alor de parámetro distinto, por ejemplo: La recta L 1 : ( 1,3,1)+t (4,1,0) y la recta L 2 : ( 13,1)+s(12,6,3), se intersecan en el punto ( 17, 1,1). Este punto se obtiene con t = 4 en la primera recta y con s = 3 1 en la segunda recta. ( 17, 1,1) = ( 1,3,1) 4(4,1,0) ( 17, 1,1) = ( 13,1) 1 3 (12,6,3)

30 PLANOS. ECUACIÓN VECTORIAL, NORMAL CARTESIANA 29 Ejemplo 15 Consideremos la recta L 1 de ecuaciones simétricas x L 1 a en la dirección de = (3,2,1) = y = z 1 1. L 1 es paralela a la recta L 2 : (x,y,z) = (1,3, 2) +t (6,4,2) pues (6,4,2) = 2 2. L 1 es perpendicular a la recta L 3 : (x,y,z) = (0,2, 1)+t ( 1,0,3) pues ( 1,0,3) = 0 3. L 1 no interseca a L 4 : (x,y,z) = (0,0,1) +t (1,2,1) pues el sistema 3t s = 1 2t 2s = 2 t s = 0 no tiene solución (hay una clara inconsistencia entre las ecuaciones 2 y 3). L3 L3 L1 L2 Figura PLANOS. ECUACIÓN VECTORIAL, NORMAL CARTESIANA Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.

31 30 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Una manera muy coneniente de obtener una ecuación de un plano Π en R 3, que pasa por los puntos P, Q, y R; es obserar que los puntos (x,y,z) Π tienen la propiedad Esta ecuación es una ecuación normal de Π ( ) QP [(x,y,z) P] RP = 0 N=(Q-P) (R-P) R N (x,y,z) P Q Figura 2.8 Si ponemos N = QP RP = (a,b,c) y desarrollamos la ecuación anterior, obtenemos una ecuación cartesiana de Π ax + by + cz = N P Finalmente, podemos obserar que si (x,y,z) está en Π, entonces (x,y,z) = P +t QP + s RP; t,s R Esta es una ecuación ectorial de Π. Definición 12 Consideremos un plano Π que pasa por los puntos no colineales P,Q,R. 1. N = (a,b,c) es un ector normal al plano Π si N [(x,y,z) P] = 0 para cualquier (x,y,z) Π. 2. Si N = (a,b,c) es un ector normal al plano Π entonces

32 PLANOS. ECUACIÓN VECTORIAL, NORMAL CARTESIANA 31 P w Figura 2.9 sw t P t+sw (x,y,z)=p+t+sw Figura 2.10

33 32 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO se llama una ecuación normal de Π [(x,y,z) P] N = 0 3. Si N = (a,b,c) es un ector normal del plano Π entonces ax + by + cz = N P se llama una ecuación cartesiana del plano Π 4. Si = PQ y si w = PR entonces (x,y,z) = P +t + s w ; t,s R se llama una ecuación ectorial del plano Π Tres puntos P = (p 1, p 2, p 3 ), Q = (q 1,q 2,q 3 ) y R = (r 1,r 2,r 3 ) R 3 son no colineales si p 1 p 2 p 3 q 1 q 2 q 3 r 1 r 2 r 3 0 Ejemplo 16 Consideremos un plano Π 1 que pasa por los puntos no colineales P = (1,1,1), Q = (2,1,2) y R = (0,2, 1) 1. Ecuación ectorial: (x,y,z) = (1,1,1) +t (1,0,1) + s( 1,1, 2) 2. Ecuación cartesiana: un ector normal es N = QP RP = (1,0,1) ( 1,1, 2) = ( 1,1,1). Como N P = 1, una ecuación cartesiana es x + y + z = 1

34 PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD ÁNGULO 33 Q N P =Q-P R w=r-p Figura PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD ÁNGULO Definición 13 Consideremos la recta L 1 : (x,y,z) = P +t y los dos planos Π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 y Π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 Entonces, siendo N 1 = (a 1,b 1,c 1 ), y N 2 = (a 2,b 2,c 2 ), normales a Π 1 y Π 2, respectiamente, 1. Π 1 Π 2 si y sólo si N 1 N 2 2. Π 1 Π 2 si y sólo si N 1 N 2 3. El ángulo entre los planos es el ángulo entre los ectores normales

35 34 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO 4. Ł 1 Π 1 si y sólo si N 1 5. Ł 1 Π 1 si y sólo si N 1 N2 N1 N2P w Figura 2.12 N2 N1 Figura 2.13 Ejemplo 17 Consideremos tres puntos P = (0,0, 1), Q = (1,2,1), R = (1,4,4) no colineales. Para obtener un punto D tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo, debemos escoger D de la siguiente manera D = P + (Q P) + (R P) = Q + R P

36 PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD ÁNGULO 35 N L1 Figura 2.14 L1 N Figura 2.15

37 36 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Esto es así puesto que D debe estar en el plano que contiene a P,Q,R. Q P R D Figura 2.16 Ejemplo 18 Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano Π 1 que contenga a la recta L 1 : (x,y,z) = (1,2,1) +t (0,2,3) y al punto P = (0,0, 1) (que no está en L 1 ). Para encontrar la ecuación cartesiana del plano Π 1, buscamos tres puntos no colineales en este plano; el punto P que ya tenemos y dos puntos de la recta. Para obtener estos dos puntos de la recta, le damos una par de alores al parámetro t tal que nos generen al final tres puntos no colineales, digamos que ponemos t = 0 y t = 1. Así, tres puntos no colineales en el plano Π son P = (0,0, 1), Q = (1,2,1), R = (1,4,4) Obsere que = 2 0 Bien, ahora tomemos N = QP RP = (1,2,2) (1,4,5) = (2, 3,2). Como N P = 2, una ecuación cartesiana es 2x 3y + 2z = 2

38 PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD ÁNGULO 37 N Q-P P R-P Q R L Figura 2.17 Ejemplo 19 Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano Π 1 que sea paralelo a las rectas L 1 : (x,y,z) = (1,2,1) +t (0,2,3), L 2 : (x,y,z) = (1,0,1) +t (5,0,0) y que contenga al punto P = (1,1,1) De acuerdo a la teoría, un ector normal a Π debe ser perpendicular a (0,2,3) y a (5,0,0); entonces para encontrar la ecuación cartesiana del plano Π 1, podemos tomar N = (0,2,3) (5,0,0) = (0,15, 10). Como N P = 5, una ecuación cartesiana es 15y 10z = 5 L1 1 P 2 L2 N Figura 2.18 Ejemplo 20

39 38 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano Π 1 que sea perpendicular a la recta y que contenga al punto P = (1,1,1) L 1 : (x,y,z) = (1,2,1) +t (0,2,3) Para encontrar la ecuación cartesiana del plano Π 1, podemos tomar N = (0,2,3). Como N P = 5, una ecuación cartesiana es 2y + 3z = 5 N L P Figura INTERSECCIÓN ENTRE RECTA PLANO Para obtener la intersección entre una recta L 1 : (x,y,z) = P + t y el plano Π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1, lo que hacemos es despejar x, y y z en la ecuación de la recta y sustituimos este despeje en la ecuación del plano. Resolemos para t, si la solución es única, con este alor de t obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta. Obsere que la ecuación en t puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (si no hay intersección).

40 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA A UN PLANO. 39 L Figura 2.20 Ejemplo 21 Consideremos el problema de obtener la intersección, si hubiera, entre el plano Π : x 2y + 3z = 1 y la recta L : (x,y,z) = (1,2,1) +t (0,2,3) Las ecuaciones parámetricas de L son x = 1 y = 2 + 2t z = 1 + 3t Luego, sustituyendo en la ecuación de Π queda 1 2(2 + 2t) + 3(1 + 3t) = 1 = t = 1 5 Finalmente, sustituyendo en la ecuación de L, obtenemos el punto de intersección (1, 12 5, 8 5 ) 2.6 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA A UN PLANO. Podemos usar las ideas geométricas istas en las secciones anteriores para deducir fórmulas para calcular la distancia de un punto a un plano y la distancia de un punto a una recta. Esta distancia se calcula como la longitud de la perpendicular del punto al plano o a la recta, por eso no es raro obtener fórmulas usando la proyección ortogonal 1. Distancia de un punto a un plano

41 40 RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Consideremos un plano Π, con ector normal N, que contiene a un punto P. La distancia d(q,π) de Q a Π es PQ d(q, Π) = Proy N = (Q P) N N Π d(q, ) Q N R d(q, Π)= proy QP N P Π Figura Distancia de un punto a una recta Consideremos una recta L : (x,y,z) = P +t, la distancia d(q,l) de Q a L es d(q,l) = PQ PQ Proy L PQ PQ d(q,l)= - proy Q proy PQ P Figura 2.22

42 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA A UN PLANO. 41 REFERENCIAS [Kunze] Hoffman, K. y Kunze, R Álgebra Lineal". Ediciones acatenco [Anton] Anton, H. Introducción al Álgebra Lineal". Limusa [Grossman] Grossman, S. Álgebra Lineal". Ed. Iberoaméricana. [Arce] Arce, C. et al Álgebra Lineal". UCR [Noble] Noble, D. Algebra Lineal Aplicada". Prentice-Hall [Gull] Gull Sthephen et al. The Geometric Algebra of Spacetime". Found. Phys. 23(9) (1993) [González] González, R. Trataise of Plane Geometry Through Geometric Algebra". Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F. Derechos Reserados c 2008 Reista digital Matemática, Educación e Internet (