Figura 1. Teoría y prática de vectores

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo de su medid. Si se trtn de mgnitudes físis, vn ompñds de l unidd orrespondiente. Ejemplos: longitud, volumen, peso espeífio, densidd, presión, trjo, tiempo, et. Otrs mgnitudes no quedn determinds dndo solo un número (omo l veloidd o el desplzmiento) sino que he flt onoer tmién su direión sentido. Ests son ls mgnitudes vetoriles. Ls mgnitudes eslres pueden ser representds sore un ret en l ul se elige un origen un unidd; el número rel resultdo de l medid se represent on un segmento desde el origen siendo el número su medid. Ls mgnitudes vetoriles se representn on segmentos de longitud vriles on l direión sentido que orresponde. Vetores Cundo neesitmos identifir el vlor de un longitud nos st on indir el número que epres el vlor medido l unidd on que se midió. En el so de un lápiz, por ejemplo deimos que mide 15 m donde el número 15 es l ntidd de vees que l unidd elegid, el m, está ontenid en el lápiz. Lo mismo suede si lo que indimos es el volumen de un reipiente, por ejemplo un otell o un vso. Un detlle importnte es que si, por ejemplo, tenemos vrios reipientes on un líquido semos el ontenido de d uno de los reipientes; pr ser el ontenido totl lo únio que neesitmos her es sumr el ontenido de d uno de ellos. Est sum se puede her sin preouprnos por el orden en que los summos. El resultdo es independiente del orden; en mtemátis diremos que es sum es onmuttiv. H en físi otro tipo de situiones que no son tn simples de desriir; un de ells es, por ejemplo, el movimiento de un uerpo. Si desplzmos un uerpo por un hitión no result lo mismo que lo llevemos de un esquin l ventn que de l mism esquin l puert. Aunque l distni se l mism el resultdo finl no es el mismo (Figur 1) Cundo tenemos un situión en que no st l longitud reorrid sino que demás deemos indir su sentido direión es neesrio otro tipo de ente mtemátio que nos filite l desripión del fenómeno. Este nuevo ente mtemátio que vmos desriir es el vetor. Figur 1 Iniilmente identifiremos un vetor omo un segmento orientdo. L longitud del segmento será proporionl l vlor de l mgnitud que represent lo llmmos módulo; en el ejemplo nterior es el vlor del desplzmiento del uerpo en l hitión. L direión del segmento indi l direión en l que el fenómeno onsiderdo está tundo; en el ejemplo, l direión del uerpo en l hitión. Con l fleh indimos el sentido del vetor, en el ejemplo, indimos el sentido de desplzmiento del uerpo de l esquin l ventn no l invers. Teorí práti de vetores 1

2 Definiión de vetor: Se llm vetor todo segmento orientdo. El primero de los puntos que lo determin se llm origen el segundo de ellos etremo del vetor. Pr que un mgnitud vetoril quede determind es neesrio onoer: módulo o intensidd: Nº rel positivo que represent l medid del vetor u notión es: 0 direión: ret que ontiene l vetor o prlel él (ángulo que form l ret que ontiene l vetor on el eje horizontl). Sentido: un de ls dos orientiones posiles de l ret. Figur 2 : determin l direión del vetor respeto de un direión tomd omo refereni Direión de refereni Ejemplos de mgnitudes vetoriles: desplzmiento, veloidd, elerión, fuerz, et. Vetor desplzmiento Pr entender mejor los vetores su ominión, omenemos on l ntidd vetoril más simple, el desplzmiento, que es un mio en l posiión de un punto. L Figur 3 muestr l tretori de un prtíul que se mueve desde el punto P 1 hst un segundo punto P 2 luego un terer punto P 3. El desplzmiento de P 1 P 2 viene representdo por el vetor el desplzmiento de P 2 P 3 Por. Osérvese que el vetor desplzmiento depende sólo de los puntos etremos no de l tretori rel de l prtíul; no se relion diretmente on l distni totl reorrid. Si l prtíul volvier P 1, el desplzmiento totl serí ero. P 1 Figur 3 P 2 P 3 Al diujr digrms on vetores, deemos usr un esl deud, en l que l distni en el digrm se proporionl l mgnitud del vetor. Por ejemplo, un desplzmiento de 5 km podrí representrse on un vetor de 1 m en el digrm lo notrímos omo ESC. Desplzmiento = 5 km/1m Al trjr on ntiddes vetoriles distints los desplzmientos, omo por ejemplo fuerzs, tmién deemos doptr un esl. En un digrm de vetores de fuerz podrímos representr un fuerz de 4 N on un vetor de 1 m. Entones, un vetor de 5 m representrí un fuerz de 20 N lo notrímos omo ESC. Fuerz = 4 N/1m IGUALDAD DE VECTORES Dos vetores son igules si sólo si tienen igul módulo, igul direión e igul sentido. = = ( ó = ) // sentido = sentido Operiones on vetores Sum de vetores Pr otener gráfimente l sum de vetores tenemos: Regl del prlelogrmo. Regl del polígono. Teorí práti de vetores 2

3 En l Figur 1 el desplzmiento resultnte de P 1 P 3, llmdo, es l sum de los dos desplzmientos suesivos : = + El resultdo finl es el mismo que si l prtíul huier prtido del punto P 1 huier sufrido un solo desplzmiento hst P 3. Llmmos omo vetor sumtori, o resultnte de los desplzmientos. Dos vetores se sumn gráfimente situndo el origen de uno en el etremo del otro (Figur 4). El vetor resultnte se etiende desde el origen del primer vetor l etremo finl del segundo. Un form equivlente de sumr vetores es el llmdo método del prlelogrmo, que onsiste en desplzr hst que oinid su origen on el de. L digonl del prlelogrmo formdo por es igul. Como puede verse en l Figur 5, no eiste difereni en el orden en que sumemos los vetores; es deir + = +. = + Figur 4 Si neesitmos sumr más de dos vetores, podemos sumr primero dos ulesquier luego sumr l resultnte l terero sí suesivmente. Figur 5 Vetor opuesto Ddo un vetor (Figur 6) se define el vetor opuesto de todo vetor = - tl que sumdo on de ómo resultdo el vetor nulo ( 0 ) uo módulo es ero. + = +(- ) = 0 Responde justifi: Qué direión, sentido módulo tendrá el vetor opuesto? Rest, sustrión o difereni de vetores Ddos dos vetores del l Figur 7, se define omo l difereni de menos un vetor d tl que: Sumdo d omo resultdo. - = d d + = = - Figur 6 d OBSERVACION: l sum d + se he on l regl del triángulo (polígono de 3 ldos). Figur 7 Responde justifi: Es onmuttiv l difereni entre dos vetores? Produto de un vetor por un eslr Ddo un vetor un eslr R, se define =. l vetor que tiene: ) =. =. El módulo es igul l produto del vlor soluto del eslr por el módulo de ) = // L direión es l mism que l del vetor =. ) sentido. = sentido El sentido de es el mismo sentido que si es positivo sentido El sentido de es opuesto l sentido de si es negtivo Teorí práti de vetores 3

4 VERSOR. Todo vetor u de módulo unidd se llm versor. u es un versor u = 1 Ddo un vetor prlelo un versor (en este so es u ) eiempre se puede enontrr un nº (un eslr) que multiplido por el versor es igul l vetor. Si // u R tl que = u OBSERVACIONES: 2. Figur 1-8 Ejemplos: = 3. u u - 0,5. = - 2. u =. u =. 1 = = = + si el sentido de es igul l sentido de u = - si el sentido de es opuesto l sentido de u Figur 9 Desomposiión de un vetor en dos direiones oplnres. Pr desomponer un vetor en dos direiones oplnres, r 1 r 2 (Figur 10), se trzn por el origen el etremo del vetor prlels ls direiones dds quedndo determindos los vetores 1 2 omo se indi en l figur. Amos vetores, 1 2, son ls omponentes vetoriles de según ls direiones dds. L desomposiión de un vetor en dos direiones oplnres es úni. = r // r 1 // r 2 Componentes de los vetores Hst hor summos vetores utilizndo métodos gráfios, doptndo esls relizndo los digrms, pero l etitud de ls mediiones es mu limitd. Neesitmos un método simple pero generl pr sumr vetores: el método nlítio de omponentes. Pr definir ls omponentes de un vetor prtimos de un sistem retngulr de ejes oordends (rtesino) (Figur 11) diujmos el vetor en uestión on su origen en O. Podemos representr ulquier vetor en el plno omo l sum de un vetor prlelo l eje uno prlelo l eje. Rotulmos esos vetores en l figur; son los vetores omponentes del vetor su sum vetoril es igul : Figur 10 O Figur 11 = + Teorí práti de vetores 4

5 Por definiión, d vetor omponente tiene l direión de un eje de oordends, por lo que sólo neesitmos un número pr desriirlo. Si el vetor omponente de punt hi l direión positiv, definimos el número omo positivo si punt en l direión negtiv, es igul l negtivo de dih mgnitud, teniendo presente que l mgnitud en sí de un vetor nun es negtiv. Definimos el número del mismo modo. son ls omponentes de. Ls omponentes de un vetor son sólo números que pueden ser positivos o negtivos, no son vetores. Por ello ls simolizmos on letrs delgds, en vez de ls letrs negrits ursivs que están reservds pr los vetores. Podemos lulr ls omponentes de si onoemos su módulo, direión sentido. Desriimos l direión sentido de un vetor on el ángulo de refereni (l letr grieg thet ) que se mide en un sistem de ejes ortogonles -, en giro ntihorrio ( ) desde l semi-ret positiv del eje hst l ret de direión del vetor. Si medimos de est mner, por l definiión de ls funiones trigonométris: os = / =. os (1) sen = / =. sen (2) En l Figur 11 son positivos porque su direión está en el primer udrnte (entre 0 90 ). Esto es ongruente on ls euiones (1) (2) pues tnto el oseno omo el seno del ángulo son positivos en este udrnte. En mio, en l Figur 12, l omponente es negtiv; su direión es opuest l del eje +. Esto tmién es ongruente on ls euiones (1); el oseno de un ángulo en el segundo udrnte es negtivo. L omponente es positiv (sen es positivo en el segundo udrnte), en l Figur 12, tnto omo son negtivs (os sen son negtivos en el terer udrnte), en l Figur 12, l omponente d es negtiv; Esto tmién es ongruente on ls euiones (2); el seno de un ángulo en el urto udrnte es negtivo. Podemos desriir un vetor plenmente dndo su mgnitud direión o ien sus omponentes e. Ls euiones (1) (2) indin ómo otener ls omponentes si onoemos l mgnitud l direión. Tmién podemos invertir el proeso otener l mgnitud l direión prtir de ls omponentes. Aplindo el teorem de Pitágors l Figur 11, vemos que l mgnitud de un vetor es: Donde siempre tommos l ríz positiv. L euión (3) es válid pr ulesquier ejes e, en tnto sen perpendiulres. L epresión pr l direión vetoril proviene de l definiión de l tngente de un ángulo. Si medimos desde el eje +, un ángulo positivo se mide hi el eje +, entones: Teorí práti de vetores (-) (+) B tg = () () () Figur 12 = (-) = rtg 5 C (-) (3) d (-) (4) D d (+) d

6 En el uso de l euión (4) h un pequeñ ompliión, undo lgun de ls omponentes se negtiv, es onveniente lulr (Figur 12) pero on ls omponentes on signo positivo. Pr el vetor B de l Figur 12: = rtg Pr el vetor C de l Figur 12: = rtg Pr el vetor D de l Figur 12: = = = rtg d d d = Sum de vetores utilizndo omponentes Vemos ómo usr omponentes pr lulr l resultnte de dos o más vetores. L Figur 13 muestr dos vetores, su sum junto on ls omponentes e de los vetores. Es evidente que l omponente es l resultnte de l sum ( + ) de ls omponentes de los vetores sumdos. Lo mismo suede on ls omponentes. En símolos: = + = + (5) (Componentes de R = A + B) Figur 13 Si onoemos ls omponentes de dos vetores ulesquier, tl vez usndo ls euiones (1) (2), podemos lulr ls omponentes de l resultnte. Entones, si neesitmos l mgnitud l direión de podremos otenerls de ls euiones (3) (4), mindo ls por. Es fáil etender este proedimiento ulquier ntidd de vetores, ls omponentes de son: = d +. = d +. Por último, unque nuestro nálisis de l sum de vetores se entró en ominr vetores de desplzmiento, el método se puede plir igulmente tods ls demás ntiddes vetoriles. Al estudir el onepto de fuerz veremos que ls fuerzs son vetores que oedeen ls misms regls de sum vetoril que usmos on el desplzmiento. Vetores unitrios Un vetor unitrio es un vetor on mgnitud 1, sin uniddes. Su únio fin es direionr, o se, desriir un direión en el espio. Los vetores unitrios son un notión ómod pr muhs epresiones que inluen omponentes de vetores. En un sistem de oordends - (Figur 14) podemos definir un vetor unitrio que punte en l direión del eje + un vetor unitrio que punte en l direión +. Así, podemos epresr l relión entre vetores omponentes omponentes, omo sigue: = A i Figur 14 = A j (6) Asimismo, podemos esriir un vetor en términos de sus omponentes omo: = A i + A j (7) A j i A Teorí práti de vetores 6

7 2,0 km Ls euiones (6) (7) son vetoriles; d término, omo es un vetor (Figur 1-14). Los signos igul más indin iguldd sum de vetores. Cundo representmos dos vetores en términos de sus omponentes, podemos epresr l resultnte usndo vetores unitrios omo sigue: = A i + A j = B i + B j = + = (A i + A j ) + (B i + B j ) = (A + B ) i + (A + B ) j (8) L euión (8) plnte el ontenido de ls euiones (5) en form de un sol euión vetoril en lugr de dos euiones de omponentes. Si todos los vetores no están en el plno, neesitremos un terer omponente. Introduimos un terer vetor unitrio k que punt en l direión del eje +z. Ls forms generlizds de ls euiones (7) (8) son: = A i + A j + A z = (A + B ) i + (A + B ) j + (A z + B z ) k = C i + C j + C k k Prolems 1- Un empledo postl ondue su mión por l rut de l Figur 15. Clulr el módulo, direión sentido del desplzmiento resultnte en un digrm en esl. FIN * 3,0 km 4,0 km Verifir on un ejemplo l siguiente sum vetoril: 3- Ddos los vetores de l Figur 16, use un diujo en esl pr otener el módulo, direión sentido de: ) L sum ) L difereni 4 - En se ls respuests ) ) del prolem 3 (Figur 16), deduz el módulo, direión sentido de: ) ) INICIO - * N 0 E Figur = + + S Teorí práti de vetores 7

8 30,0 = 9,00 m = 12,0 m 60,0 30,0 36,9 = 12,0 m = 6,00 m = 15,0 m Figur Clule ls omponentes e de los vetores de l Figur Verifir los resultdos otenidos en el 5 gráfimente. Figur Se el ángulo el que form el vetor on el eje +, medido en sentido ntihorrio prtir de ese eje. Clulr el ángulo pr un vetor que tiene ests omponentes: ) = 2,00 m, = - 1,00 m; ) = 2,00 m, = 1,00 m, ) = - 2,00 m, = 1,00 m, d) = - 2,00 m, = - 1,00 m. 8- Utilizndo el método de omponentes, verifir el módulo, direión sentido del desplzmiento resultnte del empledo postl que ondue el mión por l rut de l Figur Pr los vetores de l Figur 16, use el método de omponentes pr otener el módulo, direión sentido de: ) + ; ) l difereni vetoril El vetor tiene omponentes = 2,70 m, = 2,25 m; el vetor tiene omponentes = 0,30 m, = 1,75 m. ) Clulr ls omponentes de l resultnte + ) Clulr el módulo, direión sentido de + ) Clulr ls omponentes del vetor difereni - d) Clulr l el módulo, direión sentido de Un utomovilist ondue 3,25 km l norte, 4,00 km l oeste 1,50 km l sur. Clulr el módulo, direión sentido del desplzmiento resultnte utilizndo el método de omponentes. 12- En un digrm de sum de vetores (en esl), muestre que el desplzmiento resultnte otenido en el prolem 11 oinide untittivmente on el otenido on el método de omponentes. 13- Esriir los vetores de l Figur 16 en términos de los vetores unitrios i j 14- Esriir los vetores de l Figur 17 en términos de los vetores unitrios i j 15- De l Figur 16: ) Utilizndo vetores unitrios lulr el vetor, donde = 3, ,00. ) Clulr el módulo, direión sentido de Qué otenemos si multiplimos un vetor por un eslr igul -1? Teorí práti de vetores 8

9 1.17- Ddos dos vetores: = 4,00 m i + 3,00 m j = 5,00 m i - 2,00 m j ) Clulr el módulo de d vetor. ) Clulr - usndo vetores unitrios. ) Otener el módulo, direión sentido de - d) Diujr un digrm vetoril que muestre demuestre que oinide on su respuest l prte (). RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES 1-7,4 km ) 6,3 m 76 ) 20,1 m = 6,00 m; = 10,4 m ; = - 3,00 m ; = - 5,20 m ; = 12,0 m ; = - 9,00 m 7- ) 333 ) 26,6 ) 153 d) ) 6,16m 76,9 ) 20,3 m ,37 km = - 9,00 m i = 10,4 m i + 6,00 m j 15- ) - 47,8 m i - 12,0 m j ) 49,3 m ) = 5,00 m; = 5,38 m ) - = -1,00 m i + 5,00 m j ) - = 5,10 m = 101 Teorí práti de vetores 9

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