MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

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1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES El movimiento no puede estar limitado a una carretera recta ni a un caída o vuelo vertical, es decir, a una sola dimensión. Cuando caminamos, conducimos o navegamos, nos movemos libremente por una superficie, es decir nos movemos en dos dimensiones. La utilización de números positivos y negativos para designar la dirección del movimiento es adecuado para el movimiento en una dimensión pero no lo es para el movimiento en dos dimensiones. En esta unidad vamos a utilizar una nueva herramienta para describir el movimiento en dos dimensiones: el vector. MAGNITUDES VECTORIALES Y ESCALARES. El movimiento en dos dimensiones presenta múltiples posibilidades: Uno puede dirigirse hacia el norte, hacia el sur, hacia el este, hacia el oeste, o hacia cualquier dirección intermedia. Una pelota se puede lanzar en dirección vertical, en dirección horizontal o con cualquier ángulo. Podemos movernos describiendo un circulo o cualquier otra trayectoria curvilínea. Para describir estos movimientos no solamente ha de contestar cuestiones como a qué distancia? y con qué velocidad? sino también en qué dirección?. En la unidad anterior determinamos la posición mediante un solo número que medía la distancia a un punto que se tomaba como origen, con signo positivo o negativo para especificar una de las dos posibles direcciones en una dimensión. Para determinar la posición en dos dimensiones podemos también utilizar la distancia a un origen, pero además necesitamos otro número, que es el que mide un ángulo relativo a otro eje. Una magnitud que para su completa determinación necesita dos números (módulo y dirección) se denomina vector. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha.; su longitud representa el módulo o valor de la magnitud, y la orientación representa la dirección del vector. En dos dimensiones la posición es una magnitud vectorial, así como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Las magnitudes vectoriales se representa mediante letras negritas (en la escritura manual indicaremos el carácter vectorial trazando una pequeña flecha sobre el símbolo). Por el contrario una magnitud escalar es aquella que queda completamente especificada por un solo número. Como ejemplos de magnitudes escalares podemos citar el tiempo, la masa y la temperatura.. SUMA DE VECTORES Para indicar la posición de un objeto se utiliza un vector. La figura muestra un vector r 1 que indica la posición de un objeto situado a m del origen y en una dirección que forma un ángulo de 30 0 con la horizontal. Cuál será la posición del objeto si se desplaza 1m hacia la derecha? La nueva posición viene determinada por el vector r, que se obtiene sumando a r 1 el vector r que es de 1m de largo, dirección horizontal y hacia la derecha. Para realizar la suma situamos el origen del vector r en el etremo del vector

2 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I r 1 ; el etremo de r será el etremo del vector suma (r ) y su origen el mismo que la del vector inicial. r r 1, r De esta manera definimos la suma de dos vectores cualesquiera. Para sumar dos vectores se sitúan cabeza con cola, y el vector suma es un vector trazado desde la cola del primero hasta la cabeza del segundo. Simbólicamente se escribe r = r 1 + r EJEMPLO. Determina el vector r de la figura siguiente: r =1,0 r 1 =,0m r Razonamiento: El problema se reduce a calcular un cateto lado de un triángulo rectángulo del cual conocemos la hipotenusa y el otro cateto. Para ello aplicaremos el teorema de Pitágoras Cálculo: r = r 1 + r r = r 11 + r r = r =, m (,0m) + ( 1,0m) La suma de tres o más vectores es una simple etensión de la suma de dos. Para sumar A + B + C, primero se suma A y B y luego al vector A + B se le suma el C. Suma de vectores 1. Un vector A tiene una longitud de 3,0 unidades y forma un ángulo de 45 0 sobre la horizontal. Otro vector B es de,0 unidades de longitud y forma un ángulo de 30 0 por debajo de la horizontal. Calcular gráficamente el vector suma A + B.

3 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 3. Tres vectores A, B y C tienen la misma longitud L y forman un triángulo, tal como se muestra en la figura. Determinar la magnitud y dirección de los vectores: a) A+B y b)a+b+c B A C DIFERENCIA DE VECTORES A partir de la suma de vectores se deduce la diferencia de vectores Si r = r 1 + r, r= r - r 1 El vector diferencia de dos vectores se obtiene colocando en un mismo punto los orígenes de los vectores que se van a restar, y uniendo sus etremos por un segmento que será la dirección y la magnitud del vector diferencia, cuyo etremo será el del vector minuendo. EJEMPLO Diferencia de vectores Dos vectores A y B de longitudes 4 unidades y 3 unidades respectivamente forman un ángulo de Determinar el A - B Razonamiento: El vector que se ha de determinar es uno de los lados del triángulo que resulta al unir los dos etremos de los dos vectores, A A-B B del cual conocemos dos lados (la longitud de los vectores A y B) y el ángulo que forman ambos vectores. Como este ángulo es de 90 0 el triángulo es un rectángulo, del cual conocemos los dos catetos, y el lado a determinar es la hipotenusa. Mediante el teorema de Pitagoras calcularemos la hipotenusa que es la dirección y la longitud del vector A- B. El etremo de este vector será el del vector minuendo(a) Cálculo: A B = A + B A B = 4 3 = 5unidades EJERCICIO 3.Del ejercicio calcular el vector A - B. Del ejercicio calcular A+B-C VECTOR POSICIÓN Y VECTOR DESPLAZAMIENTO En el movimiento en dos dimensiones la posición se determina mediante un vector trazado desde un origen arbitrario a la posición considerada. Este vector se designa por r (vector posición).

4 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 4 Cuando un móvil puntual pasa de una posición inicial(r 0 ) a otra posición final(r), su desplazamiento ( r) se define como el vector cuyo origen coincide con la posición inicial y su etremo con la posición final.este vector es la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial, es decir. r = r - r 0 4. Un hombre camina 5 m hacia el norte y luego 6 m hacia el este. Cuál será el desplazamiento? 5. Si caminas hacia el oeste 0m, entonces giras 45 0 hacia el norte y caminas 50 m. A que distancia y que dirección te encontrarás al final del recorrido respecto al punto de partida? 6. Puede tener el desplazamiento de una partícula un módulo menor que la longitud del camino recorrido por ella? y al contrario? 7. En que caso el desplazamiento de una partícula es nulo y el camino recorrido no es nulo? PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Si dos móviles parten del mismo punto y en la misma dirección, pero uno con doble rapidez que el otro, en un mismo tiempo realizarán vectores desplazamientos iguales ecepto que uno será el doble de largo que el otro. Si el desplazamiento del móvil más lento es r el del móvil con doble rapidez será r. Cuando un vector se multiplica por un escalar solo cambia la longitud del vector. En el caso de que el vector sea negativo además de la longitud cambiará el sentido 8. Dos vectores A y B tienen la misma longitud A y forman un ángulo recto. Cuál es la longitud o módulo del vector A + B? 9. Dos vectores A y B tienen la misma longitud A. El vector A está dispuesto horizontalmente hacia la derecha, mientras B forma un ángulo de 30 0 con la horizontal. Calcular el módulo de A - B.

5 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 5 SUMA DE VECTORES A PARTIR DE SUS COMPONENTES considerar vector suma o vector resultante de otros. En la figura un vector r es vector resultante de dos vectores r en la dirección del eje y r y en la dirección del eje y Y º r r y r = r + r y ϕ r X r y r y se denominan vectores componentes del vector r. Las cantidades r y r y son las llamadas componentes del vector r., que son las proyecciones de r sobre los ejes e y. Los vectores componentes a menudo se epresan como el producto del valor del vector componente multiplicado por un vector unitario.este vector unitario tiene de módulo la unidad y de dirección uno de los ejes. El vector unitario con dirección del eje X se representa por i, y el vector unitario con dirección Y se representa por j. Un vector r se puede epresar en función de los vectores unitarios de la siguiente manera: r = r i + r y j Las componentes de un vector se pueden calcular a partir del módulo del vector y el ángulo mediante las fórmulas r = rcosϕ r y = rsenϕ Recíprocamente se pueden calcular el módulo y el ángulo del vector a partir de las componentes a partir de las fórmulas r r = r + ry tangϕ = ry Vamos a sumar vectores a partir de las componentes. Si observamos la figura vemos que las componentes del vector suma de dos vectores (A + B) es igual a la suma de las componentes de los vectores sumando. B y B C = A + B A y A C C y = A y + B y A B

6 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 6 El vector suma de varios vectores se obtiene sumando las respectivas componentes de los vectores sumando. EJEMPLO Suma de vectores a partir de sus componentes Y A 4m α=60 0 X β=45 0 De los vectores A y B de la figura determinar: a) sus componente e y. b) el vector A + B c) el vector A -B 5 m B Razonamiento: Las componentes de cada vector se obtienen determinando sus proyecciones sobre los ejes X e Y. Cada componente se calcula multiplicando la longitud del vector por el coseno que forma con el correspondiente eje. A = Acosα A y =Acos90-α)=Asenα B = Bcosβ B y =Bcos(90 0 -β)=bsenβ Los vectores A + B y A -B los obtenemos sumando y restando las componentes (A + B) = A + B (A + B) y = A y + B y (A -B) = A - - B (A - B) y = A y - B y Cálculo: a) A = 4,0m.cos 60 0 =,0 m B =5,0mcos45 0 = 3,5 m A y = 4,0m sen60 0 = 3,4 m B y = 5,0msen45 0 = 3,5 m b) (A +B) =,0 m + 3,5 m = 5,5 m (A +B) y = 3,4 m + 3,5 m = 6,5 m c) (A -B) =,0 m - 3,5 m = -1,5 m (A -B) y = 3,4 m - 3,5 m = -0,1 m 10.Calculas las componentes del vector A de la figura para los siguientes valores: a) A=5,0m ϕ=30 0, b) A=,5 m/s ϕ=60 0.Epresar los resultados en función de los vectores unitarios

7 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 7 y A ϕ 11.Hallar el módulo dirección y sentido del los vectores cuyas componentes son: a) A = 4 m y A y = m b)b =-3m/s y B y =4 m/s. 1.Hallar las componentes de los vectores A + B y A -B. Epresándolas en función de los vectores unitarios Siendo las componentes A y B las mismas de la cuestión Hallar el módulo dirección y sentido de los vectores de la cuestión anterior. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN VECTOR VELOCIDAD En la vida cotidiana cuando utilizamos el término velocidad nos referimos generalmente a la rapidez. El velocímetro de un coche nos indica si el movimiento es rápido o lento, pero nunca nos dirá hacia donde nos movemos. En Física la velocidad al igual que el desplazamiento es una magnitud vectorial por lo que tiene un módulo una dirección y un sentido. La velocidad media se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo invertido, es decir: v med r = = t r t f f + r i t i Y P i t i r i s r r f P f t f O X En la figura vemos que el vector desplazamiento no coincide con la distancia recorrida. Solo coincidirían si la trayectoria fuera rectilínea.

8 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 8 EJERCICIO 14. Qué tienen en común el vector velocidad y el vector desplazamiento? Si los intervalos de tiempo se van haciendo más pequeños el módulo del desplazamiento se aproima a la distancia recorrida( la cuerda se aproima al arco) y la dirección del vector desplazamiento tiende a la dirección tangente a la curva en el punto P i. La velocidad instantánea se define como el límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero. v = lim r t 0 t La dirección de la velocidad instantánea será la de la tangente a la trayectoria, el sentido será el de avance de la partícula y el módulo será la rapidez instantánea. EJEMPLO Un vuelo de Sevilla a Barcelona con escala en Madrid Un avión parte de Sevilla en vuelo a Barcelona con parada en Madrid. Volando 60 0 noreste el avión recorre 500 km y aterriza en Madrid habiendo invertido en el vuelo 40 min. Después de permanecer en tierra 30 min el avión despega hacia Barcelona que está 600 km en un dirección 45 0.El avión llega a Barcelona 55 min después de salir de Madrid. Calcular la velocidad media del avión en el vuelo Sevilla-Barcelona. Razonamiento: Lo primero que hay que hacer es dibujar el diagrama vectorial escogiendo previamente un sistema de referencia. Pueden ser unos ejes cartesianos oeste - este y norte - sur. con el origen en Sevilla. A continuación dibujamos los vectores para cada uno de los desplazamiento ( r SM y r MB ). El desplazamiento de Sevilla a Barcelona es igual a la suma del desplazamiento de Sevilla a Madrid y el desplazamiento de Madrid a Barcelona. N Y Barcelona r MB =600km r SB= r SM + r MB Madrid ϕ= 45 0 r SB r SM =500km β=60 0 X E O Sevilla S Calculamos las componentes de estos desplazamientos utilizando vectores unitarios. r SM = r SM cosβ r SMy = r SM senβ r SM = r SM i + r SMy j

9 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 9 r MB = r MB cosϕ r MBy = r MB senϕ r MB = r MB i + r MBy j r SB = ( r SM + r MB ) i + ( r SMy + r MBy )j Para calcular la velocidad media dividiremos el desplazamiento por el tiempo total invertido en ir desde Sevilla a Barcelona Cálculo: r SB =(500km.cos kmcos45 0 )i + (500kmsen kmsen45 0 )j = 674kmi + 857kmj 1h t = 40 min + 30 min + 55 min = 15 min = 1, h 60min v m = 674kmi + 857kmj 1, h km = 31 h i km h j 15.Un coche marcha dirección norte a 60 km/h durante 10 min, luego gira hacia el este y va a 70 km/h. durante 6,0 min. Finalmente va hacia el sudeste a 50 km/h durante 6,0 min. Dibuja el diagrama vectorial y determina : a)el desplazamiento del coche y b) su velocidad media de la carrera. 16.Un biólogo que estudia el movimiento de bacterias advierte que la posición de una bacteria esr 1 =, i + 3,7 j µm(1µm=10-6 m). Después de 6, s la bacteria se encuentra en r =4,6i +1,9j. Cuál ha sido la velocidad media?. Epresa el resultado mediante vectores unitarios y calcula el módulo de la velocidad. VECTOR ACELERACION Así como la velocidad mide el cambio de posición (desplazamiento) por unidad de tiempo, la aceleración mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Este cambio de velocidad no se deberá solamente a un cambio de módulo sino también a un cambio de dirección. La aceleración media se define: a m = v t la aceleración instantánea será a = lim t 0 v t EJEMPLO El cometa Halley La figura muestra parte de la órbita del cometa Halley descrita dentro el sistema solar en los años En Noviembre de 1985 se estaba moviendo aproimadamente a

10 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 10 31km/h, con un ángulo de 34 0 respecto al eje orbital, como muestra la figura. El cometa comienza su mayor aproimación al Sol en Febrero y en Marzo se mueve con una velocidad aproimadamente de 43 km/h y con un ángulo de 19 0 respecto al eje orbital. Calcular la aceleración media del cometa durante el intervalo de tiempo de Noviembre- Marzo. Razonamiento: Considerando un sistema de coordenadas cartesiana con el eje y en la dirección del eje orbital calculamos las componentes de los vectores velocidad en los dos instantes. v N = v N cos(90 0 -ϕ) = v N senϕ v Ny = v N cosϕ v N = v N i + v Ny j De igual manera se calcula el vector v M. Para determinar la aceleración media calculamos v =v M - v N y lo dividimos por el tiempo transcurrido(4 meses =10 dias). Cálculo: v N = (31km/s)sen34 0 =17,3km/s v Ny =(31km/s)sen56 0 =5,7km/s v N =(17,3i + 5,7j) km/s Mediante cálculos análogos v M =(33,4i - 7,1j) km/s v = v M - v N = (33,4i -7,1j)km/s - (17,3i + 5,7j) km/s =(16,1i - 5,8j) km/s 16, 1i 5, 8 jkm/ s a = = (1,510-6 i - 5,110-6 j) km/s s 17.Un protón entra en un acelerador de partículas en la dirección a 3, m/s.emerge 0,94µs más tarde a 7, m/s formando un ángulo de 5 0 respecto al eje

11 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 11.Deteminar la aceleración media en función de los vectores unitarios, así como el módulo y la dirección del vector 18.Un objeto sufre una aceleración (,3i + 3,6j )m/s durante 10 segundos. Si al final de este tiempo la velocidad es de (33i + 15j) m/s, Cuál era la velocidad al principio de los 10s? RELACIÓN ENTRE EL VECTOR ACELERACIÓN Y EL VECTOR VELOCIDAD Así como el vector velocidad tiene igual dirección y sentido que el vector desplazamiento (v = r/ t, el vector aceleración tiene igual dirección y sentido que el vector incremento velocidad( a = v/ t). EJEMPLO Volando con viento Un avión está volando hacia el este a 50 m/s cuando encuentre un viento cruzado que le origina una aceleración hacia el sur de 1, m/s. Cuál será el valor de la velocidad al cabo de un minuto? Razonamiento: El sistema referencia será de tal manera que el eje Y estará en la dirección Norte y el eje X en la dirección este. Con este sistema de referencia escribiremos los vectores velocidad y aceleración en función de los vectores unitarios. La velocidad que nos piden se calcula teniendo en cuente que v = a t. Y que v = v 0 + v Cálculo: v 0 =50i m/s a =-1,jm/s v =-1,jm/s.60s=-7jm/s v = 50i m/s -7jm/s El módulo del vector será v = v + v = ( 50m/ s) + ( 7m/ s) =60 m/s y 7m/ s la dirección ϕ = arctg 50m/ s = 16 0

12 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 1 19.Una patinadora sobre hielo se desliza a una velocidad de,8 m/s y sufre un aceleración de valor 1,1m/ durante,0 s. Al final de este tiempo la patinadora se mueve a 5,0 m/s Cuál será el ángulo entre el vector aceleración y el vector velocidad inicial? 0.Si en la cuestión anterior la aceleración ha sido perpendicular a la velocidad inicial, cuál sería la velocidad final de la patinadora? 1.Un objeto se mueve en la dirección del eje X a 1,3 m/s cuando es sometido a una aceleración a =0,5j m/s. Cuál es su velocidad después de 4,4s con esta aceleración? ACELERACION CONSTANTE Cuando la aceleración es constante (no varia ni su módulo ni su dirección) las componentes individuales del vector aceleración deben permanecer constantes. Eperimentalmente se comprueba que la componente de la aceleración en una dirección no afecta al movimiento en un dirección perpendicular (ver figura). Por tanto, si la aceleración es constante, las componentes del movimiento deben seguir las ecuaciones del movimiento en una dimensión. Utilizando notación vectorial podemos escribir: v = v 0 + at r = r 0 + v 0 t + 1 at La pelota lanzada horizontalmente avanza con movimiento uniforme en la dirección horizontal (en intervalos de tiempos iguales hace avances iguales ) y cae verticalmente de igual manera que si hubiese sido dejada caer En dos dimensiones cada una de estas ecuaciones vectoriales representa un par de ecuaciones escalares. v = v 0 + a t v y = v y0 + a y t = 0 + v 0 t + 1 a t y = y 0 + v y0 t + 1 a yt EJEMPLO Volando en una nave espacial Una nave espacial se mueve en línea recta a una velocidad de 6,km/s y en un determinado instante se pone en marcha uno de sus cohetes y le comunica una aceleración de 0,36 km/s con una dirección de 60 0 respecto a la dirección de su velocidad inicial. Si el cohete funciona durante s, cuál será su desplazamiento neto durante este tiempo?. Razonamiento:

13 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 13 Para calcular el desplazamiento tenemos que calcular la posición final alcanzada por la nave después de haber actuado el cohete. Lo primero que tenemos que hacer es escoger un adecuado y sistema de ejes de coordenadas. Una elección razonable podría ser aquel cuyo eje coincida con la a velocidad inicial de la nave, de esta manera v 0 = v 0 y v y0 = 0. A continuación calculamos las componentes de la aceleración. a =acosϕ a y =asenϕ El origen ϕ =60 0 del sistema se toma el punto donde la nave empieza a acelerar, así 0 =0 e y 0 =0 Para calcular la posición al final de la actuación de la aceleración utilizamos las ecuaciones: Cálculo: a =acosϕ =0,36km/s.cos60 0 =0,18 km/s a y =asenϕ =0,36km/s.sen60 0 =0,31 km/s a = 0,18i + 0,31j = (6,km/s)(s) + 1 (0,18km/s )(s) =180km y = 1 (0,31 km/s(s) =75km = 0 + v 0 t + 1 a t y = y 0 + v y0 t + 1 a yt Como la posición o inicial es 0,0 el vector desplazamiento r =180 km i + 75 km j r = ( 180km) + ( 75km) =195 km El desplazamiento total no da la trayectoria. Puesto que la velocidad está cambiando continuamente la trayectoria es curva..un velero está navegando a 7,3 m/s y de repente una ráfaga de viento le origina una aceleración de 0,8m/s que forma un ángulo de 75 0 con la dirección original del movimiento. Si la aceleración dura 8,7s, cuál ser el desplazamiento total del velero durante el tiempo que dura la ráfaga de viento? 3.Un objeto se está moviendo en la dirección del eje a 4,5m/s cuando una aceleración actúa aplicada en la dirección y durante 18s. Si durante este tiempo se mueve igual distancia en las dirección que en la dirección y, cuál es el módulo de la aceleración?

14 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 14 MOVIMIENTO DE LOS PROYECTILES Un proyectil es un objeto que se lanza al aire y se mueve predominante bajo la acción de la gravedad. Como ejemplos de proyectiles podemos citar un balón, un chorro de agua, fuegos artificiales, un cohete, etc. Para el estudio de los proyectiles haremos las siguientes simplificaciones: a) la aceleración de la gravedad es constante y vertical al considerar que la superficie de la Tierra plana b) el rozamiento del aire será despreciable. Para describir el movimiento de los proyectiles consideraremos que tiene lugar en un plano y escogeremos un sistema de ejes de coordenadas con el eje Y vertical, y el eje X horizontal y en la dirección de la componente horizontal de la velocidad inicial del proyectil. Como solo actúa la gravedad, en este sistema de referencia a =0 y a y =-g. Así, las ecuaciones del movimiento de un proyectil serán v = v0 vy = vy0 gt = 0 + v0t 1 y = y + v gt 0 y0 Las ecuaciones primera y tercera nos indican que el movimiento horizontal del proyectil no esta afectado por la gravedad, y el movimiento horizontal no está afectado por el vertical EJEMPLO Lanzamiento de una roca desde una precipicio Desde el borde de un precipicio de 10 m de altura se lanza una roca con una velocidad horizontal de 14 m/s. A que distancia del pie del precipicio llegará la roca al suelo? Razonamiento Tomamos como origen la base del precipicio. Puesto que no hay componente horizontal de la aceleración, la componente horizontal de la velocidad es constante. La respuesta que nos piden es el desplazamiento horizontal realizado por la roca en su caída al suelo. Este desplazamiento será igual a la componente horizontal de la velocidad multiplicada por el tiempo de caída. Este tiempo se calcula a partir del movimiento vertical de caída. Puesto que v y0 =0 y el origen se toma en la base del precipicio, el tiempo buscado es el que tarda la roca en pasar de la posición y 0 =10m a y =0m, que se calcula a partir de la ecuación y = y 0 + v yo t - 1 gt. Conociendo el tiempo de caída, el desplazamiento horizontal será igual al producto de este tiempo por la componente horizontal de la velocidad, =v t Cálculo

15 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 15 0 m = 10 m t - 1 9,8 m s t t = ( 10m) m 98, s = 4,95 s = 14 m s.4,95 s= 69 m 4.Un carpintero trabajando en el tejado de una casa a 9,4 m, lanza una herramienta con una velocidad inicial horizontal de 7, m/s: a) Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo? b) A qué distancia de la pared hace el impacto? 5.Un avión de rescate se dirige hacia un naufrago en un bote salvavidas con intención de lanzarle un paquete de primeros auilios. Si el avión vuela a 500km/h y a una altura de 500 m, a qué distancia del bote ha de dejar caer el paquete para que caiga en el bote? TRAYECTORIA DE UN PROYECTIL A veces es interesante describir el camino o trayectoria de un proyectil sin tener en cuenta el tiempo. La trayectoria de los proyectiles es curva pero.. qué tipo de curva? Para determinar la trayectoria consideraremos un proyectil lanzado desde el origen de coordenadas ( 0 =0 y 0 =0), con una velocidad inicial v 0 formando un ángulo θ sobre la horizontal = v 0 cosθ t y = v 0 senθ t - 1 gt Despejando el tiempo en la primera ecuación t = v 0 cosθ y sustituyendo en la segunda nos da 1 y = v0s senθ v0 cosθ v0 cosθ o g y = tangθ (trayectoria del proyectil) v 0 cos θ

16 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 16 EJEMPLO Fuera del pozo Un operario está en el fondo de un pozo de,6 m de profundidad y a 3.1 m del lado del pozo. Lanza un martillo estando su mano a 1,0 m del suelo del pozo, con un ángulo de 35 0 sobre la horizontal. Cuál es la velocidad mínima con que debe lanzar el martillo para que pase por el borde del pozo tal como se muestra en la figura? A que distancia del borde cae el martillo en el suelo? Razonamiento: A partir de la ecuación de la trayectoria calculamos la velocidad inicial para que el punto del borde pertenezca a la trayectoria. Como origen se toma el punto donde se lanza el martillo. Para la segunda pregunta tenemos que calcular el valor de para y = (,6m - 1,0m) distinto de 3,1m. Cálculo: v 0 = cos θ g ( tangθ y) = ( m) ( 98, m/ s ) 31, 0 0 ( )(cos 35 )(( 31, m)( tang35 ) 16, m) = 1m/ s Sustituimos este valor y el valor de y =1,6 en el ecuación de la trayectoria y calculamos el valor de y y = tangθ v g cos θ 0 0 ( 98, m/ s ) 16, = tang35 11 ( m/ s) cos 35 0 Despejando la da dos valores 3,1m y 8,7m. El que nos piden es 8,7m - 3,1m=5,6m 6.Un atrevido motorista salta sobre un pozo de 48 m de ancho tal como se indica la figura. Con que velocidad mínima ha de lanzarse el motorista para conseguir su objetivo? Si el motorista se lanza con una velocidad un 50% mayor de esta mínima, a donde llegará? 7.En un circo una persona es lanzada mediante un cañón a 35 km/h con una inclinación de Si la boca del cañón está a 1,0 m del suelo y la persona cae en una red situada a,0 m, cuanto tiempo ha estado en el aire?

17 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 17 8.Un niño se encuentra en el lado izquierdo de una casa y a 5,0 m. Quiere lanzar una pelota a un amigo que se encuentra al otro lado de la casa y también a 5,0 m. Con que velocidad mínima ha de lanzar la pelota para que pasa justo por la parte alta del tejado de la casa? Con que ángulo debe ser lanzada? Suponer que la pelota se lanza y se recoge a 1,0m Figura del ejercicio 6 Figura del ejercicio 8 ALCANCE DE UN PROYECTIL Para determinar el alcance horizontal de un proyectil en la ecuación de la trayectoria se hace la y cero y se despeja la. 0 = tangθ g cos θ v 0 sacando factor común 0 = ( tangθ g v 0 cos θ ) =0 es una de las soluciones, la otra es v0 v0 = cos θtangθ = senθcosθ g g como senθcosθ = senθ v = 0 g sen θ Esta ecuación relaciona el alcance con el ángulo de lanzamiento. Cuando θ 0 es cero o el alcance es cero. Como el seno de un ángulo θ es igual que el de su suplementario ( θ) un mismo alcance se puede conseguir con dos ángulos menores de 45 0 (por ejemplo 30 0 y 60 0, 40 0 y 70 0 ). Vemos que el alcance máimo se consigue para un ángulo de 45 0.

18 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 18 EJEMPLO Un cohete sonda Un cohete sonda para el estudio de la atmósfera se lanza en un desierto con una velocidad de 4,6 km/s. Si no puede caer a una distancia superior a 50 km del punto de lanzamiento, cuál es la máima desviación vertical permitida al cohete. Razonamiento: Conociendo el alcance horizontal máimo y la velocidad de lanzamiento podemos calcular el correspondiente ángulo de lanzamiento mediante la ecuación del alcance v = 0 g sen θ senθ = g v 0 Como dará dos ángulos cogeremos el mayor porque es el que da la mayor altura. Calculo: 5 ( 98, m/ s )( m) sen θ = = 0, 03 3 ( 4610,. m/ s ) Hay dos soluciones θ = 1,33 0 y θ = ,33 0. La respuesta que nos piden es el segundo ángulo 0,67 0 respecto a la vertical. 9.Como ingeniero te piden que diseñes una fuente para un parque público. Los surtidores de agua salen de orificios colocados en un circulo de tamaño despreciable, ha de caer en un canal circular de radio 1,7m.Si el agua sale a una velocidad de 4,3m/s, cuál debería ser el ángulo de los orificios? Escoger el ángulo que da la máima altura. 30.Si θ es el ángulo de lanzamiento de un proyectil y h es la altura máima. Demostrar que el alcance máimo horizontal es igual a 4h/tangθ. 31.Una fuente circular tiene los surtidores dispuestos en círculos y dirigidos hacia el centro con un ángulo inicial de inclinación de Cada surtidor tiene una altura máima de, m. a) Si todos los surtidores convergen en el centro, cuál es el radio de la fuente? b)si el ángulo inicial de uno de los surtidores se inclina 10 0 más abajo, a que distancia del centro caerá? 3. Se suelta una bomba desde un avión de bombardeo que vuela a una altura de m con una velocidad de 900 km/h. Calcular: a) El tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. b) La velocidad con que llega al suelo. c) La posición de la bomba 10 s después de ser soltada. d) El desplazamiento horizontal de la bomba cuando llega al suelo. Solución: a)t =8,57s b) α=-48,3 0 c)=500m y=3510 m d) m =714,5 m 33.Desde un acantilado de 50 m sobre el nivel del mar se dispara horizontalmente un proyectil contra un barco situado a 5 km de la costa. Calcular: a) Cuánto tiempo tarda

19 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 19 el proyectil en dar en el blanco? b) Con qué velocidad se debe disparar el proyectil?c) Con qué velocidad llega el proyectil al blanco? Solución: a)t=3,19 s b) =1567,39 m c) v= 1567,7 m/s 34. Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60' con respecto al horizonte y con una velocidad de 60m/s. Calcular: a) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria. b) La altura máima alcanzada. e) El alcance máimo. Solución: a)v =30m/s b) y=135,83m c) m =318m 35.Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30' con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcular la velocidad con que se lanzó. Solución: v 0 =9 m/s 36.Un jabalí embiste directamente a un cazador con una velocidad constante de 8 m/s. En el instante en que el jabalí se encuentra a 50 m el cazador dispara una flecha con un ángulo de elevación de 30'. Con qué velocidad debe disparar para dar en el blanco? Solución:v 0 =19,66m/s 37. Se dispara un proyectil con una velocidad de 500 m/s, formando un ángulo de 45 0 con la horizontal. Calcular: a) Qué distancia horizontal alcanza? b) A qué altura máima se eleva? c) Qué velocidad tiene cuando alcanza dicha altura? Solución: a) m; b) 6.377,55 m;50, m/s. 38.Un avión vuela a 800 m de altura, y deja caer una bomba m antes de sobrevolar el objetivo haciendo blanco en él. Qué velocidad tiene el avión?solución:81,9 km/h. 39.Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda en tocar el agua 4 s en un punto que dista 60 m de (a base del acantilado. Calcular: a) Qué altura tiene el acantilado? b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil? c) Con qué velocidad llega al agua? Solución: a) 78,4 m; b) 15 m/s; e) 41,9 m/s. 40.Se dispara un proyectil con una velocidad de 00 m/s y un ángulo de elevación de En qué instantes y en qué posición la velocidad del proyectil forma un ángulo de 45 0 con la horizontal? Solución: t 1 =7,46 s; t = 7,87s; 1 =746 m; y 1 = 1019,4 m;.787 m; y = 1019,4 m. 41.Un avión vuela a 500 m con una velocidad de 360 km/h. En el suelo se halla una batería antiaérea. Calcular la velocidad con que debe disparar la batería para abatir al avión 8 s después de pasar éste por la vertical de la batería. Tomar g = 10 m/s. Solución: 134, m/s con un ángulo de elevación de 45,7 0.