r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES

Transcripción

1 1 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R DPLAZAMIT Y VCTR 1) Repso de trigonometrí Definir plicr ls 3 funciones trigonométrics ásics en triángulos rectángulos. Definir ls funciones trigonométrics en el círculo de rdio 1 (círculo goniométrico) Aplicr el teorem del seno el teorem del coseno prolems simples. Con referenci l triángulo rectángulo de l figur 1, se definen ls funciones trigonométrics. sen ( ) cos( ) tg ( ) n l figur se muestrn lgunos triángulos notles, de uso común en prolems de plnteo, porque el cálculo de sus identiddes trigonométrics es de fácil recordción Figur ) Triángulos notles Figur 1) Triángulo rectángulo Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R A prtir del círculo goniométrico (de rdio r 1) de l figur 4, en el cul está en rdines, se puede deducir que cos r 1 sen r 1 s r tn ( ) ( ) ( ) Por semejn de triángulos ` ` tn( ) ` r 1 Cundo es mu chico, se cumple que: Pr este cso, se cumple que: sen s r 1 cos( ) 1 ( ) tn( ) r 1 s Figur 4) Círculo goniométrico ' Pr un triángulo culquier como el de l figur 3: Teorem del eno sin Teorem del Coseno ( α ) sin( β ) sin( γ ) c c c c ccos ccos cos ( α ) ( β ) ( γ ) Figur 3) Teorem del seno del coseno

2 3 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R ) Definición de Vectores Definir diferencir esclres ectores, usndo ejemplos simples. Vector desplmiento Usr l notción ("-con-flech"), epresr un ector como (módulo dirección). Introducción ectores: el ector posición e define l posición de un cuerpo como su uicción de un cuerpo en el espcio respecto un sistem de referenci preimente corddo. Así, se puede entender el moimiento de un cuerpo como su cmio de posición. Considere el mp de l figur 5. upongmos que un trnseúnte pse por Viñ del Mr, quiere moerse desde el punto A (referenci) l punto B. Pr este efecto, el trnseúnte puede tomr diferentes trectoris (que son ls que se muestrn en ul en l figur 5), cd un de ls cules tiene socid un distnci recorrid. in emrgo, independientemente de l trectori tomd, el desplmiento o cmio de posición del trnseúnte es el tro dirigido que desde l posición inicil A hst l posición finl B (que se muestr en rojo de l figur 5). Pr poder crcterir el desplmiento del trnseúnte no st con conocer su mgnitud. Tmién se necesit ser l punto de inicio del desplmiento (en este cso, A) Dirección sentido del desplmiento l desplmiento de A B, que podemos simolir por AB, es uno de los ejemplos del ente mtemático llmdo ector. Vectores sclres Un ector es un ente mtemático que se crcteri por los siguientes prámetros: Punto de plicción rientción o Dirección o entido Módulo o mgnitud Aquells cntiddes físics que se representn con un ector se denominn CATIDAD VCTRIAL. Pr determinrls completmente, se necesit conocer ls cutro crcterístics ntes citds. jemplos: Posición B Figur 5) Diferenci entre distnci recorrid ector desplmiento. A 4 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R Velocidd Acelerción Fuer Torque Cmpo léctrico, etc. Por el contrrio, un esclr es un ente mtemático que se crcterin solmente por su mgnitud o intensidd. Aquells riles físics que se representn con un esclr se denominn CATIDAD CALAR. Pr determinrls completmente, st con conocer l mgnitud. jemplos: Tiempo Ms Distnci Recorrid Rpide Volumen Densidd Crg léctric Resistenci léctric entido Tempertur Vector AB nergí, etc. Representción de ectores Vmos representr los ectores por tros dirigidos (ros), los cules serán simolidos con un epresión literl con un flech encim, como por ejemplo,,cd. n el ector CD, el orden de ls letrs indic el punto inicil (de plicción) el finl, respectimente. n l figur 6 se muestrn los prámetros de un ector: Punto de plicción: s el punto prtir del cul se plic el ector Módulo, Intensidd o Mgnitud: s indicd por l longitud del ector, está epresd en ls uniddes correspondientes. L mgnitud del ector CD se simoli CD. Por definición, todo módulo de ector es mor o igul cero. rientción: e diide en: Dirección: s indicd por l rect l que A () Mgnitud Punto de Aplicción rientción B Figur 6) Prámetros de un ector Dirección Figur 7) Concepto de sentido de un ector. () Igul dirección e igul sentido; Igul dirección sentidos opuestos.

3 5 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R pertenece el ector entido: Lo indic hci dónde punt l flech. Un rect determin un dirección; pero cd dirección tiene dos posiles sentidos, como se muestr en ls figurs 7 7. rientción del ector respecto l eje 6 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R L orientción corresponde l de l isectri (45º) entre ls orientciones orte este. Podemos relcionr el sistem de coordends crtesino con el sistem de orientción orte-ur- ste-este. Por lo generl, el eje punt l ste, mientrs el eje punt l orte (er figur 9), unque en lgunos csos puede resultr coneniente definir los ejes de mner diferente º (0 π [rd]) n este formto, un ector se epres en términos de su mgnitud ángulo. Por ejemplo: Módulo 0 ángulo 0º Módulo 0 ángulo -140º rientción de un ector en función del sistem de orientción --- n muchos prolems, l orientción del ector se entreg en función de l ros de los ientos, que se muestr en l figur 9. Al respecto, l interpretción correct es l siguiente: L orientción corresponde l de l isectri (45º) entre ls orientciones orte ste. L orientción corresponde l de l isectri (45º) entre ls orientciones ur ste. L orientción corresponde l de l isectri (45º) entre ls orientciones ur este º (0 π [rd]) Figur 8) rientción de un ector respecto l eje Muchs eces se entreg l orientción del ector en l form de un ángulo con respecto l eje (Ver figur 8). isten dos mners de entender los ángulos Un, donde puede tomr lores entre 0 360º. tr, donde los ángulos positios (entre 0 180º) indicn orientciones en el sentido contrrio l reloj, mientrs que los ángulos negtios (entre 0-180º) indicn orientciones en el sentido for del reloj. (W) () Figur 9) () istem de orientción ---; u relción con el sistem de coordends crtesins Un ejemplo típico de enuncido es el siguiente: Un móil se despl 5 [m] 30º l orte del ste. ste tipo de csos se interpret de l siguiente mner L [m] αº l X del Y 1) Desde el punto de prtid, muése L[m] en l dirección Y. ) Gire el ector αº hci l dirección X. n l figur 10 se ilustr este procedimiento pr el ejemplo nterior. () 5 [m] Figur 10) jemplo de otención del ector prtir del sistem de orientción. () Punto de prtid; Muése 5 [m] hci el ste; Gire 30º hci el orte tr mner de epresr l orientción de los ectores se muestr en l figur 11, se us en plicciones mrítims pr orientción de uques cálculo de elociddes de negción. 5 [m] 30º

4 7 () Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R A A α º A α º A 8 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R 3) perciones Vectoriles Usr l sum ectoril, usndo l regl del triángulo l del prlelogrmo. Clculr l mgnitud dirección de l sum usndo teorem del seno del coseno Usr el producto de un ector por un esclr. Diidir un ector por un esclr diferente de cero Usr l rest de ectores medinte l regl del triángulo l del prlelogrmo Aplicr ectores prolems simples de geometrí. otción Vectoril l ector cero o nulo (0 ) es quel ector cu mgnitud es cero ( 0 0 ). Por conención, tiene culquier dirección sentido e consider que dos ectores son igules cundo tienen igul mgnitud, igul dirección e igul sentido. L iguldd es independiente del punto de plicción (er figur 1) Multiplicción de un ector por un esclr Figur 1) Vectores igules A α º A A A α º (d) Figur 11) Mgnitud orientción del ector A. () A, αº; A, αº; A, αº; (d) A, αº; e un ector un esclr λ. e define l multiplicción de un ector por un esclr como l operción λ n l figur 13, se muestr el efecto de est operción pr diferentes lores de λ. Al respecto, cen ls siguientes oserciones: λ λ n todos los csos, los ectores tienen l mism dirección, por lo que se dice que son prlelos. n el cso prticulr de que λ < 0, tienen sentidos opuestos, en cuo cso se denominn ntiprlelos. (*) λ< 1 λ 1 1 < λ < 0 (**) λ 0 0 < λ < 1 λ 1 λ >1 0 entidos puesto puesto puesto Culquier Igules Igules Igules Figur 13) Multiplicción de ector por esclr. Mgnitud > < 0 < >

5 9 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R n el cso indicdo con (*), se cumple que 0, se dice que es el inerso ditio de. n el cso indicdo con (**), se cumple que. um de ectores. 10 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R Regl del Prlelógrmo L sum de ectores se puede hcer medinte dos métodos: l regl del triángulo (ilustrd en l figur 14) l regl del prlelógrmo (ilustrd en l figur 15) () () Regl del Triángulo (d) (e) Figur 14) um de ectores usndo l regl del triángulo () Diuje el ector Diuje el ector prtir del punto finl del ector Diuje el ector, que es quel cuo punto inicil es el punto inicil de cuo punto finl es el punto finl de Figur 15) um de ectores usndo l regl del prlelógrmo () Diuje el ector Diuje el ector prtir del punto inicil del ector, l que denominremos. Trce l líne prlel l ector que pse por el punto finl del ector. (d) Trce l líne prlel l ector que pse por el punto finl del ector. L intersección entre ls rects prlels es el punto P. (e) Diuje el ector, que es quel cuo punto inicil es cuo punto finl es P.

6 11 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R L sum de ectores cumple con ls propieddes de: Conmuttiidd: (figur 16) Asocitiidd: ( ) c ( c) (figur 16) Distriutiidd con respecto l multiplicción por esclr: ( ) λ λ λ (figur 16c) Rest de ectores. L rest de ectores se define prtir de l sum. L rest entre los ectores equile l sum de el inerso ditio de, o se: ( ) n ls figurs se ilustr l rest de ectores trés de ls regls del triángulo el prlelógrmo, respectimente. n ls figur 18, 18 18c se resumen ls ides de sum rest de ectores. () () λ c Rest de Vectores c c λ λ ( ) Figur 16) Propieddes de l sum de ectores. () Conmuttiidd; Asocitiidd; Distriutiidd 1 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R Rest de Vectores () Figur 18) () ;. Inicio en el punto finl de, finl en el punto finl de ; - Inicio en el punto finl de, finl en el punto finl de. () Vectores perpendiculres - n l figur 18 se ilustr l relción entre el ángulo de dos ectores ls mgnitudes de su sum su rest - : i > 90º, entonces se cumple que > (er figur 19) i < 90º, entonces se cumple que < (er figur 19) i 90º, que corresponde l cso de ectores perpendiculres ( ), entonces se cumple que (er figur 19c) Figur 17) Rest de ectores. () egún l regl del triángulo; egún l regl del prlelógrmo. Figur 19) Relción entre el ángulo de los sumndos l mgnitud de l sum rest de ectores. () > 90º; < 90º; 90º.

7 13 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R Análisis de l mgnitud de n l figur 0 se muestr l sum () según l regl del triángulo. Aplicndo el teorem del coseno, se puede otener el módulo de l sum en función del ángulo,. 14 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R cndo rí cudrd, se otiene que. ste cso corresponde l mínim mgnitud posile de l sum de dos ectores, es coherente con l figur 0d. Ce hcer notr que l rest de módulos en lor soluto, pues eiste l posiilidd de que >, por definición, el módulo de un ector no puede ser negtio. n generl, se puede firmr que. cos ( ) A continución mos nlir este resultdo pr tres csos prticulres. 180º (Figur 0) n este cso, cos() -1, por lo que l ecución pr l mgnitud de l sum se e reducid : (d) ( ) Figur 0) Análisis de l mgnitud de. () Cso generl 180º; 90º;(d) 0º. cndo rí cudrd, se otiene que. ste cso corresponde l máim mgnitud posile de l sum de dos ectores, es coherente con l figur 0. 90º (Figur 0c) n este cso, cos() 0, por lo que l ecución pr l mgnitud de l sum se e reducid : cndo rí cudrd, se otiene que. ste cso corresponde dos ectores perpendiculres, es coherente con l figur 0c. 0º (Figur 0d) n este cso, cos() 1, por lo que l ecución pr l mgnitud de l sum se e reducid : ( )

8 15 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R 4) Componentes Vectoriles Definir clculr ectores unitrios Descomponer un ector en componentes ectoriles, en componentes esclres, usndo ectores unitrios" Definir el sistem de coordends crtesins en dos tres dimensiones. scriir ectores en form crtesin polr. presr clculr componentes de ectores en dos tres dimensiones, en csos simples Definir usr los ectores posición desplmiento ( d r r r 1 ) Resoler prolems simples de sum rest de fuers. Resoler prolems simples de sum rest de elociddes Un mismo ector se puede epresr como l sum de numerosos conjuntos de dos, tres o más ectores, como se preci en l figur 0. A los ectores que sumdos dn el ector originl los llmremos componentes ectoriles del ector. n prticulr, podemos descomponer un mismo ector en infinits sums de dos componentes ectoriles. istems de Coordends Al prolem de determinr dos ectores u cu sum es igul l ector, se le pueden gregr dos condiciones dicionl pr logrr que l solución se únic. Vectores u coplnres l ector. Vectores u de direcciones fijs predeterminds n l figur 1 se oser que los ectores u, que tienen respectimente direcciones dds por ls rects LL MM, son los únicos ectores cus sum es igul. Ls rects LL MM definen un sistem de coordends. Figur 0) Componentes ectoriles de un ector L M M' u u Figur 1) Componentes ectoriles del ector en ls direcciones LL MM L' 16 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R Vector unitrio o unimodulr Ddo un ector u no nulo llmmos ector unitrio o unimodulr en l dirección de u l ector: uˆ u u Un ector unitrio se us pr identificr o crcterir un determind dirección. Por definición, todo ector unitrio tiene mgnitud 1. u 1 u ˆ u 1 u u serciones: p u p puu ˆ, con pu esclr no nulo p p uˆ p uˆ p u u u n l figur se muestr l definición de ector unitrio, su uso pr epresr ectores con tres componentes: l signo ( ó -), que indic el sentido del ector. L mgnitud del ector l ector unitrio, que indic l dirección del ector. n l figur 0, se muestr el sistem de coordends de l figur 1, l cul se le hn gregdo los ectores unitrios û ˆ, que representn ls direcciones LL MM, respectimente. i u u, se puede estlecer que: Así, el ector se puede escriir como u u uˆ ˆ u u uˆ denominds ls componentes esclres del ector. pˆ p q q q p s s entido Mgnitud Dirección s ˆ n este cso, u son ˆ pˆ Figur ) Vector unitrio su uso en nomencltur de ectores. L M ˆ û M' u u L' Figur 3) istem de coordends de l figur 18 considerndo ectores unitrios

9 17 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R n principio, culquier sistem de coordends puede serir pr epresr ectores. in emrgo, los sistems de coordends más utilidos son quellos donde los ectores unitrios son perpendiculres entre sí, que son denomindos ortogonles. stos son: el crtesino o rectngulr, el cilíndrico el esférico. L grn entj de estos sistems de coordends es que permite relcionr componentes esclres, mgnitudes ángulos trés de relciones trigonométrics simples, usndo cosenos, senos tngentes, lo cul fcilit enormemente el trjo con los ectores. Pr efectos de este curso, nos limitremos l sistem de coordends crtesino en 3 dimensiones. istem de coordends crtesins en dos dimensiones n l figur 4 se oser el ector diujdo en un sistem de coordends crtesins idimensionl. n ell, h dos ejes coordendos, e, crcteridos por dos ectores unitrios: l ector ˆ, î ó i, que represent l dirección. l ector ŷ, ĵ ó j, que represent l dirección A prtir de los dtos de l figur, se puede escriir el ector ŷ como: ˆ i ˆ jˆ ˆ ˆ i j Figur 4) istem de coordends crtesins Donde son ls componentes esclres de en dos dimensiones del ector. Tmién se puede escriir como pr ;. tr form de escriirlo es l polr, en donde los prámetros ordendo, en l form ( ) son su módulo su ángulo con respecto l eje. e suele epresr en l form j ien l form e. l módulo del ector es componentes esclres trés de relciones trigonométrics o. Además, éste se puede relcionr con el ángulo ls cos( ) sen( ) 18 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R Finlmente, se pueden relcionr el ángulo ls componentes trés de tn ( ) l sistem crtesino en prticulr fcilit enormemente l opertori con ectores, puesto que l lle desde el ámito de l geometrí (donde muchs eces result engorros) l del álger, en el cul se fcilit mucho el trjo. istem de coordends crtesins en tres dimensiones n l figur 5 se oser el ector diujdo en un sistem de coordends crtesins tridimensionl. n ell, los ejes coordendos, e se greg el eje coordendo, crcterido por el ector unitrio ẑ, kˆ ó k, que represent l dirección. n l figur,, son ls componentes esclres del ector, el cul se pude epresr en l form ˆ ˆ ˆ iˆ ˆ j k ˆ i j k L mgnitud de está dd por: Tmién se puede escriir como trío ordendo, en l form ( ; ; ) e define como el ector proección de sore el plno XY. L mgnitud de ˆ ˆ etá dd por: ˆ ẑ ŷ φ φ Figur 5) istem de coordends crtesino en tres dimensiones. () φ Figur 6) Relciones entre módulos, ángulos componentes esclres. () ángulo φ; ángulo

10 19 Introducción l Físic Prlelos Profesor RodrigoVergr R A prtir de l figur 5, se pueden etrer los triángulos de ls figurs 5 5, con los cules mos estlecer ls siguientes relciones entre los ectores, sus respectios módulos, ls componentes esclres,,, los ángulos φ De l figur 6: cos( φ) cos( φ ) sen( φ ) sen( φ ) tn ( φ ) De l figur 6: Vector Posición cos sen ( ) cos( ) cos( ) sen( φ) ( ) sen( ) sen( ) sen( φ ) tn ( ) Pr indicr l posición de un punto es necesrio elegir preimente un sistem de referenci, cuo origen se indic con un punto. L posición de un punto P está dd por el ector (er figur 7) R P r ˆ r ˆ ( r ; r ) ste ector es el ector posición del punto P. l módulo de este ector determin l distnci mínim entre P. o ˆ r Figur 6) Concepto de ector posición r ŷ R P