CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA

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1 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Tabla de contenido... 2 PARTES DE UN VECTOR... 3 Notación... 5 Tipos de vectores... 5 Componentes de un vector... 6 Operaciones con vectores... 7 Suma de vectores... 7 Resta de vectores... 8 Producto de un número por un vector... 8 Combinación lineal de vectores... 9 Sistema de referencia... 9 Coordenadas del punto medio de un segmento Producto Escalar Expresión analítica del producto escalar Expresión analítica del módulo de un vector Expresión analítica del ángulo de dos vectores Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores Proyección Propiedades del producto escalar Página 1

2 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Las magnitudes vectoriales son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc. Las magnitudes están representadas como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección. Ejemplos: La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. El desplazamiento de un objeto. La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera. Página 2

3 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA PARTES DE UN VECTOR El punto de aplicación es el punto de origen del segmento: su comienzo, a partir de él empieza el vector. Cuando se refiere a una magnitud medida, el punto de aplicación estará situado en el objeto sobre el que se realiza la medida y se moverá con él. Si medimos la velocidad de un vehículo, el vector que representa dicha velocidad tendrá su punto de aplicación en el vehículo y se desplazará con él. La intensidad o módulo (magnitud) de un vector es la longitud del segmento que lo representa, por lo que habrá de ser proporcional al valor de la magnitud medida. Si un vehículo se desplaza a 25 km/h y otro a 50 km/h, el vector que representa al segundo tendrá una longitud doble que la del primero. Que dos vectores tengan la misma intensidad no implican que sean el mismo vector, ya que pueden diferir en su dirección o sentido. Así, si dos vehículos se desplazan a 70 km/h, pero uno se dirige hacia Cali y otro hacia la ciudad de Pasto, aunque los vectores tengan la misma intensidad, tendrán direcciones distintas y, por lo tanto, se tratará de vectores diferentes. La intensidad de un vector se indica con la letra que designa al vector entre barras, igual que el valor absoluto de un número. Así, la intensidad del vector v se denota v Página 3

4 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA La dirección de un vector es la recta sobre la que está dibujado o cualquiera de sus paralelas, es decir, la recta a la que pertenece el segmento orientado que representa al vector. Dos vectores de igual dirección y sentido serán iguales si tienen la misma intensidad y si dos vectores tienen la misma intensidad y son paralelos, aunque no tengan el mismo punto de aplicación, consideramos que son iguales. Así, los tres vectores que aparecen en el dibujo, al ser paralelos y tener la misma intensidad son iguales. De esta forma, un vector dado podemos dibujarlo con su punto de aplicación en el lugar que deseemos, ya que bastará con dibujar una recta paralela al vector en el lugar que queremos y, sobre ella, dibujar el vector. Una recta horizontal puede recorrerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, por lo que tiene dos sentidos. Lo mismo ocurre con todas las rectas y, por tanto, con los vectores. Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina. De esta forma, siempre es posible dibujar dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto. Si además tienen la misma intensidad decimos que son vectores opuestos, ya que se anularían uno a otro. Página 4

5 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Notación Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar). Ejemplos: A, a, ω,... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω,... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: A, a, ω... Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento. Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo Û, ê. Tipos de vectores Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos: Página 5

6 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular. Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción. Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular. Podemos referirnos también a: Vectores unitarios: vectores de módulo unidad. Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos). Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria. Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano). Componentes de un vector Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i, j, k, paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas: a=(a x,a y,a z ) o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será a=(a x i + a y j + a z k) Página 6

7 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Componentes del vector. Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a x, a y, a z, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente: A continuación un recurso audiovisual acerca de Componentes vectoriales, realizado por la Corporación GIQ Operaciones con vectores Suma de vectores Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Método del paralelogramo Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro (ver gráfico). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores. Página 7

8 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Método del triángulo Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del primero. Ejemplo: Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. Resta de vectores Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de Los componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. Producto de un número por un vector El producto de un número k por un vector es otro vector: De igual dirección que el vector. Página 8

9 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Del mismo sentido que el vector De sentido contrario del vector si k es positivo. si k es negativo. De módulo Los componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector. Combinación lineal de vectores Dados dos vectores: y, y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y. BASE: Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única. Sistema de referencia Página 9

10 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto O del plano y una base (, ). El punto O del sistema de referencia se llama origen. Los vectores, no paralelos forman la base. Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Producto Escalar El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Expresión analítica del producto escalar Expresión analítica del módulo de un vector Página 10

11 UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Expresión analítica del ángulo de dos vectores Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores Proyección El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Propiedades del producto escalar Conmutativa Asociativa Distributiva El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. Fuente: En síntesis Los siguientes videos, explican las operaciones básicas con vectores Vector fijo: Componentes y módulo ( Suma y resta de vectores ( Página 11

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