Anexo a la guía 4 Geometría: ejemplos y comentarios

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1 Anexo a la guía 4 Geometría: ejemplos y comentarios Sergio Dain 26 de mayo de 2014 En las guías 1 y 2 discutimos vectores, covectores y tensores de manera puramente algebraica, sin hacer referencia a la geometría. Como vimos, esto es útil debido a que existen muchas aplicaciones en donde se utilizan espacios vectoriales abstractos que no están relacionados con vectores geométricos pero que sin embargo tienen las mismas propiedades. Un ejemplo particularmente importante es el caso de espacios de dimensión infinita, como los espacios de Hilbert que estudiamos en la guía 5. Sin embargo, la motivación del concepto de vector y su aplicación más importante proviene de la geometría. Cómo se conecta lo que vimos en las guías 1 y 2 con el concepto geométrico de vector? En particular, como se conecta esa estructura algebraica con el concepto de vector tangente en una variedad? Para comenzar, pensemos en el ejemplo más simple (y sin dudas más importante) de vector: la flecha en R 3. Tomemos un punto en p en R 3. Consideremos todos los vectores con origen en p. Esos vectores forman un espacio vectorial tal como lo estudiamos en la guía 1: se pueden sumar y se pueden multiplicar por escalares. Ambas operaciones tienen una interpretación geométrica: los vectores se suman con la ley del paralelogramo y el producto por escalares es estirar o contraer la flecha. Podemos elegir una base e i de tres vectores linealmente independientes (no necesariamente ortogonales) y las componentes de los vectores las escribimos en términos de esa base. Notar que pensamos a las componentes en términos de bases vectoriales y no como coordenadas de puntos en R 3. Es decir, todo el formalismo anterior se adapta a los vectores en un punto. Pero en física usualmente necesitamos vectores en puntos distintos. Pensemos, para fijar ideas, en el ejemplo más importante de vector en física: la 1

2 velocidad de una partícula. En el movimiento de una partícula podemos distinguir su posición y la velocidad asociada a esa posición. Es decir un punto p y un vector asociado a p. Tenemos en rigor dos espacios, que son idénticos pero que conviene separar: un espacio que es el espacio de los puntos y otro que es el espacio de las direcciones o vectores. Hagamos esa distinción de la siguiente manera: R 3 es el espacio físico en donde se mueve la partícula, y sea p un punto de ese espacio. A ese punto le asociamos R 3 p que es el espacio de todas las velocidades posibles que puede tener una partícula en ese punto, es decir, todas las flechas posibles que puedo dibujar con origen en ese punto. Consideremos la trayectoria de una partícula en el espacio. Esa trayectoria se describe con una curva en R 3. Al igual que para los vectores, para denotar una curva se utilizan usualmente dos notaciones: abstracta y con índices. En la notación abstracta, la curva se denota por una única letra γ y se enfatiza que una curva es un mapa γ : R R 3. Si se trata de una partícula en mecánica, el significado físico de este mapa es el siguiente: para cada instante de tiempo t (t es entonces el R del dominio del mapa) la partícula está en alguna posición del espacio (un punto de R 3, que es la imagen del mapa). Es muchas veces útil utilizar la segunda forma de denotar las curvas, enfatizando las coordenadas, por ejemplo así x(t) γ = y(t) (1) z(t) donde x, y, z son coordenadas cartesianas en R 3 pero podrían ser cualquier sistema de coordenadas. También podemos denotar una curva como x i (t) (2) donde i = 1, 2, 3. Esta última forma es muy conveniente en los cálculos. Es decir, prescribir una curva en R 3 significa dar tres funciones de un parámetro t. La velocidad de la partícula está dada por el vector tangente a la curva v(t) = dγ dt = ẋ(t) ẏ(t), (3) ż(t) donde usaremos, cuando sea conveniente, la notación de un punto para la derivada con respecto al tiempo. Con índices esto se escribe así v i (t) = dxi (t). (4) dt 2

3 Podríamos pensar a la velocidad como otra curva en el espacio físico R 3, nada nos impide hacer eso. Sin embargo no es esta la interpretación física de la velocidad. La velocidad es la tangente a la curva γ. Es decir, a cada punto de γ(t) se le asocia el vector v(t). Entonces es apropiado pensar que v pertenece a los espacios de direcciones posibles R 3 p. Veamos un ejemplo concreto. Consideremos la siguiente curva cos t γ = sin t (5) t El dibujo de esa curva se puede ver en la figura 1. El vector tangente a esa curva está dado por sin t v = cos t (6) 1 Dado un punto de la curva, para dibujar el vector tangente tomamos el mismo sistema de coordenadas en el que fue escrita la curva (en este caso el sistema cartesiano), lo trasladamos para hacer coincidir el origen con ese punto, en ese sistema dibujamos la flecha con componentes v i dadas por (6). O, equivalentemente, con respecto al sistema cartesiano original, la flecha corresponde a la línea que une los dos puntos siguientes cos t sin t cos(t) sin t, sin(t) + cos t (7) t t + 1 Por ejemplo, sea el punto sobre la curva dado por t = π, este punto tiene coordenadas 1 γ(π) = 0 (8) π el vector tangente a ese punto tiene coordenadas 0 v(π) = 1. (9) 1 En la figura 1 hemos dibujado ese vector tangente. El módulo del vector v se 3

4 Figura 1: Gráfico de la curva (5) para el rango 0 t 10. Se marca el punto t = π y su vector tangente dado por (9) calcula utilizando la métrica euclideana en R 3, es decir en el caso del vector (6) tenemos v 2 = v i v j δ ij = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (10) v 2 = 2. (11) La energía cinética de una partícula de masa m moviéndose en la curva está dada por T = 1 2 m v 2 (12) Esta cantidad dependerá, en general, del tiempo. En el caso particular de esta curva es constante y está dada por T = 2m. (13) En resumen: para calcular la velocidad y la energía cinética de cualquier partícula moviéndose en R 3 tengo que prescribir tres funciones x i (t) que describen su trayectoria, la velocidad de la partícula está dada por (4) y la energía cinética por (12). Se dice que el sistema tiene tres grados de libertad: 4

5 necesito tres funciones para describirlo y esas tres funciones son independientes entre sí. Es decir, puedo prescribirlas de manera arbitraria. La distinción entre los dos espacios R 3 y R 3 p no parece demasiado relevante en este caso porque ambos espacios son en rigor idénticos. Veamos entonces un ejemplo en donde no lo son. Supongamos que tenemos un sistema físico que restringe el movimiento de la partícula sobre la superficie de una esfera. Este tipo de restricciones al movimiento en mecánica se conoce como vínculos holonómicos y son relevantes. Si queremos calcular la velocidad de la partícula en una curva que se mueve sobre la superficie de la esfera podemos, por supuesto, utilizar la misma expresión anterior. Esa es una curva igual a cualquier otra. Sin embargo, supongamos que queremos describir el movimiento de todas las curvas posibles sobre una esfera. Si bien este es un subconjunto de las curvas en R 3, nos interesa describirlo en términos no de tres funciones libres sino de dos funciones libres, porque esos son los grados de libertad genuinos de una partícula moviéndose sobre una superficie: necesito sólo dos coordenadas para fijar su posición. Una manera conveniente de hacer esto es la siguiente. La esfera de radio unidad está descripta por la siguiente función sin θ cos φ Γ(θ, φ) = sin θ sin φ (14) cos θ Esta es la manera paramétrica de describir superficies. En general, una superficie en R 3 es una función Γ : S 2 R 3. De la misma forma que con las curvas, podemos describir esta función con índices. Sean θ µ coordenadas en S 2 (en este caso θ 1 = θ y θ 2 = φ). Los índices µ, ν toman valores 1, 2, mientras que los índices i, j, usados antes toman valores 1, 2, 3. Entonces la función Γ se prescribe como x 1 (θ 1, θ 2 ) x i (θ µ ) = x 2 (θ 1, θ 2 ). (15) x 3 (θ 1, θ 2 ) Una curva arbitraria que se mueve sobre la superficie de la esfera está prescripta por dos funciones θ(t) y φ(t) de la siguiente forma sin θ(t) cos φ(t) γ = sin θ(t) sin φ(t). (16) cos θ(t) 5

6 La velocidad de esa trayectoria está dada por v(t) = dγ θ cos θ(t) cos φ(t) φ sin θ(t) sin φ(t) dt = θ cos θ(t) sin φ(t) + φ sin θ(t) cos φ(t) (17) θ sin θ(t) Esta expresión describe vectores tangentes a curvas sobre la esfera. Es decir, vectores tangentes a la esfera. Pero ahora ocurre algo importante: el espacio donde se mueve la partícula (la esfera) es distinto del espacio de los vectores. A cada punto de la esfera le hacemos corresponder una dirección (la velocidad dada por (17), pero esa flecha está fuera de la esfera. Más aún, el espacio de todas las velocidades posibles en cada punto de la esfera (para una partícula que esta sometida a moverse sólo en su superficie) es R 2. Pero el espacio de los puntos (la esfera) en donde se mueve la partícula no es R 2 sino S 2. Un ejemplo concreto de una curva sobre la esfera sería el siguiente, en el cuál hemos elegido θ(t) = 2t y φ(t) = t sin(2t) cos(t) γ = sin(2t) sin(t). (18) cos(2t) El gráfico de esa curva está en la figura 2. El vector tangente a esa curva lo calculamos usando (17), nos da v(t) = dγ 2 cos(2t) cos(t) sin(2t) sin(t) dt = 2 cos(2t) sin(t) + sin(2t) cos(t) (19) 2 sin(2t) El módulo del vector (17) lo podemos calcular de la misma manera que antes, después de un cálculo sencillo pero laborioso obtenemos La energía cinética es v 2 = v i v j δ ij = θ 2 + sin θ 2 φ2. (20) T = 1 2 m( θ 2 + sin θ 2 φ2 ) (21) Y entonces tenemos lo que queríamos: hemos descripto el movimiento de la partícula en términos de dos funciones independientes θ(t) y φ(t), el sistema tiene dos grados de libertad. 6

7 Figura 2: Gráfico de la curva (18) sobre la esfera de radio unidad. Se marca el punto correspondiente a t = 0,3 y su vector tangente. También se marca el polo norte N correspondiente al punto t = 0. Si bien hemos logrado lo que queríamos, para escribir la expresión (21), hemos pasado por R 3 (usando la expresión de la curva (17)). Es decir, nos hemos salido de la esfera, a pesar de que la expresión final (21) sólo involucra cantidades definidas sólo en la esfera. Veamos como describir el movimiento de la partícula sin salirnos de la esfera. Lo que haremos es pensar en la esfera como una variedad abstracta de dimensión dos. Sin embargo para entender lo que sigue no es necesario entender rigurosamente la definición de variedad. Tomemos sobre una esfera coordenadas θ y φ. Elegir coordenadas involucra prescribir una manera de asignar los puntos de la esfera a números. En este caso, estoy tomando las coordenadas esféricas usuales: θ es el ángulo polar con respecto al polo norte de la esfera y φ es el ángulo azimutal con respecto al eje x. Dado el sistema de coordenadas, una curva arbitraria se prescribe simplemente como ( ) θ(t) γ =. (22) φ(t) Usamos un tilde para distinguir a curvas sobre la esfera de las curvas arbitrarias en R 3. La velocidad de la partícula está dada por el vector tangente a la curva ṽ = d γ ( ) θ(t) dt = (23) φ(t) 7

8 Podemos, por supuesto, dibujar la curva sobre la esfera. Pero no podemos dibujar los vectores tangentes sobre la esfera, estos, como vimos, están fuera de la esfera. Sin embargo los podemos calcular, usando (23), en todo punto de la curva. Hasta aquí podemos llegar si asumimos que tenemos una variedad abstracta de dimensión dos. Hemos descripto la trayectoria de una partícula en términos de dos funciones libres, y también hemos calculado su velocidad. Sin embargo, es obvio que nos falta algo todavía. Llegado a este punto, hay dos preguntas importantes. La primera es: en la expresiones de la curva (22) y su velocidad (23), en dónde uso que estoy en una esfera y no, por ejemplo, en un plano? La respuesta es: en ningún lado. Si la partícula se moviese en un plano las expresiones serían idénticas. Denotaríamos las coordenadas quizás con otras letras: x(t) y y(t) por ejemplo, pero eso es sólo un nombre. Para ver la diferencia entre el plano y la esfera tengo que notar que la esfera no puede ser descripta por un único sistema de coordenadas (el sistema de coordenadas (θ, φ) falla en el polo), necesito más de uno, es decir más de una carta y allí es donde hay que usar la definición de variedad. Pero localmente (es decir si me restrinjo a una única carta y al entorno en donde está bien definida) la esfera es igual que un plano. Y esa es la esencia del concepto de variedad: en los abiertos U la variedad es idéntica a R n Sin embargo hay una segunda pregunta: aunque nos restrinjamos a una parte de la esfera en donde las coordenadas están bien definidas (por ejemplo, la esfera menos los dos polos sur y norte), ese conjunto está curvado, no es idéntico a un plano. De hecho, si quisiera calcular la energía cinética de una partícula moviéndose en un plano (y llamo a las coordenadas cartesianos del plano θ y φ, y eso es perfectamente legítimo) eso daría T = 1 2 m( θ(t) 2 + φ(t) 2 ) (24) pero esa expresión no es igual a (21). Esa pregunta es equivalente a preguntar: cómo calculo el módulo de un vector en una esfera? Es decir, cómo calculamos el módulo del vector ṽ. Para poder calcular módulos de vectores necesitamos una métrica y eso es algo extra a la variedad. Podría parecer raro que hayamos hecho esta distinción: primero el concepto de variedad y luego, por separado, el de métrica. Pero esta distinción ha probado ser muy útil. Existen aplicaciones en donde se utilizan variedades sin métricas y existen aplicaciones en donde es necesario introducir diversas métricas a una misma variedad. Sobre una esfera podemos introducir muchas métricas distintas. Sin embargo, en este caso es 8

9 claro que existe una métrica privilegiada : si tomamos dos puntos sobre la esfera y los unimos por una curva sobre la esfera, puedo pensar a esa curva como una curva en R 3 (como vimos antes) y calcular la longitud de la curva con la métrica euclideana en R 3. Existe una métrica en la esfera que nos da precisamente esa longitud: esa métrica se llama la métrica inducida por la métrica euclideana en R 3. Veamos cómo calcular la métrica inducida. Para eso relacionemos las curvas y vectores sobre la esfera con la curvas y vectores en R 3 utilizando el mapa Γ. Para las curvas, tenemos la relación γ = Γ γ. (25) Notar que eso no es más que reemplazar en donde dice θ y φ en (14) por θ(t) y φ(t). La relación entre los vectores ṽ y v es más delicada. Tenemos que usar la regla de la cadena. v i (t) = dxi dt = xi θ µ dθ µ dt = xi θ µ ṽµ. (26) Entonces, conociendo como calcular el módulo de v i en R 3 con la métrica δ ij deducimos la siguiente relación pero esto es equivalente a en donde hemos definido el tensor h µν como v i v j δ ij = xi xj ṽµ θ µ θ ν ṽν δ ij. (27) v i v j δ ij = h µν ṽ µ ṽ ν (28) h µν = xi θ µ x j θ ν δ ij. (29) El tensor h µν es la métrica inducida sobre la esfera. Haciendo el cálculo explícito, obtenemos h = dθ 2 + sin θ 2 dφ 2, (30) o, en notación de componentes h 11 = 1, h 22 = sin θ 2, h 12 = h 21 = 0. (31) 9

10 Si conocemos cuál es la métrica inducida sobre la esfera, entonces podemos calcular directamente el módulo de ṽ ṽ µ ṽ ν h µν = ṽ 1 ṽ 1 h ṽ 1 ṽ 2 h 12 + ṽ 2 ṽ 2 h 22 (32) = θ 2 + sin 2 θ φ 2. (33) La expresión (29) nos da la métrica inducida de cualquier superficie en R 3, tenemos sólo que usar la función (14) apropiada que describa la superficie. En resumen, para calcular la energía cinética de una partícula sobre la esfera no pudimos hacerlo de manera completamente intrínseca, en un momento tuvimos que usar que la esfera está en R 3 y calcular la métrica inducida a partir de esa relación. Sin embargo, una vez que tenemos la métrica sobre la esfera, todo el cálculo es intrínseco. En algún sentido, no hemos hecho más que el mismo cálculo dos veces, porque calcular el módulo de v en (17) con δ ij es lo mismo que calcular el módulo de ṽ (23) con h µν. Sin embargo, la segunda forma de hacerlo divide el cálculo de una manera útil: primero se calcula la métrica h µν y luego el módulo de ṽ. Esto es útil por varias razones, en primer lugar porque para superficies conocidas (esferas, toros, etc.) la métrica inducida ya está calculada y podemos usar directamente esa expresión para calcular el módulo del vector, lo cual es mucho más simple que calcular el módulo usando el análogo de (17) para la superficie elegida. En segundo lugar, este ejemplo nos muestra que aún en el caso del espacio normal R 3 con la métrica euclideana, aparecen naturalmente métricas que no son euclideanas, tienen curvaturas. Para terminar, el concepto de métrica inducida se generaliza trivialmente al caso en donde tengo dos variedades arbitrarias S y M, en donde S tiene dimensión menor que M, y tengo un mapa Γ : S M que las relaciona. Si g ij es una métrica arbitraria en M, entonces la métrica inducida en S está dada por la fórmula h µν = xi x j θ µ θ g ij. (34) ν donde el mapa Γ está dado por los x i (θ µ ), x i son coordenadas en M y θ µ son coordenadas en S. 1. Cambios de coordenadas: resumen Supongamos que tenemos una variedad M de dimensión n y sea p M un punto arbitrario. Por la definición de variedad sabemos que existe al menos 10

11 un conjunto U que contiene a p y un mapa (la carta) ϕ : U R n. Ese mapa ϕ es equivalente a un sistema de coordenadas x i definido en el conjunto U. Los vectores del espacio tangente al punto p se pueden caracterizar por las componentes v i asociadas a un sistema de coordenadas x i. Es decir, para dar un vector en una variedad M tengo que dar tres cosas: el punto p, las componentes del vector v i y el sistema de coordenadas respecto del cual están definidas esas componentes. Tener otro sistema de coordenadas x i es equivalente a tener otra carta ϕ. Las componentes del vector con respecto al nuevo sistema de coordenadas se relacionan con las anteriores por la siguiente fórmula Los covectores transforman como Un tensor g de tipo ( 0 2 ) transforma como ṽ k = xk x i vi. (35) ω i = xk x i ω k. (36) g ij = xk x i x l x j g kl. (37) 11

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