1.1Estándares de longitud, masa y tiempo

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1 CLASES DE FISICA 1 PRIMER PARCIAL 1) UNIDADES DE MEDIDA 2) VECTORES 3) MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 4) MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 5) MOVIMIENTO RELATIVO FÍSICA Y MEDICIONES Al igual que todas las demás ciencias la física se sustenta en la realización de observaciones experimentales y mediciones cuantitativas. Por esta razón en este capitulo repasaremos un poco del lenguaje matemático para poder describir las les leyes fundamentales que se usan para desarrollar las teorías que se propondrán en esta unidad y las siguientes. 1.1Estándares de longitud, masa y tiempo Para describir los fenómenos naturales es necesario hacer mediciones de varios aspectos de la naturaleza. Cada medición se asocia a una cantidad física, tal como la masa de un objeto, la longitud de él y el tiempo que tarda en cambiar de lugar. En 1960 un comité internacional estableció un conjunto de estándares para las cantidades fundamentales de la ciencia. Se llama SI (Sistema Internacional) y sus unidades fundamentales de longitud, masa y tiempo son metro, kilometro y segundo, respectivamente. La longitud La longitud se identifica como la distancia entre dos puntos que ocupan un espacio determinado. En el año de 1120 el Rey de Inglaterra decreto que el estándar de longitud de su país se llamaría la yarda y seria precisamente igual a la distancia desde la punta de su nariz hasta el final de su brazo extendido. De igual modo el estándar para el pie adoptado por los franceses era la longitud del pie real del Rey Luis XIV. Estos estándares no eran constantes cuando un nuevo rey subía al trona cambiaban las medidas. Cuando el estándar legal de longitud 1

2 en Francia se volvió el metro (m), definido como la diezmillonésima del ecuador al Polo Norte a lo largo de una línea longitudinal particular que pasa por Paris. Tan recientemente como en 1960 se definió la longitud del metro como la distancia entre dos líneas en una especifica barra de platino-iridio que se almacena bajo condiciones controladas en Francia. No obstante en octubre de 1983 el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacio durante un tiempo de 1/ segundos. En efecto esta última relación establece que la rapidez de la luz en el vacio es precisamente metros por segundo. La Masa La unidad fundamental de masa en el sistema internacional es el kilogramo (kg), el cual esta definido como la masa de un cilindro de aleación platino-iridio especifico que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, Francia. Esta masa fue establecida en el año de 1887 y no ha cambiado desde la época debido a que el platino-iridio es una aleación inusualmente estable. El Tiempo Antes del año 1960 el estándar del tiempo fue definido en términos de día solar media hacia el año de ( un día solar es el intervalo de tiempo entre apariciones sucesivas del Sol en el punto mas alto que alcanza en el cielo cada día). La unidad fundamental de un segundo (s) fue definida como de un día solar medio. Ahora se sabe que la rotación de la Tierra varía ligeramente con el tiempo. En el año de 1967 un segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisión que se logra con un dispositivo conocido como Reloj Atómico, que mide vibraciones de átomos de cesio. Ahora un segundo se define como veces el periodo de vibración de la radiación del átomo de cesio. A continuación presentaremos algunas tablas de conversiones de medidas 2

3 Notación Científica Para los griegos a. C era un número gigante, no así para los matemáticos de ese tiempo. Arquímedes, 200 a. C. se preocupa por calcular el número de granos de arena necesarios para llenar el Cosmos y calcula que se necesitarían Pero esas ideas no formaban parte del pensamiento del hombre común. Cuando el hombre empieza a viajar, a apreciar las distancias entre los países o a pensar en las distancias entre los astros, en las estrellas del cielo, en cuantos años tiene la Tierra, van apareciendo en su mente los números grandes. En un principio fue el millón los millonarios. Ahora ya esos números han quedado atrás. Que es la Notación Científica? En la ciencia, es común trabajar con números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, el diámetro de una glóbulo rojo es cm, la distancia de la tierra al sol es 150,000,000 Km, y el número de moléculas en 1 g de agua es 3

4 33,400,000,000,000,000,000,000. Es engorroso trabajar con números tan largos, así que medidas como estas son generalmente escritas usando la abreviación llamada la notación científica. Cada cero en los números de arriba representa un múltiplo de 10. Por ejemplo, el número 100 representa 2 múltiplos de 10 (10.x 10 = 100. En la notación científica, 100 puede ser escrito como 1 por 2 múltiplos de 10: 100 = 1 x 10 x 10 = 1 x 10 2 (en la notación científica) La notación científica es una manera simple de representar los números grandes ya que el exponente sobre el 10 (2 en el ejemplo de arriba) le dice cuántos lugares hay que mover el decimal del coeficiente (el 1 en el ejemplo de arriba) para obtener el número original. En nuestro ejemplo, el exponente 2 nos dice que hay que mover el decimal a la derecha dos lugares para generar el número original. La notación científica puede aún ser usada hasta cuando el coeficiente es otro número que el 1. Por ejemplo: Esta abreviación también puede ser usada con números muy pequeños. Cuando la notación científica se usa con números menores a uno, el exponente sobre el 10 es negativo, y el decimal se mueve hacia la izquierda, en vez de hacia la derecha. Por ejemplo: Por consiguiente, usando la notación científica, el diámetro de un glóbulo rojo es 6.5.x 10-3 cm, la distancia de la tierra al sol es 1.5 x 10 8 km y el número de moléculas en 1 g de agua es 3.34 x

5 Medida de: Ejemplos de Notación Científica: Nº escrito en notación decimal Nº escrito en Notación científica Masa de la Tierra kg. Diámetro del Sol km. 5, Kg 1, km. Tamaño de un microbio 0, cm cm. Tamaño de un virus 0, cm cm. Tamaño de lo glóbulos Rojos 0, mm. 7, mm. Tamaño de una bacteria 0, mm mm. Diámetro del ADN Diámetro de un Protón Masa de un Neutrón Neuronas que forman el Sistema Nervioso 0, mm. 0, mm. 0, mm mm mm. 1, mm Velocidad de la Luz m/s m/s. Radio Ecuatorial de la Tierra m. 6, m. Peso de un Átomo de Plutonio 0, g. 3, g. Diámetro de Júpiter Distancia que recorre la luz en 1 hora Distancia que recorre la luz en 1 día Distancia que recorre la luz en 1 año m km km km. 1, m. 1, km. 2, km. 9, km. 5

6 VECTORES En el estudio de la física con frecuencia se necesita trabajar con cantidades físicas que tienen propiedades tanto numéricas como de dirección o direccionales. Diferencia entre las cantidades escalares y vectoriales Es de gran importancia para el estudio de este capitulo tener claro la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales. Cuando queremos saber que distancia existe entre dos ciudades para poder planificar el viaje, la única información que necesitamos es un numero y una unidad por ejemplo 200 km o m desde la ciudad A hasta la ciudad B, así la distancia es un ejemplo de una magnitud escalar. Pero si además de nunca hemos ido a dicha ciudad además de el numero y la unidad necesitamos saber la dirección de esa ciudad respecto a la ciudad de partida. Entonces decimos que la magnitud dada es vectorial. Una cantidad escalar queda definida completamente mediante un valor único con una unidad adecuada y no precisa de una dirección. tiempo. Algunos ejemplos de magnitudes escalares son volumen, masa, energía, rapidez, Una cantidad es vectorial cuando para quedar completamente definida además de un número y una unidad conveniente requiere de una dirección Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son: Desplazamiento, velocidad, aceleración, etc. Un vector se denota matemáticamente así: Una letra y una flecha en la parte superior Geométricamente se denota con una flecha 6

7 Un vector a, A, denotado de esa manera, con una flecha en la parte superior o en negrita, con referencia a este escrito tomaremos la notación de vector indicando la letra en negrito, por razones de comodidad, pero para efecto de examen y ejercicios realizados en clases lo tomaremos con la flecha en la parte superior. Ya que un vector tiene magnitud y dirección debemos reconocer su magnitud y dirección, la magnitud de un vector es igual al valor absoluto del numero que tiene en vector por cantidad: /A/, /a/, y la dirección de un vector se mide a partir del semieje positivo hacia el vector en sentido anti horario A θ Donde θ es el ángulo o la dirección del vector grados Veamos ahora algunas propiedades de los vectores Igualdad de vectores dirección Dos o más vectores son iguales cuando ambos vectores tienen igual magnitud y A B β α Entonces los vectores A y B serán iguales si sus magnitudes son iguales /A/ = /B/ y sus direcciones son iguales = Vectores opuestos Sean A y B dos vectores entonces ellos serán opuestos si la magnitud de /A/ = /B/ y la dirección de A es opuesta a la dirección de B 7

8 A B Vectores diferentes Dos o más vectores son diferentes si los vectores tienen magnitud y direcciones diferentes Suma de vectores Una forma conveniente de describir las reglas para sumar vectores es mediante un método grafico. Para sumar el vector, para sumar dos o más vectores se procede de la siguiente manera se toma el primer vector de la suma y se coloca con su dirección y magnitud, luego en el extremo final del primer vector se coloca el segundo vector de la suma conservando su dirección y magnitud y así sucesivamente hasta colocar todos los vectores que componen la suma, finalmente se une el extremo inicial del primer vector de la suma con el extremo final de último vector de la suma, el resultado será otro vector. Entonces la suma de será: 8

9 Nos interesaría ahora ver como podemos hallar la magnitud y la dirección del vector resultante de una suma, mediante el método grafico. También De la ecuación (1) tenemos Supongamos que tenemos dos vectores y donde están representados por: Y de la ecuación (2) tenemos Entonces la suma de + = De la cuales se observa que ambas ecuaciones son iguales Recordar que + = + S T β α θ P O Definamos os ángulos θ, β y α Aplicando Pitágoras tenemos que Donde esta ecuación se conoce como la ley del seno Resta de vectores La resta de vectores no es nada más que una suma de vectores, sólo que se suma el opuesto de un vector Sean los vectores y del caso Desarrollando esta ecuación tenemos finalmente que: anterior entonces la diferencia entre ellos - Esta ecuación se conoce como ley del coseno Ahora veamos como se puede determinar la dirección del vector resultante, para ello analicemos todos los ángulos en función de sus senos Componentes rectangulares de un vector 9

10 Las componentes rectangulares de un vector, no son nada más que las proyecciones de un vector sobre sus ejes de coordenadas Sea el vector Luego el vector anterior lo podemos representar en función de sus coordenadas rectangulares como y Producto de un vector por un escalar Sea un vector y x Entones el vector se puede representar por sus componentes rectangulares como Vectores unitarios Un vector unitario es un vector cuya magnitud es la unidad. sea σ (sigma) un escalar entonces el producto de σ, donde el resultado será otro vector, el cual dependiendo del valor del escalar σ, será positivo, negativo, menor o mayor que el vector Producto escalar o producto Punto El producto escalar o producto punto de dos vectores y, será un escalar cuya magnitud esta definida por: Es igual al vector dividido entre su magnitud Los vectores unitarios son los que en realidad direccionan a un vector Estos vectores unitarios están representados por, representando las direcciones en los ejes x, y y z respectivamente. Donde θ, es el menor ángulo entre los dos vectores Si no conocemos el ángulo entre los dos vectores del producto escalar entonces tenemos que encontrar el producto 10

11 escalar utilizando las coordenadas rectangulares de dicho producto sean y θ Entonces su producto escalar será =( ). El producto, es perpendicular al ( )= (( )+.( )+.( ) Resolviendo tenemos Producto vectorial o producto cruz El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya magnitud se representa por: plano formado por los dos vectores y su dirección se determinó utilizando la regla de la mano derecha, la cual se aplica así, se toma el primer producto de la suma como si saliera de la palma de la mano luego se cierra la mano en la dirección del segundo vector del producto y con el pulgar extendido nos indicara la dirección del vector producto cruz. Y su dirección queda determinada por la regla de la mano derecha y siempre será perpendicular al plano formado por los dos vectores del producto Sean y dos vectores y sea θ el menor ángulo entre ellos 11

12 Donde observamos que el producto cruz o producto vectorial no es Resolviendo este producto término a término tenemos que: conmutativo Al igual que ocurre en el producto escalar, en el producto vectorial si no conocemos el ángulo que existe entre los dos vectores, debemos hallar el producto cruz utilizando el producto vectorial de sus coordenadas rectangulares Sean los vectores y Entonces su producto vectorial será: Lo cual resulta ser otro vector que tendrá dirección perpendicular a los dos vectores del producto. EJERCICIOS Un avión que parte desde el aeropuerto A vuela 300km al este, después 350 km 30 al oeste del norte, luego 150 km al norte para finalmente llegar al aeropuerto B. no hay viento ese día. A) el día siguiente otro avión vuela directamente desde A hasta B en línea recta. Qué distancia recorre el piloto en este vuelo directo? Solución N = Siguiendo el método de la lluvia, sumamos la multiplicamos de todas las C diagonales principales y le restamos la multiplicación de todas las diagonales secundarias R A+B B 30 (By.Az)+ O El vector resultante será A S Entonces resolvámoslo así por conveniencia y recordar que la suma es distributiva E 12

13 Hallemos primero la magnitud de B+C, aplicando la ley del coseno A+B = Θ =90-30 =60 A+B = 563,47 Km La dirección del vector aplicando la ley del seno será Finalmente la dirección del vector resultante es: 2) da los vectores y Ahora hallemos el vector resultante Donde su magnitud aplicando la ley del coseno, esta dada por: Hallemos el ángulo β, según la grafica podemos observar que Calcular: a) Producto escalar b) Producto vectorial c) Angulo mínimo entre los dos vectores d) La proyección del vector sobre el vector e) Un vector unitario en la dirección del producto vectorial de los dos vectores Solución a) Producto escalar Y su dirección será Como no conocemos el ángulo θ entre los dos vectores entonces calculamos el producto escalar 13

14 mediante las coordenadas rectangulares ) +0,537 +0,537 b) Producto vectorial e) C) ángulo entre los dos vectores d) 14

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