1.1. Magnitudes y Unidades

Transcripción

1 Capítulo 1 Introducción La Física es la ciencia que estudia los fenómenos que tienen lugar en la Naturaleza e intenta darles una explicación racional. Además, se encarga de investigar dichos fenómenos con el fin de ser aplicados a las nuevas tecnologías. A lo largo del presente trabajo nos ocuparemos del estudio de varias ramas de la Física: Mecánica, Termodinámica, Electromagnetismo, Ondas, Óptica, Acústica. Todos estas partes se corresponden con los descriptores de las asignaturas de Fundamentos Físicos de la Arquitectura Técnica y Ampliación de Física del vigente plan de estudios de Arquitectura Técnica en la Universidad Politécnica de Cartagena. En este capítulo trataremos de introducir los conceptos que utilizaremos posteriormente. Para obtener las leyes de la Física se utiliza el método científico que consiste en llevar a cabo experimentos, durante los cuales se miden parámetros físicos, tales como el potencial eléctrico, la corriente eléctrica, etc. A partir de este tipo de mediciones, se formulan hipótesis que explican los datos existentes y fenómenos ocurridos. Posteriormente, se comprueban las hipótesis llevando a cabo más experimentos y estudiando si los nuevos resultados coinciden con las predicciones de las hipótesis formuladas. Es por ello que necesitamos medir y en las mediciones utilizamos unidades Magnitudes y Unidades A los objetos podemos atribuirle cualidades comunes, por ejemplo se puede afirmar que una manzana y una cereza son rojas, o que un tren y un barco son muy grandes, estas cualidades no siempre son conmensurables, es decir, a veces se pueden comparar pero no se podría decir cuanto mas roja es la cereza que la manzana, el barco y el tren sí se podrían comparar (medir) y decir cuál es la diferencia, ésta sería una cualidad llamada longitud. Este tipo de cualidades que son conmensurables se denomina magnitudes. 1

2 2 Introducción El número que representa la comparación de magnitudes se llama cantidad. Podríamos decir, por ejemplo, que una calle es el doble de ancho de otra, pero lo correcto sería compara cada calle con una unidad fundamental llamada metro y comparar las dos mediciones o comparaciones. Esas cantidades que resultan de comparar o medir pueden variar de acuerdo a la época en que se hubiera hecho la medición o el país donde se efectuó. Por ello existen diferentes sistemas de unidades, aunque hoy en día se utilice básicamente uno. Por esta razón cuando medimos, la cantidad resultante lleva un nombre que es la unidad. Por ejemplo, podemos medir un lápiz con una regla dividida en centímetros, la medición resulta 11 cm. Con base en el ejemplo anterior se tiene: Magnitud: longitud Cantidad: 11 Unidad: cm Sistemas de unidades A través de la historia de la humanidad, se han utilizado varios sistemas de unidades, entre ellos se encuentran el sistema anglosajón, el sistema CGS, el sistema terrestre o técnico, y el sistema internacional. Unidades del Sistema Internacional de Unidades (SI) Las unidades del Sistema Internacional de Unidades fueron fijadas en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas de París (1960). Sus siete unidades fundamentales corresponden a las siguientes magnitudes (entre paréntesis sus unidades): longitud (metro), masa (kilogramo), tiempo (segundo), intensidad de corriente eléctrica (amperio), temperatura termodinámica (kelvin), cantidad de sustancia (mol) e intensidad luminosa (candela). Definición de las unidades fundamentales con su símbolo entre paréntesis: Metro (m): Unidad de longitud, se definió originalmente como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre (figura 1.1). Más tarde se estableció un metro patrón de platino iridiado que se conserva en París (figura 1.2). En la actualidad, el metro se define como la longitud igual a longitudes de onda, en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p 10 y 5d 5, del átomo de criptón 86. Kilogramo (kg): Unidad de masa, es la masa de un cilindro de platino iridiado es-

3 Magnitudes y Unidades 3 Figura 1.1: Primera definición de metro, como una diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Figura 1.2: Barra de Platino-Iridio mantenida a temperatura constante. El metro se define como la distancia entre las marcas. tablecido en la III Conferencia General de Pesas y Medidas de París (figura 1.3). También se define al gramo (milésima parte del kilogramo) como la masa un centímetro cúbico de agua destilada cuando tiene la mayor densidad, esto sucede a cuatro grados centígrados. Segundo (s): Unidad de tiempo, originalmente, el segundo fue definido como 1/86400 del día solar medio. Se llama día solar verdadero al tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por el meridiano de un lugar; pero como no todos los días son de igual duración en el transcurso de un año, se toma un día ficticio, llamado día solar medio, cuya duración es tal que, al cabo del año, la suma de todos estos días ficticios es la misma que la de los días reales. Actualmente se define como la

4 4 Introducción Figura 1.3: Cilindro de platino iridiado cuya masa fue establecida en la III Conferencia General de Pesas y Medidas de París como unidad de masa (kilogramo). duración de períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133. Amperio (A): Es la intensidad de corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados en el vació a una distancia de un metro uno de otro, produce entre estos dos conductores una fuerza igual a newton por metro de longitud. Kelvin (K): Es la unidad de temperatura termodinámica. Se define como la fracción 1/ de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. El mismo nombre y símbolo son utilizados para expresar un intervalo de temperatura. Mol (mol): Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en kilogramo de Carbono 12. Candela (cd): Se define como la intensidad luminosa, en la dirección perpendicular de una superficie de 1/ metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura de solidificación del platino, bajo la presión de newton por metro cuadrado. Con frecuencia se utilizan los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI para expresar las cantidades de las magnitudes que se determinan. La siguiente tabla recoge los más útiles para el desarrollo del presente libro:

5 Magnitudes y Unidades 5 factor prefijo símbolo factor prefijo símbolo tera T 10 1 deci d 10 9 giga G 10 2 centi c 10 6 mega M 10 3 mili m 10 3 kilo k 10 6 micro µ 10 2 hecto h 10 9 nano n 10 1 deca da pico p femto f Por otra parte, es conveniente tener una idea de órdenes de magnitud de longitudes, masas y tiempos, por ejemplo. A continuación se tabulan ciertos órdenes de magnitud de sistemas conocidos: DISTANCIA LONGITUD(m) radio del universo visible a la galaxia Andromeda a la estrella más cercana de la Tierra al Sol radio de la Tierra altura del Everest altura de una persona grosor de una hoja de papel longitud de onda de la luz azul radio de un virus radio de un átomo radio del núcleo de un átomo MASAS (kg) Sol Tierra montaña pequeña Boeing elefante persona melón moneda partícula de polvo protón electrón neutrino

6 6 Introducción INTERVALO TIEMPO(s) edad del Universo edad de la pirámide de Cheops vida media de la persona día latido corazón humano periodo de onda de sonido en aire vida media de partículas inestables Además de las magnitudes fundamentales que hemos visto anteriormente, existen las llamadas magnitudes derivadas, que se pueden escribir en función de las fundamentales. El análisis dimensional pretende expresar, mediante una forma matemática, una magnitud derivada en función de las magnitudes fundamentales de las que depende. Por ejemplo, en mecánica, siendo las magnitudes fundamentales la masa, la longitud y el tiempo, podemos encontrar magnitudes derivadas como, por ejemplo, la superficie, el volumen, la densidad, la aceleración, etc. magnitud fundamental dimensión magnitud derivada dimensión masa (m) [m]=m superficie (S) [S]=L 2 longitud (l) [l] =L volumen (V ) [V ] =L 3 tiempo (t) [t]=t densidad (ρ) [ρ] =M L 3 velocidad (v) aceleración (a) fuerza (F) trabajo (W) potencia (P) [v] =L T 1 [a] =L T 2 [F] =M L T 2 [W] =M L 2 T 2 [P] =M L 2 T 3 Como ejemplo, podemos deducir una expresión que relacione la presión (p) de un fluido con su densidad (ρ) y la velocidad de movimiento del mismo (v). Las dimensiones de la presión son las de fuerza por unidad de superficie, es decir, [p] = ML 1 T 2, por lo que, al ser [ρ] = ML 3, y [v] = LT 1, la ecuación que hemos de plantear será p ρ x v y ML 1 T 2 = (ML 3 ) x (LT 1 ) y. Resolviendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resulta x = 1, y = 2.

7 Magnitudes escalares y vectoriales Magnitudes escalares y vectoriales Como se ha podido apreciar, en Física existen magnitudes (todo aquello susceptible de ser medido medir, es comparar magnitudes de la misma especie una de las cuales se ha tomado como unidad ) que quedan perfectamente determinadas dándoles un valor a la magnitud expresada en una unidad conveniente. Estas son las magnitudes escalares, así tenemos la presión ejercida por un gas en el interior de un recipiente, la temperatura en un lugar del espacio, el trabajo que se realiza al arrastrar un bulto desde un lugar a otro..., luego; la presión, la temperatura, el trabajo, etc., son magnitudes escalares. Sin embargo, existen otras magnitudes que necesitan, además del valor asignado, una dirección y un sentido para quedar perfectamente determinadas. Nos referimos a las magnitudes vectoriales. Si queremos situar (saber su posición) a un alumno/a en el interior de una clase respecto de la puerta, no nos bastaría con medir la distancia que existe entre el alumno/a y la puerta sino que además habría que especificar la dirección. La posición de un objeto respecto de otro es una magnitud vectorial, también lo son la velocidad, la aceleración, etc. Se ha desarrollado un modelo matemático para representar a dichas magnitudes, los vectores. Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por: Origen a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector. Dirección o línea de acción coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela. Sentido, que viene determinado por la punta de flecha localizada en el extremo del vector. Módulo: la distancia entre el origen y el extremo del vector. En los libros de texto, un vector puede venir representado mediante una letra en negrita o bien, situando encima de la letra una flecha y su módulo se representa en cursiva o bien, colocando entre barras a la letra con la flecha. Vectores en el sistema de coordenadas cartesianas Matemáticamente, un escalar se representa con un único número y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa.

8 8 Introducción En el sistema de coordenadas cartesianas un punto en el plano viene determinado por una pareja de números reales P(x,y) y en el espacio por una terna P(x,y, z), también llamados coordenadas cartesianas. Estos puntos pueden venir, a su vez, determinados por un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el punto considerado. En todo lo que sigue, utilizaremos vectores de tres componentes, de forma tal que un vector genérico A en componentes cartesianas se podrá escribir de la forma A = (A x,a y,a z ), siendo A x, A y y A z las componentes del vector A según los ejes cartesianos x,y, z, respectivamente, es decir, las proyecciones del vector A en dichos ejes. Utilizaremos, indistintamente û x, û y, û z, ó bien, î, ĵ, k, para denotar los vectores unitarios cartesianos. Dichos vectores unitarios son los que definen la dirección y sentido de los semiejes positivos OX, OY y OZ, respectivamente. A las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes se les denomina componentes del vector (figura 1.4). Así pues, un vector A puede ser escrito en función de dichos vectores unitarios como A = A x î + A y ĵ + A z k = Ax û x + A y û y + A z û z. Figura 1.4: Componentes de un vector A como proyecciones del vector en los ejes cartesianos. Se llama módulo de un vector A, y se denota por A = A, a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las proyecciones de dicho vector sobre los ejes cartesianos A = A = A 2 x + A 2 y + A 2 z.

9 Magnitudes escalares y vectoriales Operaciones básicas entre vectores Vamos a estudiar, a continuación, las operaciones básicas entre vectores. Los vectores que utilizaremos para definir las operaciones serán libres. Suma de vectores La suma de dos vectores A = (A x,a y,a z ) y B = (B x,b y, B z ) es un nuevo vector C = (C x,c y,c z ), siendo C x = A x + B x C y = A y + B y C z = A z + B z Gráficamente, puede obtenerse mediante la regla del paralelogramo, o bien se pone un vector a continuación del otro, siendo el vector resultante aquel que tiene como origen el del primero y como extremo el del segundo (figura 1.5). Figura 1.5: Suma de vectores por la regla del paralelogramo. Para hacer la suma A+ B se pone uno a continuación del otro. El vector suma, C, tendrá origen en el origen del primer vector y extremo en el extremo del segundo. La suma de vectores posee la propiedad conmutativa y asociativa. Dados tres vectores, A, B, y C, se cumple: A + B = B + A ( A + B) + C = A + ( B + C). Vector opuesto El vector opuesto a uno dado ( A) es otro vector de igual módulo dirección pero de sentido contrario al dado ( A).

10 10 Introducción Diferencia de vectores La diferencia de dos vectores A = (A x,a y,a z ) y B = (B x,b y,b z ) es un vector A B, el cual es igual a la suma de A con el opuesto de B A B = A + ( B) = (A x B x,a y B y,a z B z ). La suma de un vector con su opuesto nos da el vector cero, 0 = (0, 0, 0), A + ( A)=0. Producto de un escalar por un vector. Vector unitario Dados un escalar µ y un vector A = (A x,a y,a z ), se define el producto del escalar µ por el vector A como un nuevo vector A de módulo µ veces el módulo de A A = µ A = (µa x,µa y,µa z ). El nuevo vector tiene la misma dirección que A y su sentido es igual al de A si µ > 0. Si µ < 0, el sentido de A es contrario al de A. El cociente entre un vector A y un escalar η es equivalente a multiplicar el vector por el inverso del escalar (1/η), A A = η = 1 ( A η Ax = η, A y η, A ) z. η El módulo de este nuevo vector será 1/η veces el módulo de A. Se define el vector unitario, û A, de un vector dado, A, al cociente entre dicho vector y su módulo A û A = A = (A x,a y,a z ). A 2 x + A 2 y + A 2 z Así pues, todo vector unitario tiene de módulo la unidad, û A = 1. A los cosenos de los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes se les denomina cosenos directores (figura 1.4), ya que éstos son las componentes del vector unitario que definen la dirección de aquel. u Ax u Ay u Az = cos α x = A x A = cos(a x, A) = cos α y = A y A = cos(a y, A) = cos α z = A z A = cos(a z, A) Teniendo en cuenta la expresión anterior y las obtenidas para los cosenos directores, el vector unitario en la dirección de A es û A = (u Ax,u Ay,u Az ) = (cos α x, cos α y, cos α z ) = ( A x A, A y A, A z A ).

11 Magnitudes escalares y vectoriales 11 Producto escalar de dos vectores Es una magnitud escalar que nos informa de la tendencia de los vectores a apuntar hacia un mismo sentido y se obtiene multiplicando los módulos de los vectores por el coseno ángulo que forman. El producto escalar de dos vectores A = (A x,a y,a z ) y B = (B x,b y,b z ) se denota por A B. También se puede escribir en función de las componentes de los vectores A B = A B cos θ = A x B x + A y B y + A z B z, siendo θ el ángulo que forman entre sí los vectores A y B. De forma inmediata se deduce que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. θ Figura 1.6: Ángulo θ entre dos vectores A y B. Si A B cos(π/2) = 0 A B = 0 Por otra parte, el producto escalar de un vector por él mismo es igual a su módulo al cuadrado, A A = A 2. Como aplicación inmediata del producto escalar podemos determinar el ángulo formado por dos vectores arc cos θ = A B AB. El producto escalar entre vectores tiene las propiedades conmutativa y distributiva respecto de la suma A B = B A A ( B + C) = A B + A C.

12 12 Introducción Producto vectorial de dos vectores El producto vectorial de dos vectores A = (A x,a y,a z ) y B = (B x,b y,b z ), que se denota por A B, es un nuevo vector C, C = A B î ĵ k = A x A y A z B x B y B z (en coordenadas cartesianas 1 ) que cumple: Figura 1.7: El módulo del vector producto vectorial C = A B coincide con el área del paralelogramo formado por los dos vectores, A y B. 1. El módulo de C es igual al producto de los módulos de A y B por el seno del ángulo que forman ( C = AB sen θ). Dicho módulo coincide con el área del paralelogramo definido por los vectores A y B (véase figura 1.7) A B = AB sen θ = AB h A = Bh. 2. La dirección de C es perpendicular al plano formado por A y B. 3. El sentido de C (figura 1.8) coincide con el que tendría el avance de un sacacorchos (rosca derecha) si lo dispusiéramos en la dirección de C haciéndolo girar en el sentido de llevar el primer vector hacia el segundo vector que se multiplica. (Se puede utilizar también la regla de la mano derecha. Cerrando la mano en la dirección del primer vector al segundo, el dedo pulgar nos dará la dirección del vector C). Esta operación no posee la propiedad conmutativa, aunque sí presenta la distributiva respecto de la suma. Como consecuencia de la definición, los productos vectoriales entre los 1 En el apéndice B se resume el modo de realizar el producto vectorial con otro tipo de coordenadas.

13 Magnitudes escalares y vectoriales 13 Figura 1.8: La dirección del vector C es perpendicular al plano definido por los vectores A y B. Su sentido, en este caso, es hacia arriba (regla de la mano derecha). vectores unitarios de los ejes coordenados son nulos cuando dichos vectores son diferentes. También, el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Lo mismo podemos decir del producto vectorial de un vector por sí mismo. Producto mixto de vectores Dados tres vectores A = (A x,a y,a z ), B = (B x,b y,b z ) y C = (C x,c y,c z ), se define el producto mixto como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de los otros dos. A ( B C) = A x A y A z B x B y B z C x C y C z El producto mixto es un escalar, que coincide con el volumen del paralelepípedo rectangular que delimitan los vectores (véase figura 1.9), además tiene la siguiente propiedad: A ( B C) = B ( C A) = C ( A B). Si nos fijamos en la figura 1.9, el producto C ( B A) = C B A cos ϕ,

14 14 Introducción siendo B A el área de la base, por lo que si cos ϕ = h C, que es el volumen del paralelepípedo. C ( B A) = C B A h C = B A h, Figura 1.9: El volumen del paralelepípedo coincide con el producto mixto de los tres vectores Cálculo infinitesimal y vectorial Derivada de un vector función de una variable escalar Dado un vector r = (r x,r y,r z ) función de una variable escalar (t), la derivada de r respecto a t se calcula de la siguiente forma: ( d r dt = drx dt, dr y dt, dr ) z = dr x dt dt î + dr y dt ĵ + dr z dt k. Reglas de derivación Suma: d dt [ r 1(t) + r 2 (t) r n (t)] = d r 1 dt + d r 2 dt d r n dt Producto de un escalar por un vector d dµ [µ(t) r(t)] = r + µd r dt dt dt

15 Cálculo infinitesimal y vectorial 15 Producto escalar Producto vectorial Producto mixto d dt [ r 1(t) r 2 (t)] = d r 1 dt r 2 + r 1 d r 2 dt d dt [ r 1(t) r 2 (t)] = d r 1 dt r 2 + r 1 d r 2 dt d dt { r 1(t) [ r 2 (t) r 3 (t)]} = d r ( ) ( 1 dt ( r d r2 2(t) r 3 (t)) + r 1 dt r 3 + r 1 r 2 d r ) 3 dt Integración La integral de un vector A(t) = (A x,a y, A z ) función de un escalar t se resuelve integrando sus componentes t2 t2 t2 t2 A(t)dt = A x (t)dt î + A y (t)dt ĵ + A z (t)dt k. t 1 t 1 t 1 t 1