_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

Transcripción

1 24 Unidad II Vectores

2 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas magnitudes escalares. Otras precisan de dirección y sentido y las llamamos magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, si decimos que Teófilo tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Anacleto mide 185 cm de altura y su masa es de 45 kg, está claro que es sumamente delgado. 25 Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar. Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos dicen que un coche corría a 80 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía. Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores. Por tanto podemos decir que: Denominamos magnitudes escalares a aquellas que quedan completamente identificadas dando su valor, que siempre es un número real acompañado de una unidad. Ejemplos; masa, temperatura, densidad, tiempo, etc. Denominamos magnitudes vectoriales a aquellas que quedan completamente identificadas dando su módulo, dirección y sentido. Por ejemplo velocidad, aceleración, fuerza, etc. El módulo de una magnitud vectorial siempre es un número real positivo. Para trabajar con magnitudes vectoriales utilizamos vectores. Un vector es un segmento orientado, la longitud del cual representa su módulo, y donde la dirección y sentido se pueden determinar tanto matemáticamente como geométricamente. Para simbolizar magnitudes vectoriales dibujaremos una flecha sobre el símbolo que representa a la magnitud: v (velocidad), a (aceleración), etc. En general cuando se escribe una magnitud vectorial sin flecha, se está haciendo referencia a su módulo. Los vectores se representan gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, y numéricamente por 2 números (en el plano) y por tres (en el espacio). Estos números se denominan coordenadas cartesianas del vector.

3 26 Tenemos además dos tipos de magnitudes en función de estar definidas por ellas mismas o poderse descomponer en otras que llamamos fundamentales. Las magnitudes que pueden descomponerse en otras fundamentales las llamamos magnitudes derivadas. La mecánica clásica tiene las magnitudes fundamentales de: Longitud (l) cuya dimensión es [L], Tiempo (t) cuya dimensión es [T], Masa cuya dimensión es [M], y como ejemplo de magnitudes derivadas se tienen entre otras: Velocidad= (l/t), cuya dimensión es: LT -1 Aceleración =(v/t), cuya dimensión es: LT -2 Fuerza= (ma), cuya dimensión es: MLT -2 Las ecuaciones fundamentales de la física son dimensionalmente homogéneas y en consecuencia se puede esperar que la solución correspondiente a un problema práctico también se pueda expresar por medio de una ecuación dimensionalmente homogénea Características de los vectores Como ya se mencionó antes, un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen. O también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección. Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y dos o tres ejes perpendiculares.

4 Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas Composición y descomposición de los vectores La composición de vectores se da de la siguiente manera: supongamos que tenemos un vector denotado por la letra A1 (en rojo) y otro denotado por la letra A2 (en azul), cada vector tiene una magnitud determinada y tiene un ángulo característico. En este caso la composición se refiere a la formación del vector A que sería la suma de los vectores A1 y A2, dando origen a una propia magnitud y ángulo del vector A resultante. La descomposición de vectores se da de una manera inversa a la composición de vectores, es decir a partir de un vector se obtienen sus componentes. Supongamos que tenemos el vector a, que tiene su módulo, dirección y sentido característico, al realizar su descomposición obtenemos sus componentes en los ejes x y y, denotados por a y y por a x, que son los que originan a dicho vector a, ya que si se suman darían como resultado el vector a.

5 Suma de vectores por el método gráfico y analítico Método analítico. Suma de vectores. En este caso dado que un vector puede expresarse en términos de sus componentes a = (a 1, a 2 ), se pueden llevar a cabo las operaciones de suma de vectores sumando las componentes correspondientes de la siguiente manera: Suponga que tenemos 2 vectores denotados por b = (b 1, b 2 ) y s = (s 1, s 2 ), la suma de estos vectores es: b + s = (b 1 + s 1, b 2 + s 2 ) Ejemplo Considere los siguientes vectores: Sumar: b + c, f + h, h + b Método gráfico. Método del paralelogramo. c = 2, 4 f = 5, 3 h = 8, 2 b = (2, 1) b + c = 2 + 2, = 4, 5 f + h = 5 + 8, = 13, 5 h + b = 8 + 2, = (10, 3) Nos sirve para sumar dos vectores simultáneos. 1.-Consiste en dibujar los dos vectores a escala con sus puntos de aplicación coincidiendo con el origen del plano cartesiano. 2.-Los vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas en los vectores de igual magnitud.

6 3.-La resultante se obtendrá de la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de los puntos de aplicación de los vectores. El método aplica de la siguiente forma, supongamos que tenemos dos vectores A1 y A2, como vemos en la siguiente figura ambos tiene en común el punto de aplicación y cada cual tiene su ángulo determinado, todo esto se lleva a cabo en un plano cartesiano, si observamos las líneas punteadas corresponden a líneas paralelas a los vectores y que en determinado momento se cruzan, es aquí en este punto de intersección donde ubicaremos el final del vector resultante y será donde pondremos la punta de flecha, posteriormente el origen será el mismo que para los vectores que se sumaron, cabe mencionar que todo esto es a escala, por lo que al medir el vector resultante se tendrá de igual manera un valor a escala. 29 Método de suma consecutiva de vectores. Este método es un poco distinto al anterior debido a que los vectores se van colocando uno a uno hasta terminar y a la vez moviendo el eje de coordenadas, a continuación se ilustra en qué consiste el método.

7 Los ejercicios de este tema se verán y resolverán en clase, es importante llevar juego geométrico, hojas de cuadro o milimétricas y calculadora para la comprensión de este tema Fórmulas importantes para esta unidad Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 30 Ley de los senos. La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante. En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Ley de los cosenos. En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces el producto de ellos por el coseno del ángulo que forman. C 2 = A 2 + B 2 2ABcos A C B