Aplicaciones Lineales

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1 Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las bases canónicas de la siguiente forma: c B c B 2 = = , 0, 0 0, 0 A continuación, obtendremos las ecuaciones explícitas de la aplicación lineal observando la matriz dada. Para ello, observamos las filas de la matriz, las cuales representan las ecuaciones de la aplicación siempre y cuando tomemos las bases canónicas en los espacios de partida y de llegada. Por tanto, las ecuaciones explícitas de la función son: y + 2z = 0 x + z = 0 b) Encontrar la matriz de la aplicación lineal con respecto a las bases: B = B 2 = 2 2, 0 0 0, 0, Para encontrar la matriz de la aplicación con respecto a las nuevas bases existen dos métodos posibles: - Mediante la matriz cambio de base. Para comprender este método es necesario atender al siguiente esquema:

2 En dicho esquema la matriz A representa la matriz de la aplicación lineal en las bases canónicas tanto en el espacio de partida como en el de llegada y la matriz A* la pedida por el enunciado, es decir, la que toma elementos de la base B de y los transforma en elementos de 2 en la base B 2. Por otra parte la matriz P representa la matriz cambio de base que toma elementos escritos en la base B y los transforma en elementos escritos en la base canónica de Finalmente la matriz Q representa la matriz cambio de base que permite transformar elementos escritos en la base canónica de 2 en elementos de la base B 2 de 2. Por tanto, si queremos obtener la matriz de la aplicación lineal escrita en las bases B y B 2, bastará con calcular las matrices P y Q y realizar la composición: A* = QAP Nótese el orden en que se multiplican las matrices. Primero se aplica la matriz P para realizar el cambio de base entre B y la canónica de. A continuación aplicamos la matriz A escrita en las bases canónicas tanto de como de 2. Finalmente aplicamos el cambio de base en 2 mediante la matriz Q para transformar el vector escrito en la base canónica en un vector escrito en la base B 2. Cálculo de la matriz P Como se ha comentado, la matriz P es la matriz cambio de base entre B y la base canónica de. Por tanto para obtener su expresión será necesario escribir los vectores de la base B como combinación lineal de los de la canónica de la siguiente forma: 2

3 ( 2 ) = a( 0 0 ) + b( 0 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b c ) a = b = 2 c = ( ) = a( 0 0 ) + b( 0 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b c ) a = 2 b = 0 c = 0 ( 0 0 ) = a( 0 0 ) + b( 0 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b c ) a = 0 b = 0 c = Por tanto, la matriz P de cambio de base se obtiene colocando los coeficientes de las combinaciones lineales por columnas: P = Cálculo de la matriz Q Para obtener la matriz Q se llevará a cabo el mismo proceso, salvo que en este caso será necesario expresar los vectores de la base canónica de 2 como combinación lineal de los vectores de la base B 2. ( 0 ) = a( ) + b( ) = ( a + b a b ) = a + b ( 0 ) = a( ) + b( ) = a + b a b Por tanto la matriz Q es: ( ) 0 = a + b a = / 2 0 = a b b = / 2 a = / 2 = a b b = / 2 Q = / 2 / 2 / 2 / 2 Finalmente para obtener la matriz de la aplicación lineal en las nuevas bases dadas basta con efectuar la multiplicación: A* = QAP = / 2 / 2 / 2 / = / 2 / 2 / 2 / = 2 / 2 2 / 2 - Mediante las ecuaciones explícitas de la aplicación lineal.

4 Para este método en primer lugar será necesario fijarnos en las ecuaciones explícitas que determinan la aplicación lineal. De esta forma, sabemos que la matriz de la aplicación lineal para una base dada estará definida por la imagen de cada uno de los vectores de dicha base. Sin embargo esos vectores imagen obtenidos estarán escritos en la base canónica del espacio de llegada (en este caso 2 ) por lo que a continuación será necesario realizar el cambio de base para obtener la matriz con respecto a las bases B y B 2. Imagen de la base B de Tal y como se determinó en el apartado a, la aplicación lineal viene dada por: y + 2z = 0 f : 2 x + z = 0 La imagen de los vectores de la base B por tanto será: ( ) = ( 4 0 ) ( ) = ( 0 2 ) ( ) = ( 2 ) f 2 f f 0 0 Si nos fijamos bien, la matriz que determinan estos imágenes: es la misma que la que se obtiene al hacer la multiplicación AP en el método anterior. Cambio de la base canónica de 2 a la base B 2 Finalmente como hemos dicho, los vectores imagen obtenidos están expresados en la base canónica de 2, por lo que es necesario realizar el cambio de base para completar el ejercicio. Para ello, escribiremos dichos vectores como combinación lineal de los vectores de la base B 2 : ( 4 0 ) = a( ) + b( ) = ( a + b a b ) 4 = a + b ( 0 2 ) = a( ) + b( ) = a + b a b ( 2 ) = a( ) + b( ) = a + b a b ( ) 0 = a + b ( ) 2 = a + b a = 2 0 = a b b = 2 a = 2 = a b b = a = / 2 = a b b = / 2 4

5 Hecho esto, la matriz pedida es la que se obtiene al poner como columnas los coeficientes de las combinaciones lineales encontradas y que representan el cambio de base: A* = 2 / 2 2 / 2 Sobre la conveniencia de usar cualquiera de los dos métodos en mi opinión el segundo es mucho más conceptual/teórico que el primero, el cual es mucho más mecánico. Sin embargo como se ha podido ver ambos son válidos. Ejercicio 2 Dada la aplicación lineal f : 2 : f x y = x + y x y y a) Encontrar la matriz asociada para las bases canónicas de 2 y. Para encontrar la matriz de la aplicación lineal f en las bases canónicas basta con obtener la imagen de los vectores de la base canónica de 2. Es decir: f ( 0 ) = f ( 0 ) = 0 Por tanto la matriz de la aplicación entre las bases canónicas queda: A = 0 { ( )} de 2 y b) Encontrar la matriz asociada con respecto a las bases B = ( 2 ), 2 { ( )} de. B 2 = ( 0 0 ),( 0 ), 0 0 5

6 Este apartado volveremos a resolverlo de dos formas diferentes de modo que el lector pueda escoger la que más sea de su agrado siendo las dos totalmente válidas: - Mediante la matriz cambio de base. Para este método de nuevo es necesario atender al siguiente esquema: En este esquema, A representa la matriz obtenida en el apartado anterior para las bases canónicas, P la matriz de cambio de base en 2 y Q la matriz cambio de base en en los sentidos que marcan las flechas. Cálculo de la matriz P La matriz P es la encargada de realizar el cambio de base en 2 desde la base B a la base canónica. Por tanto será necesario escribir los vectores de la primera base como combinación lineal de los de la segunda, es decir: ( 2 ) = a( 0 ) + b( 0 ) = ( a b ) a = b = 2 ( 2 ) = a( 0 ) + b( 0 ) = ( a b ) 2 = a = b Atendiendo a los coeficientes, la matriz P de cambio de base queda como: P = 2 2 Cálculo de la matriz Q La matriz Q tal y como muestra el diagrama es la encargada de realizar el cambio de base en entre la base canónica y la base B 2. Para ello escribimos los vectores de la base canónica como combinación lineal de los de B 2 : 6

7 ( 0 0 ) = a( 0 0 ) + b( 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b b + c ) a = b = 0 c = 0 ( 0 0 ) = a( 0 0 ) + b( 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b b + c ) a = 0 b = c = / ( 0 0 ) = a( 0 0 ) + b( 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b b + c ) a = 0 b = 0 Por tanto la matriz Q queda como: c = / Q = / / Finalmente atendiendo al esquema, el orden de aplicación de las matrices es primero P para el cambio de base dentro de 2, a continuación A y finalmente la matriz de cambio de base Q en. Por tanto, la matriz de la aplicación para las nuevas bases dadas es: A* = QAP = / / = / / = 7 / 0 / - Mediante las ecuaciones explícitas de la aplicación lineal. Para este método en primer lugar será necesario obtener la imagen de los vectores de la base B de 2, para ello aplicamos la función a cada uno de ellos: f ( 2 ) = f ( 2 ) = Si nos fijamos, estas imágenes corresponden a la matriz AP calculada en el método anterior. Sin embargo, los vectores imagen obtenidos siguen expresados en la base canónica de, por lo que es necesario cambiarlos a la base B 2. Para ello los expresamos como combinación lineal de los mismos obteniendo: 7

8 ( 6 ) = a( 0 0 ) + b( 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b b + c ) a = b = c = 7 / ( 5 9 ) = a( 0 0 ) + b( 0 ) + c( 0 0 ) = ( a b b + c ) a = 5 Por tanto, la matriz de la aplicación para las bases dadas queda como: b = c = 0 / A* = 5 7 / 0 / c) Considera la base B = ( 2 ), 2 tal que la matriz asociada a f sea: { ( )} de 2. Encontrar una base apropiada de Para este ejercicio nos basaremos en que la imagen de los vectores de la base B por la aplicación es: f ( 2 ) = f ( 2 ) = Por tanto será necesario encontrar una base de en la que los vectores (,,6) y (5,-,9) queden expresados como (,0,0) y (0,,0) respectivamente. Una base en ha de estar formada por vectores linealmente independientes. Sea B* la { }. nueva base de : v,v 2,v Está claro que si el vector (,,6) se escribe como (,0,0) en otra base, es porque este es el primer vector de dicha base. Es decir: v = (,,6) También es posible ver este paso de forma numérica escribiendo la combinación lineal necesaria y recordando que las coordenadas de un vector en una base son los coeficientes de la combinación lineal con los vectores de la base: 8

9 ( 6 ) = v + 0 v v Lo mismo ocurre para el vector (5,-,9), que correspondería con el segundo vector de la base B*: v 2 = (5,,9) Finalmente el tercer vector de la base queda a libre elección del lector siempre y cuando este sea linealmente independiente con v y v 2, por ejemplo: v = ( 0 0 ) 9

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