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1 Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: 60 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 4 puntos) Se considera la matriz: A=( ) a) Determina la matriz B= A 2-2A 1,5 PUNTOS b) Determina los valores de para los que la matriz B tiene inversa 1 PUNTO c) Calcula B -1 para 1,5 PUNTOS Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Halla los valores de a y b para que la función dada por: sea una función continua. Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos) Estudia el siguiente límite según los valores del parámetro :

2 SOLUCIONES 1.) a) A 2 =( ) ( ) = ; 2 A=( ) ; B= b) La matriz B tiene inversa para aquellos valores de para los cuales B 0 B = ; Las raíces son: La matriz B tiene inversa para valores del parámetro distintos de -1 y de 3 c) B -1. Vamos a utilizar la fórmula: ; B =4; Los adjuntos son: B 11=-2; B 12=0; B 21=0; B 22= -2 => Adj(B)= [Adj(B)] t = ; B -1 = ; B -1 = o o ) Al tratarse de una función definida por intervalos, el estudio de la continuidad debe centrarse en los puntos de separación entre los intervalos, es decir, en x = 0 y x = 2. Para que la función sea continua se debe cumplir que: Estudio de x = 0: Luego, de momento, b = 3. Estudio de x = 2: Luego, 2a + b = 7, como b = 3, entonces a = o o ) = Resolvemos el límite: Resolvemos el límite del exponente aparte:

3 de mayor grado todos los términos de la expresión: Dividimos entre el término Si Si o o

4 SOLUCIONES OPCIÓN B: 1.) a) Calculamos el determinante de A: A = (por comodidad, llamo x a α) α α 1 = x x x x = x -3x α Vemos cuándo el determinante es cero: para ello buscamos los divisores del término independiente y dividimos por Ruffini teniendo en cuenta que el polinomio no es completo: La raíz es 1 => queda después de dividir entre 1 por Ruffini: (x-1)(x 2 +x -2) = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: x 2 +x -2 = 0 queda: x=1 y x= -2. Para todo R- {-2, 1} el rang(a) = 3 Si x= 1 => la matriz son todos unos por tanto como son filas iguales => rang(a) = 1 Si x= -2 A= = Multiplico la segunda fila por 2 y la tercera también 1 1-2

5 2-4 2 = sumo la primera fila tanto a la segunda como a la tercera = sumando la segunda y la tercera fila y poniéndolo en la tercera => rang(a) = b) Calculamos su matriz inversa para a= -1 utilizando determinantes (Aunque ellos sólo saben hacerlo por el método de Gauss-Jordan): A -1 = 1/ A Adj(A t ); A t = => Calculamos la adjunta, calculando antes los adjuntos: adj(a t ) =

6 Por lo tanto, la matriz inversa es: A -1 : = /2 1/2 1/2 0 1/2 = 1/2 1/2 0

7 o o ) Hacemos su derivada: P (x) = 3ax 2 + 2bx +c => P (x) = 6ax + 2b - Como tiene un máximo en x=1 => P (1) = 0 => 3a+2b+c = 0 - Por pasar por el punto (0,1) => P(0) = 1=d - Por tener un punto de inflexión en (0,1) => P (0) = 0 => 2b=0 = b=0 por lo tanto: 3a+2b+c = 3a +c => c= -3a y a=a El polinomio que obtenemos al final es: f(x) = ax 3 3ax +1 Como => -5a + 4 = 5 => a= -1/5 => c= 3/5 => P(x)= o o ) a) La función es discontinua donde se anule el denominador: 1-x 6 = 0 => x= 1 y x= -1. La discontinuidad puede evitarse si existe límite: CASO x= -1: Hay que calcular límites laterales pero por la izquierda da - y si me acerco por la derecha a -1 da +. Como no hay límite, la discontinuidad no puede evitarse. CASO x= 1: En este caso la discontinuidad puede evitarse redefiniendo la función para x=1 de la forma f(1) = 1/2 b) La recta x = -1 es asíntota vertical de la función pues Además, puede observarse que si x -> -1 -, f(x) -> + y si x -> -1 +, f(x) -> o o ) Sean l, l y 2b los lados del triángulo, y h su altura. Se sabe que: 2l + 2b = 60 => b = 30 l h 2 = Con esto, su superficie será: S = b h = (30 l) Para que S sea máxima debe ser S = 0, luego: S = - Operando para quitar el denominador queda: -2(60l -900) l = 0; -120l l = 0; -180l = 0 => l = 20m Como para l < 20, S > 0, y para l > 20, S < 0, para ese valor (l = 20) se da el máximo de S. En consecuencia, el triángulo debe ser equilátero de lado 20 m.

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