Tutorial MT-b15. Matemática Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones
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- María Ángeles Núñez Valverde
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1 M ate m ática Tutorial MT-b15 Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Relaciones y Funciones
2 Matemática 006 Tutorial Relaciones y Funciones Marco teórico: 1. Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A x B se define como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B. Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, (exactamente en ese orden) recibiendo el nombre de par ordenado. Los elementos del producto cartesiano se colocan entre paréntesis, separados por una coma. Ejemplo: A = {1,,3} posee 3 elementos B = {x,y} posee elementos A x B = {(1,x); (1,y); (,x); (,y); (3,x); (3,y)} posee 6 elementos (6 pares ordenados). Relación: Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este producto cartesiano puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto: relación 3. Función: A x B Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B, si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. También podríamos decir que es una relación en la cuál a cada preimagen le corresponde una y sólo una imagen. (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones) 4. Elementos de una función 4.1 Dominio: Corresponde a los elementos del conjunto de partida, a cada uno de estos elementos se les conoce como las preimágenes. 4. Codominio: Corresponde a los elementos del conjunto de llegada, a casa uno de estos elementos se les conoce como las imágenes.
3 4.3 Rango o recorrido: Corresponde al subconjunto de imágenes que poseen preimagenes, o sea el recorrido es un subconjunto del Codominio Ejemplo: 1 3 x y z Matemática 006 Conjunto de partida Conjunto de llegada Dominio: {1,,3} Codominio: {x,y,z} Recorrido: {x,y} 5. Clasificación de funciones: 5.1 Función Epiyectiva (o Sobreyectiva) Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. Ejemplo: A = { f, a, i, r, l } B = {, 4, 6, 8 } f = { ( f, ), ( a, 8 ), ( i, 4 ), ( r, 6 ), ( l, 8 ) } 5. Función Inyectiva Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A. Ejemplo: A = { x, y, z } B = { 10, 13, 0, 35 } f = { ( x, 35 ), ( y, 10 ), ( z, 0 ) } 3
4 Matemática 006 Tutorial 5.3 Función Biyectiva Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez. Ejemplo: A = { v, w, x, y } B = { 1,, 3, 4} f = { ( v, 1 ), ( w, ), ( x, 3 ), ( y, 4 )} Observar que: Si f es una función biyectiva, entonces tiene función inversa f 1,la cual también es biyectiva. 6. Función inversa: Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f 1 (x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f -1 (b) = a Para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Ejemplo: encontrar la función inversa de y = 7x 10 Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta x = y Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta y = x Luego, la función inversa de y = 7 x 10 es y = x Valorización de funciones: Consiste en reemplazar la x de la función (también conocida como variable independiente), por el valor en cuestión de la valorización. Ejemplos: Si f(x) = x 10, entonces f(4) = 4 10 = 6 f(5) = 5 10 = 15 4
5 f(0) = 0 10 = 10 f(a + ) = a + 10 = a 8 8. Composición de funciones: Dado una función f(x) y una función g(x) una composición de funciones se simboliza como fog(x) y consiste en valorizar la función f(x) en g(x), matemáticamente lo señalamos como: f(g(x)). Ejemplo: Si una función f(x) consiste en sumar dos a x y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada de x +. Matemática 006 Matemáticamente, f(x) = x + g(x) = x,entonces gof(x) g(f(x)) = (x + ) Ejercicios: 1. Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones? I. II. III. 1 x y 1 x 1 x y 3 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II, II E) Ninguna 5
6 Matemática 006 Tutorial. Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones? A = {1,,3} B = {5,6,7,8} I. R = {(1,)}; (1,5); (1,3)} II. R = {(1,5)}; (,6); (3,7)} III. R = {(1,5)}; (,6); (3,8)} A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 3. Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función de A en B? A) dominio = {1,,3,4} recorrido = {1,,4} A B B) dominio = {1,,4} recorrido = {1,,3,4} 1 a C) dominio = {a,b,c} recorrido = {1,,3,4} b 3 c D) dominio = {a,b,c} recorrido = {1,,4} 4 E) dominio = {1,,4} recorrido = {a,b,c} 4. Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función de B en A? A) dominio = {i,g,n} recorrido = {f,c} A B B) dominio = {f,c} recorrido = {i,g,n} i f g C) dominio = {f,c,o} recorrido = {i,g,n} c n o D) dominio = {i,g,n} recorrido = {f,c,o} E) La relación de B en A no es una función 5. Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función f(x) dentro de IR? f(x) = 1 x A) Dominio = IR Recorrido = IR B) Dominio = IR + Recorrido = IR + C) Dominio = IR {0} Recorrido = IR {0} D) Dominio = IR {} Recorrido = IR {} E) Dominio = IR {} Recorrido = IR {0} 6
7 6. Cuál es la función inversa de f(x) = x? A) f 1 (x) = x B) f 1 (x) = x C) f 1 (x) = 4x D) f 1 (x) = x Matemática 006 E) f 1 (x) = ( x) Si f (x) =x, entonces f(x + ) = A) x + B) x C) x + 4x + 4 D) x + x + 4 E) x + 8. Si f (x) = x + 3 g(x) = x 3, entonces f (17) g() = A) 1 B) 8 C) 10 D) 1 E) 0 9. Cuál es la función inversa de f(x) = 3x? A) f(x) 1 = 3x B) f(x) 1 = x 3 C) f(x) 1 = x D) f(x) 1 = 5x E) Esta función no posee inversa 7
8 Matemática 006 Tutorial 10. Si f(x) = 6x 4, entonces f 1 ()= A) 1 B) 1 C) 8 D) 10 E) Si f(x) = x 8 g(x) = x, entonces fog(x) = A) x - 8 B) x C) x 8 D) x 8 E) (x - 8) 1. Si f(x) = x + 5 g(x) = x +, entonces gof() = A) 6 B) 9 C) 17 D) 81 E) La siguiente función de A en B es : I. Epiyectiva A B II. Inyectiva III. Biyectiva A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II, III w g
9 14. si f(x) = x 144 Cuál es el dominio de f 1 (x) dentro de IR? A) IR B) IN C) Z D) IR {0} E) IR {7} 15. Si f(x) = x + 5 ; g(x) = x + h(x) = 11, entonces ( gof ) 1 (h(x)) = Matemática 006 A) B) 4 C) 13 D) 7 E) 9 Respuestas Preg. Alternativa 1 B E 3 D 4 A 5 E 6 C 7 C 8 D 9 B 10 B 11 D 1 E 13 E 14 A 15 A 9
10 Matemática 006 Solucionario Solucionario 1. Alternativa correcta letra B) Recordando que Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B, si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. En cuanto a los diagramas podemos decir que estos son funciones si: existen líneas conectando todos los elementos del conjunto de partida, con los elementos del conjunto de llegada y los elementos del conjunto de llegada están conectados con sólo una línea con los elementos del conjunto de llegada. Por lo tanto, el diagrama I no es función pues el elemento 3 no esta conectado con ningún elemento del conjunto de llegada. El diagrama II si es función. El diagrama III no es función pues desde el elemento del conjunto de partida salen dos líneas al conjunto de llegada.. Alternativa correcta letra E) Recordando que sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B, si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. Entonces: El ítem I no es una función pues al elemento 1 del conjunto A le corresponden tres elementos en B. Los item II y III son funciones pues satisfacen el enunciado. 3. Alternativa correcta letra D) Recordando que el dominio corresponde a los elementos del conjunto de partida el dominio corresponde a los elementos {a,b,c}. Y dado que el recorrido son los elementos del conjunto de llegada que poseen preimágenes, entonces el recorrido esta formado por los elementos {1,,4}. 10
11 4. Alternativa correcta letra A) Observar que se pide realizar la función de B en A y no la función de A en B, por lo tanto el conjunto de partida es B y el conjunto de llegada es A. Recordando que el dominio corresponde a los elementos del conjunto de partida el dominio corresponde a los elementos {i,g,n}. Y dado que el recorrido son los elementos del conjunto de llegada que poseen preimagenes, entonces el recorrido esta formado por los elementos {f,c}. Matemática Alternativa correcta letra E) 1 En una función expresada de la forma f(x) = x El dominio corresponde a los valores que puede tomar la variable x, recordemos además que un denominador debe ser siempre distinto de cero para que pertenezca a los reales, y dado que = 0, entonces el dominio corresponde a todos los reales menos el número dos. El recorrido corresponderá a los valores que puede tomar la variable y una vez despejada la variable x, luego despejando y 1 y = (Multiplicado por (x ) ambos lados de la ecuación) x (x )y = 1 (Multiplicando el lado izquierdo de la ecuación) xy y = 1 (Sumando y a ambos lados de la ecuación) xy = 1 + y (Dividiendo por x ambos lados de la ecuación) 1 + y x = y Finalmente recordemos que un denominador debe ser siempre distinto de cero para que pertenezca a los reales por lo cual y debe ser distinta de cero, luego el recorrido es: IR {0} 6. Alternativa correcta letra C) Recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. 11
12 Matemática 006 Solucionario La función así obtenida es la inversa de la función dada. Entonces para encontrar la función inversa de y = x Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta: x = (y) x = 4y y = 4y (Desarrollamos la potencia) Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta: Luego, la función inversa de f(x) = x es f 1 (x) = 4x 7. Alternativa correcta letra C) Este es un ejercicio de valorización en la función f(x) = x debemos reemplazar la x por el valor pedido para la valorización (x + ) de donde resulta: f(x + ) = (x + ) Luego desarrollando el cuadrado de binomio, recordamos que (a + b) = a + ab + b de donde resulta: f(x + ) = x + 4x Alternativa correcta letra D) Este es un ejercicio de valorización en la función f(x) = x + 3 debemos reemplazar la x por el valor pedido para la valorización: 17 de donde resulta: f(17) = = 0 Además en la función g(x) = x 3 debemos reemplazar la x por el valor pedido para la valorización: de donde resulta: g() = 3 = 8 Finalmente f(17) g()= 0 8 = 1 9. Alternativa correcta letra B) Recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. 1
13 Entonces para encontrar la función inversa de y = 3x Primero, despejamos la variable independiente x, de donde resulta: x = y 3 Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta: y = x 3 Luego, la función inversa de f(x) = 3x es f 1 (x) = x Alternativa correcta letra B) Matemática 006 Recordemos que el paso final para encontrar la función inversa era Intercambiar la x por la y, y la y por la x. Por lo tanto cuando nos piden valorizar una función inversa basta con valorizar en y en vez de x, de donde resulta: f() 1 = 6x 4 (Sumando 4 a ambos lados de la ecuación) 6 = 6x (Dividiendo por 6 ambos lados de la ecuación) 1 = x por lo tanto si f(x) = 6x 4, entonces f 1 (), resulta igual a Alternativa correcta letra D) Recordando que la expresión fog(x) consiste en valorizar la función f(x) en g(x), lo que matemáticamente señalamos como: f(g(x)) Entonces fog(x) = f(g(x)) f(g(x)) = (g(x)) 8 f(g(x)) = (x ) 8 f(g(x)) = x 8 De donde resulta: Y dado que g(x) = x, entonces: Multiplicando resulta: 1. Alternativa correcta letra E) Recordando que la expresión gof(x) consiste en valorizar la función g(x) en f(x), lo que matemáticamente señalamos como: g(f(x)) Entonces gof(x) = g(f(x)) g(f(x)) = (f(x)) + g(f(x)) = (x + 5) + De donde resulta: Y dado que f(x) = x + 5, entonces: Luego desarrollando el cuadrado de binomio, recordamos que (a + b) = a + ab + b de donde resulta: 13
14 Matemática 006 Solucionario g(f(x)) = 4x + 0x (Sumando) g(f(x)) = 4x + 0x + 7 (Finalmente para encontrar gof() debemos valorizar en ) gof() = 4() (desarrollando la potencia) gof() = (Multiplicando) gof() = (Finalmente sumando) gof() = Alternativa correcta letra E) Recordando que una función es Epiyectiva (o Sobreyectiva) si Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. Podemos concluir que la función es epiyectiva pues al elemento 11 y 1 les corresponde un elemento del conjunto A. Recordando que una función es Inyectiva si Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A. Podemos concluir que la función es epiyectiva pues al elemento 11 y 1 les corresponde sólo un elemento del conjunto A. Y finalmente recordando que una función es Biyectiva cuando es epiyectiva e inyectiva a la vez, podemos concluir que la función es biyectiva también. 14. Alternativa correcta letra A) f(x) = x 144 Cuál es el dominio de f 1 (x) dentro de IR Primero calcularemos la función inversa de f(x) = x 144 Para eso recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. 14
15 Entonces para encontrar la función inversa de y =x 144 y = x x = y (Primero, despejamos la variable independiente x) (Dividiendo por a ambos lados de la ecuación) (Segundo, intercambiamos ambas variables) y = x Luego, la función inversa de f(x) = x 144 es f 1 (x) = x Luego como el dominio corresponde a los valores que puede tomar la variable x, el dominio de la función inversa corresponderá a todos los reales Matemática Alternativa correcta letra A) Primero debemos encontrar gof(x) Recordando que la expresión gof(x) consiste en valorizar la función g(x) en f(x), lo que matemáticamente señalamos como: g(f(x)) Entonces gof(x) = g(f(x)) g(f(x)) = (f(x)) + g(f(x)) = (x + 5) + g(f(x)) = x + 7 De donde resulta: Y dado que f(x) = x + 5,entonces: (Luego, sumando) con lo cual entonces gof(x) = x + 7 Ahora bien debemos calcular (gof ) 1 (h(x)) y dado que h(x) = 11, equivale a calcular (gof ) 1 (11) También debemos recordar que el paso final para encontrar la función inversa era Intercambiar la x por la y, y la y por la x. Por lo tanto cuando nos piden valorizar una función inversa basta con valorizar en y en vez de x, de donde resulta: (gof ) 1 (11) 11 = x + 7 (Restando 7 a ambos lados de la ecuación) 4 = x (Finalmente, dividiendo por ambos lados de la ecuación) = x 15
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