MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas

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1 ECT UNSAM MATEMÁTICA CPU Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen referencia al movimiento de la camioneta de Vicente que corre para alcanzarla a) Cuál es el gráfico que representa el recorrido de Vicente? b) A qué distancia estaba Damiana de Vicente cuando éste comenzó a correr? c) Vicente alcanza a subir a la camioneta? En caso afirmativo cuánto tiempo cuántos metros aproimadamente corrió? d) Inventar un gráfico en el que Vicente se vaa cansando no logre llegar a la camioneta En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View un súper submarino nuclear que en su interior lleva otro submarino mu pequeño llamado Aerosub Éste utiliza como base al submarino estrella además de transitar bajo el agua es capaz de volar Durante una misión de investigación la tripulación del Sea-View siguió los desplazamientos del pequeño submarino El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre el nivel del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas) Donde t = representa la cero hora del de mao de 9 h(t) (metros) distancia al parque (m) tiempo(seg) t (horas) a) Qué día a qué hora partió el Aerosub del Sea-View? b) A qué profundidad se encontraba? c) A qué altura se encontraba entre las 9 horas del de mao? d) Desde qué hora día hasta qué hora día duró la misión? e) Entre qué valores varió la altura del Aerosub? f) Cuándo estuvo sobre el nivel del mar? g) En qué momentos estuvo al nivel del mar? h) En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo? Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

2 ECT UNSAM i) Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a metros de profundidad? Entre que horas sucedió? j) Las respuestas a las preguntas d) e) f) g) h) qué representan de la función h? (Por ejemplo: imagen dominio conjunto de positividad etc) Eplicitar cada uno de ellos Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función? a) b) c) d) e) f) En cada caso está representado el gráfico de una función f : R R determinar: ceros C = { / f ( ) = } conjunto de positividad C = { / f ( ) > } conjunto de negatividad C = { / f ( ) < } intervalos de crecimiento intervalos de decrecimiento imagen de f a) b) c) Observando el gráfico c) calcular f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

3 ECT UNSAM Sea f ( ) = a) Calcular si es posible ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f b) En cada caso encontrar si eiste tal que: i f ( ) = ii f ( ) = iii f ( ) = iv f ( ) = c) Marcar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos (V) cuáles falsos (F): Im( Im( Im( Imf d) Cuáles son los puntos de corte del gráfico de f con los ejes coordenados? h k pertenezcan al gráfico de f e) Hallar h k para que los puntos ( ) ( ) Para cada una de las siguientes funciones calcular su dominio si eisten los puntos de intersección con los ejes a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = 8 d) f ( ) = e) f ( ) = 9 FUNCIÓN LINEAL 7 En cada caso hallar la función lineal f que cumpla lo pedido hacer el gráfico correspondiente encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f a) f ( ) = f ( ) = b) f ( ) = f ( ) = c) f ( ) = 7 f ( ) = 7 f el punto ( ) d) ( ) = 8 Sea la recta r de ecuación = a) Hallar tres puntos de r b) ( 7) r? ( ) r? c) Encontrar k para que: i ( k) r k pertenece al gráfico de f ii ( ) r iii ( k k ) r d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados 9 Calcular la pendiente la ordenada al origen de las siguientes rectas a) = b) = c) = d) = e) = En cada caso dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido a) Pasa por los puntos () (-) b) Pasa por el (/) es paralela a = c) Es perpendicular a = pasa por el (--) d) Es horizontal pasa por (-) e) Es vertical pasa por el punto (-) f) Es perpendicular a la recta = pasa por el punto (8) Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

4 ECT UNSAM Probar analíticamente que el triángulos cuos vértices son A = () B = () C = () es rectángulo en B Dados los puntos A ( ) B = ( ) C = ( ) = hallar gráfica analíticamente la ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo ABC que pasa por A (Recordar: Una altura de un triángulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado que pasa por el vértice opuesto) Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico a) b) c) 7 d) e) f) - / Hallar k para que los puntos ( ) ( ) ( k ) estén alineados Graficar hallar ceros conjuntos de positividad de negatividad intervalos de crecimiento decrecimiento e imagen de las siguiente funciones a) f : R R dada por f ( ) = b) f : ( ) R dada por f ( ) = c) f : [ ) R d) f R R dada por f ( ) = : dada por f ( ) = e) f : R R dada por f) f : R R dada por g) f : R R dada por si < f ( ) = si si < f ( ) = si si ( ) f ( ) = si ( ) Cuál debe ser el dominio de f ( ) = para que su imagen sea el intervalo [ ; ) 7 Hallar analítica gráficamente la intersección entre los siguientes pares de rectas a) r : = : = b) r : = : = 9 c) r : = : =? d) r : = : = e) r : = : = 7 f) r : = : = Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

5 ECT UNSAM 8 Proponer un sistema que describa la situación planteada resolverlo a) Las entradas para un espectáculo se vendieron a $ la platea $7 los palcos Calcular cuántas entradas de cada tipo se vendieron si asistieron 8 personas los ingresos fueron de $7 b) El perímetro de un triángulo isósceles es 8cm Si el lado desigual se aumenta en cm el triángulo obtenido es equilátero Cuál es la longitud de cada lado del triángulo isósceles? c) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9 Si se permuta el orden de los dígitos se obtiene el número aumentado en unidades Cuál es el número? 9 En cada caso hallar las coordenadas del punto P a) b) r r P r r P En cada caso dibujar los gráficos de las funciones lineales f g Representar sobre el eje el conjunto { R / f ( ) g( ) } escribirlo como un intervalo a) f ( ) = g ( ) = b) f ( ) = g ( ) = Martina se va de vacaciones con unos amigos desean alquilar un auto por días Disponen de dos opciones: A: pesos por día B: pesos por día más un recargo de pesos por km recorrido a) Si llamamos A( ) B( ) respectivamente a las funciones de gasto respecto a los km recorridos al cabo de los días hallar sus epresiones realizar un gráfico que represente cada opción b) Cuántos km deberían recorrer para que el gasto fuera el mismo con cualquiera de las opciones? c) Cuál opción les convendrá elegir si piensan recorre alrededor de km? Una escultura de un cierto artista plástico comprada ho cuesta $ se sabe que aumenta su valor linealmente con el tiempo de modo tal que después de años valdrá $ Otra escultura del mismo artista ho se vende a $ se estima que dentro de años valdrá $ a) Escribir la fórmula del valor V para cada una de las esculturas en función del tiempo ( V ( t) V ( t) ) b) Determinar cuál de las dos esculturas aumenta su valor más rápidamente c) En qué momento el valor de las piezas será el mismo cuál será dicho valor? a) Dar una ecuación de una recta que pase por el punto (-) que no se interseque con la recta de ecuación = b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto () c) Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: = que pasa por el punto de intersección de las rectas = / e = / 9 FUNCIÓN CUADRÁTICA En cada caso graficar la función cuadrática f especificando coordenadas del vértice eje de simetría concavidad de la parábola que representa hallar imagen ceros conjuntos de positividad negatividad e intervalos de crecimiento decrecimiento de f a) f ( ) = b) ( ) f = c) f ( ) = ( ) 8 d) f ( ) = ( )( ) e) f ( ) = f) f ( ) = Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

6 ECT UNSAM Teniendo en cuenta lo hecho en el ejercicio a) Resolver las inecuaciones: i ii ( ) 8 b) Encontrar el dominio de: i f ( ) = ii g ( ) = Dar la ecuación de una función cuadrática f que verifique lo pedido: a) Sus raíces sean el punto () esté en el gráfico de f b) Su vértice sea el punto (-) f ( ) = c) No tenga raíces reales el gráfico de f pase por el punto () d) Sus raíces sean su imagen sea el conjunto [ ) e) El eje de simetría sea la recta = los puntos () (9) están en el gráfico de f f) C = ( ) e Im f = ( ] Im f = 8 g) El intervalo de decrecimiento de f es ( ) su gráfico pasa por el origen e [ ) 7 Dada la función cuadrática f ( ) = a) determinar D = { R / f ( ) = } b) Observando el gráfico de f al conjunto D escribir como un intervalo o unión de intervalos a los = R / f ( ) F = R / f ( ) < conjuntos E { } { } 8 a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las siguientes funciones graficar i f ( ) g ( ) f = g = = = ii ( ) ( ) iii f ( ) ( ) = g( ) = iv f ( ) g( ) = v f ( ) = 8 g( ) = vi ( ) ( ) b) Observando el gráfico en cada caso hallar el conjunto { R / f ( ) g( ) } = f = g = c) Para el caso i encontrar la ecuación de una recta paralela al gráfico de g que no corte a la parábola 9 a) Hallar las coordenadas del punto A sabiendo que la parábola es el gráfico de f ( ) = 8 el punto V es el vértice de la parábola b) Hallar los valores de para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta A V Al producir un cantidad (en miles de toneladas) de cierto producto agropecuario se llegó a la conclusión que de acuerdo al lugar donde viven los diferentes gastos que tienen dos productores reciben ganancias mensuales (en miles de pesos) determinadas por las siguientes funciones: G ( ) ( 7) = 8 G ( ) = a) Graficar ambas funciones decidir cuántas toneladas deben producir ambos productores para obtener la misma ganancia b) Si los dos producen aproimadamente la misma cantidad de toneladas mensuales para qué cantidades tiene más ganancia el primer productor? Graficar las siguientes funciones encontrar los conjuntos C C C e Im( a) si f ( ) = b) si > f ( ) = si si < Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

7 ECT UNSAM Más ejercicios Dada la parábola = a a) Hallar el valor de a si se sabe que el eje de simetría es la recta = b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad vértice puntos de intersección con los ejes A = R / > c) Hallar { } Sea ( ) = f a) Hallar una función cuadrática g que cumpla: el conjunto de positividad de f es igual al intervalo de crecimiento de g los gráficos de f g cortan al eje en el mismo punto Im g ( 9] = b) Hallar el conjunto de negatividad de g Teniendo en cuenta el dibujo sabiendo que el gráfico de f es una recta paralela a la recta de ecuación = 8 a) hallar la función lineal f el conjunto de f > g los tal que ( ) ( ) b) Determinar la función cuadrática g g f Sea la parábola = b a) Hallar R b para que la parábola pase por el punto ( ) b) Para el valor de b hallado en a) determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola es perpendicular a la recta = Hallar a b R para que la imagen de ( ) ( ) a si < f = sea ( ; ] [ ; ) b si = a b = a b 7 Los sistemas S : S : con a b positivos están representados en = b = b alguno de los gráficos siguientes Cuál corresponde a cada uno? Práctica 7 Funciones Funciones lineales cuadráticas

8 ECT UNSAM 8 En cada caso hallar dominio de f los puntos de corte del gráfico de f con los ejes a) f ( ) 9 Sea ( ) = b) f ( ) = c) f = a) Hallar su dominio b) Determinar el conjunto de todos los valores de Dada f ( ) = si si < se pide: f ( ) = para los cuales resulta ( ) f a) Realizar un gráfico aproimado de f hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados b) Determinar el conjunto de todos los valores de para los cuales resulta f ( ) Respuestas a) El segmento de recta b) m c) Sí recorrió apro 7m en seg d) a) 7h del de mao b) m bajo el nivel del mar c) m bajo el nivel del mar d) Desde las 7h del de mao hasta las del de mao e) Entre m por debajo del nivel del mar hasta m por encima del nivel del mar f) Entre las h del de mao hasta las la del de mao entre las las 9 del de mao g) A las h del de mao a la 9 del de mao h) Entre las 7 las 9 entre las las del de mao entre las las del de mao i) horas entre las las de las de mao j) d) Dominio de f = [ 7] e) Imagen de f = [ ] f) Ceros de f = { 9} g) Positividad de f = ( ) ( 9) h) Intervalos de crecimiento estricto de f: ( 7 ) ( ) ( ) a) No b) Sí c) No d) Sí e) Sí f) No a) C = { 8} C = ( ) ( 8) C = ( ) ( ) ( 8 ) Im f = crece en ( ) en ( ) decrece en ( ) en ( ) ( ) ( ] b) C = { } C = ( ) ( ) ( ) C = ( ) [ ) crece en ( ) en ( ) decrece en ( ) en ( ) Im( = [ ) c) C = { 7 } C = ( 7 ) ( ) ( ) C = ( ) ( ) ( ) ( ) crece en ( ) en ( ) en ( ) decrece en ( ) en ( ) en ( ) Im( = ( ] [ ) f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = a) f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = no está definido f ( ) b) i = ii = iii No eiste iv = V F c) V Im( F Im( d) Punto de corte con el eje : ( ) e) h = k = f V Im( punto de corte con el eje : ( ) distancia al parque (m) 7 F Imf a) Dom ( ) = R punto de corte con el eje : ( ) punto de corte con el eje : ( ) b) Dom( = R { } no corta al eje punto de corte con el eje : ( 8) c) Dom ( = R punto de corte con el eje : ( ) punto de corte con el eje : ( ) d) Dom( = [ ) punto de corte con el eje : ( ) punto de corte con el eje : ( ) e) Dom( = ( ) punto de corte con el eje : ( ) punto de corte con el eje : ( ) F F tiempo(seg) Práctica 8 Funciones Funciones lineales cuadráticas

9 ECT UNSAM 7 a) f ( ) = pendiente: m = b) f ( ) = pendiente: m = c) f ( ) = 7 pendiente: m = d) f ( ) = pendiente: m = 8 a) Por ejemplo ( ) ( ) ( ) b) ( 7) r ( ) r c) i k = ii k = iii k = d) Punto de corte con el eje : ( ) punto de corte con el eje : ( ) 9 a) pendiente: m = ord al origen: b = b) pendiente: m = ord al origen: b = c) pendiente: m = ord al origen: b = d) pendiente: m = ord al origen: b = e) pendiente: m = ord al origen: b = 7 a) = b) = c) = d) = e) = f) = La recta que pasa por A B tiene pendiente m AB = la recta que pasa por B C tiene pendiente m BC = Entonces mab mbc = ( ) = Por lo tanto las rectas que contienen a los lados AB BC son perpendiculares Luego el triángulo es rectángulo en B = 7 a) = b) = c) = 7 d) = e) = f) = k = a) C = { } b) C = { } C = ( ) C = ( ) C = ( ) C = ( ) - - crece en todo R - - crece en ( ) - - no tiene intervalos no tiene intervalos - de decrecimiento de decrecimiento -8 Im ( = R Im f = 8 ( ) ( ) c) d) C = φ C = φ C = [ ) crece en ( ) no tiene intervalos de decrecimiento Im f = ( ) [ ) C = φ C = R C = φ crece en todo R decrece en todo R Im f = ( ) { } e) C = f) g) C = { } ( ) ( ) ( ) C = crece en ( ) decrece ( ) Im( = ( ] C = φ C = [ ) C = ( ) crece en ( ) en ( ) en ( ) decrece en ( ) Im( = ( ] [ ) C = { } C = ( ) C = ( ) crece en ( ) decrece en ( ) en ( ) Im( = ( ] - Práctica - 9 Funciones Funciones lineales cuadráticas

10 ECT UNSAM = ( ) Dom f 7 a) Las rectas se intersecan en el punto ( ) b) Las rectas se intersecan en el punto ( ) c) Las rectas se intersecan en el punto ( ) d) Las rectas se intersecan en el punto ( ) e) El sistema que resolviste es incompatible La solución es el conjunto vacío Las rectas no se cortan son paralelas f) El sistema que resolviste es compatible indeterminado pues tiene infinitas soluciones En este caso las dos ecuaciones corresponden a la misma recta = 8 8 a) Se vendieron plateas palcos 7 = 7 = 8 b) Los lados iguales miden 7cm el otro cm = = 9 c) El número es 7 = 8 9 a) P = r : = : = 7 a) = a) A ( ) ( ) P = r : = : = b) ( ) b) B = b) km c) La opción A a) V ( t) = t ( t) = t V b) La primera escultura c) Dentro de años su valor será $ a) = b) Por ejemplo las rectas = e = c) = V = eje de simetría: = Im f = a) vértice: ( ) concavidad positiva (cóncava) ( ) [ ) C = { } C = ( ) ( ) C = ( ) crece en ( ) decrece en ( ) b) vértice: V = ( ) eje de simetría: = concavidad negativa (convea) Im( = ( ] C = { } C = ( ) C = ( ) ( ) crece en ( ) decrece en ( ) c) vértice: V = ( 8) eje de simetría: = concavidad positiva (cóncava) Im( = [ 8 ) C = { } C = ( ) ( ) C = ( ) crece en ( ) decrece en ( ) d) vértice: V = ( 8 ) eje de simetría: = concavidad negativa (convea) Im( = ( 8] C = { } C = ( ) C = ( ) ( ) crece en ( ) decrece en ( ) e) vértice: V = ( ) eje de simetría: = concavidad negativa (convea) Im( = ( ] C = { } C = ( ) C = ( ) ( ) crece en ( ) decrece en ( ) f) vértice: V = ( ) eje de simetría: = concavidad positiva (cóncava) Im( = [ ) C = φ C = R C = φ crece en ( ) decrece en ( ) a) i S = ( ] [ ) ii S = [ ] b) i Dom ( = [ ] ii Dom( g) = ( ) a) f ( ) = ( )( ) b) f ( ) = ( ) c) Ha infinitas posibilidades por ejemplo: f ( ) = ( ) ó f ( ) = d) f ( ) = ( ) e) f ( ) = ( )( ) f) f ( ) = ( ) g) f ( ) = ( ) Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas

11 ECT UNSAM 7 a) D = { } b) E = [ ] F ( ] [ ) a) Los puntos ( ) ( ) b) El intervalo [ ] = 8 i ii c) Por ejemplo la recta = a) No se cortan b) R - - iii - - a) El punto( ) b) { } iv a) Los puntos ( ) ( ) b) El intervalo [ ] v vi a) Los puntos ( ) ( ) b) ( ] [ ) a) El punto( ) b) [ ) 9 a) A = ( ) b) El intervalo ( ) Práctica a) ó 7 toneladas b) Si producen entre 7 toneladas a) b) 9 C = a) a = b) Tiene concavidad negativa (es convea) el vértice es V = ( ) puntos de corte con eje : ( ) ( ) punto de corte con eje : ( ) c) El intervalo ( ) a) ( ) ( ) g = 9 b) C = ( ) ( ) a) f ( ) = { / f ( ) > g( ) } = ( ) ( ) b) g ( ) = ( ) a) b = b) = 7 a = b = 7 A S le corresponde el a S le corresponde el 8 a) Dom( = [ ] puntos de corte eje : ( ) ( ) b) Dom ( = [ ] { } puntos de corte eje : ( ) ( ) punto de corte eje : ( ) c) Dom ( = ( ] no corta al eje ni al eje 9 a) Dom( = ( ] [ ) b) ( ] [ ] a) C { } = ( ) ( ) = ( ] ( ) ( R C Im = Punto de intersección con eje : ( ) punto de intersección con eje : ( ) b) punto de corte eje : ( ) - { } = ( ) = ( ) ( = ( ] { } C = C C Im Funciones Funciones lineales cuadráticas

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