Stock Loans in incomplete markets

Transcripción

1 Stock Loans in incomplete markets Cesar A. Gomez 1 Matheus Grasselli 2 1 Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia Medelĺın-Colombia. 2 Department of Mathematics and Statistics, McMaster University Hamilton, Ont, Canada. Matemáticas Financieras y Finanzas Computacionales Universidad de los Andes, de Julio de 2011 C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

2 Contenenido 1 Introduction 2 El modelo de mercado incompleto 3 Algunos resultados C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

3 Introduction Stock Loans Una stock loan es un contrato en el cual un prestatario obtiene un préstamo en un banco o alguna otra entidad financiera dejando como garantía del préstamo un activo con riesgo (como por ejemplo un portafolio de acciones). Durante el tiempo que la acción este en poder del prestamista este recolectará los dividendos pagados por dicha acción si los hay. Finalmente el prestatario puede recuperar su acción pagando de vuelta al banco el préstamo más intereses en cualquier momento antes del vencimiento del contrato pero no está obligado a recuperar dicha acción inclusive si el precio de la misma cae. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

4 Introduction Usos El prestatario no tiene necesidad de vender las acciones para obtener recursos con que atender otros proyectos. O experimenta restricciones de venta (Ventas de alto volumen). También sirve como un instrumento de cobertura contra caídas del mercado. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

5 Introduction Un modelo de SL en el marco de Black- Scholes. (Xia and Zhou,2007) En el instante 0, un cliente presta una cantidad L > 0 de un banco, dejando una acción como garantía del préstamo mientras que el banco cobra una cantidad c, (0 c L) por dicho servicio. Entonces el cliente sale del banco con una cantidad igual a (L c). El cliente puede recuperar la acción pagando Le αt en el banco a cualquier tiempo t 0. Los dividendos dejados por la acción son recolectados por el banco, hasta que el cliente la recupere. El cliente no está obligado a recuperar la acción. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

6 Principal objetivo Introduction Cuáles son los valores de los parámetros: c, L and α?. c = H(L, V 0, α, T ). V t V 0 Le αt τ t T C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

7 Introduction Una opción Americana V t = V 0 exp { (r δ)t + σw t σ2 2 t}, t 0, f (V 0 ) = sup τ T 0 E [ e rτ (V τ Le ατ ) + V0 ], (1) f (V 0 ) = V 0 + c L. (2) f (V 0 ) = (κ 1)κ 1 κ κ L 1 κ V κ 0, where κ := 2(α r) σ 2. (3) c = (κ 1)κ 1 κ κ L 1 κ V κ 0 V 0 + L, (4) C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

8 Introduction Stock loans en mercados incompletos Impĺıcito en el paradigma de Mercado completo está la suposición de que la acción puede ser replicada transando en el activo subyacente y en bonos (mercado de dinero). Mientras que esto es plausible desde el punto de vista del banco, no lo es para el cliente quien no puede negociar libremente en esta acción, de otra forma sería suficiente venderla en vez de incurrir en el préstamo. Entonces modelamos la stock loan como una opción en un mercado incompleto, asumiendo que el cliente no puede replicar perfectamente el precio de dicha opción operando en el mercado financiero. Asumimos que el cliente posee una aversión al riesgo y usamos una función de utilidad exponencial para modelar sus preferencias al riesgo. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

9 Introduction Client s option price Bank s option price Complete market-well diversified Utility based Indiference pricing of options in incolpete markets Barrier option on the client s optimal exercise boundary Optimal control with stopping problem Fare values of the parameters Client s optimal exercise policy Optimal exercise time Free boundary C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

10 El modelo de mercado incompleto ds t = (µ 1 r)s t dt + σ 1 S t dw 1 t dv t = (µ 2 r)v t dt + σ 2 V t (ρdw 1 t + 1 ρ 2 dw 2 t ), El valor descontado de un portafolio en S es dx π t = π t ds t S t = π t (µ 1 r)dt + π t σ 1 dw 1 t, t 0 t T, (5) C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

11 El modelo de mercado incompleto El problema de optimización Caso de horizonte infinito G(x, v) = sup E [ e (τ,π) A (µ 1 r) 2 2σ 2 1 Caso de horizonte finito τ ] e γ(xτ π+(vτ L)+ ) Xt0 = x, V t0 =v. (6) u(t 0, x, v) = sup E [ M(τ, Xτ π (τ,π) A + (V τ Le (α r)(τ t 0) ) + ) X π t 0 = x, V t0 = v ], (7) donde M(t, x) = T sup E [ e γx π π A [t,t ] X π t = x ] = e γx e (µ 1 r) 2 2σ 1 2 (T t). C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

12 El modelo de mercado incompleto El precio de la opción (cliente) En el caso de horizonte finito u(t 0, x p, v) = M(t 0, x), en el caso de horizonte infinito es G(x p, v) = G(x, 0). C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

13 El modelo de mercado incompleto El caso de horizonte infinito La ecuación HJB que G(x, v) cumple para v < V es (µ 1 r) 2 2σ 2 1 y para v V + σ2 2 v 2 2 G vv +(µ 2 r)vg v (ρσ 1σ 2 vg xv + (µ 1 r)g x ) 2 σ 2 1 G xx G(x, 0) = e γx G(x, V ) = e γ(x+v L) G v (x, V ) = γe γ(x+v L). se encuentra una solución explicita de la forma G(x, v) = e γx F (v). = 0 (8) C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

14 El modelo de mercado incompleto El precio de la opción por el banco Opción barrera perpetua con barrera e r(t t 0) V y con strike e r(t t 0) L. E Q[ (V L)1 τ < Vt0 =v] if v < V C(v) = v L if v L. (V L) ( ) v β if v < V V = v L if v V. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

15 El modelo de mercado incompleto La tarifa de servicio c C t0 = V t0 + c L. L + (V L) ( ) v β V c = L+C t0 V t0 = Vt0, if V t0 < V 0, if V t0 V. donde β = 1 2 σ 2 (µ 2 r σ 2 ρ µ 1 r σ 1 ). C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

16 El modelo de mercado incompleto El caso de horizonte finito La ecuación HJB asociada a la función u(x, v, t) es u t + sup L π u 0, π u(t, x, v) Λ(t, x, v), ( ) u t + sup L π u (u Λ) = 0, π para (t, x, v) [t 0, T ) R (0, ), donde L π = (µ 2 r)v v + σ2 2 v v 2 +π(µ 1 r) es el generador infinitesimal de (X π, V ) y x +ρπσ 1σ 2 v Λ(t, x, v) = M(t, x + (v e (α r)(t t 0) L) + ). 2 x v + π2 σ1 2 2 (9) 2 x 2 C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

17 El modelo de mercado incompleto v V (t) V 0 V t α(t t) qe t τ T M(τ, X π τ + (Vτ qeα(t τ ) ) + ) X 0 X π t t C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

18 El modelo de mercado incompleto Resolviendo la ecuación HJB u(t, x, v) = M(t, x)f (t, v) 1 1 ρ 2, (10) una desigualdad variacional para F F t + L0 F 0, F (t, v) κ(t, v), ( ) F t + L0 F (F κ) = 0, for (t, v) [t 0, T ) (0, ), donde [ L 0 = µ 2 r ρ µ 1 r σ 2 σ 1 ] v v + σ2 2v 2 2 (11) 2 v 2. (12) C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

19 El modelo de mercado incompleto κ(t, v) = e γ(1 ρ2 )(v e (α r)(t t 0 ) L) +. (13) condiciones de frontera F (T, v) = e γ(1 ρ2 )(v e (α r)(t t 0 ) L) + F (t, 0) = 1. (14) Frontera de ejercicio óptimo V (t) = ínf {v 0 : F (t, v) = κ(t, v)}, (15) tiempo de ejercicio óptimo τ = ínf {t 0 t T : V t = V (t)}. (16) C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

20 El modelo de mercado incompleto El precio de la opción por el banco C(t 0, V t0 ) = E[(V (τ ) Le (α r)(τ t 0 ) ) + V t0 ], (17) Para el banco se debe cumplir que C(t 0, V t0 ) = V t0 + c L, (18) Finalmente, la tarifa de servicio c está dada por c = C(t 0, V t0 ) V t0 + L, (19) C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

21 Algunos resultados Algunos resultados La tarifa c: 1 Decrece cuando la aversión al riesgo γ aumenta; 2 Decrece cuando la tasa de dividendos δ aumenta; 3 Crece cuando la correlación ρ 2 aumenta. Más aún los ĺımites de c, cuando ρ 2 1, o γ 0 coinciden y están dados por ( ) β L + (Ṽ c = L) Vt0 V t0, if V t0 < V Ṽ (20) 0, if V t0 V. donde Ṽ = ( β L = β σ2 2 2δ ) L. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

22 Algunos resultados Cuadro: Tarifa c para diferentes valores de préstamo L (horizonte infinito) L Case 1 c Case 2 c V Case 3 c a Case 4 c V Case 1: Complete market with σ 2 = 0,15, δ = 0, r = 0,05, α = 0,05 and V t0 = 100. This corresponds to case (a) of Theorem 3.1 in [2], that is, δ = 0 and α r = 0 < σ 2 2 /2. Case 2: Incomplete market with σ 2 = 0,15, δ = 0, r = 0,05, α = 0,05, V t0 = 100, ρ = 0,9 and γ = 0,01. This is the incomplete market analogue of the previous case. Case 3: Complete market with σ 2 = 0,15, δ = 0,05, r = 0,05, α = 0,05 and V t0 = 100. This corresponds to case (b) of Theorem 3.1 in [2], since δ > 0. Case 4: Incomplete market with σ 2 = 0,15, δ = 0,05, r = 0,05, α = 0,05, V t0 = 100, ρ = 0,9 and γ = 0,01. This is the incomplete market analogue of the previous case. C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

23 Algunos resultados Cuadro: Valores de la tarifa c para distintos valores del préstamo L L c los valores de los parámetros con que se han calculado estos valores son: r=0.05, α=0.07, σ 2 =0.3, ρ =0.45, γ =0.01, δ =0.05, V 0 = 100 y el vencimiento T =5 (5 años). C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

24 Algunos resultados γ=0.01 γ= γ=0.01 γ= γ= γ= V * (t) c(v 0 ) t V 0 (a) V (t) for different γ (b) c(v0) for different γ δ=0.05 δ=0.1 δ= V * (t) c(v 0 ) δ= δ=0.1 δ= t V 0 (c) V (t) for different δ (d) c(v0) for different δ Fig. Dependence on γ, δ and ρ (finite maturity) Parameters: In (1a) and (1b); L = 80, dividend rate δ = 0.05, correlation ρ = 0.4, risk aversion γ = 0.01, interest rate r = 0.05, loan rate α = 0.07; (1c) and (1d) L = 80, σ2, ρ = 0.4, δ = 0.05, r = and α = C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

25 Algunos resultados V * (t) 102 ρ=0.9 ρ= ρ= c(v 0 ) ρ=0.9 ρ=0.4 ρ= t V 0 (a) V (t) for different ρ (b) c(v 0) for different ρ Fig. Parameter values: L = 80, σ 2 = 0.4, ρ = 0.4, γ = 0.01, r = 0.05 and α = C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

26 Referencias I Algunos resultados Vicky Henderson. Valuing the option to invest in an incomplete market. Math. Financ. Econ., 1(2): , Jianming Xia and Xun Yu Zhou. Stock loans. Math. Finance, 17(2): , M. Grasselli and C.A. Gomez. Stock Loans in an incomplete market. Preprint, A.K. Dixit, R.S. Pindyck, and G.A. Davis. Investment under uncertainty. Princeton University Press Princeton, NJ, C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27

27 Referencias II Algunos resultados Wendell H. Fleming and H. Mete Soner. Controlled Markov processes and viscosity solutions, volume 25 of Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer, New York, second edition, C.A Gomez & M.Grasselli (.) Stock Loans in incomplete markets 27 de Julio de / 27