MATEMÁTICA 6º AÑO NÚMEROS COMPLEJOS

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1 MATEMÁTICA 6º AÑO PROFESORA: RUHL, CLAUDIA CURSOS: 6º1º--6º6º Actividad Nº1: Resuelve las siguientes operaciones NÚMEROS COMPLEJOS a) 4 = b) 36 = c) 4 16= d) 3 27 = e) 3-125= f) 3-8= g) -1 = h) -4= i) -36 = Te habrás dado cuenta que en los puntos g, h, i, no encontraste solución en R. Los matemáticos buscaron una solución a este problema y tomando el punto g) -1 = le dieron un resultado Por lo tanto -1 = i despejando -1 = i 2 Ahora podemos encontrar la solución a -4 = 4. (-1) = = 2. i = 2i -36 = 6i -25 = 5 i La representación de los conjuntos numéricos que conocemos es la siguiente Como vemos en el diagrama el Conjunto de números Complejo incluye a todos los conjuntos anteriores Los resultados encontrados anteriormente 6i, 5 i son imaginarios puros pues poseen solamente componente imaginaria. Pero a cada número real lo podremos escribir dentro del conjunto de los números complejos, por lo tanto como los números reales no poseen componente imaginaria serán 2 = 2 + 0i -1/2 = -1/2 + 0i. También tendremos complejos donde tienen una parte real y una parte imaginaria como ser 6 2i -1/6 + 3i 8,4 3,2i -4/3 2,7 i En general un complejo se escribe así a + b i Componente real Componente imaginaria PROF. RUHL, CLAUDIA (1)

2 Los números complejos se simbolizan con la letra z por lo tanto si tenemos el complejo z = 3 + 5i Cuál será el opuesto de z?... Cuál será el conjugado de z?... Opuesto de z -z Conjugado de z z Representaremos en forma gráfica los tres complejos anteriores. Para ello utilizaremos los ejes cartesianos, donde en el eje x estarán los números que le corresponde a la componente real y en el eje y los números que le corresponde a la componente imaginaria. Ejercicio Nº1: Representa cada complejo en forma gráfica y escribe su opuesto y su conjugado a) z 1 = 4 7i b) z 2 = i c) z 3 = 9/4 i d) z 4 = - 7/5 + 11/5i e) z 5 = 7/2 + 0i f) z 6 = 10/3 + 8/3 i g) z 7 = - 3/2 4i e) z 8 = 11/3-5/3 i SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS Para sumar y restar números complejos bastará con aplicar las reglas de supresión de paréntesis y luego agrupar las componentes reales entre sí y las componentes imaginarias entre sí. Recordemos que si delante de un paréntesis hay un signo + se eliminan los paréntesis y NO cambiamos ningún signo. Si delante de un paréntesis hay un signo - eliminamos los paréntesis y cambiamos todos los signos de los términos que hay dentro del paréntesis. Ejemplos: a) ( 3 5i ) + ( i) = 3 5i i = i b) (- 1/2 + 2 i) - ( i ) = - ½ + 2i i = 5/2-6 i Ejercicio Nº2: Resuelve las siguientes sumas y restas con números complejos a) (5 + 4i) + (3 + 2i) = b) 3. ( 6 + 2i) + (4 5i) = c) (3 + 2i) (5 3i)= d) 5.( 1 + i) ( 3 + 2i)= e) (-5 + 1/2i) ( -2-4i) = f) ( ¾ - 5/2 i ) ( -3/2-3i)= g) (-2 + 4i) ( i)= h) ( -1/2 + 3i) + ( 5 2/3i)= i) (2 2i) (3/2 i) + ( 2 + 1/2i)= j) (6 + 2i) + (5 + 6i ) ( - 8 5/3i ) PROF. RUHL, CLAUDIA (2)

3 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Para multiplicar números complejos aplicamos la propiedad distributiva. Recordá que i 2 = -1 y que se agrupan términos semejantes. ( i) ( 2 3 i) = 10 15i + 4i 6 i 2 = 10 11i 6. (-1) = 10 11i +6= 16 11i Ejercicio Nº3: Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) (5 + 4i). ( i) = b) (-2 3i). ( 6 4i) = c) (-7 +2i). ( i)= d) 5i. ( i) = e) 7. ( i) f) ( 3/2 5i). ( -4/3 + 2i) = g) ( 5 ½ i ). ( 6 ¾ i) = Ejercicio Nº4: Multiplica los siguientes conjugados y extrae conclusiones a) ( 2-3i ). ( 2 + 3i ) = b) ( -5-4i ). ( i) = c) ( 7 + 3i ). ( 7 5i ) = Ejercicio Nº5: Separa en términos y resuelve los siguientes ejercicios combinados. a) ( 3 + 5i). (-5 +9i) + ( 7-6i) = b) ( ½ - 5i). ( 6 10i) - (3/2 5i ) = c) ( 6+ 7/3 i) ( i) ( - ¾ - 8 i)= d) 5i. (2 + 3i) 2. ( 6-4i) = DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Para dividir números complejos, multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del denominador y aplicamos propiedad distributiva con los numeradores entre sí y con los denominadores entre sí. Recordemos que el conjugado de z = 2 + 3i es z = 2 3i 5-2i = ( 5-2i ). ( 4-3i ) = 20-8i - 15i + 6i 2 = 20-8i - 15i 6 = 14-23i = 14/25-23/25i 4 + 3i ( 4 + 3i). ( 4-3i ) 4 2 (3i) Ejercicio Nº6: Resuelve las siguientes divisiones a) ( 5 + 2i ) = b) ( i ) = c) 5 = ( i) ( 5 3 i) ( i) d) 3 i = e) ( 3-3 i ) = f) ( 2-5 i ) = ( 7 3 i) ( i) ( 4 + 2i) PROF. RUHL, CLAUDIA (3)

4 POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA i Completa aplicando las propiedades de la potencia. i 0 = i 4 = i 2. i 2 = i 8 = i 3. i 5 = i 1 = i 5 = i 3. i 2 = i 9 =..= i 2 = i 6 = i 3. i 3 = i 10 =.= i 3 = i 2. i = i 7 = i 5. i 2 = i 11 =. = Completa con los resultados obtenidos y extrae alguna conclusión i 0 = i 4 = i 8 = i 1 = i 5 = i 9 = i 2 = i 6 = i 10 = i 3 = i 7 = i 11 = Vemos que a partir de i 3 se vuelven a repetir los resultados. Tenemos solo cuatro resultados, por lo tanto si tenemos que calcular i 210 dividiremos 210 : i 210 = i 2 = -1 Siempre el resultado será i elevado al resto de la división Resto de la división 2 Ejercicio Nº7: Resuelve las siguientes potencias y las siguientes operaciones. a) i 45 = b) i 37 = c) i 51. (-i) 120 = d) i 92 = e) ( i 10 i 15 + i 20 ). i = Ejercicio Nº8: complejos. Resuelve las siguientes operaciones combinadas teniendo como dato los siguientes Z 1 = i z 2 = 5 2 i z 3 = 3/2 z 4 = 7 i a) z 1 z 2 + z 3 = b) ( z 1 + z 2 ). z 3 = c) (z 1. z 4) + (z 2. z 3)= d) (z 1. z 2) + z 3 e) z 1 + z 2 - z 4 = f) ( z 2 z 1). z 3 = g) z 2 = h) z 1 = i) (z 1) 2 - z 2 = z 1 z 4 PROF. RUHL, CLAUDIA (4)

5 Ejercicios Sobre Números Complejos Ejercicio Nº9 Escribe de cada complejo su opuesto y su conjugado,representar graficamente cada uno de ellos en ejes cartesianos. B = 6 E = - 5i F = - 8-7i D = 3-7 i Ejercicio Nº10 Sumar 1) ( 4 + 2i ) + ( 2 + 3i ) = Rta: ( 6 + 5i ) 2) ( -1 + i ) + ( 2 - i ) = Rta: ( 1 ) 3) ( 1-2i ) + ( i ) = Rta: ( i ) 4) ( 2/5-3i ) + ( 7/10-3i ) = Rta: ( 11/10-6i ) Ejercicio Nº11 Restar 1) ( 3 + 4i ) - ( 1 + 3i ) = Rta: ( 2 - i ) 2) - 1/3i - ( 1/2-3/5i ) = Rta: ( - 1/2 + 4/15i) 3) ( 1/5 + 3/2i ) - ( 9-3i ) = Rta: ( - 44/5 + 9/2i) 4) ( - 1/3 + 2/3i ) - ( 5/6 - i ) = Rta: ( - 7/6 + 5/3i ) Ejercicio Nº12 Sumas algebraicas 1) ( 3/2 + 1/5i ) + ( - 1/3 + 4i ) - ( 1/2-1/5i ) = Rta: ( 2/3 + 22/5i ) 2) ( 1/4i ) - ( - 5i ) - ( 3i ) = Rta: 9/4i 3) ( 5i ) + ( /5i ) - ( 3/5i) - ( - 3-4/5i ) = Rta: 6i 4) ( - 1/3i ) + ( 1/3 + 3i ) + ( -1/3-3i ) + ( - 5i ) = Rta: -16/3i Ejercicio Nº13 Multiplicar 1) ( 4 + 1/3i ). ( 5 + 3/2i ) = Rta: ( 39/2 + 23/3i ) 2) ( 7-5i ). ( 7 + 5i ) = Rta: ( 7-5i ) 3) ( - 1/3-1/2i ). ( 2-4/5i ) = Rta:( - 16/15-11/5i ) 4) ( 1/2 - i ). ( 1/2 + i ) = Rta: - 3/4 PROF. RUHL, CLAUDIA (5)

6 Ejercicio Nº14 Dividir 1) 3-3i = i 2) - 1/2 + 2i = 2/3 - i 3) ( - 1/2-1/5i ) : ( - 1/2 + 1/5i ) = 4) ( - 9-3/5i ) : ( /5i ) Ejercicio Nº15 Ejercicios combinados 1) ( ) 2 - ( 1-3i 2 ) - 3i = ( ) 2) 1 - i - 3 = i 2 - i 3) i 4 + i 9 + i 16 = 2 - i 5 + i 10 - i 15 4) a) i 18 = b) ( - i) 4 = c) 1 = d) ( - i ) 26 = i 14 e) 2i.( 4 - i ) = f) ( - 3i ) 4.( i ) g) ( - i ) 10 = = ( 2i ) 3 h) (5-3i). (-1+4i) (½ + 5/3i)= i) (-3/2 + 7i). (-4/3) + (-9/2 + 7/3)= PROF. RUHL, CLAUDIA (6)

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