Un modelo multifractal simplificado para flujos de tráfico autosimilares. A simplified multifractal model for self-similar traffic flows

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1 Revista ECIPerú Voluen 11, núero 1 Octubre 2014 Un odelo ultifractal siplificado para flujos de tráfico autosiilares A siplified ultifractal odel for self-siilar traffic flows Ginno Millán Universidad Católica del Norte, Larrondo 1281, Coquibo, Chile Resuen Este artículo propone un nuevo odelo ultifractal, con el ánio de proveer una posible explicación al fenóeno de localidad que aparece en la estiación del exponente de Hurst en series teporales estacionarias de segundo orden, representativas de los flujos de tráfico autosiilares en las actuales redes de coputadoras de alta velocidad. Analíticaente se deuestra que este fenóeno se presenta cuando los flujos se coponen de diversos tipos de tráficos con diferentes exponentes de Hurst. Descriptores: Autosiilitud, exponente de Hurst (H), fenóeno de localidad, ultifractales. Abstract This paper proposes a new ultifractal odel, with the ai to provide a possible explanation to the locality phenoena to appear in the estiation of Hurst exponent in stationary second order teporal series, representing the self-siilar traffic flows in high-speed coputer networks. Analytically it is shown that this phenoenon occurs if the network flow consists of several coponents whit different Hurst exponents. Keywords: Self-siilarity, Hurst exponent (H), locality phenoena, ultifractals. Introducción Las propiedades que evidencian la naturaleza de origen fractal de los flujos de tráfico en las redes de coputadoras de alta velocidad, es un tea que ha sido apliaente reportado en la literatura durante las últias dos décadas; constituyendo una opinión generalizada el hecho de que su coportaiento dináico re-escalado debe ser cuidadosaente atendido en los análisis de rendiiento y control. Existen, de esta fora, nuerosas explicaciones y odelos que intentan entregar una respuesta a este origen [1]-[3]. Por otra parte, reconociendo que las localidades de un proceso fractal solo pueden ser analizadas desde la óptica del análisis ultifractal; coo producto de su construcción a partir de cascadas ultiplicativas [4] que aseguran una caracterización ás exacta producto del análisis a altas frecuencias [5], se acepta que los flujos de tráfico presentes en las 20 actuales redes de coputadoras de alta velocidad poseen naturaleza ultifractal, lo cual da origen a un nuevo odelo de flujos que pretende explicar el fenóeno de localidad presente en la estiación del exponente de Hurst [3], [5]. A partir de los resultados obtenidos ediante el uso de siulaciones coputacionales en MATLAB, se infiere que el odelo contribuye al conociiento de la dináica real del tráfico en las actuales redes de coputadoras de alta velocidad, y puede ser utilizado para siular de anera siple tráfico real. Tráfico autosiilar y tráfico ultifractal En las redes de coputadoras los flujos de tráfico se consideran a enudo representados ediante un proceso autosiilar Y(k) que satisface [6] Y k a Y ak a k (1) ( ) H d ( ), 0, 0

2 Revista ECIPerú Voluen 11, núero 1 Octubre 2014 donde d representa igualdad de distribuciones finito diensionales y H (0, 1) es el exponente de Hurst del proceso estocástico autosiilar (H-SS) Y(k). Un proceso H-SS con increentos estacionarios descrito en térinos del coportaiento de sus agregaciones, se obtiene de la ultiplexación de increentos X(k) Y(k+1) Y(k) sobre bloques no superpuestos de taaño n según n 1 j 0 X ( k) X( kn j), k, n (2) El proceso X (n) (k) resultante tiene distribuciones finito diensionales siilares a las de X(k), es decir peritiendo que el exponente H varíe con el orden. La fora general para H() está dada por H( ) (8) que corresponde al odelo fractal lineal, donde los coeficientes y se deterinan durante el ajuste de los cuulantes. En [8], [9] se deuestra que el único proceso conocido de este tipo tiene la fora H( ) 2( H 1) (9) y es llaado odelo unifractal. U ( n ) H X ( k) n X( k), n (3) d El proceso estacionario X(k) que cuple con (3) se llaa proceso estacionario autosiilar, H-SSS, con exponente de Hurst H. Un típico ejeplo es el Ruido Fraccional Gaussiano (FGN), el cual viene dado por la expresión X(k) B (H) (k 1) B (H) (k) [5]. Existen varias foras de estudiar las propiedades estadísticas de X (n) (k). En [5] se consideran los cuulantes de las series agregadas, los cuales se definen en térinos de los coeficientes de Taylor de la función generatriz de cuulantes tx ( k ) 1 1 g( t) loge( e ) t! cu X( k ) (4) En [5] se copara el odelo unifractal con el odelo autosiilar utilizando flujos epíricos. El análisis de las Figuras 3 y 4 de [5] coloca de anifiesto que abos odelos capturan las principales tendencias de los flujos en la estiación de H, pero ninguno de ellos aroniza perfectaente con el fenóeno de localidad del exponente de Hurst. La Figura 1 ilustra el fenóeno de localidad del exponente de Hurst. Se observa que la pendiente de la curva de ajuste cruza de un valor pequeño a uno notableente ayor. Por lo tanto la curva se copone de tres partes: un segento lineal con una pendiente suave cuando log n es pequeño, una pendiente interedia, y un segento lineal con una pendiente ás pronunciada cuando log n es grande. donde cu X(k) g () (0). En [7] se deuestra que los cuulantes de -ésio orden de un proceso agregado H-SSS escalan según una ley de potencia H cu X ( k) n S cu X( k ) (5) Si un proceso estacionario cuple con (5) para todo n, N, entonces log cu X (n) (k) se coporta de fora tal que sus valores escalan linealente con los de log n, con coeficientes H S que son función lineal de. En otras palabras H S H(), es decir H ( ) cu X ( k) n cu X( k ) (6) En [5] se deuestra que una generalización de un proceso autosiilar a un proceso ultifractal es la siguiente: un proceso estacionario X(k), k Z, es un proceso ultifractal si log cu X ( k) H( )log n c( ),, n (7) Figura 1: Fenóeno de localidad del exponente H. Un odelo ultifractal que explica el fenóeno de localidad En [10] se reporta que el análisis de coponentes principales del espectro de valores propios que resulta de ezclar señales de oviiento browniano fraccional con diferentes exponentes de Hurst, produce un coportaiento biescalar. Este preciso hecho es el que otiva el planteaiento de un odelo de flujo ultifractal capaz de reproducir el fenóeno de localidad del exponente de Hurst. 21

3 Revista ECIPerú Voluen 11, núero 1 Octubre 2014 Suponiendo un proceso de flujo de tráfico de red W(k), copuesto por dos procesos autosiilares independientes; X 1 (k) y X 2 (k), con exponentes de Hurst H 1 y H 2, respectivaente, es decir W( k) X ( k) X ( k ) (10) donde Var {X 1 } = Var {X 2 } y los coeficientes de escala 1 y 2 ( 1, 2 > 0) controlan la varianza de las coponentes de (10). Adeás, sin pérdida de generalidad que H 1 < H 2. Al igual que para (2), se define el proceso agregado Z (n) (k) a través de la ultiplexación de increentos Z(k) W(k+1) W(k) considerando bloques no superpuestos de taaño n coo n 1 j 0 Z ( k) X( kn j), k, n (11) Por independencia, para los odelos autosiilar y unifractal se verifica que cu Z ( k) cu ( X ( k) X ( k)) es decir, (12) c ( ) n c ( ) n (14) 2( H1( ) 1) 2( H2( ) 1) 1 2 Así, resulta fácil verificar que cu Z ( k) c1( ) n, para n n c2( ) n, para n n 2( H1( ) 1) * 2( H2 ( ) 1) * (15) Para cada el diagraa en escala logarítica del cuulante de -ésio orden de Z (n) (k) consiste en tres segentos: un prier segento con pendiente 2(H 1 1) cuando n es pequeño; una sección de transición interedia (uy corta) y, finalente, un segento lineal con pendiente 2(H 2 1) cuando n es grande. Por lo tanto, se coloca en evidencia el fenóeno de localidad del exponente de Hurst. La Figura 2 expone el fenóeno de localidad del exponente de Hurst para una serie FGN generada espectralente [11] con H 0,6, ientras que la Figura 3 lo hace para una serie FGN con H 0,8 tabién generada espectralente. Finalente, la Figura 4 uestra el coportaiento conjunto de abas series considerando 1 2 en (10). cu Z ( k) c ( ) n c ( ) n nh1( ) nh2( ) 1 2 c ( ) n c ( ) n 2( H1( ) 1) 2( H2( ) 1) 1 2 (13) con c 1 () y c 2 () parcialente deterinados por los coeficientes 1 y 2, respectivaente. Luego, si c 1 () > c 2 () existe una única solución positiva n* (que no es necesariaente entera) para la ecuación en térinos de la variable n Con todo lo anterior se deuestra de una anera siple que si un proceso de flujo de tráfico se fora a partir de dos coponentes autosiilares aditivos independientes con exponentes de Hurst diferentes, entonces se observa el fenóeno de localidad en la estiación del exponente H epleando cuulantes. No resulta difícil apreciar que el odelo propuesto puede generalizarse a ás de dos coponentes con siilares resultados. 22

4 Revista ECIPerú Voluen 11, núero 1 Octubre 2014 Figura 2: Fenóeno de localidad en una serie FGN con H 0,6 generada espectralente. Figura 3: Fenóeno de localidad en una serie FGN con H 0,8 generada espectralente. 23

5 Revista ECIPerú Voluen 11, núero 1 Octubre 2014 Figura 4: Fenóeno de localidad observado en el coportaiento conjunto de las series anteriores. las fuentes y los ecanisos de transferencia, el Conclusiones flujo que ingresa proveniente de cada fuente posee diferentes exponentes de Hurst. Esto lleva a plantear la siguiente conjetura: es ás probable observar el fenóeno de localidad en flujos de tráfico de redes troncales que locales. Resulta interesante observar que la inconsistencia teórica de un único valor del exponente de Hurst y el fenóeno de localidad, pueden resolverse a través de un siple odelo que adiciona series teporales autosiilares de segundo orden. Por otra parte, es posible generar varios procesos con diferentes H, epleando para ello cualquiera de los étodos existentes para la generación de series autosiilares de segundo orden y luego adicionarlos. Esto está de acuerdo con la conclusión de [12], que establece que es necesario ultiplexar diversas fuentes de tráfico para generar siulaciones ás apropiadas para los flujos de tráfico. La ayoría de los odelos anteriores que tratan los orígenes de la autosiilitud de los flujos de tráfico en las redes de alta velocidad, pueden ser adoptados, desde la perspectiva de su aplicación al odelo propuesto, con el objetivo de recalcar la coexistencia en los flujos reales, de últiples coponentes autosiilares heterogéneos. Puede afirarse que si en el odelo On/Off de [13] se supone la existencia de dos valores diferentes para los exponentes de Pareto que controlan las distribuciones los periodos On y los periodos Off de las fuentes, entonces el proceso de flujo final agregado presentará dos coponentes diferentes en térinos de sus exponentes de Hurst y, por lo tanto, dará cuenta de la existencia del fenóeno de localidad. En general, para redes de grandes coberturas, es decir con estructuras uy coplejas, el canal de datos es copartido por últiples fuentes en una fora que puede considerarse aproxiadaente independiente y aditiva. Debido a la diversidad de 24 Referencias [1] G. Millán, H. Kaschel, and G. Lefranc. Discussion of the analysis of self-siilar teletraffic with long-range dependence (LRD) at the network layer level. Int. J. Coput. Coun. Vol. V Nº 5, pp Deceber [2] Y.-D. Chen, L. Li, Y. Zhang, and J.-M. Hu. Fluctuations and pseudo long range dependence in network flows: a non-stationary Poisson process odel. Chinese Physics B. Vol. 18 Nº 4, pp April [3] G. Millán, H. Kaschel, and G. Lefranc. A siple odel for the generation of LRD selfsiilar traffic using piecewise affine chaotic one-diensional aps. Stud. Infor. Control. Vol. 19 Nº 1, pp March [4] J. G. Evertsz and B. B. Mandelbrot. Multifractal easures. In Chaos and Fractals, H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Eds. 1st Ed. Springer-Verlag, New York, Appendix B, pp , [5] G. Terdik and T. Gyires. Lévy flights and fractal odeling of Internet traffic. IEEE/ACM Trans. Netw. Vol. 17 Nº 1, pp Feb [6] O. I. Sheluhin, S. M. Solskiy, and A. V. Osin. Self-Siilar Processes in Telecounications.

6 Revista ECIPerú Voluen 11, núero 1 Octubre 2014 Wiley. UK [7] G. Terdik. Bilinear stochastic odels and related probles of nonlinear tie series analysis: a frequency approach. Lectures Notes in Statistics. Vol Springer-Verlag. New York [8] E. Iglói and G. Terdik. Superposition of diffusions with linear generator and its ultifractal liit process. ESAIM-Probab. Stat. Vol. 7, pp May [9] S. Molnár and G. Terdik. A general fractal odel of Internet traffic. In Proc. 26th Annu. IEEE Conf. Local Coputer Networks. Tapa, FL, pp [10] L. Li, J. Hu, Y. Chen, and Y. Zhang. PCA based Hurst exponent for fb signals under disturbances. IEEE Trans. Signal Process. Vol. 57 Nº 7, pp July [11] P. Abry, P. Flandrin, M. S. Taqqu, and D. Veitch. Self-siilarity and long-range dependence through the wavelets lens. In Theory and Applications of Long-Range Dependence, P. Doukhan, G. Oppenhei, and M. S. Taqqu, Eds. Birkhäuser, Boston, MA, pp , [12] G. Horn, A. Kvalbein, J. Bloskøld, and E. Nilsen. An epirical coparison of generators for self-siilar siulated traffic. Perfor. Evaluation. Vol. 64 Nº 2, pp February [13] W. Willinger, M. S. Taqqu, R. Sheran, and D. V. Wilson. Self-siilarity through highvariability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic at the source level. IEEE/ACM Trans. Netw. Vol. 5 Nº 1, pp February E-ail: gillan@ucn.cl 25