Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

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1 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,... Los elemetos de l sucesió se llm térmios y se suele desigr medite u letr co los subídices correspodietes los lugres que ocup e l sucesió:,,,... TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN Se llm térmio geerl de u sucesió, y se simboliz co, l térmio que represet uo culquier de ell. - Hy sucesioes cuyo térmio geerl puede expresrse medite u fórmul: f(). Dádole u cierto vlor turl, se obtiee el térmio correspodiete. - E otrs sucesioes, pr hllr u térmio es ecesrio operr co dos o más de los teriores y se llm sucesioes recurretes. Pr hllr u térmio cocreto hy que obteer, previmete, todos los teriores.. ALGUNAS SUCESIONES IMPORTANTES PROGRESIONES ARITMÉTICAS Defiició: U progresió ritmétic es u sucesió e l que se ps de cd térmio l siguiete sumdo u ctidd fij, llmd difereci de l progresió. Térmio geerl,, de u progresió ritmétic cuyo primer térmio es y cuy difereci es d se obtiee sí: + (-)d Sum de los -primeros térmios de u progresió ritmétic es: S ( + ) PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Defiició: U progresió geométric es u sucesió e l que se ps de cd térmio l siguiete multiplicdo por u ctidd fij, llmd rzó de l progresió. Térmio geerl,, de u progresió geométric cuyo primer térmio es y cuy rzó es r se obtiee sí:.r -

2 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. Sum de los -primeros térmios de u progresió geométric co r es:.r.r S r r Sum de ifiitos térmios de u progresió geométric e l que r < es: S r SUCESIONES DE POTENCIAS Nos ecotrmos co frecueci sucesioes del tipo m, m, m,..., m (Cudrdos, cubos, ríces). So especilmete importtes: - L sum de los primeros cudrdos: ( + ).( + ) 6 - L sum de los primeros cubos: ( + ) SUCESIÓN DE FIBONACCI L sucesió de Fibocci es u sucesió recurrete dode cd térmio se obtiee sumdo los dos teriores: CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN Progresió ritmétic : es u sucesió uméric e l que cd térmio es igul l terior más l difereci. Desigdo por d dich difereci: + ( - ).d Progresió geométric : es u sucesió uméric e l que cd térmio es igul l terior por l rzó, que desigmos por r:.r - Sucesioes especiles: - Números pres:,, 6, 8, 0,... - Números impres :,, 5, 7, 9, Los cudrdos :,, 9, 6, 5,... - Los cubos:, 8, 7, 8, 5,... - Potecis:,, 8, 6,... - Sucesioes que cmbi de sigo: -,, -,, -,... (-), -,, -,,... (-) + (-) - Pltedo u sistem : Ir clculdo l difereci etre los térmios cosecutivos de l sucesió hst que est difereci se costte. El úmero de veces que teg que relizr lo terior me d el grdo de l sucesió. Pltedo luego u sistem de ecucioes obtedré el térmio geerl. Not : E el cso de teer que clculr el térmio geerl de u frcció: Numerdor por u ldo y deomidor por otro.

3 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto.. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ALGUNAS SUCESIONES Pr represetr u sucesió vmos clculdo sus térmios y los represetmos e uos ejes coordedos como putos isldos. El límite de u sucesió es l vlor l que se v proximdo los térmios de l sucesió, cudo tom vlores cd vez myores. APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN - Si se cerc u úmero, l, decimos que: l ó bie lim l Y se lee tiede l o bie El límite de es l - Si crece de modo que sus vlores cb superdo culquier úmero, decimos que: + ó bie lim + Y se lee tiede + o bie El límite de es + - Si decrece, tomdo vlores meores que culquier úmero egtivo por grde que se su vlor bsoluto, diremos que: - ó bie lim - Y se lee tiede - o bie El límite de es - - Existe otrs sucesioes que o se comport de igu de ls tres forms teriores y por tto o tiee límite y se llm osciltes. CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES SEGÚN SU LÍMITE - Si tiee limite fiito: Covergetes - Si tiee límite ifiito (+ ó - ): Divergetes - Si o tiee límite: Osciltes. ALGUNOS LÍMITES IMPORTANTES SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA S.r r EL NÚMERO e > 0 < 0 r - - < r < r S + S o tiee límite S r S - El úmero e que hemos utilizdo como bse de los logritmos eperios, se obtiee como límite de u sucesió: lim + e,78... EL NÚMERO ÁUREO Φ - Si es l sucesió de Fibocci: - + -, Lim b lim Φ,68...

4 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto..5 CALCULO DE LÍMITES OPERACIONES CON LÍMITES lim ( + b ) lim + lim b (Excepto - ) lim ( - b ) lim - lim b (Excepto - ) lim (. b ) lim. lim b (Excepto 0. ) lim ( / b ) lim / lim b (Excepto / y 0 / 0) 5 lim b lim lim b (Excepto 0 0, 0, ) Not : > < > < Estos excepcioes recibe el ombre de idetermicioes y cd u se resuelve de u modo determido RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Tipo - MÉTODO: Se elimi l idetermició quedádoos co el térmio de myor grdo. ) lim (- + + ) lim (- ) - b) lim ( ) lim RESUMEN : El límite es más ifiito si el coeficiete del térmio de myor grdo es positivo y es meos ifiito si el coeficiete del térmio de myor grdo es egtivo. Tipo / MÉTODO: Se elimi l idetermició dividiedo umerdor y deomidor por l poteci de myor grdo de ) + + / / lim lim + / / 0 b) + / + / / 0 lim lim 0 + / c) + + / / lim lim + /

5 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. 5 RESUMEN : ) Si el grdo del umerdor es myor que el del deomidor el límite es ± (Depediedo del sigo del coeficiete de myor grdo del umerdor y del deomidor) b) Si el grdo del umerdor es meor que el del deomidor el límite es 0 c) Si el grdo del umerdor y deomidor es el mísmo el límite es igul l cociete etre los coeficietes de los térmios de myor grdo del umerdor y deomidor. Si hy rdicles (Idermició - ) MÉTODO : Se elimi l idetermició multiplicdo y dividiedo por el cojugdo, pr quitros l ríz. ( + )(. + + ) ) lim + lim + + ( + ) ( ) lim lim b) lim Tipo lim ( + ) ( + ) lim lim MÉTODO : Se resuelve utilizdo el úmero e lim + e, 788 lim e, ) lim + lim + b) + lim + +.( ) + + lim + e + e e lim lim lim + lim + + e + lim + 6+ e e

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