CRECIMIENTO ECONÓMICO. NOTAS DE CLASE: El modelo de Ramsey, Cass- Koopmans

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1 Universidad de Buenos Aires - Faultad de Cienias Eonómias CRECIMIENTO ECONÓMICO NOTAS DE CLASE: El modelo de Ramsey, Cass- Koopmans Por: los integrantes del urso 1 Año Las presentes notas de lase fueron elaboradas por Pablo Garía y adaptadas por los miembros del urso de reimiento eonómio de Andrés Asiain. Estas pueden desargarse del sitio web del urso: 1

2 1. Introduión Hasta ahora habíamos trabajado en el modelo de Robert Solow on una tasa de ahorro que era onstante y determinada exógenamente s. Ahora en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans la tasa de ahorro será el resultado de la optimizaión dinámia de las deisiones de onsumo de los hogares de auerdo a su funión de utilidad y su restriión presupuestaria (modelo on ahorro endógeno). El trabajo original de Ramsey, en el que por primera vez se plantea este nuevo enfoque, no es una ontestaión a el trabajo de Solow 2 o una ampliaión de sus puntos débiles, sino que la misma tradiión neolásia posterior, on los trabajos de desarrollados en simultaneo por Cass y Koopmans a mitad de los 60`s, retomaran aquel primer esbozo sobre el problema del ahorro de una manera alternativa. Dentro de este enfoque una interesante diferenia entre Ramsey y Cass y Koopmans es omo tratan la relaión del agente eonómio y la utilidad futura. El agente obtiene utilidad por medio del onsumo ya sea lo haga hoy o en algún momento posterior ualquiera. Esa satisfaión futura debe ser onsiderada en términos presentes, ya que al estar mediada por una fraión temporal que las separa, no pueden ser iguales. Por ello, paree que el posponer onsumo y utilidad hoy, en relaión on los benefiios que obtiene al invertir, para un agente raional no tiene sentido haerlo indefinidamente sino que debe de tener algún tipo de límite. Por su parte, Ramsey supone que la funión de utilidad esta aota dado que el agente eonómio se enontrará en algún punto ualquiera y a partir de alli elegirá la trayetoria de onsumoinversión que maximie sus deisiones a lo largo del tiempo. Cass y Koompmans en ambio suponen que los agentes eonómios pueden de algún modo desontar ese onsumo futuro por una tasa de valoraión subjetiva y de este modo logran aotar a la trayetoria de la funión utilidad a un problema finito. Originalmente en su trabajo Ramsey se había propuesto una soluión de este tipo pero la deseha al no poder omparar utilidades de personas que viven hoy on las que van a haerlo dentro de 150 años, donde no hay lazo sentimental de ningún tipo que las una. Pero Cass y Koopmnans al partir de un agente individual representativo on previsión perfeta pueden no preouparse por el horizonte temporal intergeneraional. 2 De heho eso seria imposible pues el trabajo de Ramsey es 27 años anterior al de Solow. 2

3 1.A Los supuestos del Modelo: Eonomía errada y sin setor públio Se produe un solo bien que se puede onsumir o invertir. La inversión y el ahorro son siempre iguales (ex ante y ex post), la Ley de Say se umple y no hay problemas de demanda efetiva En el merado de trabajo hay pleno empleo, no existe el desempleo involuntario. Funión de produión neolásia F(K, L) a) Rendimientos onstantes a esala 3 (funión homogénea de grado 1) F( K, L) F( K, L) b) Rendimientos Marginales Dereientes de los fatores F 0 ; F 0 ; F 0 ; F 0 L L ) Cumple on las Condiiones de Inada 4 Lim F L L0 K K0 K Lim F ; Lim F Lim F 0 K L L Funión de la feliidad U() presenta: K K d) Es reiente en (onsumo) y ónava, suavizan el onsumo u 0 ; u 0 e) Cumple on las Condiiones de Inada Lim u ; Lim u 0 0 Las familias optimizan sobre un horizonte infinito. Hay altruismo intergeneraional. Las familias reiben un salario por su trabajo e intereses por sus tenenias de ativos. Se trabaja on la herramienta del agente representativo. El merado de rédito no permite una onduta del tipo Ponzi. 3 Este supuesto está relaionado on el supuesto de ompetenia perfeta, si la funión de produión agregada tuviese rendimientos reientes a esala algún merado de la eonomía debería funionar fuera de ompetenia perfeta. 4 Estas propiedades son onoidas omo ondiiones de Inada, siguiendo a Inada, Ken-Inhi (1963) 3

4 2. Desarrollo del Modelo: a) LAS FAMILIAS: La funión de utilidad 0 t U u ( t) e. L( t) dt Ct () Lt () t () ; L() t L e o nt Donde u[(t)] representa la utilidad individual y donde representa la tasa de desuento por la mayor utilidad que brinda el onsumo presente al onsumo futuro y L(t) es el número de miembros que tiene la familia. La utilidad para el agente solo se deriva de onsumir, y al tener previsión perfeta es apaz de planifiar el horizonte temporal desde 0 a. Suponemos para simplifiar que Lo es igual a 1. Y obtenemos: nt t n t U u t e e dt U u t e dt ( ) ( ) ( ) 0 0 donde e nt multipliando la funión de utilidad individual representa el reimiento poblaional que ree a la tasa n. Es importante marar que para que la funión este bien definida debemos suponer que ρ>n. nt A su vez, podemos haer que L( t) L e L( t) L( t) n o La restriión presupuestaria El ahorro de las familias está representado por la diferenia entre sus ingresos rk + wl menos su onsumo C. Sabemos además que las familias poseen sus ativos en forma de bonos b que, a su vez, omo estamos en una eonomía errada y no poseer ativos externos, la totalidad de estos ativos son iguales al stok de apital K. Por lo tanto se umple que b( t) k( t). Su restriión presupuestaria intertemporal es: 4

5 B C rk wl K rk wl C (1) Entones, si partimos de la expresión del apital per apita, apliamos logaritmo y derivamos respeto de t obtendremos: Kt () k( t) ln k( t) ln K( t) ln L( t) Lt () ln k( t) k K L K K L K L si k k k k t k K L K L L L L Reemplazamos L L por n y K por la euaión (1) k rk w nk k w r n k (2) rk wl C k nk ( ) L a.1) Optimizaión Dinámia: Armamos el Hamiltoniano H Vk;;t. gk,,t Donde v(k,,t) es la funión a maximizar, en nuestro aso la funión de la feliidad de la familia representativa sujeta a g(k,,t) es la funión de aumulaión del apital de la familia representativa. El apital permite obtener utilidad futura indiretamente, al inrementar el onsumo futuro por los mayores ingresos que generará el retorno del apital aumulado. variable de oestado, preio sombra por unidad de apital aumulado es la variable ontrol, sobre la ual las familias atúan diretamente k es la variable estado, su evoluión depende de la variable ontrol ( ) nt H u ( t) e ( t) k( t) reemplazamos kt () por la euaión (2) H u ( n) t ( t) e ( t) w ( r n) k Las ondiiones de primer orden (CPO) para la optimizaión dinámia son: 5

6 H a) 0 H ; b) () t k ; ) lim ( t) k( t) 0 t a) H u ( ) '( nt ) e ( t ) 0 u e t ( nt ) '( ) ( ) H b) ( t) ( r n) ( t) ( t) ( n r) ( t) k lim ( t) k( t) ) 0 t ( t) ( o) e ( nr) t ) Es la ondiión de transversalidad, implia que el último día o se onsume todo el apital o este aree de valor (en valor atual) Difereniamos a) ( t) u ( ) e ( nt ) respeto del tiempo y obtenemos: ( n) t ( n) t (3) ( t) u ''( ) e u '( ) ( n) e Reemplazamos a) y ) en b) sustituyendo (t) ( t) ( t) ( n r) ( t) ( n) t ( n) t ( n) t ''( ) '( ) ( ) ( ) '( ) u e u n e n r u e Simplifiando obtenemos la siguiente euaión: u ''() r u '() (4.a) Elastiidad de la utilidad marginal respeto del onsumo du () 0 d u () Reordenando las variables, obtenemos: u () ( r ). u () (4.b) la ECUACION DE EULER 6

7 Qué nos die la euaión de Euler? Cuando r = el onsumo per apita se mantendrá estable a lo largo del tiempo ( o ). Para que las familias estén dispuestas a alterar la trayetoria estable del onsumo per apita y trasladar mayor onsumo para el futuro, deben ser ompensados on una tasa de interés mayor que la valoraión subjetiva que haen del onsumo hoy, r >. Caso ontrario, aumentarán el onsumo hoy r<ρ. A su vez, la magnitud de la diferenia va a depender del valor de la elastiidad de la utilidad marginal respeto del onsumo presente. Cuanto más grande la elastiidad en términos absolutos (mayor deseo por suavizar el onsumo), el diferenial entre r y deberá ser mayor para que los agentes estén dispuestos a tolerar ambios en su trayetoria de onsumo intertemporal. a.2) UN EJEMPLO: la funión de elastiidad intertemporal de sustituión onstante (CIES) Si suponemos una funión de Utilidad que depende del onsumo omo la siguiente: t () 1 U (4.1) t ( ) 1 1 Para obtener la elastiidad de sustituión de la utilidad marginal respeto del onsumo, debemos derivar dos vees nuestra funión de utilidad respeto del onsumo (para u () obtener y poder reemplazarlo), entones: u () ' U t t 11 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 '' U ( ) ( t) U '( ) ( t) ( t) U ''( ) ( t) Reemplazando en (4.b) ( t) 1 ( r ).. () t r (4.2) 7

8 Nuevamente, r es la remuneraión del apital, es la tasa de desuento subjetivo o tasa de impaienia que mide la valoraión subjetiva de trasladar onsumo presente al futuro. La variable es la forma funional simplifiada que antes tenía la elastiidad de sustituión. Esta representa ómo se modifia proporionalmente la utilidad marginal onforme se modifia el onsumo proporionalmente. Si la elastiidad es muy alta (en valor absoluto) el individuo tendrá una fuerte preferenia por suavizar el perfil de su onsumo en el tiempo. Gráfiamente esto se vería representado por la urvatura de la funión de utilidad. Gráfiamente: U Ub Ua sega C 1 Cb C 1;2 C 2 C Ua representa la semisuma de la utilidad que obtiene el agente que deide onsumir en 1 poo y en 2 muho. Ub representa el nivel de utilidad que obtiene el agente que deide onsumir lo mismo en ambos periodos. De este modo, en el grafio queda representado por el sega la mayor utilidad que se obtiene al suavizar el onsumo entre los periodos C1 y C2. A su vez, θ representa la urvatura de la funión utilidad y mide el deseo del agente por suavizar ese onsumo. b) LAS FIRMAS: Las firmas produen bienes, pagan salarios por el trabajo y una renta por el apital. Funión de produión (sin progreso ténio 5 ) es la siguiente: 5 Hemos omitido el progreso ténio A onsiderando que en términos oneptuales puede ser entendido muho más orretamente ya que se simplifia muho su derivaión matemátia. A su vez, 8

9 Y( t) F K( t), L( t) Suponemos una tasa de retorno del apital r neta de depreiaión: r f ( k) Si normalizamos la funión de produión por el número de trabajadores (L), de auerdo a sus propiedades, obtendremos que: Y ( t ) K ( t ) F,1 y ( t ) f k ( t ) L( t) L( t) Las firmas maximizan sus benefiios ( ) on sus ingresos menos sus ostos: F( K, L) ( r ) K wl Si dividimos y multipliamos el 2do miembro por L: L f ( k) ( r ) k w Un firma en ompetenia perfeta toma r y w omo dados, entones para determinar el apital (K) a utilizar que maximiza sus benefiios manteniendo la antidad de trabajo (L) onstante: 1 1 L f '( k) ( r ) 0 K L L f '( k) r r f '( k) (5) Ahora determinamos el nivel de trabajo (L) que maximiza los benefiios manteniendo al apital (K) onstante: K K f ( k) ( r ) k w L f ( k) ( r ) L L L f ( k) ( r ) k w f '( k) k ( r ) k 0 L también se puede ver que al existir deisiones inter-temporales se podría optimizar haiendo un lagrangiano en ada periodo Ti. 9

10 f ( k) w f ( k) k 0 L w f ( k) f '( k) k (6) ) Equilibrio: Hasta ahora vimos el omportamiento de los hogares y el de las firmas, dados w y r en ambos asos. Ahora vamos a ombinar ambos omportamientos para hallar el equilibrio. En la euaión (2) k rk w nk Reemplazamos w y r de la euaión por las euaiones (5) y (6): k ( f ( k) ) k f ( k) f '( k) k nk k f ( k) nk k f ( k) ( n ) k (7) La euaión (7) determina la evoluión de k y en onseuenia de y. Pero, para ompletar la dinámia de la eonomía neesitamos onoer la evoluión de. Eso nos lo dará la euaión de Euler, que obtuvimos anteriormente, si reemplazamos (6) en (4.b) obtendremos: u '( ) ( f '( k) ) u ''( ) (8) El Estado Estaionario se enuentra uando las variables reen a una tasa onstante (posiblemente ero) a través del tiempo. En este modelo se puede demostrar que el únio Estado Estaionario posible se enuentra uando las tasas de reimiento del stok de apital por trabajador efetivo y del onsumo por trabajador efetivo se igualan a ero = 0 y = 0 Con las euaiones (7) y (8) vamos a hallar el Estado Estaionario del modelo. Para hallar el Estado Estaionario omenzamos on k = 0 en la euaión (7) k f ( k) ( n ) k 0 f ( k) ( n ) k (9) k 10

11 Gráfiamente k < 0 Koro k > 0 k 0 Aquellos puntos sobre la urva k o el onsumo es tal que permite ahorrar lo sufiiente para mantener onstante la tasa de reimiento del stok de apital (lo que es igual a la ondiión de estado estaionario que hayamos del modelo de Solow sf ( k) ( n ) k 6 ). Aquellos niveles de onsumo que se enuentran por enima de la trayetoria de stok de apital de equilibrio k o, son mayor que aquellos que permite mantener el ahorro (inversión bruta) a niveles sufiientes para ubrir el reimiento de la poblaión y la amortizaión del apital, lo que hae que el stok de apital per apita omiene a aer. (esquemátiamente C(alto) S ( I) K k <0). A la inversa, aquellos niveles de onsumo que se enuentran por debajo de la urva k o generan un ahorro (inversión) mayor a n tal que hae aumentar el stok de apital k o. (esquemátiamente C(bajo) S ( I) K k >0). K 6 Véase nota de lase del modelo de Solow, p.8, E. (6). Reuerde que omo aquí no hemos utilizado el ambio tenológio A falta su tasa de variaión temporal g en la euaión de equilibrio. 11

12 Para hallar el máximo nivel de onsumo intertemporal, o el nivel de apital máximo (reordar regla dorada de la aumulaión de apital del modelo de Solow) derivamos (9) respeto de k k f '( k) ( n ) 0 k f ( k) n r n (10.a) Por lo tanto, la tasa de retorno del apital debe igualar la tasa de reimiento de la poblaión, para que el onsumo intertemporal sea máximo. Pero, si igualamos = 0 partiendo de la euaión (8), llegaremos a que: u () u () ( f ( k) ) 0 f ( k) f '( k) r (10.b) Por lo tanto de (10.a) y de (10.b) se desprende que ρ=n, pero omo ondiión para la estabilidad del modelo (uando definíamos la funión de utilidad de las familias) supusimos que ρ>n. Entones, omo los agentes desuentan el onsumo futuro muho más rápido de lo que ree la poblaión, o lo que es lo mismo son impaientes, el nivel de onsumo intertemporal nuna va a ser máximo. A su vez, si la elastiidad de la utilidad marginal del onsumo respeto del onsumo es onstante (omo en el aso de la funión CIES donde u ( ) u ( ).=1θ), entones un solo valor de k umple on la ondiión = 0, por lo que la funión (8) será una línea reta, perpendiular al eje de absisas a partir de aquel únio valor de k ' '' 12

13 Gráfiamente: C = 0 Coro C * < 0 k o > 0 k * k Como vemos, la urva 0 es una línea vertial que se enuentra a la izquierda del punto máximo de k 0 donde el onsumo es máximo o Coro. A la izquierda de 0 (k*) el apital por trabajador k resulta menor que aquel que mantiene la deisión de onsumo onstante en el tiempo. Como el apital es esaso, la produtividad marginal del apital f '( k ) es alta y al igual que su remuneraión, r. Esto genera mayores inentivos a ahorrar por lo tanto disminuye el onsumo presente y se inrementa el onsumo futuro, lo que genera una tasa de reimiento del onsumo per-ápita positiva 7. (esquemátiamente K(es) r C(hoy) y S(hoy) (y omo I, k) ). A la dereha de 0 (k*) ourre lo inverso. En esa franja el apital por trabajador es mayor que el de equilibrio, la produtividad marginal del apital f '( k ) es baja al igual que la tasa de retorno del apital r, esto genera desinentivo a seguir postergando onsumo y por lo tanto se inrementa el onsumo presente, disminuye el ahorro y entones ae en la tasa de reimiento del onsumo. (esquemátiamente K(exd) r C(hoy) y S(hoy) (omo I, k) ) 7 A partir de la euaión de Euler puede deirse por regla que si la tasa de desuento del individuo ρ es menor que la del merado r, entones la trayetoria de onsumo será reiente 0 13

14 De este modo, se puede demostrar que existe un solo estado estaionario que umple on la ondiión de transversalidad y que al mismo tiempo resulte óptimo. En este modelo, la eonomía se enuentra en estado estaionario uando todas las variables reen a la misma tasa. Esto implia que k k K K L L o y C C L L o, por lo que las variables en términos per-ápita no sufre variaión, o que es lo mismo, que en el estado estaionario se umple que K K C C n, la tasa de reimiento del apital y del onsumo es onstante e igual a la tasa de reimiento de la poblaión. Utilizando los resultados de ambos diagramas de fases, junto on el sistema de euaiones, podremos ombinarlo de la siguiente manera: f ( k) ( n ) k ; k = 0 f '( k) ; = 0 Gráfiamente: C C * 0. E B'. E ' A B C k * k 0. E'' k 14

15 Existen infinitas trayetorias y tres estados estaionarios. Debemos definir haia uál de ellas el sistema va a onverger. El estado estaionario E se enuentra a nivel de onsumo y apital nulos, (;k)=(0;0), este es un equilibrio inestable ya que nos alejaremos inequívoamente de él. En el estado estaionario E el onsumo es nulo y el apital es positivo (;k)=(o;k>0), aunque sea loalmente estable, al impliar antidades nulas de onsumo, este no representa utilidad. Aquel estado estaionario que nos interesa es el punto E donde se intereptan k 0 y 0, el onsumo es positivo y es donde onvergerán todas las trayetorias. Supongamos que nos enontramos la izquierda de k* ( 0) y por debajo de k 0. En ese punto la tasa de retorno del apital r será mayor que la tasa de impaienia ρ y el onsumo será menor (ahorro mayor) que aquel que mantiene la aumulaión de apital onstante. Entones, las familias deidirán inrementar sus ahorros, disminuyendo su onsumo presente, aumentando su trayetoria de onsumo, inrementando simultáneamente al inversión y el apital, situándose sobre un sendero omo el sendero B donde k 0 y 0. A medida que el mayor nivel de inversión inremente, k irá disminuyendo su produtividad marginal y en onseuenia su tasa de retorno y estabilizando los niveles de, hasta llegar a su estado estaionario. Lo similar suederá on el sendero B donde el onsumo es alto y el apital es exedente, r es menor que ρ y el ahorro no es el sufiiente para mantener los niveles de I, entones 0 y k 0 hasta llegar al punto E. Alternativamente, partiendo de un punto a la izquierda de 0 y k 0 una trayetoria omo el sendero A no será una trayetoria posible. En ese sendero 0 ya que la valoraión del merado de onsumo es mayor que la subjetiva, entones el onsumo futuro aumenta. A medida que nos aeramos a la urva k 0 el nivel de onsumo es tal genera un ahorro (inversión) que equilibra la tasa de aumulaión del apital. Por enima de k 0, el nivel de onsumo es mayor que el que hae onstante el reimiento del stok de apital, entones el onsumo es alto, el ahorro bajo, ae la inversión y la aumulaión de apital ( 0 k ), lo que es inompatible on el aumento de onsumo del sendero A. Por lo tanto el sendero A no es óptimo porque es inompatible que aumente el onsumo mientras la aumulaión de apital esta ayendo. 15

16 Por último una trayetoria omo el sendero C tampoo será optimo pues aumenta el apital mientras el onsumo está disminuyendo y el agente maximizador no enuentra utilidad en la aumulaión indefinida de apital. Al ruzar 0 el agente ontinuaría aumulando apital, porque nos enontramos por debajo de k 0, pero la trayetoria de onsumo aería ya que r<ρ, lo que es inompatible on un agente maximizador de utilidad. De este modo, el punto E es un equilibrio loalmente estable o punto de ensilladura y el sendero B es el únio sendero que nos lleva al estado estaionario óptimo. Estátia Comparada A. Que suede ante un inremento de ρ? C 0 ( b) ( a) () E 1 E 2 k 0 k 2 k 1 k El inremento de ρ (tasa de impaienia) genera un mayor deseo por parte de las familias por adelantar onsumo futuro al presente, por lo que la trayetoria de onsumo en un primer momento aumenta, omo suede en (a), situándose por enima de la del nuevo equilibrio E2. A su vez, este inremento del nivel de onsumo per ápita hoy disminuye el nivel de ahorro, lo que afeta la aumulaión de apital, que disminuye, omo se ve en (b). De este modo, al disminuir el stok de apital por la menor inversión, el apital es más esaso por lo que se va inrementando la tasa de interés r (por el supuesto de rendimientos marginales dereiente), que frena el ajuste hasta onverger en E2. 16

17 En el nuevo estado estaionario las familias tienen un menor nivel produto per ápita y al mismo tiempo un menor nivel de onsumo per apita, y nos enontramos más lejos del nivel de Koro. B. Que suede ante un inremento del deseo por suavizar el onsumo? El suavizar onsumo implia una mayor onavidad de la funión de utilidad. El ajuste se da porque θ, entones en la euaión de Euler y donde 0 y se mueve a la izquierda. Las familias prefieren adelantar onsumo futuro al presente, pero al inrementar el onsumo presente ourre la misma dinámia del aso anterior hasta que el inremento de r ompensa el mayor deseo de trasladar onsumo futuro al presente. Pero a un nivel de stok de apital y onsumo per ápita menor. 17

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