MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.

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1 MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre 2 y 3. Por lo tato, si 3, etoces ( + )! a + = = +! e + e e = + a e Por ede, a 3+k ( 4 3) k a3, y a a 3+k k k 4 3 a. ( ) k 4 a 3 = a k ( ) k 4 =. 3 (b) {! } = (b): Coverge a 0. Note que para todo, a 2 = (2)! (2) 2 2 (2 )... ( + ) = (2) (2)... (2) ( ) Por lo tato, para todo k, 0 a 2 k 2 k a, ( )... (2) (2)... (2) 2 = a 2.

2 2 JOHN GOODRICK y debido a que la sucesió { 2 k a } k= coverge a 0, la sucesió de los a tambié coverge a 0. (c) { se() } = (c): coverge a 0. Note que para todo, se(). Por lo tato, se(). Pero las dos sucesioes { } = y { } = coverge a 0, y por ede la sucesió origial tambié coverge a 0. (d) { } = (d): Coverge a 2. Hay varios maeras de ver esto, por ejemplo, por la Regla de L Hopital, o se puede dividir el umerador y el deomiador por 3 para covertir los térmios e , cuyo ite del umerador es 2 y el del deomiador es, asi que el ite es 2 = 2. (e) 2 l(2), 3 l(3), 4 l(4),... (e): Diverge a. Se puede usar la Regla de L Hopital: ua fórmula para + el -ésimo térmio es, y tato l(+) (+) como l(+) so, asi que se puede aplicar la Regla de L Hopital. Derivado el umerador y el deomiador (co respecto a ), se llega a + ( + ) =.

3 MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES 3 2. Para cada serie ifiita abajo, determie si coverge o o, y explique su respuesta co uo de los criterios que hemos discutido e la clase. (a) = (a): Diverge. Se puede usar el criterio de comparació al pasar al ite. Note que cuado es muy grade, los térmios so más o meos iguales a 2 =, que os sugiere ua comparació co b = =. 2 El ite es u úmero positivo y fiito, asi que podemos cocluir que la serie coverge si y sólo si la serie b = coverge. Pero la seguda serie es la serie harmóica, que o coverge, asi que tampoco coverge la serie origial. (b) = (b): Coverge. Para ésta tambié se puede aplicar el criterio de comparació al pasar al ite. Esta vez, comparamos co c = 2 : =. 3 Otra vez, el ite es positivo y fiito, lo que implica que la serie origial coverge si c = coverge. Pero esta última es ua serie de p para 2 p = 2 >, asi que coverge (o puede usar el criterio de la itegral), y la serie origial tambié coverge. (c) = ( )! (c): coverge. Los úmeros! so todos positivos, y por lo tato esta serie es alterada. Recuerde de la parte (b) de la preguta que! = 0.

4 4 JOHN GOODRICK Podemos aplicar el criterio de las series alteradas si tambié sabemos que la sucesió {! } = es decreciete. Para verificar esto, ota que el cociete de dos térmios sucesivos es ( ) ( + )! ( + ) = ( + ) +! ( + ) = + ( + ) =, + lo cual es meor que pues 0 < sucesió {! } = es decreciete. + <. Al ser este cociete meor que, la (d) + i 3 e i i= (d): Coverge. Usamos el criterio del cociete: i +(i+) 3 e i+ +i 3 e i + (i + ) 3 e i i e i+ + i 3 + i 3 + 3i 2 + 3i + i i + i 3 i e = e = e. Pero e > 2, asi que este ite es meor que, y el criterio del cociete os dice que coverge. (e) e i i 3 e i2 i= Apute: Use el criterio de la itegral.

5 MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES 5 3. Para cada serie ifiita abajo, calcule su valor (si coverge). (a) = (2 + )! La serie (a) es ua serie de Taylor disfrazada. Recuerde que la serie de potecias x! + x3 3! + x5 5! +... es igual a se(x) para cada úmero x, y la serie e (a) es ada más que esa serie de Taylor co el valor x = 2. Por lo tato, la serie coverge a se(2). (b) Esta es ua serie geométrica, y la fórmula para su valor es a r dode a es el primer térmio y r es la razó etre dos térmios sucesivos. Asi que a = 5 y r = 3 y la suma es 5 ( 3 ) = = 5 4.

6 6 JOHN GOODRICK 4. Para cada serie de potecia, ecuetre su radio de covergecia y su itervalo de covergecia. (a) =0 ( )! (x 4) (2)! (b) 8x 2 + 8x 5 + 8x 8 + 8x +... (c) =0 ( ) x

7 MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES 7 5. Para cada fució abajo, (a) calcule la serie de Taylor idicado, (b) ecuetre el radio de covergecia de esa seria, y (c) demuestre que la serie de Taylor es igual a la fució (para todo x e el itervalo de covergecia). (i) f(x) = se(x) + cos(2x), cetrada e 0 (ii) g(x) = (2+3x) 2, cetrada e 0 (iii) h(x) = l(3x), cetrada e

8 8 JOHN GOODRICK 6. Marque como verdadero o falso: (a) Si la sucesió {a } = tambié. (a) es falso. La serie harmóica = coverge, etoces la suma = a coverge es u cotraejemplo. (b) Si la suma = a coverge, etoces la sucesió {a } = coverge. (b) es verdadero. De hecho, si la serie coverge, etoces sus térmios ecesariamete coverge a 0. (c) Es posible que ua serie de potecias i=0 a ix i coverge para ta solo 2 valores de x y diverge para todos los demás valores. No, o es posible. Toda serie de potecias tiee u radio de covergecia R del itervalo [0, ]. E caso que R > 0, la serie coverge para ifiitos valores de x; y si R = 0, etoces sólo coverge para u valor de x (e este caso, para x = 0, pues la serie tiee cetro 0). (d) Toda fució es igual a su serie de Taylor. (d) es falso. Auque la mayor īa de las fucioes que se ecuetre e este curso so iguales a sus series de Taylor, esto o siempre es el caso.

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