FECHA NUMERO RAE INGENIERÍA AERONÁUTICA

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1 FECHA NUMERO RAE PROGRAMA AUTORES TITULO INGENIERÍA AERONÁUTICA CORPUS SJOGREEN, Fidl; LUNA ZAPATA, Francisco y SÁNCHEZ LEÓN, Francisco DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS EN AERONAVES DE ESTRUCTURA TUBULAR. PALABRAS CLAVES Elmnto Finito. Marcos y Vigas. Principio D Almbrt. Furzas d Inrcia. Rstriccions. Diagrama d flujo Esfurzo Maniobras n vulo Intrfaz Grafica d Usuario Pratt truss Warrn truss Matriz d rigidz Matriz d dsplazamintos Algoritmo d programación Tubrías Funcions. API 1

2 DESCRIPCIÓN En Colombia no s han dsarrollado aplicacions para análisis d structuras por l método d lmntos finitos, nfocado a la Ingniría Aronáutica, spcíficamnt para aronavs con structura tubular. Es d vital importancia l dsarrollo d st tipo d programa, fortalcindo así l campo d structuras d aronavs n la carrra d Ingniría Aronáutica d la Univrsidad San Bunavntura. Esta iniciativa srvirá como hrraminta para los studiants d la Univrsidad d San Bunavntura, stimulando y fortalcindo l aprndizaj n structuras aronáuticas. Finalmnt, l implmntar un programa qu analic las structuras d aronavs fabricadas n Colombia, daría confiabilidad a los productos aronáuticos colombianos, impulsado así la industria aronáutica, spcíficamnt n la aviación dportiva qu prsnta un crciminto significativo durant los últimos años, y d sta manra apoyando la crtificación d st tipo d parts por la Unidad Administrativa Espcial d Aronáutica Civil. FUENTES BIBLIOGRÁFICAS Libros CHANDRUPATLA T.R, y BELENGUNDU A.D., Introducción al studio dl Elmnto Finito n Ingniría,.1999 HUERTA Antonio, SARRATE Josp, RODRIGUEZ-FERRAN Antonio, Métodos numéricos. Introducción, aplicacions y programación, Edicions UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA MOAVENI S. Finit Elmnt Analysis. Thory and application with ANSYS. Ed. Nw Jrsy: Prtinc Hall PARAMONOV Yuri M. Aroplan Construction and Strngth Analysis, Part 1, Bogota D.C., Editorial Bonavnturiana. 4

3 RAYMER. Danil P. Aircraft dsign: a concptual approach. Washington: Amrican Institut of Aronautics and Astronautics. 3. ZIENKIEWICZ O.C. y TAYLOR, R.L. El Método d los Elmntos Finitos Volumn I: Formulación Básica y Problmas linals ; CIMNE, Ed. Barclona: McGraw-Hill, 1, pp WILKINSON R, Aircraft structurs and Systms, England, Editorial: Addison Wsly Longman Limitd Documntos PDF SAOUMA, Victor E. MATRIX STRUCTURAL ANALYSIS with an Introduction to Finit Elmnts CVEN455/555 Fall RUSTENBURG John W, SKINN Donald, and TIPPS, Danil O. An valuation of mthods to sparat manuvr and gust Load factors from masurd acclration tim historis. April This rport is availabl at th Fdral Aviation Administration William J. Hughs Tchnical Cntr s Full-Txt Tchnical Rports pag: in Adob Acrobat portabl documnt format (PDF). Disponibl n: Páginas WEB

4 NUMERO RAE PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA CONTENIDO El objtivo gnral d la invstigación fu: Dsarrollar un programa para l cálculo d sfurzos n structuras d aronavs d tipo tubular somtido a cargas n vulo. Los objtivos spcíficos d la invstigación furon: Rcopilar información d structuras d aronavs d tipo ultraliviano. Rcopilar información acrca d las propidads gométricas y d ára d difrnts matrials y sccions mpladas n construcción aronáutica. Dsarrollar un diagrama d flujo qu prmita visualizar l modo d opración d la aplicación. Dsarrollar l código d programación, con su rspctivo programa d jcución. Ralizar l cálculo analítico d la structura tubular dl avión slccionado. Comparar l cálculo analítico, con l programa dsarrollado, y con l programa d lmntos finitos ANSYS. Hacr l diagnostico d rrors, comparando los trs métodos, para l cálculo d la structura. Hacr las prubas d funcionaminto, dl programa con studiants d octavo smstr. Ralizar análisis d costos dl proycto. Hacr un manual d usuario. Ralizar tutorials para facilitar l uso dl programa. 4

5 NÚMERO RAE PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA CONTENIDOS DESARROLLO INGENIERIL GENETRALIDADES DE SOBRE ESTRUCTURAS AERONAUTICAS Los mimbros structurals d una aronav son disñados para soportar las cargas n vulo, y rsistir los sfurzos. En la mayoría d los casos los mimbros structurals s disñan no solo con l fin d soportar cargas, sino también para star somtidas a tnsión o comprsión más qu a flxión. Los principals componnts structurals n una aronav son l fuslaj y las alas. El ala y l fuslaj consistn n un grupo d lmntos structurals básicos qu actúan n conjunto como una viga o un mimbro a torsión. CARGAS EN ESTRUCTURAS AERONAUTICAS La structura d una aronav db soportar dos tipos difrnts d carga; las primras, llamadas cargas n tirra, incluy todas aqullas cargas qu s transmitn a la aronav cuando sta s stá movindo sobr l trrno como durant algún rcorrido, l atrrizaj y también l rmolcado, mintras qu las sgundas son las cargas d vulo, comprnd aqullas cargas qu aparcn n maniobra o por ráfagas d vinto. Estas furzas a su vz s dividn n cargas suprficials, qu actúan sobr la suprfici d la structura, como lo son las cargas arodinámicas; y por otra part stán las furzas structurals qu actúan sobr l curpo d la structura y s producn a causa d la gravdad y d la inrcia. Básicamnt todas las cargas d vulo son rsultado d la distribución d prsions sobr toda la suprfici d la aronav producidas n vulo nivlado, maniobra o por ráfagas. Como rsultado d stas cargas, s transmitn sobr la structura cargas d tnsión, comprsión, cortants y torsión. 5

6 FUERZAS EN MANIOBRA Son las furzas d orign arodinámico (sustntación y rsistncia) qu aparcn n cualquir maniobra como pull-up, banquo, cabco, tc. Estas cargas pudn sr simétricas o asimétricas. La mayoría d las furzas n la aronav durant l vulo, s originan por la gnración d sustntación n maniobras d alto númro d gravdads. Por otra part, l fuslaj sta dimnsionado para soportar las furzas d sustntación n lugar d la prsión dl air qu actúa dirctamnt sobr l fuslaj. VIGAS Y MARCOS Las vigas son mimbros usados para soportar cargas transvrsals, los mimbros horizontals largos usados n structuras, ya san d dificios punts o vhículos como también las flchas apoyadas n cojints son algunos jmplos d vigas. A las structuras compljas con mimbros rígidamnt conctados s ls llama marcos y pudn ncontrars n structuras d automóvils y aronavs, así como n mcanismos o maquinas transmisors d furza y moviminto. MARCOS TRIDIMENSIONALES Los marcos tridimnsionals o también llamados spacials, suln ncontrars n l análisis d dificios d múltipls nivls. También los ncontramos n la modlación dl chasis d los carros y marcos d bicicltas, n la figura abajo s mustra un marco tridimnsional típico, cada nodo tin sis grados d librtad n lugar d trs típicos n marcos planos. METODO PARA EL ANALISIS DE ESTRUCTURAS AERONAUTICAS EN VUELO Antcdnts. Para mpzar, durant l transcurso d sta invstigación, s han ncontrado pocos métodos qu prmitan analizar la structura d una aronav n vulo, para sr más prcisos, dl fuslaj. S pud distinguir claramnt dos métodos qu prmitn llvar a cabo l studio d las structuras. El primro d llos, qu llamamos aquí l tradicional, consist n sccionar l fuslaj, n trs parts o más, ir mpotrando n sus xtrmos y vr l comportaminto d sa scción analizando sus raccions sgún las cargas aplicadas, (dsplazamintos, sfurzos, tc.). 6

7 El sgundo método, l d simtría, consist n ralizar un cort d la aronav a lo largo dl cntr lin d ésta, crando una simtría, n la cual s mpotra la structura d la aronav a cualquira d las dos mitads. Sin mbargo, también a mnudo, st método prsnta sus limitants y una d llas s qu solo s podría aplicar para vulo rcto y nivlado, n las cuals subyac condicions d cargas simétricas qu stán afctando la aronav. D acurdo con lo xpusto, n l antrior litral, s infir qu cualquira d los métodos utilizados n la actualidad s adcuado, pro prsntan dsvntajas como l timpo d análisis y lo dispndioso d analizar varias sccions dl fuslaj, o por otra part tnr l análisis limitado a dtrminadas condicions d vulo. JUSTIFICACION D stas circunstancias nac l hcho d proponr un nuvo método para l studio structural d aronavs con fuslaj tubular, n l cual no s tnga qu rcurrir a dividir n varias sccions o limitar l análisis a cirtas condicions d vulo. En st proycto admás d laborar una hrraminta para l cálculo d structuras aronáuticas mplando MEF, s propon un nuvo método qu prmit analizar la structura complta sin ncsidad d rcurrir a las condicions xpustas n los métodos mncionados párrafos atrás. METODO ASAT Al aplicar st método para l cálculo d sfurzos n una aronav d structura tubular n vulo s dbn tnr n cunta dos condicions: primro l uso dl principio d D Almbrt, y sgundo rstringir la structura lo mnos posibl PROCESO BASICOS DEL PROGRAMA El programa consta d trs procsos básicos qu s ncuntran codificados n l diagrama d flujo dl programa (vr figura 44) y los cuals son: l primro d llos s la slcción dl tipo d structura, l sgundo s la ntrada d datos, y por último l procso matmático dl cálculo d la structura Inicialmnt l usuario db hacr, s ingrsar los datos d la structura qu dsa calcular para lo cual s hac ncsario qu st tnga claro qu tipo d análisis va a ralizar. 7

8 NUMERO RAE PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA METODOLOGÍA 1. Enfoqu d la invstigación: l nfoqu d st trabajo d invstigación s d tipo mpírico-analítico Lína d invstigación d la institución: tcnológicas actuals y socidad. Prtncint a la Sublína d invstigación d la facultad: instrumntos y control d procsos. Prtncint al Campo d invstigación: disño y construcción d aronavs. 3. Rcolcción d información. S ralizo una fas d invstigación documntal mplado funts scritas tals como los libros xistnts n la bibliotca, documntos ncontrados n la rd. Para la laboración d la bas d datos s consultaron manuals d matrials aronáuticos, provdors d tubrías d aluminio y acro structural aronáutico disponibls n l mrcado. Para la valuación por part d los usuarios dl GUI dl programa s mplo un formato d ncusta disponibl n los anxos d la invstigación. 4. POBLACIÓN Y MUESTRA. No aplica. 5. HIPOTESIS Las hipótsis plantadas para st proycto furon: El programa d cálculo d sfurzos para aronavs d structura tubular con l método d Truss Elmnt, agiliza l timpo para calcular una structura con l mismo método utilizando ANSYS. Los rsultados obtnidos con l programa son iguals a los obtnidos d manra analítica y n ANSYS. 6. VARIABLES VARIABLES DEPENDIENTES Las variabls dpndints considradas para st proycto furon sfurzos y dformacions sobr la structura. 8

9 VARIABLES INDEPENDIENTES Las variabls indpndints para st proycto furon: Modulo d lasticidad, Longitud, Ára transvrsal, Posición dl lmnto con rspcto a la furza, Grados d librtad d la structura y Rstriccions d la structura. NUMERO RAE PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA CONCLUSIONES En l momnto d aplicar l método d lmntos finitos utilizando, l lmnto tipo viga (bam) para calcular los sfurzos y dformacions n una aronav n vulo s obsrvo qu para st método, como para cualquir otro método d cálculo structural, s ncsario tnr unas condicions d frontra qu para l caso d st proycto srian los grados d librtad qu s suponn qu no s stán dsplazando o rotando. Primro s pnsó qu l punto obvio, qu s db rstringir n un fuslaj sria la unión ala-fuslaj; pro para nustro caso no s posibl dado qu por sta unión s por dond prcisamnt s transmitn dl ala las furzas d sustntación y d rsistncia al fuslaj. Por lo tanto, al vr st inconvnint s rcurrió a rvisar los antcdnts d cálculos d structuras d aronavs ralizadas por l método d lmntos finitos y s ncontró qu stos ralizan l cálculo por sccions d la aronav y no d la aronav complta. En otros casos l cálculo lo ralizan durant un atrrizaj, n l cual l punto d rstricción s l trn d atrrizaj, por dond pasan la furza producidas por l impacto. Para cumplir los objtivos d st proycto stas solucions no son las más adcuadas por lo qu s stá procdindo a indagar por otro método para atacar st problma o plantar una altrnativa difrnt para su análisis. En un análisis structural d lmntos finitos s db mpotrar n la dircción paralla a la dircción d la furza. En una aronav xistn 9

10 furzas n los trs js, la sustntación y l pso n la dirccióny, l mpuj y la rsistncia al avanc n la dircción Z ; y por último las componnts latrals dl pso y d la furza cntrifuga, cuando la aronav tin un ángulo d banquo n la dircción X. Por st motivo s db mpotrar la aronav n stas dirccions. Ahora bin, s ncsario sabr n qué puntos d la aronav s db rstringir. S concluyo qu los puntos a rstringir son aqullos n los cuals s gnran las furzas d sustntación y mpuj, n las mismas dirccions d las componnts d stas furzas n l lugar qu s gnran. Al momnto d laborar l método qu utiliza l programa ASAT llgamos a las siguints conclusions dspués d analizar l método d lmntos finitos y la toría d D Almbrt: Al rstringir la aronav n los puntos rcomndados, unión alafuslaj y bancada - fuslaj, la aronav quda lo suficintmnt rstringida como para qu la structura sa lo suficintmnt rígida. Las rstriccions propustas son las más adcuadas, si tnmos n cunta qu s n stos puntos s dond s gnran las furzas qu contrarrstan las furzas d inrcia y rsistncia al avanc. Con l método propusto no s ncsario sccionar l fuslaj para l análisis. Con rspcto al programa s pud concluir qu st agiliza l cálculo d las furzas qu s aplican n la aronav, spcialmnt las furzas dl ala y las d inrcia, sto gracias a qu l programa calcula automáticamnt stas furzas sgún la maniobra. 1

11 DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZO EN AERONAVES DE ESTRUCTURA TUBULAR FIDEL ANTONIO CORPUS SJOGREEN FRANCISCO MANUEL LUNA ZAPATA FRANCISCO ANTONIO SANCHEZ LEON UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERÍA AERONAUTICA BOGOTÁ D.C. 7 11

12 DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZO EN AERONAVES DE ESTRUCTURA TUBULAR FIDEL ANTONIO CORPUS SJOGREEN FRANCISCO MANUEL LUNA ZAPATA FRANCISCO ANTONIO SANCHEZ Trabajo prsntado como proycto d grado para optar al título d Ingniro Aronáutico Assor CARLOS ARTURO BOHORQUEZ Ingniro Mcánico UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA BOGOTÁ D.C. 7 1

13 Nota d acptación Firma dl jurado Firma dl jurado Firma dl Assor Mtodológico Bogotá D.C. 3 d Novimbr d 7 13

14 Ddicado a mi padrs Fidl y Nijosta y a mis hrmanas Ani y Alda por su apoyo. A Dios por acompañarm iluminarm. A mis amigos y compañros: Kiko y Francisco por su sfurzo para sacar st proycto adlant. D igual forma s lo ddico st trabajo a mis amigos y amigas qu m han acompañado n st procso. Muchas gracias, Fidl Antonio 14

15 Est trabajo quiro ddicarlo a mis padrs Olga y Francisco, por su apoyo, sfurzo, ddicación y sus sabios consjos forjaron l hombr qu soy. A mis hrmanos Carlos, Juan y Olga, por su apoyo incondicional. Gracias Familia Luna Zapata por hacr ralidad mi suño d sr Ingniro Aronáutico. A Dios por iluminarm n todos los momntos y llnarm d tranquilidad. A mis amigos: Fidl y Francisco, por su constancia y sfurzo para sacar adlant st proycto. También por aguantar mi cantalta. Finalmnt a todas las prsonas, profsors amigos, amigas y qu d alguna u otra manra djaron hulla n mí ayudándom a sr un mjor sr humano. Gracias, Francisco Manul Luna Zapata

16 A mis padrs n su mmoria. A Dios por la oportunidad. A Liliana, Fabio y Btty, mis tias Lulu y Gaby, Alvaro mi hrmano, Patricia y Olga mis hrmanas, Camila, Aljandra, Ricardo, Julian y Jos Antonio mis sobrinos por la furza, las ganas y la inspiracion. A Rodrigo por todo. A Gabril por l apoyo. A mis dos amigos y companros d st trabajo d grado, Fidl y Francisco por su constancia y ddicación. Y a todos los qu m han acompañado, no solo n la univrsidad, sino n mi vida, mis amigos. Francisco Antonio Sánchz Lón. 16

17 AGRADECIMIENTOS Los autors xprsamos nustros más sincros agradcimintos a: A nustras familias por su apoyo incondicional y conómico. Al Ingniro Carlos Arturo Bohórquz por su guía, confianza y compromiso para con l proycto. Al Ingniro Carlos Lozano y a Carlos Mauricio Galvis por sus assorías n programación. A los Ingniros José Patiblanco y Armando Lga por su colaboración técnica. A los Ingniros Jairo Gutiérrz Iván Hassig por sus aports para l dsarrollo d st proycto. Al Ingniro Juan Flip Cortés por su colaboración n la rsolución d dudas para l dsarrollo d la intrfaz grafica d usuario. Al Ingniro Juan Carlos Naranjo por sus assorías n la mtodología d valuación d intrfaz gráfica d usuario. 17

18 CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN 8 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ANTECEDENTES 3 1. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA JUSTIFICACIÓN OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN Objtivo Gnral Objtivos spcíficos ALCANCES Y LIMITACIONES DEL PROYECTO Alcancs Limitacions 3. MARCO DE REFERENCIA 33.1 MARCO CONCEPTUAL 33. MARCO LEGAL O NORMATIVO 34.3 MARCO TEÓRICO Armaduras Coordnadas locals Coordnadas globals Vigas y marcos Gnralidads sobr structuras aronáuticas Estructura tubular 6 18

19 .3.5 Mtals para la construcción d structuras aronáuticas Matrials mplados n structuras tubulars Aronavs d structura tubular Propidads gométricas y d ára d sccions tubulars 7 utilizadas n structuras aronáuticas.3.9 Propidads gométricas Estructura Acrolit Cargas n structuras aronáuticas Furzas n maniobra Mtodología d dsarrollo d softwar Tipos d rrors n cálculo numérico METODOLOGÍA ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN 9 3. LÍNEA DE INVESTIGACIÓN USB/SUBLÍNEA DE FACULTAD/ 9 CAMPO TEMÁTICO DEL PROGRAMA 3.3 HIPÓTESIS 9 4. VARIABLES VARIABLES DEPENDIENTES VARIABLES INDEPENDIENTES DESARROLLO INGENIERIL MÉTODO PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 94 AERONÁUTICAS EN VUELO Antcdnts JUSTIFICACIÓN PARA UN MÉTODO NUEVO 94 19

20 5.3 PRINCIPIO D ALEMBERT DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS METODO PROPUESTO ANALISIS EN ANSYS CONCLUSIONES DE LA PRUEBA METODO ASAT PARA EL CALCULO DE ESTRUCTURAS 14 EN VUELO EMPLEANDO ELEMENTOS FINITOS Introducción Giro (Turn) Pull up Empuj Asignación d cargas PROCESOS BÁSICOS DE OPERACIÓN DEL PROGRAMA DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES PRINCIPALES Función para armar la matriz d rigidz local Función para armar la matriz d transformación Función para armar la matriz global d toda la structura Función para armar la matriz d rigidz global rstringida Función Gauss Jordan Función d furzas nodals Función d sfurzos ORDEN DE USO DE LAS FUNCIONES FUNCIONES ESPECIALES 11

21 5.1.1 Función d furzas n los planos Función d furza cntrifuga LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN Lnguajs tnidos n cunta Slcción dl lnguaj BASE DE DATOS DE PROPIEDADES DE MATERIALES 15 TUBULARES UTILIZADOS EN AERONAUTICA 6. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS PRUEBA CON ESTUDIANTES Amigabilidad Consistncia Eficincia Efctividad Usabilidad Capacidad d aprndizaj DIAGNÓSTICO DE ERRORES Conclusions diagnóstico d rrors ANÁLISIS DE COSTOS DEL PROYECTO CONCLUSIONES RECOMENDACIONES 143 BIBLIOGRAFIA 144 ANEXOS

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23 LISTA DE FIGURAS pág. Figura 1. Un mimbro con dos furzas 35 Figura. Elmnto armadura bidimnsional 36 Figura 3. Armadura bidimnsional 37 Figura 4.Carga n la viga y dformación dl j nutro 39 Figura 5. Scción transvrsal d la viga y distribución d sfurzo 39 Figura 6. Discrtización dl lmnto finito 4 Figura 7. Carga distribuida sobr un lmnto 47 Figura 8. Condicions d frontra para una viga 48 Figura 9. Soport lástico 49 Figura 1. Elmnto marco 51 Figura 11. Carga distribuida sobr un lmnto d marco 53 Figura 1. Numración d los grados d librtad n un marco 54 tridimnsional. Figura 13. Elmnto tridimnsional d marco n sistmas coordnado 55 Local y global Figura 14. Estructura d un ala 58 Figura 15. Componnts principals d un ala 59 Figura 16. Estructura fuslaj monocasco d hlicóptro 6 Figura 17. Estructura tubular 61 Figura 18. Gavilán G Figura 19. Criqut storch Fi Figura. Fuslaj Criqut Storch Fi Figura 1. Estructura alar dl Criqut Storch 68 Figura. Estructura trn d atrrizaj 68 Figura 3. Aronav Acrolit 1B 69 Figura 4. Construcción fuslaj Acrolit 1B 69 Figura 5. Unidad d cola Acrolit 1B 7 3

24 Figura 6. Construcción structura dl ala Acrolit 1B 7 Figura 7. Fuslaj d acro con soldadura típica 71 Figura 8. Pratt Truss 7 Figura 9. Fuslaj d tubos d acro tipo Warrn Truss 7 Figura 3. Warrn Truss 73 Figura 31. Invrsión d carga n la structura 73 Figura 3. Propidads gométricas scción tubular 74 Figura 33. Estructura Acrolit 75 Figura 34. Mamparos, mimbros d rfurzo y larguros dl Acrolit 75 Figura 35. Esfurzos a tnsión y comprsión 76 Figura 36. Esfurzo cortant 77 Figura 37. Cargas d inrcia n maniobra d giro 8 Figura 38. Cargas d inrcia n Pull Up 81 Figura 39. Diagrama d mtodología MPR 83 Figura 4. Propagación dl rror n un algoritmo numérico 91 Figura 41. Furzas actuants n un viraj coordinado 96 Figura 4. Estructura con rstriccions, furzas y momntos 1 Figura 43. Furzas, momntos mplando dsplazamintos prscritos 1 Figura 44. Dscripción dl rror 14 Figura 45. Diagrama d flujo dl programa 17 4

25 LISTA DE TABLAS Tabla 1. Condicions para funcions d Hrmit 4 Tabla. Composición acro 413N n tubos 63 Tabla 3. Composición química d alacions d aluminio aronáutico 64 Tabla 4. Propidads mcánicas alacions d aluminio aronáutico 64 Tabla 5. Dsplazamintos nodals mpotraminto plano drcho 11 Tabla 6. Dsplazamintos nodals mplando dsplazamintos 1 Prscritos Tabla 7. Datos d matrial 16 Tabla 8. Coordnadas d los nodos 16 Tabla 9. Conctividad d lmntos 16 Tabla 1. Rsultados obtnidos n l jmplo dl libro 17 Por MEF Tabla 11. Rsultados programa ASAT 17 Tabla 1. Comparativo dsplazamintos 18 Tabla 13. Comparativo sfurzos programa Ansys y ASAT 18 Tabla 14. Momntos producidos por l ala 13 Tabla 15. Comparativo dsplazaminto Matlab y ASAT 133 Tabla 16. Porcntaj d difrncia 134 Tabla 17. Dsplazamintos jmplo Tabla 18. Porcntaj difrncia jmplo Tabla 19. Costos totals dl proycto 137 pág 5

26 Tabla. Costos dsarrollo programa ASAT n Java 138 Tabla 1. Costos licncias softwar 138 Tabla. Costos varios 139 Tabla 3. Costo análisis Ansys 139 Tabla 4.Costos análisis n Matlab 14 6

27 INTRODUCCIÓN En Ingniría aronáutica, particularmnt n las áras d disño y construcción d aronavs, l disño alcanza uno d sus dsarrollos más importants. Dbido a los factors d sguridad qu s dbn considrar, las aronavs son máquinas altamnt críticas, sus structuras no pudn sr sobrdimnsionadas dbido al rquriminto d pso mínimo inhrnt n l disño aronáutico. El fuslaj rticular, o fuslaj tubular como s conoc a vcs, s fabrica d tubos d acro soldados, dispustos n forma d tirants sobr cuadrnas o cuadros qu conforman y dan rigidz a la structura. Esta structura s cubr lugo con planchas d madra o planchas mtálicas, o más frcuntmnt con lona, d manra qu adquirn una forma uniform y contornada y transmitan cargas. Es important sñalar qu l matrial xtrno o d cubriminto d stas structuras si añad rsistncia al conjunto. Las cargas son soportadas por los tirants, las diagonals y los cuadros qu constituyn la structura. Las limitacions d la mnt humana son tals qu no pud captar l comportaminto dl compljo mundo qu lo roda n una sola opración global. Por llo, una forma natural d procdr d ingniros, cintíficos incluso conomistas, consist n sparar los sistmas n componnts individuals o lmntos, cuyo comportaminto puda conocrs sin dificultad, para lugo rconstruir l sistma original para studiarlo a partir d dichos componnts. En l campo d la mcánica d sólidos, dmostraron al cominzo d la década d 194 1, qu pudn obtnrs solucions razonablmnt bunas d un problma continuo sustituyndo pquñas porcions dl continuo por una distribución d barras lásticas simpls. Mas tard y n l mismo contxto, otros dmostraron qu s pudn sustituir, las propidads dl continuo d un modo más dircto, asumindo qu las pquñas porcions dl mismo o lmntos s comportan d una cirta forma simplificada. Fu d la posición d analogía dircta, adoptada por los ingniros, d dond nació la xprsión lmnto finito. El siguint paso important fu la utilización dl método d lmntos finitos, por Boing n los años 5 cuando Boing, sguido por otros, usó lmntos triangulars a tnsión para modlar alas d aronavs. 1 En un papr publicado n 194, Courant uso trozos d un polinomio d intrpolación sobr subrgions triangulars para invstigar problmas sobr torsión. 7

28 Por jmplo Cssna mpla l MEF (Método d Elmntos Finitos) para gnrar modlos d sus mpnajs qu l prmitn analizar su comportaminto d acurdo a la orintación qu tnga la carga. No sólo sta hrraminta s aplicada por los grands constructors d aronavs dl mundo, sino también para la validación d aronavs ultralivianas, qu como particularidad spcial, provn una structura tipo tubular, qu n l Método d lmnto finito, s posibl analizar como una armadura (Truss Elmnt). El propósito d st proycto s prsntar l método dl lmnto finito, para l análisis d structuras tubulars n aronavs ultralivianas, como hrraminta d validación d stas. 8

29 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1 ANTECEDENTES Existn n l mrcado gran varidad d programas d lmntos finitos, qu tinn aplicación n varias ramas d la ingniría, tals como Ansys, Cosmos Algor y, visual Nastran, ntr otros. En l sctor aronáutico xistn n l momnto cirtos softwar qu prmitn ralizar varios análisis como vibracions, sfurzos cortants n láminas unidas con rmachs. Por otra part, s ncuntran softwar spcializados n ralizar simulacions d sistmas n aronavs, como l ADAMS AIRCRAFT, l cual s mpla n l análisis d trns d atrrizaj. Al mismo timpo, xist un softwar llamado AIRCRAFT DESIGN (ADI), n l cual s analiza las vibracions qu pudn ocurrir n vulo y d igual manra hacr un análisis d Fluttr. Por otra part, n l curso d sta búsquda s ncuntran softwar básico, disñados y dsarrollados por constructors d aronavs privadas qu prmitn ralizar cálculos d cargas d vulo y sfurzos n vigas alars, como los qu prsnta n su libro l disñador Martín Hollman. En industria local s han dsarrollado aplicacions para análisis d structuras por lmntos finitos; nfocados a la ingniría civil, como l SAAP. Es oportuno ntoncs rcalcar qu n l país no xist un softwar qu prmita l studio d structuras aronáuticas. Esto llva a la ncsidad d dsarrollar un studio para la laboración d un programa qu supla sta falncia. 1. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA En Colombia no s han dsarrollado aplicacions para análisis d structuras por l método d lmntos finitos, nfocado a la Ingniría Aronáutica, spcíficamnt para aronavs con structura tubular. Lo cual llva a la ncsidad d formular l siguint problma; cómo s pudn calcular los sfurzos producidos por cargas d vulo n fas d dspgu, n una aronav d structura tubular d forma rápida y confiabl? 9

30 1.3 JUSTIFICACIÓN En la actualidad, la mayoría d las compañías d manufactura d aronavs, sus dsarrollos d disño, construcción y producción d aronavs, s ralizan bajo las torías d disño aplicadas n softwar, Advancd Aircraft Analysis (AAA), s un jmplo d softwar d aplicación d la toría d construcción y disño d aronavs d Dr. Jan Roskam. Est proycto busca mdiant la toría d lmntos finitos (cálculo matricial), y como hrraminta d aplicación un lnguaj d programación (Visual Basic, Matlab, Visual C++), la intgración d stos, para l cálculo d las structuras tubulars n ultralivianos. Es d vital importancia l dsarrollo d st tipo d programa, fortalcindo así l campo d structuras d aronavs n la carrra d Ingniría Aronáutica d la Univrsidad San Bunavntura. Esta iniciativa srvirá como hrraminta para los studiants d la Univrsidad d San Bunavntura, stimulando y fortalcindo l aprndizaj n structuras aronáuticas. Finalmnt, l implmntar un programa qu analic las structuras d aronavs fabricadas n Colombia, daría confiabilidad a los productos aronáuticos colombianos, impulsado así la industria aronáutica, spcíficamnt n la aviación dportiva qu prsnta un crciminto significativo durant los últimos años, y d sta manra apoyando la crtificación d st tipo d parts por part d la Unidad Administrativa Espcial d Aronáutica Civil. 1.4 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN Objtivo gnral. Dsarrollar un programa para l cálculo d sfurzos n structuras d aronavs d tipo tubular somtido a cargas n vulo Objtivos spcíficos Rcopilar información d structuras d aronavs d tipo ultraliviano. Rcopilar información acrca d las propidads gométricas y d ára d difrnts matrials y sccions mpladas n construcción aronáutica. Dsarrollar un diagrama d flujo qu prmita visualizar l modo d opración d la aplicación. 3

31 Dsarrollar l código d programación, con su rspctivo programa d jcución. Calcular analíticamnt la structura tubular dl avión slccionado. Comparar l cálculo analítico, con l programa dsarrollado, y con l programa d lmntos finitos ANSYS. Hacr l diagnostico d rrors, comparando los trs métodos, para l cálculo d la structura. Hacr las prubas d funcionaminto, dl programa con studiants d octavo smstr. Ralizar análisis d costos dl proycto. Elaborar un manual d usuario. Construir tutorials para facilitar l uso dl programa. 1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES DEL PROYECTO Alcancs. S ralizará l análisis, por Método dl Elmnto Finito para aronavs ultralivianas d structura tubular. S analizaran sólo dos tipos d lmnto, unions sin fricción y soldadura. S analizaran cargas d tipo stática d acurdo a las normas stablcidas para st tipo d aronavs. Podrá rsolvr structuras n trs dimnsions. S ralizará l studio dl ala por sparado d la structura. No s valuará l ala por lmnto finito Limitacions. Para l dsarrollo d st tipo d análisis, s db tnr n cunta qu una structura tubular o cualquir tipo d structura, stán sujta a dos cargas, tomando cada lmnto d la armadura, s analizará qu sta s ncuntra a tnsión o comprsión dircta. Para una armadura s rquir qu todas las cargas y raccions stén aplicadas n los nodos y qu todos los mimbros ntr sí, stén conctados n sus xtrmos por mdio d articulacions sin fricción. El usuario n l momnto d calcular n l programa, dbrá posr los datos con bas n su structura. Tals como, plano(s), dimnsions, lmntos y nodos numrados. 31

32 . MARCO DE REFERENCIA.1 MARCO CONCEPTUAL Cargas d vulo, son aqullas furzas xtrnas qu actúan sobr la aronav, las cuals s dbn a la arodinámica propia d sta, stas son: lift, drag, momnto d pitch, ráfagas y factor d carga (gravdads). Estructura, st término n ingniría s pud rfrir a cualquir objto qu tin la capacidad d soportar y jrcr cargas. En st antproycto considrarmos structuras compustas d parts intrconctadas o mimbros (o barras, o lmntos) Armadura s un tipo d structura la cual solo consta d mimbros sujtos a dos furzas, s dcir, cada lmnto d la armadura sta a tnsión o comprsión dircta. Para una armadura s rquir qu todas las cargas y raccions stén aplicadas n los nodos y qu todos los mimbros ntr si, stén conctados n sus xtrmos por mdio d articulacions sin fricción. El Método d Elmntos Finitos (M.E.F.) s un método numérico, por lo qu s hac rfrncia al cálculo structural, pud sr ntndido como una gnralización d structuras al análisis d sistmas continuos. El principio dl método consist la rducción dl problma con infinitos grados d librtad, n un problma finito n l qu intrvnga un númro finito d variabls asociadas a cirtos puntos caractrísticos (nodos). Las incógnitas dl problma djan d sr funcions matmáticas dl problma cuando, para pasar a sr los valors d dichas funcions n un númro infinito d puntos. En ralidad no s trata d nada nuvo. El cálculo d structuras s fctúa también rstringindo l análisis corrimintos d los nudos d unión. La difrncia striba n qu l análisis dl continuo, la sgmntación n lmntos y la corrcta posición d los nodos. El Método dl Elmnto Finito proporciona también las dflxions d los nodos, mdiant l nsambl d la matriz d rigidz structural para así obtnr los dsplazamintos y postriormnt los sfurzos a los cuals sta somtida la structura. Un lnguaj d programación s una técnica stándar d comunicación qu prmit xprsar las instruccions qu han d sr jcutadas n una computadora. Consist n un conjunto d rglas sintácticas y smánticas qu dfinn un programa informático. 3

33 Aunqu muchas vcs s usa lnguaj d programación y lnguaj informático como si fusn sinónimos, no tin por qué sr así, ya qu los lnguajs informáticos ngloban a los lnguajs d programación y a otros más, como, por jmplo, l HTML. Un lnguaj d programación prmit a un programador spcificar d manra prcisa: sobr qué datos una computadora db oprar, cómo dbn sr stos almacnados y transmitidos y qué accions db tomar bajo una variada gama d circunstancias. Todo sto, a través d un lnguaj qu intnta star rlativamnt próximo al lnguaj humano o natural, tal como sucd con l lnguaj léxico. Un programa scrito n un lnguaj d programación ncsita pasar por un procso d compilación, s dcir, sr traducido al lnguaj d máquina, o sr intrprtado para qu puda sr jcutado por l ordnador. Es por sto ncsario mplar un lnguaj d programación (Visual Basic, Visual C++,) para laborar un programa qu nos prmita la intgración d los concptos mncionados antriormnt para l cálculo d las structuras tubulars mpladas n la construcción d aronavs, tnindo n cunta las normatividads d disño y construcción.. MARCO LEGAL O NORMATIVO Las normatividads d disño y construcción, la cual n nustro país s rig bajo UAEAC (Unidad Administrativa Espcial d Aronáutica Civil) RAC (Rglamnto Aronáutico Colombiano) Parts novna para fabricación d aronavs y part cuarta dl RAC. D acurdo con las normas para las actividads aéras dportivas y rcrativas, subpart Construcción y nsamblaj d Ultralivianos Las aronavs ultralivianas pudn sr construidas por constructors u opradors aficionados bajo su rsponsabilidad y su utilización s rstring a fins rcrativos o dportivos y al ntrnaminto d vulo con l mismo propósito n st tipo d aronav. Cuando s trata d Vhículos Aéros Ultralivianos (Clas II), l constructor podrá acogrs a las normas ASTM F45-4, F79-3 y F95-3, ajustándos a lo prscrito n l apéndic A d ést Capítulo y n st caso, tals Vhículos Aéros Ultralivianos (Clas II) s dnominarán Aronavs Rcrativas Livianas ARL. Y l APENDICE A APÉNDICE A CAPITULO XXV REQUISITOS ESPECIALES PARA LA FABRICACIÓN, ENSAMBLE, PRODUCCIÓN, REGISTRO Y AERONAVEGABILIDAD CONTINUADA PARA VEHÍCULOS AÉREOS ULTRALIVIANOS (CLASE II) VAU O DE AERONAVES RECREATIVAS LIVIANAS ARL. 33

34 S xig: 3.1 Documntación Técnica El fabricant d Vhículos Aéros Ultralivianos (Clas II) VAU, d Aronavs Rcrativas Livianas ARL o sus parts, como apliqu, dbrá disponr d la siguint información para: a)el Disño, 1. Planos n trs vistas d la aronav qu incluya la siguint información gomtría gnral d la aronav: prfils arodinámicos, dimnsions gnrals, rcorridos d las suprficis d control, radio d giro mínimo n tirra. Planos d prfils y pizas dtalladas 3. Sistma para la administración d la documntación d ingniría NOTA: S dbrá mplar un sistma d dibujo stándar d acurdo a normas rconocidas (SAE, DIN o ISO). Esto aplica para los planos d conjunto como para los planos d dspic 4. Cálculos structurals Análisis Dinámico Análisis Estático 5. Espcificacions técnicas arodinámica, stabilidad y control Por otra part s tinn n cunta las normatividads d la FAR-13 d la autoridad Estadounidns FAA (Fdral Aviation Administration)..3 MARCO TEORICO.3.1. Armaduras. Una armadura structural sólo consta d mimbros sujtos a dos furzas, s dcir, cada lmnto d la armadura stá n tnsión o comprsión dircta (figura 1). Para una armadura s rquir qu todas las cargas y raccions stén aplicadas sólo n los nodos y qu todos los mimbros ntr sí, stén conctados n sus xtrmos por mdio d articulacions sin fricción Figura 1. Un mimbro con dos furzas. 34

35 Todo studiant d Ingniría ha analizado armaduras n l curso d stática, mplando l método d los nodos y l método d las sccions. Los antriors métodos s vulvn tdiosos cuando s aplican a grands armaduras structurals státicamnt indtrminadas. Sumándol, qu los dsplazamintos d los nodos no s obtinn fácilmnt. Es n st punto dond, l método dl lmntos finitos s aplicabl tanto a structuras státicamnt dtrminadas como indtrminadas. El método d lmnto finito proporciona también las dflxions d los nodos. La difrncia principal ntr las structuras unidimnsionals y las armaduras s qu los lmntos d una armadura tinn varias orintacions. Para tnr n cunta sas orintacions, s introducn sistmas d coordnadas LOCALES Y GLOBALES Coordnadas locals. Los dos nodos dl lmnto s numran 1 y l sistma local d coordnadas consist n l j x qu sta alinado a lo largo dl lmnto, dl nodo 1 hacia l nodo. Todas las cantidads n l sistma local s dnominan por mdio d primas ( ). Figura Figura. Elmnto armadura bidimnsional n (a) un sistma d coordnadas locals y n (b) un sistma d coordnadas globals Coordnadas Globals. El sistma global d coordnadas x y stá fijo y no dpnd d la orintación dl lmnto. En l sistma coordnada global, cada nodo tin dos grados d librtad (DOF), por sus siglas n inglés (Dgr Of Frdom). En st sistma s adopta; un sistma d numración sistmático: un nodo cuyo númro global s j, tin asociado a él los grados d librtad j-1 y j. 35

36 Admás, los dsplazamintos globals asociados al nodo j son: Como s mustra n la figura 3. Q j 1 y j Figura 3. Armadura bidimnsional. q y q 1 En l sistma d coordnadas local son los dsplazamintos dl lmnto n l sistma d coordnadas local s dnota ntoncs como: q = [ q q ] T 1 (1) El vctor d dsplazaminto dl lmnto n l sistma coordnado global s un vctor d (4x1) d notado por: T q = [ q1qq3q4 ] () La rlación ntr q y q s xplica a continuación, n la figura 5b vmos qu q 1 s igual a la suma d las proyccions q y q 1 sobr l j x ntoncs: q 1 = q1 cosθ + qsnθ (3a) D forma similar q = q3 cosθ + q4snθ (3b) Ahora introducimos los cósnos dirctors l y m, como l =cos θ, y m=snθ. Esos cósnos dirctors son los cósnos d los ángulos qu l j local x forma con los js globals x y y rspctivamnt. Las cuacions 3(a) y 3(b) pudn scribirs d forma matricial como: Dond la matriz L d transformación stá dada por: q = Lq (4) 36

37 l m L = (5) l m.3. Vigas y marcos Las vigas son mimbros usados para soportar cargas transvrsals, los mimbros horizontals largos usados n structuras, ya san d dificios punts o vhículos como también las flchas apoyadas n cojints son algunos jmplos d vigas. A las structuras compljas con mimbros rígidamnt conctados s ls llama marcos y pudn ncontrars n structuras d automóvils y aronavs, así como n mcanismos o máquinas transmisors d furza y moviminto. S considran vigas con sccions transvrsals simétricas rspcto al plano d carga, n la figura s mustra una viga común, también mustra la scció n transvrsal y la distribución d sfurzo por flxión, para dflxions pquñas rcordarmos d la toría lmntal d vigas las siguints cuacions: M σ = y (1) I σ = () E d v dx = M EI (3) Sindo σ l sfurzo normal, la dformación unitaria normal, M l momnto flxiónant n la scción, v s la dflxión dl j cntroidal n la posición x I s l momnto d inrcia d la scción rspcto al j nutro (l j z pasa por l cntroid). 37

38 Figura 4. Carga n la viga y dformación dl j nutro. y P Pm L m k Mk x v v' v' v x Figura 5. Scción transvrsal d la viga y distribución d sfurzo. y y da Ej Nutro y M x z y V Método d la nrgía potncial La nrgía d dformación unitaria n un lmnto d longitud dx s: du Notando qu y da A 1 1 M du = σ dadx = y da dx EI A A s l momnto d inrcia I, tnmos: du 1 M = EI dx 38

39 Cuando s mpla la cuación 3 la nrgía d dformación unitaria n la viga stá dada po r: 1 d v U = EI dx dx L Qudando la nrgía potncia l d la viga como: Π = 1 L d v EI dx dx L pvdx Pmvm Mkvk Sindo p la carga distribuida por unidad d longitud, Pm la carga puntual n l punto m, Mk l momnto dl par aplicado n l punto k, vm s la dflxión n l ' punto m y vk s la pndint n l punto k. m k ' Método d Galrkin Para la formulación d Galrkin, s part dl quilibrio d una longitud lmntal rcordando qu: dv = p (4) dx dm = V (5) dx Cuando combinamos las cuacions 3, 4 y 5, la cuación d quilibrio stá dada por: d dx d v EI = p dx Para una solución aproximada por st método, s busca la solución aproximada v construida con bas n las funcions d forma dl lmnto finito tal qu: L d d v = EI p φ dx (6) dx dx Sindo φ una función arbitraria qu usa las mismas funcions bas qu v. N otamos qu φ s cro dond v tin un valor spcífico, intgrmos por parts l primr término d la cuación 6, dicha intgral s subdivid n intrvalos d a xm, d xm a xk y d xk a L. 39

40 Por consiguint s obtin: L L d v d φ d d v EI dx pφdx + EI φ dx dx dx dx ( d ) v xm d d v + EI x φ d dx L xm d v dφ EI dx dx xk d v dφ EI dx dx S obsrva qu EI s igual al momnto flxionant M d la cuación 3 y dx ( )[ ( )] d EI d v dx dx s igual a la furza cortant V d la cuación 5. Admás, φ y M son cro n los apoyos. En xm l salto d la furza cortant s Pm y n xk, l salto n l momnto flxionant s Mk, ntoncs s obtin: L xk = L L d v d φ EI dx pφdx Pmφm Mk k' = dx dx φ m k (7) Para la formulación d lmntos finitos basada n l método d Galrkin, v y φ s construyn usando las mismas funcions d forma, la cuación 7 s l nunciado principal dl trabajo virtual. Formulación dl lmnto finito La viga s divid n lmntos como s mustra n la figura, cada nodo tin dos grados d librtad, típicamnt los grados d lib rtad d l nodo i son Qi 1 y Q i. El grado d lib rtad Q i 1 s un dsplazaminto transvrsal y Q i s una pndint o una rotación, l vctor Q rprsnta al vc tor d dsplazamintos globals. [ Q, Q,... Q ] T Q = 1. 1 Para un solo lmnto, los grados d librtad locals stán rprsntados por: [ q, q, q q ] T q = 1 3, 4 4

41 Figura 6. Discrtización dl lmnto finito. Qi-1 Q1 Q3 Q5 Q7 Q9 i Qi Q Q4 Q6 Q8 Q q1 1 q3 q v1 v q4 v'1 v' Las funcions d forma para intrpolar v sobr un lmnto stán dadas n términos d ξ d -1 a +1, como s mustra n la figura. Las funcions d forma para lmntos d viga difirn d los analizados con antrioridad. Al implicar valors nodals y pndints nodals, dfinimos funcions d forma d Hrmit, qu satisfacn los valors nodals y rquisitos d continuidad d pndint, cada una d stas funcions d forma son d ordn cúbico y stán rprsntadas por: H i = ai + biξ + ciξ + 3 d ξ i = 1,,3,4 S dbn satisfacr las condicions qu s dan n la siguint tabla: i Tabla 1. Condicions para funcions d Hrmit. ' ' ' H 1 H 1 H H H 3 H H 3 4 ξ = ξ = ' H 4 41

42 Los coficints a i, bi, ci, di pudn obtnrs condicions antriors, tal qu: fácilmnt imponindo las 1 H 1 = (1 ξ ) ( + ξ ) 4 H 1 + = (1 ξ ) ( ξ 4 1 1) H 3 = (1 + ξ ) ( ξ ) 4 (7a) 1 H 4 = (1 + ξ ) ( ξ 1) 4 Las cuacions d forma d Hrmit pudn usars para scribir v n la forma: dv dv v ( ξ ) = H1v1 + H + H 3v + H 4 dξ dξ 1 Las coordnadas s transforman por la rlación: 1 ξ 1+ ξ x 1 + x x + x x = x 1 + x = + 1 ξ Como l = x x 1 s la longitud dl lmnto, ntoncs: l dx = dξ Por la rgla d la cadna dv / dξ = ( dv / dx)( dx / dξ ) s obtin qu: dv l = dξ dv dx ( 8) Notando qu dv / dx valuada n los nodos 1 y s q y q4, rspctivamnt, s tin qu: 4

43 ) ( q H l q H q H l q H v = ξ ond: H= Qu pud notars por: v=hq D l l 4 3 1,,, H H H H (8a) n la nrgía potncial total dl sistma considramos las intgrals como ación E sumatorias sobr las intgrals sobr los lmntos, la nrgía d dform unitaria dl lmnto stá dada por: dx dx v d EI U = 1 (9) D la cuación 8 s obtin: 4 ξ dξ l dx dv dv = y d l dx Lugo, sustituyndo v=hq, s tin como rsultado: v d v d = q d H d d H d l q dx v d T T = 4 16 ξ ξ + + = 3 1, 3, 3 1, 3 l d H d ξ ξ ξ ξ ξ l sustituir ξ d l dx ) / = ( A y lo antrior n la cuación 9, s obtin la siguint xprsión: 43

44 q d l l ξ ξ ξ ) 3 l l simtrica ξ ξ ξ ) 3 ( l l l l EI q U T ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = ( ) 3 (1 8 4 ) 3 1 ( 8 1 n n ía ξ ξ Cada término d la matriz db intgrars. Esto co duc a la rg d dformación unitaria dl lmnto dada por: q q T k 1 = U (1) ond la matriz d rigidz dl lmnto k, qu s simétrica s: D = l l l l l l l l l l l l l EI k (1a) En l dsarrollo basado n l método d Galrkin (Ecuación 7) s obtin qu: q d H d H d v d d EI T 16 φ d l EI dx dx T = 4 ξ ξ ψ (11) Dond: [ ] T ψ ψ ψ ψ ψ = 44

45 Es l conjunto d dsplazamintos virtuals gnralizados sobr l lmnto, v =Hq, y φ = Hψ. La cuación 11 da la misma rigidz dl lmnto qu al intgrar la cuación 1, n qu ψ T k q s l trabajo virtual intrno n un lmnto. Vctor d carga Primro s considran las contribucions d carga d la c arga distribuida p n l lmnto. S asum qu la carga s uniform sobr l lmnto: pl pvdx = 1 1 l Hdξ q Al sustituir l valor d H n las cuacions 7a y 8a intgrando obtnmos: pvdx = l f T q Dond: F = pl pl, 1 pl, pl, 1 T Esta carga quivalnt sobr un lmnto s mustra n la figura. El mismo rsultado s obtin considrando l sgundo término d la cuación 7, para la formulación d Galrkin. Las cargas puntuals P m y M k s toman n cunta fácilmnt introducindo nodos n l punto d aplicación, al introducir la corrspondncia local-global, dl método d la nrgía potncial, obtnindo: 1 = Q T KQ Q T F (1) 45

46 Figura 7. Carga distribuida sobr un lmnto. P 1 L PL/ PL/ 1 PL^/1 PL^/1 Y dl método d Galrkin s obtin, dond ψ = vctor d dsplazamintos virtuals arbitrarios admisibls globals. T T ψ KQ ψ F = (13) Considracions d frontra Cuando spcificamos l valor dl dsplazaminto gnralizado como a para l grado d librtad (gdl) r, sguimos l método d pnalización y agrgamos 1/ C( Q r a) a π y ψ j C( Q a) al lado izquirdo d la formulación d Galrkin y no imponmos rstriccions sobr los grados d librtad. El númro C rprsnta rigidz y s grand n comparación con los términos d rigidz d la viga. Esto nos llva a agrgar rigidz C a K rr y la carga Ca a F r vr figura las cuacions 1 y 13 dan indpndintmnt: QK=F Esas cuacions s rsulvn ahora para obtnr los dsplazamintos nodals. r 46

47 Figura 8. Condicions d frontra para una viga. Ca i i C Grado d librtad = i-1 C a= dsplazaminto gnralizado conocido Ca Grado d Librtad= j Furza cortant y momnto flxionant Usando las furzas d momnto flxionant y furza cortant: d v M = EI dx dm V = y v = Hq dx S obtin l momnto flxiónat y la furza cortant dl lmnto: M EI = ξ l [ 6ξ q + (3ξ 1) l q 6ξq + (3 + 1 l q ] 1 3 ) 4 V = 6EI (q1 + l q q lq l 4 ) Los valors dl momnto flxionant y la furza cortant son para las cargas modladas usando cargas puntuals quivalnts. Dnotando las cargas d quilibrio n los xtrmos dl lmnto como R 1, R, R3 y R 4, s obsrva qu: R R R R pl pl + pl pl 1 1 / l 1 6l q EI 6l 4l 6l l q = 3 l 1 6l 1 6 l q3 6l 6 4 l l l q4 /1 /1 / S v fácilmnt qu l prim r término a la drcha s K q. Notamos también qu l sgundo término tin qu agrgars sólo n lmntos con carga distribuida. En los libros d análisis structural, las cuacions antriors s scribn dirctamnt a partir dl quilibrio dl lmnto. 47

48 El último vctor al lado drcho d la cuación consta d términos qu s llaman raccions d xtrmo fijo. Las furzas cortants n los dos xtrmos dl lmnto son V 1 = R 1 y V = R3 y los momntos flxionants son M 1 = R y M = R 4. Vigas sobr soports lásticos En muchas aplicacions d la ingniría las vigas s apoyan sobr mimbros lásticos. Las flchas o js son soportadas por chumacras o rodamintos, como a su vz las vigas d gran tamaño son soportadas por muros lásticos. Las vigas sobr l sulo forman una clas d aplicacions conocidas como cimntacions d Winklr. S pud considrar qu los cojints d bolas d una sola hilra tinn un nodo n cada posición dond hay un cojint, y s agrga la rigidz d apoyo K B a la posición diagonal dl grado d librtad vrtical. La rigidz rotacional (por momnto) tin qu sr considrada n cojints d rodillos. En cojints anchos y n las cimntacions d Winklr, s mpla rigidz por u nidad d longitud, s, dl mdio qu soporta (figura 9). Sobr la longitud dl soport, sto agrga l siguint término a la nrgía potncial total. Figura 9. Soport Elástico. 1 l sv dx P Chumacra P Kb Soport lastico ls s= rigidz por longitud unitaria En l método d Galrkin, st término s l sv φdx. cuando sustituimos l modlo discrtizado, l término antrior s convirt n: v=hq para 48

49 1 q T s H T Hdxq S rconoc l término d rigidz n la sumatoria antrior: K s sl + 1 T T = s H Hdx = H 1 Hdξ Al intgrar, s obtin: K s = 156 sl l l l 4l 13l 3l 54 13l 156 l 13l 3l l 4l Para lmntos soportados sobr cimntacions lásticas, sta rigidz tin qu agrgars a la rigidz dl lmnto dada por la cuación 1a. La matriz K s s la matriz d rigidz consistnt para la cimntación lástica. Marcos planos S considran structuras planas como mimbros conctados rígidamnt. Dichos mimbros srán similars a las vigas solo qu tndrán prsnts cargas axials y dformacions axials. La figura abajo nos mustra l lmnto d un marco l cual tndrá n cada nodo dos dsplazamintos y una dformación rotacional, l vctor d dsplazaminto nodal sta dado por: Q=[ q q q q q q ] T 1,, 3, 4, 5, 6 49

50 Figura 1. Elmnto d marco. q'5 q'4 x' q4 q6 (q'6) y y' q' q q'1 1 q1 q3 (q'3) x También s dfin un sistma coordnado local o d curpo x, y tal qu x st orintada a lo largo d 1-, con cósnos dirctors l, m (dond l= cos θ, m= snθ). Estos s valúan usando las rlacions dadas para l lmnto armadura, l vctor d dsplazamintos nodals n l sistma local s: [ q', q', q', q, q', q ] T q'= ' 6 Rconocindo qu q ' 3 = q3 y q ' 6 = q6, son rotacions con rspcto al curpo, obtnindo la transformación local-global: q =Lq L = l m m l 1 l m m l 1 5

51 Ahora s obsrva qu ', q', q y q' son como los grados d librtad d vigas, q 3 ' 5 6 mintras qu q' y q' 1 4 son similars a los dsplazamintos d un lmnto barra, Combinando las dos rigidcs y situándolas n las posicions apropiadas, obtnmos la rigidz dl lmnto para un lmnto d marco como: K' EA l = EA l 1EI 3 l 6EI l 1EI 3 l 6EI l 6EI l 4EI l 6EI l EI l EA l EA l 1EI 3 l 6EI l 1EI 3 l 6EI l 6EI l EI l 6EI l 4EI l (13a) S obtin qu la nrgía d dformación unitaria dl lmnto stá dada por: 1 T 1 T T U = q' k' q' = q L k' Lq (14) O n l método d Galrkin, l trabajo virtual intrno dl lmnto s: W T T T =ψ ' k' q' = ψ L k' Lq (15) Dond ψ y ψ ' son dsplazamintos nodals virtuals n sistmas coordnados local y global rspctivamnt. D las cuacions 14 y 15 s rconoc qu la matriz d rigidz dl lmnto n coordnadas globals s: k T = L k' L En la implantación dl programa d lmnto finito, primro pud dfinirs k' y lugo llvars a cabo la multiplicación matricial antrior, si xist una carga distribuida sobr un mimbro, como s mustra n la siguint figura 51