SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4)

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 8 (MODELO 4) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U joyero fabrica dos modelos de aillos. El modelo A se hace co 1 gramo de oro y 1 gramos de plata. El modelo B lleva 1 gramos de oro y 1 gramo de plata. El joyero sólo dispoe de 7 gramos de cada metal y piesa fabricar, al meos, 1 aillos del tipo B que ya tiee ecargados. Sabiedo que el beeficio de u aillo del tipo A es de y del tipo B es de 7, cuátos aillos ha de fabricar de cada tipo para obteer el beeficio máximo y cuál será éste? Solució Llamamos x al úmero de uidades del aillo del tipo A. Llamamos y al úmero de uidades del aillo del tipo B. Para determiar las iecuacioes y la fució Beeficio F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Modelo A Modelo B Total Oro gr Plata gr Pedido míimo 1 Beeficio 7 x+7y Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes: La fució beeficio es B(x,y) = F(x,y) = x + 7y x+1 y 7; 1 x + y 7; x ; y 1; Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible. Iecuacioes : x+1 y 7; 1 x + y 7; x ; y 1 Rectas: x+1 y = 7; 1 x + y = 7; x = ; y = 1. Despejamos y para dibujar mejor las rectas (co dos putos es suficiete para cada ua de ellas), y = -x/(1 ) + ; y = -1 x + 7; x = ; y = 1 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = e y = 1; teemos el puto de corte es A(,1) De x = e y = -x/(1 ) + ; teemos el puto de corte es B(,) De y = -x/(1 ) + e y = -1 x + 7; teemos -x/(1 ) + = -1 x + 7, de dode -x + 7 = - x 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua + 11, es decir sale 1 x = 37, luego x = 3 e y = 3, y el puto de corte es C(3,3) De y = 1 e y = -1 x + 7; teemos 1 = -1 x + 7, de dode 1 x =, luego x = 4 e y = 1, y el puto de corte es D(4,1) Vemos que los vértices del recito so: A(,1); B(,); C(3,3) y D(4,1). Calculemos los valores máximo y míimo de la fució F(x,y) = x + 7y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(,1); B(,); C(3,3) y D(4,1). F(,1) = () + 7(1) = 1; F(,) = () + 7() = 3; F(3,3) = (3) + 7(3) = 3; F(4,1) = (4) + 7(1) = 3; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 3 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(3,3), es decir el beeficio máximo es de 3 y se obtiee haciedo 3 aillos del tipo A y 3 aillos del tipo B. EJERCICIO _A El beeficio de ua empresa, e miles de euros, viee dado por la fució B(x) = - 3x + 1x + 7, x, dode x represeta el gasto e publicidad, e miles de euros. a) ( 7 putos) Calcule el gasto a partir del cual la empresa o obtiee beeficios. b) ( 7 putos) Calcule el valor de x que produce máximo beeficio. Cuáto es ese beeficio? c) ( 7 putos) Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto del beeficio de la empresa. d) ( 7 putos) Represete gráficamete la fució B. Solució Beeficio B(x) = - 3x + 1x + 7, x, dode x represeta el gasto e publicidad, e miles de euros. Calcule el gasto a partir del cual la empresa o obtiee beeficios. Sabemos que la gráfica de B(x) es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ). Por tato os está pidiedo las solucioes (positivas) de B(x) =. De - 3x + 1x + 7 =, teemos 3x -b ± b - 4ac - 1x 7 =, luego x = = a 1 ± ± 1 ± 1 = =, de dode x 1 = (1+1)/ = 4 y x =(1-1)/= = -. Sólo es válida x = 4, pues la otra es egativa. La empresa o obtiee beeficios para el coste de 4 Calcule el valor de x que produce máximo beeficio. Cuáto es ese beeficio? Sabemos que la gráfica de B(x) es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ), y el máximo es la solució de la ecuació B (x) =. B(x) = - 3x + 1x + 7 B (x) = - x + 1 De B (x) =, teemos - x + 1, es decir x = y B(x) = - 3() + 1() + 7 = 187. El máximo beeficio es de 187 y se obtiee para u coste de (c) Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto del beeficio de la empresa. Nos está pidiedo el estudio de la primera derivada B (x). (recordamos que x ) Hemos visto que la solució de B (x) = - x + 1 = es x =. Como B (1) = 114 >, B(x) es creciete e (,). Es decir crece desde coste hasta. Como B () = -3 <, B(x) es decreciete e (,4). Es decir decrece desde coste hasta 4. (d)

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Represete gráficamete la fució B. Ya hemos dicho que la gráfica de B(x) es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ). Su vértice ya lo hemos calculado, era el máximo, es decir el puto V(, 187). Los cortes so (,7), (-,) y (4,). Co estos datos u esbozo de la gráfica de B(x) es: EJERCICIO 3_A Parte I E ua població, dode el 4% so hombres y el resto mujeres, se sabe que el 1% de los hombres y el 8% de las mujeres so imigrates. a) (1 puto) Qué porcetaje de imigrates hay e esta població? b) (1 puto) Si se elige, al azar, u imigrate de esta població, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Solució E ua població, dode el 4% so hombres y el resto mujeres, se sabe que el 1% de los hombres y el 8% de las mujeres so imigrates. a) Qué porcetaje de imigrates hay e esta població? Llamemos H, M, I y I C, a los sucesos siguietes, hombres, "mujeres", "imigrates" y "o imigrates", respectivamete. Además teemos p(h) = 4% = 4, p(i/h) = 1% = 1, p(i/m) = 8% = 8 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Qué porcetaje de imigrates hay e esta població? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea egra (N) es: 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua p(imigrate) = p(i) = p(h).p(i/h) + p(m).p(i/m) = = ' 89. Si se elige, al azar, u imigrate de esta població, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( H I ) p( H).p(I/H ) '4 '1 p(h/i) = = =. p(i) p(i) '89 EJERCICIO 3_A Parte II ( putos) Tomada al azar ua muestra de 9 alumos de u Istituto se ecotró que u tercio habla iglés. Halle, co u ivel de cofiaza del 97%, u itervalo de cofiaza para estimar la proporció de alumos de ese Istituto que habla iglés. Solució - Para la proporció muestral p utilizaremos el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p, que sabemos p q p q sigue ua N(p, ), es decir: p N(p, ), dode q = 1- p (Se cosiderará las muestras de tamaño 3 para poder aplicar el Teorema Cetral del Límite y asegurar la distribució aterior). Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció es: p q p q I(p) = p - z 1 α/.,p + z 1 α/. para estimar p dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Tomada al azar ua muestra de 9 alumos de u Istituto se ecotró que u tercio habla iglés. Halle, co u ivel de cofiaza del 97%, u itervalo de cofiaza para estimar la proporció de alumos de ese Istituto que habla iglés. Datos del problema: p = 1/3; q = 1 - p = 1-1/3 = /3; = 9; ivel de cofiaza = 97% = 97 = 1 - α, de dode α= 3, co la cual α/ = 1 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1-1 = 98, mirado e las tablas de la N(,1) la probabilidad 98 vemos que está e las tablas y correspode a z 1-α/ = 17, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q p q (1/3) (/3) (1/3) (/3) I(p) = p - z 1 α/.,p + z 1 α/. = 1/3 - '17,1/3 + '17 = 9 9 = ( 149, 97). OPCIÓN B EJERCICIO 1_B 1 a) (1 puto) Dadas las matrices F = ( -1 3) y C =, calcule los productos C.F y F.C b) ( putos) Dadas las matrices A =, B = y C =, calcule la matriz X que verifique la ecuació X.A -1 B = C Solució 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua a) (1 puto) Dadas las matrices F = ( -1 3) y C = 1 -, calcule los productos C.F y F.C Teemos que C F = ( -1 3) = Teemos que F C = ( -1 3) = (-9) - b) 1-3 Dadas las matrices A =, B = y C = ecuació X.A -1 B = C 1-1, calcule la matriz X que verifique la -1 Si la matriz A tiee matriz iversa A -1, (podemos pasar de (A I ) mediate trasformacioes elemetales a (I A -1 ) ), podemos multiplicar la expresió matricial X.A -1 B = C por la derecha por la matriz A. De X.A -1 B = C, teemos X.A -1 A B A = C A X.I B A = CA X = B A + C A 1-3 Luego X = B A + C A = = + = EJERCICIO _B Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: a) ( 7 putos) f(x) = (x 3 + 1).e 7x. b) ( 7 putos) g(x) = 3 x.l(x). c) ( 7 putos) h(x) = (x + 1).(x x) (x+1) d) ( 7 putos) i(x) = x - Solució Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: f(x) = (x 3 + 1).e 7x ; g(x) = 3 x.l(x); h(x) = (x + 1).(x x) ; i(x) = Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. / f(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x)+ f(x) g (x); = g(x) (x + 1) x - f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ; (g(x)) ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); ( a x ) = a x.l; ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) =. f(x) f(x) = (x 3 + 1).e 7x f (x) = 3x e 7x + (x 3 + 1) 7 e 7x = e 7x (7x 3 + 3x + 7). g(x) = 3 x.l(x). g (x) = 3 x L(3) L(x) + 3 x (1/x) = 3 x ( L(3) L(x) + (1/x) ) (c) h(x) = (x + 1).(x x) h (x) = x (x x) + (x + 1) (x x) ( x 4 ) (d) i(x) = i (x) = (x + 1) x - (x + 1) (x - ) - (x + 1) x (x - )

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_B ParteI Ua caja cotiee 1 bombillas, de las cuales 4 está fudidas. Se elige, al azar y si reemplazamieto, tres bombillas de esa caja. a) (1 puto) Calcule la probabilidad de que igua de las tres bombillas esté fudida. b) (1 puto) Calcule la probabilidad de que las tres bombillas esté fudidas. Solució Ua caja cotiee 1 bombillas, de las cuales 4 está fudidas. Se elige, al azar y si reemplazamieto, tres bombillas de esa caja. Calcule la probabilidad de que igua de las tres bombillas esté fudida. Sea A 1, A y A 3, los sucesos sacar bombilla fudida la 1ª vez, sacar bombilla fudida la ª vez y sacar bombilla fudida la 3ª vez. Como es si reemplazamieto, o se devuelve, luego dismiuye el úmero cada vez e los sucesos favorables y e los sucesos posibles, a la hora de aplicar la Regla de Laplace. Teemos p(a 1 ) = 4/1, p(a /A 1 ) = 3/11 y p(a 3 /A 1 A ) = /1. Además teemos que p(a 1 C ) = 8/1, p(a C /A 1 C ) = 7/11 y p(a 3 C /A 1 C A ) = /1 p(igua de las tres bombillas esté fudida)= p(a 1 C A C A 3 C )= p(a 1 C ) p(a C /A 1 C ) p(a 3 C /A 1 C A C ) = = (8/1) (7/11) (/1) = 14/ Calcule la probabilidad de que las tres bombillas esté fudidas. p(las tres bombillas esté fudidas) = p(a 1 A A 3 ) = p(a 1 ) p(a /A 1 ) p(a 3 /A 1 A ) = (4/1) (3/11) (/1) = = 1/. EJERCICIO 3_B Parte II El tiempo de utilizació diaria de ordeador etre los empleados de ua empresa sigue ua distribució Normal de media μ y desviació típica 1 horas. a) (1 putos) Ua muestra aleatoria de 4 empleados tiee ua media del tiempo de utilizació de 8 horas diarias. Determie u itervalo de cofiaza, al 9%, para la media del tiempo de utilizació diaria de ordeador. b) ( 7 putos) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra para estimar la media del tiempo de utilizació diaria del ordeador co u error o superior a 7 horas y el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. Solució Sabemos que si teemos ua població co distribució ormal N(µ,) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Tambié sabemos que cuado la població o sigue ua distribució ormal, podemos aplicar el teorema cetral del límite que dice: Si se toma muestras de tamaño > 3 de ua població, co ua distribució cualquiera, media µ y ua desviació típica, la distribució muestral de medias X se aproxima a ua distribució ormal N(µ, ). Sabemos que u parámetro es u valor umérico que describe ua característica de la població (μ, p,, etc. Es decir la media, la proporció, la variaza,.). Sabemos que para la media poblacioal μ el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(μ, ) o X N(μ, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C.(µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1 - α/

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. z 1-α/. De esta fórmula despejado (tamaño de la muestra) teemos = E. El tiempo de utilizació diaria de ordeador etre los empleados de ua empresa sigue ua distribució Normal de media μ y desviació típica 1 horas. Ua muestra aleatoria de 4 empleados tiee ua media del tiempo de utilizació de 8 horas diarias. Determie u itervalo de cofiaza, al 9%, para la media del tiempo de utilizació diaria de ordeador. Datos del problema: = 1 ; = 4; x = 8, ivel de cofiaza 1 α = 9% = 9. Como α = 1-9 = 4, teemos α/ = 4/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1 - = 98. Mirado e las tablas de la N(,1) vemos que la probabilidad 98 o viee e la tabla y que el valor más próximo es 9798 que correspode a z 1-α/ =, por tato el itervalo de cofiaza pedido para µ es: 1' 1' I.C.(μ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = '8 ', '8 + ' ( 4139, 3 389) 4 4 Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra para estimar la media del tiempo de utilizació diaria del ordeador co u error o superior a 7 horas y el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. Datos : = 1 ; Error = E < 7; ivel de cofiaza es 1 α = 9% = 9 y ya hemos visto que correspode a z 1-α/ =, por tato z 1-α/. E uestro caso > E = '.1' '7 = 1 784, por tato el tamaño míimo de la muestra es = 11. 7

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