Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica"

Transcripción

1 Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet ( Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. Escuel de Mtemátic Instituto Tecnológico de Cost Ric 1.1 Introducción Se present quí l fctorizción de polinomios, concentrándose especilmente en fctorizción de polinomios utilizndo ls fórmuls notles y llegndo por medio de ells l fórmul generl pr fctorizr polinomios de grdo dos. Págin 1 de 20 Los polinomios son expresiones lgerics donde se cominn monomios trvés de l dición y sustrcción. Pero, qué cos son los monomios? Pues ien, son expresiones donde se cominn vriles, representds por letrs de nuestro ecedrio y números reles. Sin emrgo, est cominción no es l zr. Pr que se monomio los exponentes de ls vriles deen ser positivos y es el producto quien une vriles y números reles.

2 Según lo que se define nteriormente como monomio, responde: de ls expresiones siguientes cuáles corresponden monomios? 1. 3xy 2. 5x 2 + 3x x 2 y L cominción de dos monomios por dición o sustrcción se le suele llmr inomio. Si se cominn tres monomios por dición o sustrcción se les llm trinomios. Bueno, el sunto de los nomres se puede simplificr si les llmmos simplemente polinomios. Ahor, otr vez responde según l informción nterior: de ls expresiones siguientes cuáles corresponden polinomios? 1. 3z 3 8z + y 2. 5x 2 + 3x x 3y x x x 3 z y 2 8y Págin 2 de 20 Podemos tener polinomios en vris vriles o polinomios en un vrile. Trtremos solmente los polinomios en un vrile. Además, muchs veces pr simplificr el lenguje escrito les ponemos nomres tles como: p(x),q(x),r(x), etcéter, con minúscul y otrs con myúscul: P(x), Q(x), R(x). Ejemplos de lo nterior son: ) P(x) = 5x 2 + 3x 4

3 ) Q(x) = 3x 5 1 c) q(x) = 2x 4 + 3x Por hor nos interes l fctorizción de polinomios de grdo dos. Estudiremos esto por csos. Por cierto, qué signific fctorizr un polinomio? Fctorizr un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llmdos fctores, de tl modo que l multiplicrlos entre sí se oteng el polinomio originl. 1.2 Fctorizción por fctor común Oserv lo que hy en común en l representción siguiente, tom en cuent que ls estrells representn vlores reles: + Págin 3 de 20 L estrell zul se repite en mos sumndos, por lo que podemos escriir l expresión nterior como sigue: + ( )

4 Est visulizción nos yud recordr l propiedd distriutiv de l dición con respecto l multiplicción. L cul estlece que: Vemos otros ejemplos. c + c = ( + )c + L estrell zul se repite, por lo menos, dos veces en cd sumndo, sí podemos representr es expresión, nuevmente por l propiedd distriutiv de l dición con respecto l multiplicción, de l mner siguiente: + ( ) Uno más: + - Págin 4 de 20 Luego tendrímos: + - ( )

5 Ahor, utilizndo l representción simólic del álger, consider que l ilustrción nterior, figur (3) y figur(4), se puede expresr sí: 9x 2 12x 3 = (9 12x)x 2 Esto que hemos estdo hciendo corresponde l fctorizción por fctor común. Ahor respondmos l siguiente pregunt: por qué tmién se cumple que 9x 2 12x 3 = x 2 (9 12x)?. Oservemos hor ls representciones de l figur (5) y l figur (6), dees tener que: 9x 3 12x x 5 = ( 9 12x + 16x 2) x 3 (I) Podrímos entonces tener l regl siguiente: Ejemplos: Fctorizndo por fctor común signific: que dee her un vrile que se repite en todos los sumndos del polinomio y el fctor común será quell vrile común con el menor exponente. Págin 5 de 20 ) y + 6 = ( 2 ) (y) + (3) = ( 2 y + 3) ) = 1 3 (52 ) ( 4 3 ) 1 3 ( ) = 1 3 ( ) c) x(y z) w(z y) = x(z y) w(z y) = (z y)( x w)

6 L fctorizción de polinomios puede relizrse cominndo diferentes tipos de fctorizción. El ejemplo (I) nos permitió fctorizr por fctor común pero, será posile fctorizr el polinomio de grdo dos que se encuentr dentro de los préntesis? L respuest es sí. 1.3 Fctorizción por fórmuls notles o productos notles Antes de seguir delnte recordemos uns fórmuls, que generlmente llmmos fórmuls notles o productos notles. Aplicndo l distriutividd puedes verificr los productos. 1. ( + ) 2 = ( + )( + ) = ( ) 2 = ( )( ) = Continuemos l fctorizción por fórmuls notles o productos notles. Un primer fctorizción que se present en (I) es: P(x) = 9x 3 24x x 5 = ( 9 24x + 16x 2) x 3 Págin 6 de 20 Vimos que corresponde l fctorizción por fctor común, sin emrgo, no es un fctorizción complet. Dentro del préntesis tenemos un trinomio de grdo dos, l cul llmremos R(x) = 9 24x + 16x 2. Éste se prece :

7 pues por lo tnto se tiene que: = ( )( ) R(x) = 9 12x + 16x 2 = 3 2 2(3)(4x) + (4x) 2 R(x) = (3 4x)(3 4x) = (3 4x) 2 Introducción Ahor podemos decir que P(x) = 9x 3 24x x 5 se fctoriz completmente como: P(x) = (3 4x)(3 4x)x 3 Fctorizr utilizndo fórmuls notles o productos notles es en relidd reconocer l form de cd uno de los componentes de un trinomio de grdo dos. Más delnte veremos que estos componentes no están completos por lo que se hce necesrio recurrir otros métodos de fctorizción. Págin 7 de 20 Ejemplos: ) R(x) = 4x 2 4x + 1 = (2x) 2 2(2x)(1) = (2x 1)(2x 1) = (2x 1) 2 ) Q(x) = x 2 22x = x 2 2(x)(11) + (11) 2

8 1.4 Fctorizción por grupción Alguns veces tenemos polinomios que tienen cutro términos, como por ejemplo: Q(x) = 18x x 2 15x 10 El polinomio no tiene fctor común, sin emrgo en lgunos csos, se pueden hcer grupos, en este cso hremos dos grupos: 18x x 2 y 15x 10 entonces podemos relizr pr cd un de ls expresiones un fctorizción por fctor común: sí: 6x 2 (3x + 2) y 5(3x + 2) Q(x) = 6x 2 (3x + 2) 5(3x + 2) = (3x + 2)(6x 2 5) Q ( x) = 6x 2 ( 3x+ 2) 5( 3x+ 2) Págin 8 de 20 Q ( x)= ( 3 x+2) ( 6x 2 5)

9 Entonces como el nomre lo dice, fctorizción por grupción signific hcer grupos, pero ten cuiddo, no es culquier tipo de grupos. Bueno hst quí tenemos un fctorizción pr Q(x). Ahor, l pregunt es si es l fctorizción complet de Q(x), l respuest es no. El fctor de segundo grdo del polinomio es fctorizle, sin emrgo, ntes de ver su fctorizción echemos un mird l propiedd siguiente: 2 2 = ( )( + ) Ést se conoce generlmente como otro de los productos notles o fórmuls notles. Un justificción pr est propiedd se muestr continución. Considere ls representciones siguientes: Págin 9 de 20 Diujemos un cudrdo cuyo ldo mide dentro de un cudrdo donde l medid del ldo es (como lo muestr l figur de l derech) cuy áre es

10 Ahor, si recortmos un cudrdo de ldo, el áre de l figur restnte será 2 2. (8) Así, l juntr ls secciones A y B de tl form que otengmos... B - A - Págin 10 de un rectángulo cuyos ldos tienen medids + y su áre estrá dd por ( + )( ). (9) - A B - +

11 Por último si oservs lo expuesto en ls figurs (8) y (9) podemos concluir: 2 2 = ( + )( ) Otr mner desde el punto de vist lgerico, de visulizr est propiedd es recurriendo l distriutividd, prtiendo de l derech de (II) : (II) ( - ) ( + ) = = 2-2 Ahor, volviendo l polinomio en (10), es decir, Q(x) = (3x + 2)(6x 2 5) tenemos que 6 = ( 6) 2 y 5 = ( 5) 2 entonces: (6x 2 5) = ( 6x) 2 ( 5) 2 = ( 6x 5)( 6x + 5) A l últim fctorizción se le suele llmr fctorizción por diferenci de cudrdos. Podemos ver entonces que l fctorizción complet de Q(x) es: Págin 11 de 20 Q(x) = (3x + 2)( 6x 5)( 6x + 5) 1.5 Fctorizción de un polinomio de segundo grdo en un vrile

12 Hy polinomios que tienen crcterístics prticulres como los de grdo dos, que pueden ser fctorizdos utilizndo otrs técnics demás de ls que y hemos visto. Veremos en est sección dos mners un por inspección y l otr llmd fctorizción por fórmul generl. 1.6 Fctorizción por inspección L fctorizción de un polinomio de segundo grdo en un vrile en el conjunto de los números reles puede relizrse, cundo es posile, utilizndo l inspección, en P(x) = x 2 + x + c y Q(x) = x 2 + x + c, donde,, c representn números reles. Así, se P(x) = x 2 + x + c, con, c R. Note que si desrrollmos el producto P(x) = (x + A)(x + B) = x 2 + (A + B)x + A B, nos llev l regl siguiente: Págin 12 de 20 Si el polinomio P(x) se fctoriz entonces l sum de A y B es igul y el producto de A y B es igul c. Vemos como funcion, ) Se P(x) = x 2 + 7x + 12.

13 Oserve que ls constntes 7 y 12 son positivs, por lo que A y B, son mos positivos. Ls posiiliddes de 7 y 12 son como se muestr en l tl siguiente: 12 A B A+ B Est es nuestr escogenci Por lo tnto P(x) = (x + 4)(x + 3) Págin 13 de 20 ) Se Q(x) = x 2 + 5x 24. Oserve que ls constntes 5 y 24, un es positiv y otr negtiv por lo que: A es positivo y myor que B, el cul dee ser negtivo. Hgmos un tl:

14 24 A B A+ B 6+ ( 4) 8 ( 3) ( ) Est es nuestr escogenci Por lo tnto P(x) = (x + 8)(x 3) c) Se M(x) = x 2 3x 10. Oserve que ls constntes 3 y 10 ms negtivs por lo que: A es positivo y menor que B,en vlor soluto, el cul dee ser negtivo. Hgmos un tl: 10 3 A B B A+ + ( ) ( ) Págin 14 de 20 Est es nuestr escogenci Por lo tnto P(x) = (x + 2)(x 5)

15 d) Se M(x) = x 2 10x Oserve que ls constntes y un es negtiv y otr positiv por lo que: es positivo y menor que, el cul dee ser negtivo. Hgmos un tl: 21 A B A+ B 7+ ( 3) ( ) Por lo tnto M(x) = (x 7)(x 3) Est es nuestr escogenci En generl, relizr l inspección en el cso, P(x) = x 2 + x + c, con,, c R no es práctico, pues consiste en relizr un serie de prues hst encontrr los vlores que corresponden. Este cso no se present quí. Sin emrgo, vmos estudir un procedimiento mucho menos complicdo y que llmremos fctorizción por fórmul generl. Págin 15 de 20

16 1.7 Fctorizción por fórmul generl Estudir l fórmul generl requiere conocer un specto importnte que se relcion con l fctorizción de polinomios. Éste es el Teorem del fctor. Teorem 1.1 (Teorem del Fctor) Se c R y P(x) un polinomio entonces P(c) = 0 si y solo sí (x c) es un fctor de P(x). Un polinomio de grdo dos en form generl es: P(x) = x 2 + x + c, con,, c R. Fctorizrlo implic utilizr lgun de ls fórmuls notles o productos notles que mencionmos nteriormente, sí: ( x 2 + x + c = x 2 + x + c ) [ ( ) = x 2 + 2(x) + c ] ( = x + ) 2 ( ) 2 2 c ( completndo cudrdos Oserve que x + ) 2 ( ) ( ) 2 = x 2 + 2(x) + Págin 16 de 20

17 = = = x + + ( ( x + + ( ) 2 c )( 2 4c x c )( x + x + ( ) 2 4c x 2 4c ) ) 2 c Oserv que l fctorizción de P(x) = x 2 + x + c y está hech, por lo que sus ceros son: x = + 2 4c y x = 2 4c lo cul conocemos como l fórmul generl pr fctorizr un polinomio de grdo dos en el conjunto de los números reles. Formlizndo lo nterior tenemos, Teorem 1.2 Se P(x) = x 2 + x + c, con,, c R y se = 2 4c, llmdo discriminnte, ) Si > 0 entonces P(x) = x 2 + x + c posee dos ceros distintos: x = + 2 4c y por el teorem del fctor se tiene que: ( P(x) = x + )( 2 4c x ) 2 4c. (III) y x = 2 4c Págin 17 de 20

18 ) Si = 0 entonces P(x) posee dos ceros igules, x = y por el teorem del fctor se tiene que: ( P(x) = x )( x ). c) Si < 0 entonces P(x) no posee ceros en el conjunto de los números reles, por lo que no serí posile fctorizrlo en este conjunto. Algunos ejemplos: Fctoriz en el conjunto de los números reles los polinomios siguientes.. P(x) = 3x 2 4x 1 Como = ( 4) 2 4(3)( 1) = 28 entonces tiene dos ceros distintos, ser: Luego P(x) = 3 x = ( 4) (3) x = ( 4) (3) ( x )( = (3) = (3) x ) = (3) = (3). = = y Págin 18 de 20

19 . Q(x) = 4x 2 + 4x + 1 Como = ( 4) 2 4(4)(1) = 0 entonces tiene dos ceros igules, ser: x = (4) 2(4) = 1 2 ( Luego Q(x) = 4 x 1 )( x 1 ) = (2x + 2)(2x + 2). 2 2 c. R(x) = 2x 2 + 2x 6 Como = (2) 2 4( 2)( 6) = 44 entonces no es posile fctorizr R(x) en el conjunto de los números reles. [1] Swokowski,Erl. Cálculo con Geometrí Anlític. Grupo Editoril Ieroméricn. 2d edición. México [2] Spiegel, Murry. Theory nd Prolems of College Alger. McGrw-Hill; 2d edition Págin 19 de 20

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012.

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012. Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIONES LGERIS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIÓN LGERI.- Un epresión lgeric es culquier cominción de números letrs unidos por ls operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división, potenci, (o)

Más detalles

Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( )

Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( ) Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0

Más detalles

Taller de Matemáticas I

Taller de Matemáticas I Tller de Mtemátics I Semn y Tller de Mtemátics I Universidd CNCI de México Tller de Mtemátics I Semn y Temrio. Los números positivos.. Representción de números positivos... Frcciones... Decimles... Porcentjes..4.

Más detalles

POLINOMIO GRADO TERM. INDEP. ORDENAR COMPLETAR 2x-x x 3 8-x 4 x+4x 4 2x-1+x 5

POLINOMIO GRADO TERM. INDEP. ORDENAR COMPLETAR 2x-x x 3 8-x 4 x+4x 4 2x-1+x 5 SECRETARIA DE EDUCACIÓN DE BOGOTÁ D.C. COLEGIO CARLOS ALBÁN HOLGUÍN I.E.D. Resolución de Aproción (SED N 8879 de Dic. 7 de 001 Resolución de Jornd Complet (SED N 08 de Nov. 17 de 01 En sus niveles Preescolr,

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1

TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA Polinomios y frcciones lgerics Tem Polinomios y frcciones lgerics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum y rest de polinomios...- Producto de polinomios...- División de polinomios..-

Más detalles

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333

Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333 Tller de Álger. Dr. Blnc M. Prr UIA Tijun 0. Números reles rect numéric. Números reles son todos los números que representmos en l rect numéric. A cd punto de l rect corresponde un número rel pr cd número

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

2 cuando a y b toman los valores 2 y -1,

2 cuando a y b toman los valores 2 y -1, COLEGIO PEDAGÓGICO DE LOS ANDES TALLER DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS SEGUNDO PERIODO GRADO OCTAVO ALGEBRA...- - LLeenngguuj jjee l llggee ri r iiccoo El lenguje numérico sirve pr epresr operciones en ls

Más detalles

TEMA 3: Expresiones algebraicas. Polinomios. Tema 3: Expresiones algebraicas. Polinomios 1

TEMA 3: Expresiones algebraicas. Polinomios. Tema 3: Expresiones algebraicas. Polinomios 1 TEMA Epresiones lgerics. Polinomios Tem Epresiones lgerics. Polinomios ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum rest de polinomios...- Producto de polinomios...- Potenci de polinomios..-

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Funciones Algebraicas

Funciones Algebraicas 1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida»

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 73 ESO dí. «El que pregunt lo que no se es ignornte un El que no lo pregunt será ignornte tod l vid» E = m c ÍNDICE: MENSAJES OCULTOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más detalles

1. Indicar el lenguaje aceptado por los siguientes autómatas :

1. Indicar el lenguaje aceptado por los siguientes autómatas : Universidd Rey Jun Crlos Grdo en Ingenierí de Computdores Máquins Secuenciles, Autómts y Lengujes Hoj de Prolems: Autómts Finitos Determinists Nivel del ejercicio : ( ) ásico, ( ) medio, ( ) vnzdo.. Indicr

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN) Lortorio Tercero Básico Centro Integrl Empresril por Mdurez CIEM INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN). Identific los elementos que se piden: ) Los términos de 5r +s ) Los términos

Más detalles

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos

Más detalles

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

1. División de polinomios por monomios

1. División de polinomios por monomios 1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que

Más detalles

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 - INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)

Más detalles

Taller 3: material previo

Taller 3: material previo Tller 3: mteril previo El tller 3 está dedido los diferentes modelos de empquetmiento ompto de esfers y prender ontr átomos dentro de l eld unidd. Por ello, ntes de l orrespondiente sesión (dís 20, 21

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción

Más detalles

Multiplicación. Adición. Sustracción

Multiplicación. Adición. Sustracción bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.

Más detalles

ab ab 2 CONCEPTO Conviene recordar algunas definiciones básicas.

ab ab 2 CONCEPTO Conviene recordar algunas definiciones básicas. págin 1 págin CONCEPTO Conviene recordr lguns definiciones ásics. Así como cundo Adlerto se dedic jugr, por ejemplo, el futol, se le llm futolist y cundo cmi de ctividd, por ejemplo l éisol, se le llm

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 1

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 1 págin PRODUCTOS NOTABLES 1.- CONCEPTO Conviene recordr lguns definiciones ásics. Así como cundo Adlerto se dedic jugr, por ejemplo, el futol, se le llm futolist

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida

Aplicaciones de la integral definida MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Aplicciones de l integrl definid Por: Sndr Elvi Pérez L integrl tiene vris plicciones en diferentes áres del conocimiento. En este curso se nlizrán sus funciones

Más detalles

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIO N Productos Notbles ( (b ( (d (e ( REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES Un producto notble (multiplicción es quel que se puede obtener su resultdo sin necesidd

Más detalles

UNIDAD III INECUACIONES

UNIDAD III INECUACIONES Licencitur en Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD III INECUACIONES Elordo por: Ing. Ronny Altuve Rg, Esp. Ciudd Ojed, mrzo de 2017 Universidd Alonso de Ojed s reles Los números que están ordendos

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57 página 58 RESTA DE FRACCIONES RESTA La resta de fracciones está basada, por ser el inverso de la operación suma, en las mismas reglas y leyes de la suma, es

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Universidd Tec Milenio: Preprtori Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Actividd. Ley de exponentes (división). Introducción Y prendiste l multiplicción de expresiones

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1

ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1 ELIPSE. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l sum de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. L elipse

Más detalles

Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes

Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes Módulo 14 Multiplicción de expresiones lgebrics. Exponentes OBJETIVO: Identificr potenci, bse exponente de un expresión lgebric. Multiplicr dividir polinomios. Recordemos lguns definiciones básics. Un

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS.

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS. TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios..

Más detalles

2 Números racionales positivos

2 Números racionales positivos Progrm Inmersión, Verno 0 Nots escrits por Dr. M Nots del cursos. Bsds en los pronturios de MATE 00 y MATE 0 Clse #: miércoles, de junio de 0. Números rcionles positivos. Consceptos básicos del conjunto

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS

NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS Frcción: es un pr ordendo de números nturles con l segund componente distint de cero. (, ) pr ordendo frcción es un frcción N N EQUIVALENCIA DE FRACCIONES * Frcciones diferentes,

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

Circunferencia y elipse

Circunferencia y elipse GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla:

Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla: UNIDD 8: Determinntes. DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = = Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente

Más detalles

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES Productos

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

UNIDAD 8.- Determinantes (tema 2 del libro)

UNIDAD 8.- Determinantes (tema 2 del libro) UNIDD 8.- Determinntes (tem del libro). DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó,

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer emen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, eplicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles