MULTIPLICACIÒN DE NÚMEROS ENTEROS

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1 SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA ADMINISTRACIÓN FEDERAL DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL DISTRITO FEDERAL DIRECCIÓN GENERAL DE OPERACIÓN DE SERVICIOS EDUCATIVOS COORDINACIÓN SECTORIAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA SUBDIRECCIÓN DE OPERACIÓN DEPARTAMENTO DE COORDINACIÓN DE JEFES DE ENSEÑANZA GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE REGULARIZACIÓN MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADO 0 0 Nombre de la escuela : Turno: Nombre del alumno(a) Grupo: Recomendaciones generales: Procura prepararte para tu examen con anticipación, resuelve los ejercicios que se te presentan en esta guía los cuales vienen acompañados de una pequeña explicación, si ésta no es suficiente, auxíliate de tus apuntes y de tu libro de texto. Cuando tengas alguna duda pide ayuda a tu maestro, a algún compañero o bien un familiar que pueda apoyarte para aclararla, como recurso extra te sugiero algunas direcciones electrónicas donde puedes ampliar la información e incluso practicar los contenidos. Es de suma importancia que entregues esta guía resuelta el día del examen MULTIPLICACIÒN DE NÚMEROS ENTEROS Recuerda que si consideramos una recta en la que señalamos un punto 0 como origen. La dividimos hacia la derecha y hacia la izquierda en partes iguales. Cada una de estas partes representa el segmento unidad. Los enteros positivos los situamos a la derecha del origen 0, y los enteros negativos a la izquierda de dicho punto. Origen Número enteros negativos Número enteros positivos Multiplicación de Números Enteros. Para multiplicar dos o más números enteros, aplicamos la regla de los signos., y procedemos a multiplicar los valores absolutos de los factores. Leyes de los signos de la multiplicación: Ejemplos: + por + + más por más igual a más por + menos por menos igual a más + por más por menos igual a menos por + menos por más igual a menos ( + 8 )( + ) + ( + )( ) 0 ( 7 )( + ) ( )( 9 ) + 9 ( )( + ) 0 ( + 9 )( ) Ejercicios Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) ( 9 )( ) e) ( )( ) i) ( )( 0 ) b) ( 7 ) ( 9 ) f) (. ) (. ) j) ( ) ( 8 ) c) ( ) ( ) g) ( 7 ) ( 9 ) k) (. ) ( +. ) d) ( 8 ) ( ) h) ( ) ( ) ( ) l) ( 9 ) ( 7 ) Encuentra el número que falta en cada caso. a. ( 7 )( ) e) ( )( ) 8. b. ( )( ) f) ( 8 )( ) 8 c. ( )( ) 0 g) ( )( ) d. ( )( ) h) ( )( 97 )

2 DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La división es la operación recíproca de la multiplicación donde conociendo el producto de dos factores (dividendo) y uno de ellos (divisor) debemos encontrar el otro factor (cociente) es decir, se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0. Ejemplos: Si se dividen dos números de igual signo el cociente es positivo ( + 8 ) ( + ) + ( ) ( ) + Porque ( + ) ( + ) + 8 Porque ( ) ( + ) Si se dividen dos números de diferente signo el cociente es negativo ( + ) ( ) ( ) ( + ) Porque ( ) ( ) + Porque ( + ) ( ) Leyes de los signos de la división + entre + + entre + + entre entre + Ejemplos: Ejercicio Resuelve las siguientes divisiones de números enteros

3 Ejercicio Completa con los números enteros correspondientes.. ( 7 )(... ) ( 0 )( P.. ) 0. ( 9 )(... ) 8. ( P. )( )( ) 8. (... )( 7 ) 9. ( )( )( )( )( )( ). (... )( ) 0. ( )( )( )( ). ( )(... ). ( )( )( )( )( )( ). ( )(... ) 0. ( )( )( )( )( )( ) Completa con los números enteros correspondientes.. ( ) ( 0 ) ( 8 ) ( ).... ( 9 ) 9. ( 9 ) ( 7 ) ( ).... ( 9 ) 7. ( 9 ) ( ) ( ) Completa las siguientes tablas de productos y cocientes x Los siguientes problemas escríbelos como producto o como cociente de números enteros y resuélvelos:. Marina y Juan pescan juntos en un lago. El anzuelo de Juan se halla a m con respecto al nivel del lago. El anzuelo de Marina se halla sumergido tres veces más que el de Juan. A qué profundidad se halla el anzuelo de Marina?. Ana gasta $ al mes. Cuánto gastará al cabo de meses?. En la tarjeta de débito hay un saldo inicial de $ 00; se cargan retiros de $ 0. Cuál es el nuevo saldo?. El ascensor baja los sótanos de en. Después de tres paradas en su camino descendente, desde la planta baja, en qué sótano está?. Si tuviera el doble de la deuda que tengo, mi saldo sería $ 700. Cuál es el número que figura en mi balance?. Leonor tiene una deuda de $ 7 0 en una tarjeta de crédito, pero un amigo le propone que le presta dinero para liquidar al banco, pero le cobrará 0 pesos por mes de intereses y lo tiene que liquidar en un año. Cuánto pagará de intereses? Cuánto tendrá que pagarle de mensualidad a su amigo con todo e intereses? 7. Las temperaturas de una comunidad de Chihuahua en la semana fueron de: lunes º, martes 9º, miércoles º, jueves º, viernes º, sábado º y domingo º. Cuál fue el promedio de las temperaturas de toda la semana? 8. El área de un rectángulo cuyas medidas son de largo 7m n + m n 9m n 7 y de ancho 9m n 7 7m 7 n 7 es:

4 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual la parte literal, es decir, a aquellos términos que tienen igual la o las literales e iguales exponentes. Por ejemplo: a b es término semejante con a b porque ambos términos tienen la misma parte literal (a b ) x yz es término semejante con x yz porque ambos términos tienen la misma parte literal (x yz) 0.a c no es término semejante con ac porque los exponentes de las literales no son iguales. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan la misma parte literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva la misma parte literal. Ejemplos: x 7x x + x x 9x x xy x y + xy x y + xy x y + Ejercicio Reduce los siguientes términos semejantes: ) a 7a ) 7m 8m ) 8x + 9x ) 8b 8b ) a a ) m 7m 7) 7x + x 8) b 8b 9) 9a a 0) 9m 9m ) m n 7 7m n 7 ) x 8 y x 8 y ) 8d e f + d e f ) 7x 8 y z + 98 x 8 y z ) 9g g ) q 8 + 0q 8 7) 9x y x y 8) c 9c + 8c 9) 0m n + m n 7m n 0) p 7 p 7 0p 7 ) 8x y z x y z + 7x y z ) df 8df + df ) a + 0a 7a ) h 8h h ) a a + a ) p q 7 + p q 7 9p q 7 7) 9bc 9bc + bc 8) 8k x 9k x k x 7) s 7 t + s 7 t s 7 t ) x y x y + 8x y ) 7a b c a b c + 9a b c 7) abc + 9abc + 8abc 8) m n m n + 9m n 9) y + y 9y 70) x + x x ) 7xyz xyz ) 9a b a b ) 9x y 9 x y 7) abc + abc 8) 8m n 8m n 9) d e f d e f + d e f 0) abc abc ) 7f 8 9f 8 ) 7c 9 d 8c 9 d ) m n 9m n + m n ) k x + 9k x 7k x ) 8s 7 t + s 7 t 9s 7 t ) ac + 7ac ac 7) x y 7x y + x y 8) b + 7b b 9) 7gm 8gm 7gm 0) a b c a b c + 7a b c ) 7a 9a a ) hx hx hx ) 9r + r r ) c d e c d e + c d e

5 ADICIÓN ALGEBRAICA x + x + x + x x x + x x 8x + x x Se suman algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes Cuando se suma de forma horizontal se buscan los términos semejantes y se reducen: a + a b a b a b mn 7mn 8m n 9mn + mn + 9m n 8mn mn + m n Cuando se trata de una adición de polinomios, puedes colocar los sumandos uno abajo del otro, procurando que los términos semejantes queden en columna. ( m + m n n ) + ( m m n + n ) + ( m + m n 8n ) m + m n n m m n + n Y se suman algebraicamente los coeficientes m + m n 8n m + m n 9n Ejercicios. Resuelve las siguientes adiciones: a) ( m + 7n ) + ( 8m n ) + ( 7m n ) b) (ab + 8c ) + ( 8ab c + d ) c) (x + ) + ( x + ) +( x + ) + (x + ) d) ( 8a + a b) ( a + a b) e) ( 0a b + c ) ( 8a + b c). Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) x + x A) 8x ( ) x + 7x x B) x y ( ) x 8x + x C) x + y ( ) x + x + x D) x ( ) x + x x E) x + y ( ) x + x 9x F) 9x ( ) x + y x + y G) x + 0y ( ) 8x + y + x + 7y H) x ( ) x + 8x 7y + y I) x ( ) 9y 7x + y + x J) x. Obtén el perímetro de las siguientes figuras

6 . Resuelve las siguientes adiciones algebraicas ) c 7 c + 7c ) k x + k x - 9k x ) 7a 8 0 q 8 + 9q 8 ) p 7 q 7 + 0q 7 ) b + 7a + c ) 7a + 8b a 7) m + 8n 7n 8) x + 7a x 9) y + 8x 7y 0) p q 7 9 p q +7p q 7 ) 9al + ajkl ajkl ) x + 8x 8y ) y z 9x y + y z ) abc + 8bcd 8abc ) x + 8x 9x ) x + x + 8xy 7) p q 7 7p q 7 + 9p q 8) 0s t 9s 7 t + 7s 7 t 9) m + m 9mn 0) 9a + 9b c ) x + y 7x + 7x 8y + 7x y + y x x ) 7ab + ya b 7ya z + ya b ya z ya z + a b 8ab ) 9s t + s t + 8s 7 t s 7 t 0s t 9s 7 t + 7s 7 t ) a b c + 9b c 7 d 9a b c + 8 b c 7 d + b c 7 d ) x y z x y z + x y z x y z x y z + x y z ) a b c a b c a b c + a b c a b c 7) 7h + 9h 7h h h + 8h 8) 7ac + ad + ad + ac 9) 9ab c ab 7ab c + ab ab c + ab 0) bc bc ab bc ab + bc ) 7m + m 7m 8m m 7m + m m ) ( 7a + b 7c ) + ( 9a - b + c ) + ( a + b c ) ) ( 7ab + ac + ad ) + ( 9ab ac ad ) + ( ab ac ad ) ) ( a a + 8a a ) + ( a + a a + a ) + ( 8a a + a a ) ) ( ab abc abcd ) + ( ab abc abcd ) + ( ab + abc abad ) ) a b c + b c 7 d a b c a b c 9b c 7 d + a b c a b c b c 7 d + a b c 7) 7s t s 7 t + 9s t s t s 7 t s t s t + s 7 t + s t 8) a + b c + 8d a 9b 7c + d a + b + c 7d 9a 7b c + 7d 9) 7a b b d b c a b b d + b c 8a b b d + b c 0) x 7y + z + x x + 8y 9z 9x x 9y z x x + y + z + x ) m n n 7 q + r w 8m n n 7 q r w m n n 7 q + r w

7 SUSTRACCIÓN ALGEBRAICA Esta operación se efectúa de igual manera que la adición pero sumando a los términos del minuendo el inverso aditivo de los términos del sustraendo. Inverso aditivo del sustraendo Inverso aditivo del sustraendo m ( 7m ) m 7m m m ( 9m ) m + 9m m Minuendo Sustraendo Minuendo Sustraendo ( c d + cd ) ( c d cd ) ( m 7 n q + 7xy ) ( m 7 + 7n q + xy ) Minuendo Sustraendo Minuendo Sustraendo c d + cd m 7 n q + 7xy c + d + cd Inverso aditivo del sustraendo m 7 7n q xy c d + cd 0m 7 n q + xy Inverso aditivo del sustraendo Ejercicios.- Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8m ( m ) m ( 7m ) ( m + n ) ( m + n ) ( m + n ) ( m n ) ( m n ) ( m + n ) ( 8m n ) ( m n ) ( m + n ) ( m + n ) ( 7m n ) ( m + n ) ( m + n ) ( m n ) ( m + n ) ( m + 8n ).- Resuelve las siguientes sustracciones a) ( m 7mn + n ) ( m mn 7n ) b) ( a ab + b ) ( b ab + a ) c) ( y z + yz ) ( y z yz ) d) ( a 7ab + b ) ( ª + 9ab b ) e) ( x xy + y ) ( y xy + x ) f) ( c d + cd ) ( c d cd ) g) ( 7ab + 8c ) ( 8ab 8c + 7e ) h) ( x + m + z + ) ( x + z + m + 9 ) i) ( 8a + a b) ( a + a b) j) ( x + y + z ) ( 8x + y + z) A ) B) C) D) E) F) G) H) I) J) K) m 9m n m m 0n m n m + 8n m m + n m n m + n m 7n ) c -( 7c ) ) 7ab ( 8ab ) 7) 9ad ( ad ) 0) ad ( ad ) ) 0q 8 -( 9q 8 ) ) 8abc ( 9abc ) 9) xy ( 9xy ) ) 7a ( a ) ) c ( 8c ) ) 0m n ( m n ) 8) 8x y z ( x y z ) ) 8h ( h ) ) p 7 ( 0p 7 ) 7) 7df ( df ) 0) 0a ( a ) ) 9bc ( bc ) ) 8mn ( 7mn ) ) xyz ( 9xyz ) 9) m n ( 9m n ) ) k x ( 9k x ) ) g ( 7g ) 8) x y ( x y ) ) gh ( gh ) ) 8s 7 t ( s 7 t ) 7

8 ) ajkl ( ajkl ) 8) y z ( y z ) ) 9mn ( mn ) ) xyz ( 9xyz ) 7) 9m n ( 9m n ) 0) k x ( 7k x ) ) g ( g ) ) x y ( 9x y ) 9) gh ( 8gh ) ) a ( a ) 9) p q 7 ( 7p q 7 ) ) 8d ( d ) ) 9ab ( 8ab ) 8) ad ( ad ) ) 8ad ( ad ) ) 9q 8 ( q 8 ) 7) abc ( abc ) 0) xy ( xy ) 7) w ( 9w ) 0) 0ab ( 0ab ) ) c ( 9c ) ) m n ( 9m n ) 9) x y z ( 9x y z ) ) h ( 8h ) ) p 7 ( 7p 7 ) 8) df ( 8df ) ) a ( a ) ) ( 7a + b 7c ) ( 9a b + c ) ) ( 9ab ac ad ) ( ab ac ad ) ) ( a + a a + a ) ( 8a a + a a ) ) ( ab abc abcd ) ( ab + abc abcd ) ) ( ab c 9ab - a b c ) ( ab c + ab + 9a b c ) 7) ( 7s t 9s 7 t - s t ) ( 9s t + s 7 t + 8s t ) 8) ( a + 7b - c + 0d ) ( 9a 7b + c d ) 9) ( a b 9b d - b c ) ( 8a b 7b d + 7b c ) 0) ( m n + n 7 q 9r w ) ( m n n 7 q + 8r w ) ) a b c 9b c 7 d + a b c a b c b c 7 d + a b c ) s t s 7 t s t s t + s 7 t + s t ) a + b c + 8d 9a 7b c + 7d ) a b b d + b c 8a b b d + b c ) x 9y z x x + y + z + x ) 8m n n 7 q r w m n n 7 q + r w Resuelve los siguientes problemas de adición y sustracción de monomios y polinomios. Cuál será el perímetro de un rectángulo cuyas medidas son y 7z + y z de largo y 8y 9z. El perímetro de un triángulo equilátero de lado x + x es:. Contesta lo que se te pide x x x + x y + x Cuál es el perímetro de la sala Cuál es el perímetro de la cocina Cuál es el perímetro de la recámara Cuál es el perímetro del baño Cuál es el perímetro del departamento Si al perímetro del departamento se le quita el perímetro de la sala cual sería el perímetro que quedaría y + x 8

9 LEYES DE EXPONENTES Producto de potencias de igual base: ( x ) ( x ) x + x Se suman los exponentes de igual base a b ( a b ) a + b + a b 8 Potencia de potencia ( x ) x ( ) x 8 Se multiplican los exponentes ( a b ) a ( ) b ( ) a 8 b 0 Cociente de potencias de igual base 8 x x 8 x Se restan los exponentes de igual base x Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a 0 0 x 0 ( x ) 0 ( a + b ) 0 a b Todo número distinto de cero elevado a un exponente negativo, es igual a una fracción cuyo numerador es la unidad, y el denominador ese mismo número elevado a ese mismo exponente, pero positivo: m - 8 r ( a + b ) 8 m r ( a+b) Ejercicio Resuelve las siguientes operaciones a 8 b b 7 b m m m m 0 ( ) ( ) x y z ( a b 7 c ) ( ª b c 7 ) 0 ( x y ) (xy) (xy) ( y ) ( x y) ( xyz ) 0 ( x y ) ( y ) ( xy 7 ) ( m n p 7 ) ( a 7 )( a ) ( )( ) ( x ) ( a )( a )( a ) (a b) 7 ( c b ) ( )( )( ) ab a9 b b 0 b 7 8 ( x ) b 7 a a b m m 8x 9 x m 9 z z z z 9 m 7 m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) x y z 8 ( a b - c - ) ( m 8 n 0 o 9 ) 0 x x b b y y ( w ) ( w ) ( w ) ( w ) ( x y z ) ( 7d e f g ) ( h ) ( h ) ( h ) m m n n 8 k k 9 v v 8 g g 9

10 MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Multiplicación de monomios: Se multiplican primero los signos, después los coeficientes y se suman los exponentes de las literales iguales Por ejemplo: ( b ) ( ab ) ( b ) ab Signos ( ) ( + ) ( + ) Coeficientes ( ) ( ) ( ) Literales iguales ( b ) ( b ) ( b ) b ++ b (la ley de los exponentes para la multiplicación dice que se suman) La literal a no tiene otra con la que se multiplique por lo que se queda igual, el resultado es ab Multiplicación de polinomio por monomio ( x bx + b x )( bx ) 8bx + b x b x Se aplica la propiedad distributiva del término bx Se multiplica el primer término por el factor común ( x ) ( bx ) 8bx Se multiplica el segundo término por el factor común ( bx )( bx ) + b x Se multiplica el tercer término por el factor común ( b x) ( bx ) b x Multiplicación de polinomios Así como al multiplicar un polinomio por un monomio aplicaste la propiedad distributiva también para multiplicar polinomios la aplicas, al multiplicar el multiplicando o primer polinomio por cada uno de los términos del multiplicador, acomodando en columnas los términos semejantes para después reducirlos. (a b + c ) (7a 8b c ) o. Multiplicas el primer polinomio o. Multiplicas el primer polinomio por ( 8b ) y Por ( 7a ) ordenas en columnas los términos semejantes a b + c a b + c 7a 8b c 7a 8b c a 8a b + a c a 8a b + a c a b + b 0b c o. Multiplicas el primer polinomio por ( c ) y ordenas en columnas los términos semejantes y sumas algebraicamente las columnas. a b + c 7a 8b c a 8a b + a c a b + b 0b c 8a c + b c 0c 8 a a b + 7a c + b b c 0c 8 Ejercicio Resuelve las siguientes multiplicaciones algebraicas:. ( ab ) ( a b c ) 9. ( x y z ) ( xyz ). ( mn ) ( a b ) 0. ( x ) ( xy ). ( x ) ( x ). ( b ) ( b ). ( m n ) ( m ) ( mn ). ( x ) ( x ) ( x ) ( x ). ( cx c + c x ) ( cx ). ( 0.7 x ) (.xy ) ( xy ) 7. ( w qw + 7q r ) ( qwr q r w ) 8. ( a + b + ab ) ( a + b ) 0

11 . ( d f + d )( d f + 9d ). ( x + 0x )( x + x ). ( df f + d)(d f ). ( 7d + e f )( d + e + f ) 7. ( ab 9ac + 8ad )( ab + ac 7ad ) 8. 7a b c 9 ( 9a b + c ) 9. 9a 7 b d 9 ( ab ac ad ) 0. a ( 8a a + a a ). ( abcd )( ab 7 + ab c ab c d 7 ). a b c ( ab c + ab + 9a b c ). ( s t )( 9s t + s 7 t + 8st ). ( abcd )( 9a 7b + c d ). ( a b c ) ( 8a b 7b d + 7b c ). ( m n 7 q r w ) ( m n n 7 q + r w ) 7. ( r s t w 8 ) ( r s 8 t + t w + 9w ) 8. a + b c 9a 7b c 9. s t s 7 t s t s t + s 7 t + s t 0. a b b d + b 8a b b d + b x + y + z. x 9y z. a b c b c 7 d + a b. a b c b c 7 d + a b a b c 9b c 7 d + a b c Contesta lo que se te pide. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base x xy altura xy A x y + x y A x + x y A x y + xy. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base a ab + b altura ab A a b 0a b + ab A a b 0a b + ab A a b 0a b + ab. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base x x + altura x A x x + x A x x + x A x x + x. Encuentra el volumen de un cubo de x + metros de arista: V x + 9x + 7x + 7 V x + 9x + 7x + 7 V x + 9x + 7x. Encuentra la distancia que recorre un automóvil si su velocidad es x +xy y utiliza un tiempo de x + y ( la fórmula para obtener la distancia es: d vt ). d x + x y + xy d x + xy + xy d x + x y + xy Relaciona las dos columnas colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda al producto de las multiplicaciones ( ) ( x + xy + ) ( x + xy + ) a) x 7x + x ( ) ( x + ) ( x ) b) x x y + xy y ( ) ( x ) ( x x + ) c) x + 7x y + x + x y + xy + ( ) ( a + a a + ) ( a + ) d) a a + ( ) ( x xy + y ) ( x + xy y ) e) x + 7x 0

12 PRODUCTOS NOTABLES Producto de binomios conjugados. Son binomios que se forman por los mismo términos y, difieren en su signo, por ejemplo: ( x + 7 ) ( x 7 ), su producto equivale a: Cuadrado del primer término menos cuadrado del segundo término, es decir, una diferencia de cuadrados. Por ejemplo: ( x + ) ( x ) ( x ) ( ) x ( y + 7 ) ( y 7 ) y 9 Producto de binomios con término común En los binomios encontramos un término que se repite, por ejemplo: ( x + ) ( x 7 ), su producto equivale a: Cuadrado del término común, la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común, el producto de los términos no comunes, es decir, un trinomio cuadrado. Por ejemplo: ( x + ) ( x + ) ( x ) +x ( + ) + ( ) ( ) x + 9x + 0 ( y + ) ( y 7 ) ( y ) + ( y ) ( 7 ) + ( ) ( 7 ) y 0y 7 Binomio al cuadrado ( x + ), su producto equivale a: La suma algebraica del cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término, es decir, un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: ( x + ) ( x ) + ( x ) ( ) + ( ) x + 0x + ( x y ) ( x ) + ( x ) ( y ) + ( y ) x xy + 9y Resuelve los siguientes binomios conjugados: (x ) (x + ) (7m y) (7m + y) (8x ) (8x + ) ( 9 7y ) ( 9 + 7y ) (m 0) (m + 0) Resuelve los siguientes binomios con un término común: ( x 8 ) ( x + ) ( x ) ( x + ) ( 8x ) ( 8x + ) ( x 7 ) ( x + ) ( x + 8 )( x + ) ( m 0 )( m + ) Resuelve los siguientes binomios al cuadrado: ( x 8 ) ( x ) ( 8x ) ( 7 + x ) ( a + b ) ( m 0x ) Resolver los siguientes productos notables.- ( x + ).- ( 7a + b ).- ( ab + xy ).- ( x + y ).- ( 8 a ).- ( x y )

13 7.- ( x x ) 8.- ( a + 0b )( a 0b ) 9.- ( 7x y ) ( 7x + y ) 0.- ( x + )( x + ).- ( x + y ).- ( x y + m )( x y + m ).- ( y )( y ).- ( a 7xy ) ( a 7xy ).- ( x 8y ).- ( y )( y 7 ) 7.- ( x + )( x + ) 8.- ( a + 9 )( a ) 9.- ( x + )( x + ) 0.- ( y + )( y ).- ( x + ).- ( a ).- ( x + 7 ). ( ax by ).- x + 9y.- ( 9x )( 9x + ) 7.- y ( 7a x xa ) abc 9.- ( r s ) 0.- y + x y x ( r s )( r + m 9 ).- x + x x + y x y.- x + y x y 9 9 Resuelve cada uno de los siguientes productos notables e identifica cada caso.. ( x ) A) x-x+9 B) x +x+9 C) x -x-9 D) x -x+9. ( x ) A) x + 0x + B) x 0x + C) x 0x D ) x 0x +. ( 7x + ) A) 9x + 70x + B) 9x 70x + C) 9x + 70x D) 9x + 70x +. ( x + ) A) x + x + 9 B) x + x + 9 C) x + x + 9 D) x + x 9. ( 8x 9 ) A) x x + 8 B) x + x + 8 C) x x 8 D) x + 8. ( x 7 ) A) x 8x 9 B) x 8x + 9 C) x + 8x + 9 D) x 8x ( 0x + ) A) 0x + 0x + B) 00x 0x + C) 00x + 0x + D) 00x + 0x + 8. ( x + ) A) x + x 9 B) x + x + 9 C) x + 0x + 9 D) x + x ( 0x ) A) 00x + 80x + B) 80x 80x + C) 00x + 80x + D) 00x 80x + 0. ( 0x ) A) 90x 0x + B) 900x 0x C) 900x 0x + D) 900x + 0x +. ( x + b ) ( x b ) A) 9x + b B) 9x b C) x 8b D) 9x b. ( 8x + 7 ) ( 8x 7 ) A) x B) x 9 C) x + 9 D) x 9. ( 9x 9 0b ) ( 9x 9 + 0b ) A) 8x 8 0b B) 8x 8 00b C) 8x 9 00b D) 8x 8 +00b. ( 0x b 0 ) ( 0x + b 0 ) A) 00x b 0 B) 00x 0 7b 0 C) 00x 0 +b 0 D) 00x 0 b 0. ( 0.x + 0. b ) ( 0.x 0.b ) A) 0.0x b B).x 0.b C) 0.x + 0.0b D) 0.x 0.0b

14 . ( 0.8x b 0 ) ( 0.8x 8 0.7b 0 ) A).x.9b 0 B) 0.x + 0.9b 0 C) 0.x 8 0.9b 0 D) 0.x 0.9b 0 7. x + b x b 8 8 A) B) C) D) x x x x + b b b b x + b x b A) B) C) D) x x x x + 9 b b 8 9 b 8 8 b ( x + b ) ( x b ) A) 9x 0 b B) 9x 0 + b C) 9x b D) x 0 b 0. ( 7m x h 7 b 0 ) ( 7m x 9 0.h 7 b 0 ) A) 9m x h 9 b 0 B) 9m x h b 0 C) 9m x 9 0.0h 7 b 0 D) 9m x 8 0.0h b 0. ( x + ) ( x + ) A) x 0x + B) x + 0x + C) x + 0x + D) x + x +. ( x + 9 ) ( x + ) A) 9x x + 8 B) 9x + x + 8 C) 9x + x + 8 D) 9x + x +. ( x 9 ) ( x ) A) x 0x + B) x 0x C) x +0x + D) x 0x +. ( 8x ) ( 8x 7 ) A) x 80x + B) x 80x C) x 80x + 0 D) x + 80x +. ( x + ) ( x 0 ) A) x + 0x 0 B) x + 0x + 0 C) x 0x 0 D) x + 0x. ( x + ) ( x 8 ) A) 9x 70x B) 90x 70x C) 9x +70x D) 9x 70x + 7. ( 7x ) ( 7x + 8 ) A) 9x 8 + 9x 0 B) x 8 9x 0 C) 9x 8 9x 0 D) 9x 8 9x ( 0x 0 ) ( 0x + ) A) 00x + 0x + 00 B) 00x 0x 00 C) 0x + 0x 00 D) 00x + 0x ( x 8 8 ) ( x 8 + ) A) x x B) x x 8 8 C) x + x 8 8 D) x x ( x ) ( x 9 8 ) A) x 8 + x 9 + B) x 8 x 9 7 C) x 8 + x D) x 8 + x 9 7. Observa la figura que se presenta continuación: Qué expresión algebraica representa su área? A) A ( x + ) B) A x + C) A ( x + ) D) A ( x + ). Observa la siguiente figura: Qué expresión algebraica representa el área del cuadrado? A) A x + 7x + 9 B) A ( x + 7 ) C) A x + 9 D) A ( x + 7 ) ( x 7 )

15 DIVISIÓN ALGEBRAICA La división de polinomio entre un monomio la puedes encontrar en esta forma: h 0h m h 9 + 9a h 0 Para poderla resolver divides cada término del dividendo entre el término del divisor: Ejercicio Resuelve las siguientes divisiones: m - 7h + 9a h h 0h m h 9 + 9a h 0 0h m 0 h 9 + h a h 0 9a h 0 0 h 0h m h 9 + 9a h 0 x 8x x 9 + x m 9m 9 + 7m 78m 0x y 7 80x y 7 z 9 + 0x y 0 0x y 7 ( 7x 8 x + x ) ( 8x ) ) ( x 8x + x ) (x x) ) ( y + yz 8y ) ( - y ) ) ( x x ) ( x ) ) ( 0r s + 0r s + rs ) ( rs ) ) ( x 9xy + 0y ) ( x y ) ) 8a a 8) a a b b c c 9) m m n n p p 0) a 7a b b c c ) c 9c d d e e 8 f f ) c 9c d d e e 8 f f

16 ) x 7x y y z z 9 ) a b + a a 0 b 7 b 9 ) a b + a a 0 b 7 b 9 7) 7m 8m 7 n n p p 8 8) d e 9d 9 f f 8 g 9 9) 00x x y y z z 9 9 0) m m n n 7 o o p p ) a a b b 9 c c ) q r q r s 7 t s 9 t x y z + 9x z x y ) 8 x z 8 z 9 ) 7 7 a b c 7a b c a 7a b c b c ) m n p 7 0m m n n p p 7m n p 8 ) w x y w y + w 8w 8 y x y 7) 0a 9 b 7 c 90a 0a b c c + 90a 8 b c 8) 8 d e f + d f d 8 e d 8 f e f 9) a b c 9a b a a b 8 8 c b c 9 0) x y z + 9x y x z y x 8 y z ) m n u m n u 8m m n u n u 7 9) a 7 b c 7a a b 8 b c 8 + a b c 0) xy z + x y 8x 7 y z 0x yz ) 9 m n u 8m n u 8m 8m n u n u Relaciona las dos columnas colocando dentro del paréntesis el cociente de las divisiones: axy + bxy a b c d ( ) a) xy ( ) ( a + b + c + d ) ( ) b) a + b a b 8a b a b + a b ( ) a b c) a 9 + a 0 0 a ( ) a + a a a d) a + b ( ) ( 8a 8 a + 80a ) ( 9a ) e) a a + a

17 FACTORIZACIÓN Factor común monomio Debe encontrarse el máximo común divisor de los coeficientes y de las literales, es decir, encontrar el mayor divisor común numérico y elegir la literal común con menor exponente, por ejemplo: x + x x ( x + ) 9x y x y 9x y ( y x ) y, máximo divisor es, 9 y, máximo divisor común es 9, x literal común con menor exponente x y, literales comunes con menor exponente Diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados equivale a un producto de binomios conjugados. Los binomios se forman por los mismo términos y solamente difieren en un signo. Para factorizar se debe encontrar la raíz cuadrada de ambos términos, por ejemplo: x ( x + ) ( x ) y 9 ( y + 7 ) ( y 7 ) Trinomio cuadrado. Un trinomio cuadrado equivale a un producto de binomios con término común. Para factorizar hay que encontrar la raíz cuadrada del término cuadrático y buscar una pareja de números que cumplan con una doble condición, que sumados algebraicamente den el coeficiente del segundo término y multiplicados algebraicamente den el coeficiente del tercer término del trinomio, por ejemplo: ( 8 ) + ( ) suman x( + ) x x x + ( x 8 ) ( x ) x + x + ( x + ) ( x + ) ( 8 ) ( ) multiplican ( ) ( ) Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto equivale a un binomio al cuadrado. Para factorizar hay que encontrar la raíz cuadrada de los término cuadráticos y verificar que el término central del trinomio sea el doble producto de la primera raíz cuadrada por la segunda raíz, por ejemplo: x 0x + ( x ) x + x + ( x + ) ( x )( ) ( x )( ) Ejercicio Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: x + 0x + x m 0m + 0m x 8x x 0x y + y 9x x + x x x Factoriza las siguientes diferencia de cuadrados : 9x 9m a b y 8 9 x m 00 Factoriza los siguientes trinomios cuadrados: x x 0 9m m + x x + 0 x 0x 8 8x + x + x 9x 7 7

18 Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: x x + m 0m + x 8x + 8 x xy + y 9x x + x 0x + 00 Factoriza las siguientes expresiones según corresponda. x + ax a. a ab b. + x x. x 0 + x 0. m + mn n. x + 7ax 0a 7. x 8 + x y y 9. a b a b x + x +. x x 7. x 8 x 80. x y + xy. x y. a. a 7. 9 b 8. m 9. n 0. a. y. a 9. x. 9a b. x 8y. a b 8 c x y 8. a 0 9b 9. x y 0. 00m n 9y. a ab + b. a + ab + b. x x +. y + + y. a 0a +. 9 x + x x + x a a 9. + m + m 0. a + a. a 8 + 8a + 8. a a b + b. x xy + 9y. 9b 0a b + a. + x y + 9x y. + a 0 a 7. 9m 70am + a n 8. a b 9. x 00y 0. a + a. x y + 7xy 8. a + a +. x y z wxyz w. 0b + b 0. x² + x x² 7. 9x² x + 8. x² + x x² x + 0. x² Factoriza sacando el factor común. 0a + 0b + 0c. 9a x 8ax. x + x x. ab a b + ab. 0a + 0a 0a. c + 7b c b 7. xy 8y x + xy 8. b c c + bc 9. mn + 0m n m n 0. a b + a b + a + a b. y + 0y 0y + 0y. hk + hk + h. m + mn mn + m. a b + b c + a b b c. ab + 00a b b c. x y + 0xy + 0x 7. x y + y + xy y 8. 0m n + 00m n 70m n 8

19 JERARQUÍA DE OPERACIONES La jerarquía de las operaciones es el orden que se debe seguir para resolver una operación y garantizar que el resultado es el correcto, dicho orden es: º se resuelven potencias y raíces º se resuelven multiplicaciones y divisiones º se resuelven adiciones y sustracciones Los paréntesis se cuentan independientes de la jerarquización pero si la expresión los contiene se deben resolver primero independientemente de las operaciones indicadas en él (indistintamente del tipo de paréntesis que se usen ( ) redondos, [ ] corchetes o { } llaves, matemáticamente se les da el mismo uso) y posteriormente se seguirá el orden mencionado anteriormente. Por ejemplo: ( ) ( ) ( ) 0 ( + 8 ) + Primero lo del paréntesis ( ) 0 ( ) + Quita paréntesis ( ) 0 + Se aplica la jerarquía de operaciones ( ) x [ y + ( x + y ) x ] y x [ y + x + y x ] y x + y x y + x y x y Ejercicio Resuelve las siguientes operaciones: a) 0 + ( 8 ) b) 0 8 c) 0 ( ) d) ( 0 ) e) 0 ( ) + f ) ( + ) g) ( ) ( + ) h) ( + ) i) ( ) + k) [ ( 7 ) ] l) 0 m) + x n) ( + ) + 0 ñ) 9 + ( ) o) [ + ( ) ] p) ( ) + ( + ) q) [ 0 ( 8 ) ] ( 9 ) r) [ ( + ) ] + ( ) s) [ ( ) ( 9 ) ] [ ( ) ( ) ] 9

20 t) ( 8 ) + ( 7 ) ( 9 + ) ( + 7 ) u) [ ( 0 )][ ( )] v) { 7 + [ ( + + ) ]} w) { + +[ ( + )]} + x) { [ + + ( + 8 ) ] } y) 8 { + 9 [ + ( )] } z) 9 [ 7 ( ) ] ( ) ( ) Coloca en cada caso, los paréntesis en los lugares adecuados para que se cumplan las siguientes igualdades: a) + + b) 8 c) d) ² ² e) f) 9 7 g) ( ). h) [ + ( 8 ) ] Resuelve las siguientes operaciones: a + ( b a ) ( x ) + ( x ) x ( y x ) + y x ( x + x x ) +x x + ( x x ) ( x + y z ) + x ( x y + z ) ( m + n ) ( m n ) + ( 7m n ) n m + [ m ( m + n ) + ( m 7n ) n ] n [ x + ( x + y ) ( x y ) + 7y ] 8x [ c + ( c + d ) d ] + c [ c ( c + d )] + 7d { a + [ 0 0 b ]} + 7b 7x { x + [ y ( x + y ) + x ] y } { 9x + [( y x )]} { x [ ( 9x + y ) x ] y } + 7x ( x + x + )( x ) x + x ( a + b + c - ( a 9b 8c ) ( a + b + c ) ( x y )( x y )( 7x + 9y ) ( x 7x x ) ( x x 8x ) ( x 9x x + ) 0

21 ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA ax + bx + c dx + ex + f Ecuación, igualdad condicionada al valor de una incógnita. Incógnita, es la literal de la expresión que representa una cantidad desconocida, ésto nos permite resolver problemas y encontrar uno o más datos desconocidos. Observa el ejemplo y para ampliar tu información consulta la siguiente página electrónica Ecuaciones_lineales_una_incognita.pdf Ecuaciones de la forma ax + bx + c dx + ex + f x + x + 8 x + x + ) Se agrupan los términos semejantes en un miembro x + x x x + 8 de la ecuación y los independientes en el otro x x ) Se hace una reducción de términos en ambos miembros x ) Se despeja la incógnita para encontrar el valor de x x ) Se comprueba el resultado ( ) + ( ) + 8 ( ) + ( ) Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones ) x + x x + x ) 8 + x x x x + 9 ) y x ) m m + ) x + x + 7 ) x 00 x 7) x + x + 8) x + x + x 9) x + x + 0) x x + x ) x + x ) x + x ) x x + ) 8x x + ) + 7m m + ) 9 8y 7 y 7) z + 9 z + 8) w w + 9) 0h + h 0) b b + 9y ) 8d + b 7d + d + ) 9k + 9 k k k ) c + c 8 7c c ) e 8 + e e 0 + 9e ) g + g ) n + n 8 7) x + 8 x x 7 8) x x 9) h h + 0 h 0) q + 0 q 08 q 00 ) r + 7 8r + r 9 r + r ) t + t ) x 7 x x x ) m 8m + 9 0m. + m ) x x + 8 ) a + 8a 0a + 7) x x + 8) 9y 0 + y

22 ECUACIONES CON PARÉNTESIS. (x + ) x 0 ) Se eliminan los paréntesis realizando las operaciones x x 0 indicadas en cada caso. (en este caso multiplicando) ) Se agrupan las incógnitas en un miembro de la ecuación x + x 0 9 Y en el otro las constantes ) Se realizan las operaciones indicadas en cada miembro 8x ) Se despeja la variable, si el resultado es fraccionario se x Simplifica al máximo. 8 x 0. ) Se comprueba el resultado ( 0. ) ( 0.) 0 Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones ) x + (x + ) 8 ) x + (x + ) 8 ) 7( x ) ( x + 7 ) ) z ( z ) ( z ) z + 8 ) + ( x 7 ) ( x + ) ) ( b + ) + 9 ( b ) + b 7) ( + x ) 8) 0( + x ) 0 9) ( 7 + x ) 0) ( x + ) ( x ) ) ( + x ) ( 0 + x ) ) ( x ) ( x ) ) ( y ) + y ) ( x ) x ) ( x ) + ( x ) 0( x + ) ) ( 8m + ) 8( m ) + 7) ( 8b + 9 ) ( b ) + 8) 8( 8y + ) ( 8x ) + 9) e ( e ) e ( 8e ) + ( e + 9 ) 0) ( 9c + 7 ) ( c ) x x ) + x ( x ) ) ) w ( w 7 ) w ( 9w ) + ( w + ) n n x ) 9f + ( f + 8 ) f + ( f ) ( f 8 ) ) h ( h 0 ) h ( 8 h ) + ( h 8 ) ) z + { 7z + ( z + 9 )} { ( z + ) ( z )} 7) m { m ( m + 0 )} 8 + { ( m + ) + ( 7m + )} 8) 9y + { y + ( y + 9 )} { ( 7y + ) ( 9y + )} 9) ( n ) ( n ) ( n ) + ( n + n ) + 0) ( w ) + ( w + ) ( w + ) ( w ) + 7 ) ( x ) ( x ) ( x ) + ( x x ) ) 0k ( 8k ) 7k ( 9k ) + ( k )

23 SISTEMAS DE ECUACIONES Hay varios métodos para poder resolver los sistemas de ecuaciones simultáneas:.- Por el método de sustitución..- Por el método de reducción..- Por el método de igualación..- Por el método gráfico MÉTODO DE SUSTITUCIÓN a + b 8 PPP.. ( ) a b PPP.. ( ).- Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones. a 8 b PPP.. ( ). Se sustituye ese valor en la otra ecuación y se resuelve la ecuación. a b PPP..( ) 8 b b Ecuación con una sola incógnita 8 b 8 8 b 8 b b b Primer valor.- Este primer valor se sustituye en alguna de las ecuaciones y se resuelve. a + b 8 PPP. ( ) a + 8 a + 8 a Segundo valor.- Se comprueban los valores hallados, en ambas ecuaciones a + b 8 a b Si quedan identidades ( valores iguales en ambos miembros ) los valores encontrados son correctos. Ejercicio Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultaneas 7x + y x + y 0 x + y x + y x y 9 x y x y x y x + y x + y x + y 0 x y x y x + y x 9y 0 x 9y 7x + y x + y 0 x + y x + y x y 9 x y x y x y x y 9 9x y 8 8x + y 0 x 9y 9 y 8x 0 x + 8y 8 x + 7y x + y 98 0x + y x y x + y 9 x + y 7 x + y x + y x y 9x + y 7 x + y x + y 9 x + y x + y 7 x y 9 x + y x y x y

24 MÉTODO POR REDUCCIÓN x + y 8 MMM. ( ) x + y 0 MMM. ( ) Se restan ambas ecuaciones. x + y 8 x y 0 y y y Se sustituyen el valor de y en cualquiera de las ecuaciones Lo haremos en la () x + y 8 PP ( ) x + ( ) 8 x x 0 Respuesta: x 0 y Ejercicios Ahora desarrolla y comprueba los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción: x y x + y x y x + y 8 x + y 9 x y x + y x y 7 x + y 8 x y x + y 8 x + y 8x 9y 77 x + y x + y 7 x y a 7b 0 m + 9n 0m n 9 7a 0b 8b a m 8n 8 m n b + a 9 x 8y m n x y m + n y + x 9 9m + n 9 x + y 7 m n b + c u v 7 x + y p 9q c b 9 8u v 0 x y 8 p q x y r v 7x y 7 7p q 8 x + y 8 7v 8r x y p q x + y 0 9x y 8p q 8 x y x y 7y x 7 p + 9q x + y 7 m n x + y 9 p q x y 7 m + n 8x + y 0p q x 8y

25 MÉTODO POR IGUALACIÓN x y 0 MMM. ( ) x + y MMM. ( ) Se despeja x en () y en () 0+ y () x...() y () x...() Se igualan () y () y se sustituye el valor de y en la 0+ y y Se resuelve la ecuación 0+ 0y 7 y 0 y+ y 7+ 0 y y y En ecuación () se sustituye el valor obtenido de y x +y x + x 0 0 x x Respuesta: x y Ejercicio Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas. x + y x + y 8 x y x + y 8 x + y x y x + y 7 x + y 9 x + y m + n x 8y 7x + y x y m + n x + 0y 9 x y 8 x y u + v x y 0 x y 7 x y 9 9u 8v x y 9x y x y 0x + y d + b x + y 7x + y 8 x y d + b x y x y 7 x y x + y x + y 9 x + y x + y x + y x y x + y x + y 7p q x + y 7 x y x y p + q x + y

26 MÉTODO GRÁFICO Cada ecuación representa una recta y el lugar en donde se cruzan las dos rectas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto son los valores que resuelven las dos ecuaciones. Observa cómo se resuelve de manera gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: x + y 9 0x + y 0 Para graficar una ecuación se recomienda despejar una de las dos variables, y asignarle algunos valores a la que no se despejó. A esto se le llama tabulación. x + y ( ) 0x + y ( ) Se despeja y en ambas ecuaciones: 0 0x y 9 x y Tabulamos ambos despejes: y x y 9 x y x Puntos x y Puntos x y A 0 9 y M 0 y ( 0 ) 0 B 8 y 9 8 N 0 y ( ) 0 C 7 y 9 7 O 8 y ( ) 8 D 0 y P y ( ) + E y 9 + Q y ( ) + Se localiza en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos: Q P M E D A B N C O Solución (, ) El punto de intersección de las dos rectas trazadas es la solución del sistema: x y

27 Es decir que para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos:. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.. Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes.. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.. Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos: Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura ) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura ). Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura ). Ejercicio Ahora grafica los siguientes sistemas de ecuaciones: x + y x + y x y x y 7

28 x y x + y x + y x y x + y x + y 0 x + y 8x + y 0 8

29 x y x + 7y x + y x y 9 x y x + y 7 x + y 9 x y 9

30 Resuelve los siguientes problemas de sistemas de ecuaciones lineales por el método que más se te facilite a) La diferencia de dos números es 9, y la quinta parte de su suma es. Hallar los números. b) En el circo, entradas de adulto y 8 de niño cuestan $ 9.00; y 8 entradas de adulto y de niño cuestan $. Encuentra el precio de una entrada de adulto y una de niño. c) Si la base de un rectángulo disminuye cm y la altura aumenta cm, su área aumentaría cm cuadrados; si la base aumenta cm y la altura disminuye cm, el área permanece constante. Cuál es el área del rectángulo original? d) Se tienen $ 9 en monedas de pesos y de 0 pesos. Si en total hay 7 monedas, cuántas son de pesos y cuántas de 0 pesos? e) El costo de cinco discos compactos de música de igual precio menos $ 0 es igual al costo de tres discos compactos más $ 8. Cuánto cuesta cada disco compacto? f) Ceci compró paletas y dulces por $.00; Héctor paletas y dulces por $.00, Cuánto cuesta cada paleta y cada dulce? g) El cuádruplo de un número es 8 unidades menor que el doble de otro, mientras que el séptuplo del primero es igual al triple del segundo. Cuáles son dichos números? h) Si 8 kg de naranja y kg de papa cuestan $ 8.7, y kg de naranja y kg de papa cuestan $ 8.0, cuál es el precio por kilogramo de cada producto? i) Dos números suman y su diferencia es 99. Qué números son? j) Dos números suman 00 y el mayor es igual a veces el menor, qué números son? k) Pedro tiene $ 0 en billetes de 0 y de 00; si en total tiene billetes, cuántos billetes tiene de cada denominación? l) En un hotel hay 7 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es 9, cuántas habitaciones hay de cada tipo? m) En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas. Si en total en el almacén hay lámparas y 0 bombillas, cuántas lámparas hay de cada tipo? n) En un parque de atracciones subir al carrusel cuesta 0 y subir a la montaña rusa de Batman $ 0. Ana sube un total de 9 veces y gasta $ 0, cuántas veces subió a cada atracción? o) En un corral hay ovejas y gallinas en número de 77 y si contamos las patas obtenemos 7 en total. Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? p) Por dos camisas y dos pantalones pagué $ 0. Mi amigo pagó $ 0 por dos camisas y un pantalón. Cuánto cuestan la camisa y el pantalón? q) Mónica compró paletas y refrescos por $.00; Carlos compró paletas y refrescos por $ 9.00, Cuánto cuesta cada paleta y cada refresco? r) Cinco trajes y sombreros cuestan, $ 800 y, 8 trajes y 9 sombreros $ 9 00 cuál es el precio de un traje y de un sombrero? s) Un hacendado compró vacas y 7 caballos por $ 000. Si más tarde a los mismos precios compró 8 vacas y 9 caballos por $ , cuál es el costo cada vaca y cada caballo? t) En una mañanita 0 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $. Si por 7 entradas de niño y de adulto se pagó $ 8, halla el precio de una entrada de niño y una de adulto. u) Encuentra dos números positivos cuya suma es y su diferencia es. v) Un granjero tiene cierta cantidad de animales, entre gallinas y borregos, de tal manera que al sumar el número de cabezas el resultado es y la suma de las patas es. Cuántas gallinas y cuántos borregos tiene? w) Cuáles serán dos números que sumados dan 0 y restados dan 8? 0

31 ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE Para ver la clasificación de ángulos, consulta la siguiente página De la intersección de dos paralelas y una secante se forman 8 ángulos cuatro internos y cuatro externos, por la posición que guardan las paralelas respecto a la secante se establecen diversas relaciones de igualdad entre ellos, así podemos encontrar: Ángulos opuestos por el vértice, ángulos formados por la prolongación de las mismas rectas, por lo que son iguales, pero se encuentran a ambos lados del vértice. Ángulos suplementarios son los ángulos que al sumarlos dan 80º y pueden encontrarse juntos o separados. Ángulos adyacentes, son los ángulos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados Ángulos correspondientes son ángulos iguales localizados en el mismo lado de la secante, en diferentes paralelas, uno es interno y otro externo. Ángulos alternos, pueden ser internos o externos, son iguales y se localizan en la parte interna o externa de las paralelas uno de un lado y otro lado de la secante. Ángulos colaterales, pueden ser internos o externos son suplementarios y se encuentran en el mismo lado de la secante. Algunos de los ángulos que se han mencionado anteriormente los podemos distinguir a continuación. Si l ll l a) cuatro ángulos internos,, y 7 b) cuatro ángulos externos,,, 8 m c) por su posición es opuesto por el vértice de d) por su posición es correspondiente de 7 8 e) es alterno externo de f) es colateral interno de 7 g) es alterno interno de 7 l l Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos correspondientes alternos internos alternos externos colaterales internos colaterales externos Ejercicio Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:. Cómo se llaman son los ángulos y?. Cómo podemos llamar a los ángulos y?. Son suplementarios los ángulos y?. Son iguales los ángulos y? Por qué?. Son correspondientes los ángulos y 7?. Cómo son los ángulos y? 7. El ángulo es correspondiente al ángulo? 8. Son iguales los ángulos y 8? Por qué? 9. Cómo puedes llamarles a los ángulos y 8? 0. Son alternos internos los ángulos y?

32 Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que hacen falta. a b º R c d e 7º f g h Q º S Cuánto miden los ángulos internos a, c y e del triángulo que aparece en la siguiente ilustración, si el ángulo b mide y el ángulo d mide 0? b a a c e d a c e e a d b En cada una de las siguientes figuras obtén la medida de los ángulos x y y según corresponda

33 SUCESIONES NUMÉRICAS. El conjunto de varios números ordenados con base en una determinada regla constituye una sucesión numérica. Por ejemplo: múltiplos de menores de 0,, 9,,, 8,,, 7 Para descubrir la generalización, fórmula o patrón de una sucesión se tienen que calcular las diferencias que hay entre las cantidades, este se escribirá como el factor constante de la expresión: Por ejemplo:, 8., 8,, 8,, a) El incremento de posición a posición en este caso es como se observa b) Se integra el incremento como factor con n n recuerda que n es la posición Posteriormente se multiplica el factor encontrado por uno que es la primera posición y se revisa si falta o sobra para obtener el primer número de la sucesión. c) Posición uno Si n es entonces ( ) d) Como en la primera posición hay sobran entonces el patrón será n e) Si se va a calcular otra posición que no esté en Si el número que ocupa la posición n es la secuencia se sustituye en el patrón dicho entonces: valor. ( ) El número que ocupa la posición en la sucesión es Ejercicio Encuentra la generalización de cada una de las siguientes sucesiones. Sucesión ), 9,,, 8, P ),, 0,,,, P ),,,,,, P ) 7,,,, 7,, 9, P ), 9,,, 7,, 9,,P )., 7.,.,., 9.,., 7., P 7),,,,,, P 8) 0, 8,,,, 0, P 9), 8,,, 7, 0, P 0), 8,,, 0,, P ) 0,, 0,, 0,, P ) 7,,,,,, P ), 9,,, 9,, P ) 0,,,,,, P ),, 8,, 8,, 8, P ) 0,,, 9,,, 8,P 7)., 8.,.,., 0.,., 8., P 8) 9,,, 8,,, P 9),,,, 7, 7, P 0), 8,,, 9,, P ) 0,, 0,, 0,, P ),,,, 0, 8,, P ) 7, 8, 8, 9, 9, 0, 0,P Generalización

34 ).,.,., 7., 9.,.,., P ), 7, 9, 7, 7, 7, P ) 0, 80, 0, 0, 00, 0, P 7), 0,,,,, P 8) 9,,,, 9, 9, P 9) 77,,,,,,, P 0) 7,,,,,, P ) 8,, 8,, 8,, P ), 8,,, 0,, P ) 9,,, 7,, P ), 8,,, 7, 0, P ), 7,,, 9, P ),,,,,, P Encuentra los 8 primeros términos de la sucesión de cada una de las siguientes generalizaciones: ) n 7 ) n ) n ) n + ) n 7 ) n + 7) n 8) n 9) n 0) n ) n ) 0n + ) n + 9 ) n + ) n ) n + 7) n + 8) n 9) 8n 9 0) n ) 8n + ) n ) 7n ) n ) n + 7 ) n - 0 7) n 8) n + 9) n 7 0) n + ) n ) n 0 ) n ) n 0 ) n ) n 90

35 PORCENTAJES Porcentaje es el tanto por ciento Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de denominador 00, en otras palabras es el número de unidades que se toman de cada cien. Es decir, una expresión como "%" ( por ciento ) es lo mismo que la fracción 00 Ejemplo: 8 % % 0..8 % Cálculo de porcentajes Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento º Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 00. Ejemplo: El 0% de los estudiantes de un colegio, que tiene 0 alumnos, practica deporte. Cuántos estudiantes practican deporte? Para hallar la respuesta multiplicamos 0 por 0 y dividimos el resultado entre 00: Por tanto, el 0% de 0 alumnos 8 alumnos x º Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje. Ejemplo: Observa esta igualdad: 0 0% Para calcular el 0% de 0, basta con multiplicar 0 por 0.: 0 ( 0. ) 8 Como se observa por esta otra manera también da el mismo resultado: el 0% de 0 alumnos 8 alumnos. Ejercicio. Ricardo compró un refrigerador por $ 800 y una lavadora por $ 00. Si por pagar en efectivo le descuentan el %, cuánto pagará por cada artículo?. Si Elena gana $ mensuales y recibe un aumento del 8 % cuál será su nuevo salario?. Calcular el 7 % de 0.. Calcular el 8 % de 0.. Qué porcentaje representa de un total de 0?. Qué porcentaje representa 0 de un total de 8 000? 7. El % de una cantidad es. Calcular dicha cantidad. 8. El. % de una cantidad es. Calcular dicha cantidad.

36 9. En las vacaciones navideñas un hotel ha tenido una ocupación de un 9 %. Si el hotel tiene 7 habitaciones, cuántas se han ocupado? 0. En mi clase hay 0 alumnos. De ellos, hay 8 que vienen al instituto desde otra localidad utilizando el transporte. Qué porcentaje del total de alumnos utilizan transporte?. El. % de los habitantes de mi pueblo son jóvenes entre y 8 años. Si hay 7 personas en este intervalo de edad, cuántos habitantes habrá?. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 00. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?. Una moto cuyo precio era de $ 0 000, cuesta en la actualidad $ 000 más. Cuál es el porcentaje de aumento?. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ , nos hacen un descuento del 7. %. Cuánto hay que pagar por el vehículo?. Al comprar un monitor que cuesta $ 000 nos hacen un descuento del 8 %. Cuánto tenemos que pagar?. Se vende un artículo con una ganancia del % sobre el precio de costo. Si se ha comprado en $ Halla el precio de venta. 7. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha aumentado a $ 800 para ganar al venderlo el 0 %. 8. Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comprado a $ 800, para que tenga un descuento del % sobre el precio de venta? 9. Se vende un objeto perdiendo el 0 % sobre el precio de compra. Halla el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ En una ciudad de 00 habitantes, el 8 % están contentos con la gestión municipal. Cuántos ciudadanos son?. En el estacionamiento de unos grandes almacenes hay 0 coches, de los que el % son blancos. Cuántos coches hay de los otros colores?. Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el % de los $ 00 que ha cobrado. Cuánto dinero recibiré?. Pedro posee el % de las acciones de un negocio. Qué cantidad le corresponde si los beneficios han sido de $ 70 00?. Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos docenas de pasteles y yo me he comido 9. Qué porcentaje del total me he comido?. Una máquina que fabrica tornillos produce un % de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado tornillos defectuosos, cuántas piezas ha fabricado la máquina?. En una clase de 0 alumnos y alumnas, hoy han faltado. Cuál ha sido el porcentaje de ausencias? 7. Un hospital tiene 0 camas ocupadas, lo que representa el 8 % del total. De cuántas camas dispone el hospital? 8. De 7 hombres encuestados solamente 7 declaran saber planchar. Qué porcentaje de hombres reconocen saber planchar? 9. El % de los habitantes de un pueblo tienen menos de 0 años. Cuántos habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 0 años? 0. Cuánto me costará un abrigo de $ 00 si me hacen una rebaja del 0 %?. En una tienda en la que todo está rebajado el % he comprado un pantalón por el que he pagado $ 00. Cuál era el precio antes de la rebaja?. Hoy ha subido el precio del pan el 0 %. Si una barra me ha costado $ 7, cuánto valía ayer?

37 INTERÉS SIMPLE Se denomina interés simple al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que los intereses generados no se capitalizan. El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capitalización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo, es decir es el resultado que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben únicamente al capital inicial. Si depositamos un capital C en un banco durante un año, el banco nos dará una cantidad I, llamada interés, que se obtiene aplicando un porcentaje r%, llamado rédito, a la cantidad C. Si depositamos el capital durante t años, el interés se calculará con la fórmula: I c r t Ejemplo Un capital de $ a un interés del % mensual prestado por meses. 00 I Interés c Capital r rédito ( % ) t Tiempo I I 00 I 000 El interés anual es de $ 000 Vemos que $ 000 corresponde a meses si se quiere saber cuántos intereses es mensual sólo divide entre 000 I I 00 El interés mensual que debe pagarse es de $ 00 Ejercicio Resuelve los siguientes problemas. Calcula el interés que generan $ 00 durante 8 meses al 8 %.. Calcula el interés que generan $ durante días al 9 %.. Calcula el interés que generan $ 000 durante meses al 8. %.. Calcula el interés que generan $ 000 al 0 % en el tiempo transcurrido entre el de abril y el 8 de septiembre.. Calcula el interés que produce un capital de $ 000 con un interés simple del. % durante años.. Calcular el interés que produce un capital de $ 800 colocado a un interés simple del. % durante meses. 7. Calcular el interés que produce un capital de $ 00 a un interés simple del % durante 9 días. 8. Calcular el capital que hay que prestar durante años a un rédito del % para que produzca un interés de $ 0. 7

38 9. Calcular el rédito al que hay que cobrar un capital de $ 8 00 durante años para que produzca un interés de $ Cuántos años hay que prestar un capital de $ 8 00 a un rédito del.7 % para que produzca un interés de $ 88.7?. Calcular el capital que hay que prestar durante 0 meses a un rédito del % para que produzca un interés de $ 9.. Calcular el rédito al que hay que prestar un capital de $ 9 00 durante 8 meses para que produzca un interés de $ 70.. Calcular el interés que produce un capital de $ 0 00 colocado a un interés simple del. % durante días.. Cuántos meses hay que prestar un capital de $ 0 90 a un rédito del % mensual para que produzca un interés de $ 80?. Calcular el interés simple producido por $ durante 90 días a una tasa de interés anual del %.. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, $ 970. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del % anual. Cuál es el capital de dicha cuenta en ese año? 7. Un préstamo de $ se convierte al cabo de un año en 00 pesos. Cuál es la tasa de interés cobrada? 8. Un capital de pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha generado un intereses de 000 pesos. Cuánto tiempo ha estado invertido? 9. Calcula a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 000 pesos invertido durante años a una tasa del % anual. 0. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 000 pesos invertido durante años a una tasa del % anual.. Calcula el interés simple producido por $ durante 90 días a una tasa de interés anual del %.. Si invertimos nuestros ahorros de $ en un banco donde al cabo de 0 días nos devolverán $ 0 00, cuál es el porcentaje de rendimiento obtenido?. Qué capital produce un interés de $ 0, si es invertido durante meses al % de interés mensual?. El administrador general de cierta tienda departamental manufacturera deposita $ 00 en una institución bancaria que paga el 8% de interés simple anual. Cuánto podrá acumular si retira su dinero 8 meses después de haberlo depositado?. Se prestan $ 000 y al cabo de un año, meses y 0 días se reciben $ 00. Calcula el tanto por ciento de interés.. Calcula el interés producido por $ 00 al % anual durante años. Cuánto producirán durante meses? 7. Qué capital produce unos intereses de $ 0 en días al %? 8. Si Federico ha depositado $ 000 y al cabo de años tiene $ 00, qué tipo de interés anual se ha aplicado a ese depósito? 9. Juan ha hecho un deposita de $ 000 en un banco donde el interés anual es del % y lo mantiene durante año y meses. Qué capital final obtendrá? 0. Isabel deposita $ en una cuenta corriente a un plazo fijo de años a un % de interés anual. Cuánto dinero tendrá al final de los cinco años?. Juan pidió un préstamo al banco por valor de $ 000, a pagar en años. Si el banco se lo concedió al. %, cuánto pagará de intereses?. Un banco concede $ a pagar durante 0 años al 7 % de interés simple. A cuánto ascenderán los intereses? 8