Gráfica de una función

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1 CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo la interpretación gráfica de dicho concepto, mediante ejemplos, trataremos de inducir al lector para que lleve a cabo actividades importantes como son las siguientes: A partir de la gráfica de una función f desconocida, obtener información sobre características relevantes de dicha función f. A partir de condiciones impuestas mediante notación simbólica a una función, bosquejar una posible gráfica de dicha función. A partir de la gráfica de f 0 o bien de f 00, obtener información sobre algunas características de la función f. Para el éito de estas actividades se debe tener claridad en los conceptos, en las notaciones simbólicas utilizadas para representarlos en las interpretaciones gráficas asociadas a dichos conceptos. Ejemplo 9.. Bosquejar la gráfica de una función continua f que satisfaga las condiciones siguientes:. f./ D ;!. f./ D 0;!C. f.0/ D 0;. f./ D ;. f./ D ; 6. f 0.0/ no eiste; 7. f 0./ D 0; 8. f 00./ D 0; 9. f 0./ > 0 si. ; 0/.; C/; canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I 0. f 0./ < 0 si.0; /;. f 00./ > 0 si. ; 0/.0; /;. f 00./ < 0 si.; C/. H Una gráfica posible de la función f./ es D f./ Ejemplo 9.. Bosquejar la gráfica de una función continua f./ que satisfaga todas las condiciones siguientes:. f./ D C;!. f./ D ;!C. f. / D 0;. f. / D ;. f./ D 0; 6. f./ D ; 7. f./ D 0; 8. f 0. / no eiste; 9. f 0. / D 0; 0. f 0./ D 0;. f 0./ < 0 si. ; /. ; /;. f 0./ > 0 si. ; /.; C/;. f 00./ < 0 si. ; /. ; /.; C/;. f 00./ > 0 si.; /. H Una posible gráfica de la función f./:

3 9. Interpretación de gráficas símbolos D f./ Ejemplo 9.. En la figura siguiente se muestra la gráfica de la temperatura T como función del tiempo t, en un periodo de dos días de primavera en la ciudad de Monterre, empezando desde las 0 horas del primer día. Conteste lo siguiente:. En qué intervalos de tiempo la razón de cambio T con respecto a t es positiva?. En qué intervalos de tiempo la temperatura está bajando?. En qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba en cuáles hacia abajo?. En qué valores de t se localizan los puntos de infleión cómo los interpreta en términos de la temperatura?. Finalmente, eplique con palabras el comportamiento de la temperatura durante los dos días. T t H

4 Cálculo Diferencial e Integral I. dt dt > 0 en los intervalos de tiempo.6; 8/.0; /.. T decrece en los intervalos.0; 6/,.8; 0/.; 8/.. La gráfica de T es cóncava hacia arriba en los intervalos.0; /.; 6/. La gráfica de T es cóncava hacia abajo en los intervalos.; /.6; 8/.. Los puntos de infleión están en t D, t D en t D 6. En estos puntos la razón de cambio dt pasa de crecer ( 6) a decrecer (). dt. Durante el segundo día, la temperatura tiene el mismo comportamiento (iguales características) que durante el primer día. La temperatura mínima a las seis de la mañana la máima a las seis de la tarde. Ejemplo 9.. Considere la gráfica de la función f : D f./ 0 Determinar el conjunto de D f tales que:. f 0./ > 0, f 0./ D 0, f 0./ < 0.. f 00./ > 0, f 00./ D 0, f 00./ < 0. H. f 0./ > 0 si. ; /. ; 0/ ( ; { f 0./ D 0 si ; 0; ; } ; f 0./ < 0 si. ; / ( 0; ) ; ) ( ) ; C.. f 00./ > 0 si. ; /.; /.; C/; f 00./ D 0 si f ; ; ; g; f 00./ < 0 si. ; /. ; /.; /.

5 9. Interpretación de gráficas símbolos Ejemplo 9.. Suponga que las siguientes son las gráficas de f 0 f 00 para una función f : R! R D f 0./ 0 D f 00./ A partir de las gráficas de f 0 f 00, determine para f : dónde es creciente dónde es decreciente; sus intervalos de concavidad; máimos mínimos relativos puntos de infleión. H. Intervalos de monotonía: La función f es creciente en. ; /,.0; /.; C/. Es decir, f 0./ > 0 en ellos. La función f es decreciente. ; 0/.; /. Es decir, f 0./ < 0 ahí.. Intervalos de concavidad: ( ) ( ) La función f es cóncava hacia arriba en ; en ; C. Es decir, f 00./ > 0 en ellos. ( ) ( La función f es cóncava hacia abajo en ; en ; ). Es decir, f 00./ < 0 ahí.. Máimos mínimos: La función f tiene etremos en D, D 0, D en D. En D en D ha máimos relativos [f./ pasa de creciente a decreciente]. En D 0 en D ha mínimos relativos [f./ pasa de decreciente a creciente].. Puntos de infleión: Ha puntos de infleión en D, D en D pues ahí f 00 cambia de signo (f 00 D 0 en ellos). Ejercicios 9.. Soluciones en la página?? Gráfica de una función sujeta a ciertas condiciones.. Bosquejar la gráfica de una función continua f que satisfaga todas las condiciones siguientes:

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I a. f. / D 0; b. f 0. / D I c. f. / D ; d. f 0. / D 0; e. f./ D ; f. f 0./ D ; g. f.0/ D 0I h. f 0.0/ no eiste; i.!0 f 0./ D C; j. f 0./ < 0 si. ; /I k. f 0./ > 0 si Œ ; C/ f0g; l. f 00./ > 0 si. ; 0/; m. f 00./ < 0 si.0; C/.. Dar un bosquejo de la gráfica de una función f que cumple los requisitos siguientes: a. f./ D ;! b. f./ D 0;! c.! f./ D C; d. f 0./ > 0 para < ; e. f 00./ > 0 para < ; f.! C f./ D 0; g. f.0/ D ; h.! f./ D ; i. f 0./ < 0 para < < ; j. f 00./ < 0 para < < ; k.! C f./ D ; l. f./ D ; m. f 0./ D 0; n. f 0./ < 0 para < < ; o. f 0./ > 0 para > ; p. f 00./ > 0 para < < ; q. f./ D 0; r. f 00./ < 0 para > ; s. f./ D.!C. Dibuje una gráfica de una función f que satisfaga las condiciones siguientes: a.!0 C f./ D ; b.!0 f./ D ; c. f.0/ D ; d.! f./ D C; e.! C f./ D ; f.!c f./ D ; g.! h. f. / D ; f./ D ; i. f 0. / no eiste; j. f 00./ D 0; k. f 00./ < 0 para 0 < < ; ( ) l. f 0 > 0.. Trace una posible gráfica para una función f continua en su dominio:. ; f ; g que satisfaga, f./ D ; f./ D ; f./ D C;! f./ D ;!! f./ D ;

7 7 9. Interpretación de gráficas símbolos 7 f 0./ D 0; f 0./ D 0; f 0./ D 0; f 0./ > 0 si. ; /; f 0./ > 0 si.; / f g; f 0./ < 0 si. ; /; f 0./ < 0 si.; /. Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica, los máimos mínimos locales, absolutos.. Trace una posible gráfica para una función f continua en su dominio: Œ ; C/ f ; g que satisfaga: f. / D ; f./ D ; f./ D ;!! f./ D C;! f./ D ; f 0. / D 0; f 0. / D 0; f 0./ D 0; f 0./ > 0 si. ; / f g; f 0./ < 0 si. ; / f g; f 0./ > 0 si.; /; f 0./ < 0 si.; /. Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica los máimos mínimos locales absolutos. 6. Dar un bosquejo de la gráfica de una función f que cumpla las siguientes condiciones: f 0./ > 0 para. ; /. ; /; f 0./ < 0 para.; C/; tiene asíntota vertical en D ; D es asíntota horizontal de f. Ejercicios 9.. Soluciones en la página?? Interpretar la gráfica de una función.. Considere la siguiente gráfica de la función f

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I 9 8 D f./ 6 6 determine: a. Los puntos donde la derivada no eiste. b. Los puntos donde f 0./ D 0. c. Los intervalos donde f 0./ > 0. d. Los intervalos donde f 0./ < 0. e. Los intervalos donde f 00./ > 0. f. Los intervalos donde f 00./ < 0.. Si la gráfica de f es 7 7 D f./ halle: a. Dominio, raíces, paridad rango. b. Monotonía, máimos mínimos locales absolutos. c. Concavidad puntos de infleión. d. Intervalos donde f 0./ > 0, donde f 0./ < 0, donde f 00./ > 0 donde f 00./ < 0.

9 9 9. Interpretación de gráficas símbolos 9 e. Puntos donde f 0./ D 0 e intervalos donde f./ > 0 donde f./ < 0.. A partir de la gráfica dada de f, cuo dominio es Œ 0:; / D f./ 6 determine: a. Los intervalos de crecimiento los de decrecimiento. b. Los intervalos de concavidad hacia arriba los de concavidad hacia abajo. c. Los máimos mínimos relativos, los máimos mínimos absolutos, los puntos de infleión.. A partir de la gráfica de f D f./ 6 determine el conjunto de puntos del dominio de f que satisfacen: a. f 0./ > 0, f 0./ < 0, f 0./ D 0. b. f 00 > 0, f 00./ < 0, f 00./ D 0. c. f 0./ no eiste.

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I. La figura siguiente muestra la gráfica de la derivada de una función f la cual es continua en todos los reales. D f 0./.; / 0 0.; / A partir de ella, determine: a. Intervalos donde f es creciente o decreciente. b. Puntos críticos de f. c. Etremos relativos de f. d. Concavidad de f. e. Abscisas de los puntos de infleión de f. 6. Sea f la función que tiene la siguiente gráfica D f./ determine:

11 9. Interpretación de gráficas símbolos a. Los intervalos de continuidad los siguientes valores!a f./,!a C f./,!a f./ & f.a/ para a D, a D, a D. b. La clasificación de discontinuidades. En cuáles puntos con qué valores se puede redefinir f./ para convertirla en una función continua en esos puntos? c. Los intervalos donde f 0 > 0, f 0./ < 0 los puntos donde f 0 D 0, o donde no eiste la derivada. 7. Sea f : R! R una función continua en R cua primera derivada f 0 tiene la siguiente gráfica: D f 0./ Determinar dónde la función f es creciente dónde es decreciente. Eplicar además, cómo es la tangente a la gráfica de f en D, D, D & D.

12 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios 9.. Gráfica de una función sujeta a ciertas condiciones, página??.. D f./ D f./ Cóncava hacia arriba en. ; / ( ; ).; /;. cóncava hacia abajo en ( ) ;.; /; en D ha un mínimo local. Es mínimo absoluto; en D ha un máimo local; no tiene máimos absolutos.. D f./ D f./. D D D D f./ Cóncava hacia arriba en.; C:/; ( cóncava hacia abajo en máimo local en D ; ( ) ;,.0; / ; ), en. ; 0/; que es mínimo abso- mínimo local en D luto.

13 9. Interpretación de gráficas símbolos 6. Ejercicios 9.. Interpretar la gráfica de una función, página??. a. D & D ; b. D 0 & D ; c. f 0 > 0:.0; /.; /; d. f 0 < 0:. ; /,. ; 0/.; C/; e. f 00 > 0:. ; /; f. f 00 < 0:. ; /.; C/.. a. D f D. ; ; raíces: D 7, D 0 & D ; no es par ni impar; R f D. ; ; ( ) 7 b. creciente en. ; / en ; ; ( decreciente en ; 7 ) ; máimo local en. ; /, es máimo absoluto; ( ) 7 mínimo local en ; ; no tiene mínimo absoluto; c. cóncava hacia arriba en. ; 0/ en.; /; cóncava hacia abajo en. ;.0; /; / en. ; /,.0; 0/.; / son puntos de infleión; ( ) 7 d. f 0./ > 0 en. ; / en ; ; ( f 0./ < 0 en. ; 0/ en 0; 7 ) ; f 00./ > 0 en. ; 0/ en.; /; f 00./ < 0 en. ; / en.0; /; e. f ( 0./ ) D 0 en. ; /, en.0; 0/ en 7 ; ; f./ > 0 en. 7; 0/; f./ < 0 en. ; 7/ en.0; /.. a. Creciente en Œ 0:; 0 ; Œ; ; Œ; en Œ6; C/; decreciente en Œ0; ; Œ; en Œ; 6 ; b. cóncava hacia arriba en Œ0:; en Œ:; :/; cóncava hacia abajo en Œ 0:; 0: ; Œ; : ; Œ:; 6 Œ6; C/; c. máimos relativos:.0; / ;.; /.; / mínimos relativos:. 0:; /;.; 0/ ;.; /.6; /; no tiene máimo absoluto el mínimo absoluto es.; 0/; puntos de infleión:.0:; /;.; /;.:; /.:; :/.. a. f 0./ > 0 en. ; /.; /; f 0./ < 0 en. ; /. ; /. ; /. ; /.; C/; f 0./ D 0 si D ; o bien ; b. f 00 > 0 en. ; f 00 < 0 en. ; /. ; /.0; /.; C/; /. ; 0/; f 00 D 0 si D o bien D 0; c. en D ; & no eiste la derivada.. a. Creciente en. ; /,.0; / en.:; /; decreciente en. ; 0/,.; :/ en.; C/;

14 Cálculo Diferencial e Integral I b. puntos críticos: D 0 & D :; c. mínimo local estricto: D 0 & D :; d. cóncava hacia arriba: en. ; /,. ; /,.; / en.; C/; e. no tiene puntos de infleión. 6. a. La función es continua en. ; / Œ ; /.; /.; C/ I!!!!!! f./ D ; f./ D ;! C f./ no eiste; f. / D ; f./ D ; f./ D ;! C f./ no eiste; f./ no está definido; f./ D ; f./ D ;! C f./ D ; f./ D ; b. en D se tiene una discontinuidad de salto; en D se tiene una discontinuidad esencial infinita; en D se tiene una discontinuidad removible; si redefinimos f./ D, la función se hace continua en este punto; c. f 0./ < 0 en. ; /,. ; / en.; /; f 0./ > 0 en. ; / en.; C/ f g; f 0./ D 0 en D ; f 0./ no eiste en D en D., D, D ni 7. Creciente en. ; /. ; /.; C/; decreciente en. ; /; en D ha tangente vertical; en D ha tangente horizontal un máimo local; en D la tangente es horizontal ha un mínimo local; en D la tangente no eiste. La gráfica tiene una discontinuidad de salto.

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