FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 5. VOLUMEN
|
|
- María Nieves Agüero Ojeda
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 5. VOLUMEN Grdo 11 Tller # 5 Nivel I M. C. ESCHER Un de ls obrs más conocids del rtist gráfico holndés M. Escher es l litogrfí Mnos que dibujn (1948). Representn un pr de mnos, cd un de ls cules dibuj l otr sobre un mism hoj de ppel que su vez está sujet con tchuels l tblero de dibujo. L litogrfí contiene vrios elementos prdójicos: el primero que slt l vist es el círculo vicioso utorreferente de l mno que dibuj l otr y l vez es dibujd por ést. Pero tmbién represent un ntigu contrdicción rtístic, cul es el conflicto entre l bidimensionlidd del dibujo figurtivo y l tridimensionlidd del mundo representdo. En este sentido, se puede interpretr Mnos que dibujn como un metdibujo que reformul dicho conflicto y l vez l ntiguo forismo de que el rtist se retrt si mismo. En mnos que dibujn y otrs obrs. Escher dice clrmente que el dibujo es un form de ilusión. Sin embrgo. Escher ejecut l impostur con un lógic visul tl, que quien l contempl es incpz de sustrerse sus efectos contrdictorios muchos grbdos de Escher precen prdojs lógics de construcción forml. Aprentn estr cimentds en premiss (imágenes) verdders bsds en un rzonmiento (composición) correcto, pero conducen conclusiones contrdictoris ( mundos imposibles). Escher desrrolló su interés por ls prdojs en muchs direcciones un de ls más importntes se bs en el ejemplo de dibujos periódicos llmdos trces L trces pln consiste en l división de un superficie bidimensionl medinte un motivo periódico en form de escque o mosico. Escher intentó un dibujo bsdo en l división espcil periódic del plno en 196. trs un breve visit l Almbr. L ciuddel morisc de Grnd. En Espñ. Pero fue sólo en 196, trs un prolongdo vije Grnd, que se bocó similr ls leyes y técnics del trcedo. Durnte ese vije, con yud de su espos, relizó vris copis de los trcedos morisco que cubrín los muros de l Almbr. Pero estos dibujos ern bstrctos, porque el Islm prohíbe el rte figurtivo en los edificios públicos y religiosos: con todo. Escher quedó fscindo por esos diseños y por l posibilidd de relizr trcedos figurtivos, lgo que ningún rtist. Fuese moro o de otr cultur, hbí intentdo nteriormente. Escher que no hbí estudido mtemátic, procedió inventr ls norms básics del trcedo de un superficie pln y que incluín, según resultó. Los principios generles de l cristlogrfí, disciplin que estudi l estructur y formción de cristles. EL PROBLEMA DE LA MOSCA Y LA ARAÑA L myor prte de nosotros hemos prendido que l rect es l distnci más cort entre dos puntos. Aplicd l tierr en que vivimos, est firmción es l vez inútil y fls. Los mtemáticos del siglo XIX Riemnn y Lobtchevsky, sbín que, en cso de ser ciert, es firmción podí, lo sumo, plicrse úniente superficies especiles. No puede utilizrse en un superficie esféric, en l cul l distnci más cort entre dos puntos es un rco de círculo máximo. Ddo que l form de l tierr es, proximdmente l de un esfer, l distnci más cort entre dos puntos culesquier de l superficie terrestre nunc es un líne rect, sino l porción de rco de círculo máximo. Sin embrgo, pr fines prácticos, incluso en l superficie de l tierr, l distnci más cort entre dos puntos se represent por un líne rect. Quiero decir que, pr medir distncis 1
2 ordinris con cints métrics, metálics o de mder, el principio es sustncilmente correcto. Pero en cunto ls distncis excedn uno centenres de metros, no puede uno permitirse el lujo de menosprecir l curvtur de l tierr l determinción de un geodésic es muy difícil en superficies complejs. Pero podemos proponer un certijo en vist demostrr hst qué punto este problem puede ser engñoso, incluso en el cso más sencillo, el de l superficie pln. En un hbitción de 15 m de lrgo por 6 de ncho de lto, hy un rñ posd en el centro de un de ls predes más pequeñs, medio metro del techo; y en medio de l pred opuest hy, un mosc. L rñ tiene sus propis intenciones sobre l mosc. Pero, cuál es el ino más corto pr que l rñ lcnce su pres? Si se rrstr lo lrgo del suelo y, por fin hci rrib por l pred en que está l mosc, o bien sigue un ino similr por el techo, l distnci es de 1 m. Prece imposible imginr un ino más corto. Sin embrgo, si cortmos un hoj de ppel con ls medids excts pr que, doblndo decudmente, tome l mism form que l hbitción, y unimos con un rect los puntos que representn l rñ y l mosc, obtenemos un geodésic. L longitud de est geodésic es solo 0 m, es decir, 1 m más cort que el ino obvio, conseguido nteriormente por medio de ls línes rects. Este problem revel, gráfiente, el punto que hbímos destcdo nteriormente: nuestrs nociones intuitivs del espcio nos engñn csi siempre. OBJETIVO: Identificr y Aplicr el concepto de volumen pr l solución de problems de l cotidinidd TEORIA VOLUMEN: Extensión del espcio ocupdo por un sólido o limitdo por un superficie cerrd.
3
4 GLOSARIO: Volumen, Arist, Cr, Vértice, Angulo Diedro, Ortoedro, Prlelepípedo, Cubo, Pirámide, Prism, Esfer, Cilindro, Cono. BIBLIOGRAFÍA Nichols Fllet, Prdojs y Juegos, Editoril Gedis Brcelon 1998 M. Estmps y Dibujos, Editoril Tschen, Koln, 1959 Diccionrio de Mtemátics, Editoril Norm, Bogotá, 198 A Bldor, Geometrí y Trigonometrí, Editoril Culturl Colombin, Bogotá,1967 Jmes R. Newmn, El mundo de ls Mtemátics.sigm, E Grijlbo Brcelon 198. VOLÚMENES 1. Si l rist del cubo myor es 6 y l del menor es, el cubo menor está contenido en el myor. 4. Ls esquins sombreds de l figur se cortn y los ldos se dobln pr formr un sol. Hllr el volumen de l cj: 6 veces 9 veces 1 veces 7 veces Cuántos cubitos pequeños de rist cben en l cj grnde L figur muestr un cilindro circunscrito un esfer si el rdio de l esfer es R, entonces el volumen del cilindro es: π R π R π R 4π R. Hllr el volumen de l figur L construcción mciz está formd por bloques de 0 cd uno. Cuál es el volumen de dich construcción?
5 7. L figur muestr cilindros de de ltur; el rdio de l bse del cilindro A es del rdio de l bse del cilindro B. Si el cilindro A tiene un volumen de 4, el volumen del cilindro B es: Un cubo A tiene 4 m de ldo; el cubo B tiene de ldo m. qué proporción gurd su volumen con el cubo A? Cuál es l longitud máxim que puede tener un brr de cero contenid en un cj cúbic de 1 de rist? Si l medid de l rist de un cubo se increment en un 50%, entonces el áre del cubo se ument en: 50% 15% 150 % 00% 1. El áre lterl de un cilindro de ltur 4 metros y rdio de l bse metros es: 18 m π 8 m π 64π m 16 m π 1. Un blón se infl hst tener un rdio de 15. Si se infl un poco más el rdio ument. Cuál es el incremento de volumen?.76π.54π.40π.76π 14. En l figur se tiene un cubo de rist y C es el centro de l región cudrngulr de l cr superior. Al extrer l pirámide de vértice C y bse PQRS, el volumen que qued está ddo por: Se vende cfé en dos tipos de recipientes cilíndricos; el más lto tiene el doble de ltur que el otro, pero su diámetro es l mitd de diámetro del más bjo. El ms lto cuest 580 y el más bjo $10. Cuál es más económico?. El más bjo El más lto Igul Fltn dtos 15. Un cilindro y un cono tienen igul bse e igul ltur, entonces del volumen del cono puede decirse que: Es l mitd del volumen del cilindro. Es igul l volumen del cilindro Es l tercer prte del volumen del cilindro. Es el doble del volumen del cilindro. 5
6 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hllr el áre lterl de un prism recto que tiene un ltur de 18 centímetros y un perímetro de 0 centímetros.. Hllr el volumen de un cubo con cd rist de 0 centímetros. Un slón de clses tiene 14 metros de lrgo, 10 metros de ncho y 4 metros de ltur. Cuál es el volumen del curto? Cuál es el áre lterl? 4. Hllr el volumen de un prism recto que tiene como bse un triángulo rectángulo cuyos ctetos tienen 15 centímetros y 0 centímetros, respectivmente; y su ltur es de 50 centímetros. 5. Hllr el volumen de un prism recto cuy bse es un rombo que tiene digonles de 45 centímetros y 60 centímetros; y su ltur es de 150 centímetros. 10. Cuál es el volumen de un pirámide cuy bse tiene un áre de 4 centímetros cudrdos y su ltur es de Hllr el áre lterl de un pirámide cuy bse tiene un perímetro de 6 centímetros y su potem es igul 1. Cuál es el volumen de un pirámide que tiene un bse cudrd de 10 centímetros por ldo y un ltur de 1 1. Hllr el áre lterl de l pirámide que tiene un bse cudrd de 10 centímetros por ldo y un ltur de 1 centímetros. 14. Hllr el volumen de un pirámide que tiene como bse un rectángulo con l hipotenusrt = 6 metros, el cteto RS = 5 metros y l ltur PO = 8 metros. 6. Cuántos pquetes de 1.5 x 0 x 0 centímetros pueden colocrse en un cj que tiene ls dimensiones de 60 x 75 x Hllr el volumen de un pirámide regulr que tiene como bse un hexágono regulr con 6 centímetros por ldo y un ltur de 10 centímetros. 7. Cuántos litros de gu se requerirán pr llenr un lberc de 15 metros de lrgo, 10 metros de ncho y metros de profundidd? 8. Cuántos litros de pintur se necesitrán pr pintr ls predes exteriores de un edificio de 10 metros de lrgo, 10 metros de ncho y 5 metros de ltur, si un litro de pintur cubrirá 5 metros cudrdos? 9. Hllr el peso de un plc de cero de 4 metros de lrgo, metros de ncho y 1 centímetro de espesor si el cero pes 7,9 grmos por centímetro cúbico. 16. Hllr el áre lterl de un pirámide regulr que tiene como bse un octágono regulr (8 ldos) con 1 centímetros por ldo y un rist lterl igul 5 centímetros. 17. Cuál es el volumen de un cono circulr que tiene un ltur de 18 centímetros y un rdio de Hllr el áre lterl de un cono circulr recto que tiene un potem de 4 centímetros y un rdio de 8 centímetros. 6
7 19. Hllr el áre superficil totl de u cono circulr recto que tiene un potem de 40 metros y un rdio de 10 metros. 0. Cuántos litros de gsolin contendrá un tnque cilíndrico que tiene dos metros de diámetro y 8 metros de lrgo? 1. Cuál es l ltur de un tnque cilíndrico recto cuy cpcidd es de 400 litros si su diámetro es de 75. Un rodillo de cero tiene 1.5 metros de lrgo y 75 centímetros de diámetro. Qué áre cubrirá l rodr dndo 50 revoluciones?. En un torno se hce un brr circulr rect prtir de un brr sólid de cero de 10 por 10 por 150 centímetros. Cuál será el desperdicio si se hce l brr cilíndric más grnde prtir de l brr rectngulr? 4. Hllr l cntidd de cero en un tubo de 144 metros que tiene un diámetro interior de.5 centímetros y un diámetro exterior de centímetros. 5. Hllr el volumen de un esfer que teng un diámetro de 66 centímetros. 6. Hllr el áre superficil de un esfer cuyo rdio se de 8 centímetros. 7. El áre de un círculo máximo de un esfer es de 1 centímetros cudrdos. Hllr el áre de l esfer. 8. Cuál es el peso de un bol de hierro que tiene un diámetro de 75 centímetros si 1 centímetro cúbico de hierro pes 7,9 grmos? 7
Guía -5 Matemática NM-4: Volumen de Poliedros
Centro Educcionl Sn Crlos de Argón. Coordinción Acdémic Enseñnz Medi. Sector: Mtemátic. Prof.: Ximen Gllegos H. 1 Guí -5 Mtemátic NM-4: Volumen de Poliedros Nombre: Curso: Fech: Unidd: Geometrí. Contenido:
Más detallesFICHA DE TRABAJO. Bimestre IVº 4ºgrado - sección A B C D Ciclo IVº Fecha: - 11-10 Área : Matemática POLIEDROS REGULARES E IRREGULARES
I TRJ Nombre Nº orden imestre IVº 4ºgrdo - sección iclo IVº ech: - 11-10 Áre : temátic Tem LIRS RULRS IRRULRS LIRS RULRS s quel poliedro en el cul sus crs son regiones poligonles congruentes entre sí,
Más detallesINFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -
INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
Más detallesResolución de triángulos
8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del
Más detallesBLOQUE III Geometría
LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 06 EJERCICIOS Tipos de poliedros 1 Di, justificdmente, qué tipo de poliedro es cd uno de los siguientes: A B C D E Hy entre ellos lgún poliedro regulr? A Prism pentgonl recto. Su bse es un
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRIA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SINRI INL GTRI 01. n l figur, ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 0. n un triángulo, se trz l ltur H, tl que m = m H. Hlle,
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRIA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SINRI INL GTRI 01. n l figur: ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 0. n un triángulo se trz l ltur H tl que m = m H. Hlle si
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRÍA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SINRI INL GTRÍ 1. n l figur: ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 60 ) 5. n un triángulo se trz l ltur H tl que m < = m < H. Hlle si
Más detallesP I E N S A Y C A L C U L A
Áres y volúmenes. Uniddes de volumen P I E N S Y C C U L Clcul mentlmente el volumen de ls siguientes figurs teniendo en cuent que cd cubo es un unidd. ) b) c) d) e) ) 7 u b) 4 u c) 8 u d) 6 u e) 8 u Crné
Más detallesEJERCICIOS DE REPASO
EJERCICIOS DE REPASO 8 9 : 8 8 8 : - Epres en form de notción científic: 8 c, d,9 e, f, - Clcul: 8 :, 8 e d c Hllr f e d c - Cuánto hemos de pgr por un progrm de ordendor si tiene un precio de, pero nos
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS ASESORÍA FINAL DE GEOMETRIA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SSRÍ INL GTRI 01. n l figur, ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 0. n un triángulo, se trz l ltur H, tl que m = mh. Hlle, si
Más detallesMOVIMIENTO DE RODADURA
E.T.S.. Agrónomos. U.P.. OVENTO DE ODADUA Cuerpos rodntes. Considermos el moimiento de cuerpos que, debido su geometrí, tienen l cpcidd de rodr: eser, ro, disco, supericie eséric, cilindro poydo sobre
Más detallesSOLUCIONARIO Poliedros
SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17
Más detalles1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad?
PÁGIN 164 El director del equipo nliz un plno en el cul 1 cm corresponde 20 m en l relidd. Su mquet de l moto es l décim prte de lrg que l moto rel. L moto de l fotogrfí es l mism que se ve en l mquet.
Más detallesPOLIEDROS - PRISMAS POLIEDRO. I. POLIEDRO: es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales llamados caras.
POIROS - PRISMS POIRO I. POIRO: es el sólido limitdo por cutro o más regiones poligonles llmdos crs. RIST TR TUR RIST SI PRISM VRTI S R 1. PRISM: l prism es un poliedro cuys crs lterles son tres o más
Más detallesA modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Más detallesCONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS
Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril
Más detallesDesarrollos para planteamientos de ecuaciones de primer grado
1) Hllr un número tl que su triple menos 5 se igul su doble más 2. 5= 2 + 2 2= 2+ 5 = 7 2) El triple de un número es igul l quíntuplo del mismo menos 20. Cuál es este número? = 5 20 20 = 5 20 = 2 = 10
Más detalles9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196
PÁGIN 196 Pág. 1 P RCTIC Ángulos 1 Hll el vlor del ángulo en cd uno de estos csos: ) b) 11 37 48 48 c) d) 35 40 ) 37 b 11 b 180 11 68 180 37 68 75 b) 360 48 8 13 c) 40 b b 180 90 40 50 180 50 130 d) 35
Más detallesIdentificación de propiedades de triángulos
Grdo 10 Mtemtics - Unidd 2 L trigonometrí, un estudio de l medid del ángulo trvés de ls funciones Tem Identificción de propieddes de triángulos Nombre: Curso: Ls ctividdes propuests continución se centrn
Más detalles8. Calcule el área de la superficie lateral y total de los sólidos construidos en los numerales 1, 2, 3, 4, 6 y 7.
8 CAPÍTULO OCHO Ejercicios propuestos 8. Cuerpos geométricos 1. Construy un tetredro regulr con rist de 10cm de longitud. 2. Construy un hexedro regulr con rist de 12cm de longitud.. Construy un octedro
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detallesACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 1 ENUNCIADOS 1 En el punto C hy td un cuerd de 5 m que sujet un cbr. Hll l superficie de l cs y l superficie de hierb que puede comer l cbr. m CASA m 10 m C 45 Investig: Qué relción hy entre ls superficies
Más detallesUNIDAD 3 Números reales
. Curiosiddes sobre lgunos Pág. 1 de 4 Hy tres números de grn importnci en mtemátics y que, prdójicmente, nombrmos con un letr: El número designdo con l letr grieg π = 3,14159 (pi) relcion l longitud de
Más detallesCálculo Diferencial e Integral II 31 de octubre de Aplicaciones de la Integral. Mommentos y Centros de Masa
Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 Aplicciones de l Integrl Mommentos y Centros de Ms Supong que tiene un vrill de ms pequeñ y en ell se fijn dos mss m y m 2 en ldos opuestos de un punto
Más detallesPrimer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
Más detallesP I E N S A Y C A L C U L A
Áres y volúmenes. Uniddes de volumen P I E N S Y C C U L Clcul mentlmente el volumen de ls siguientes figurs teniendo en cuent que cd cubo es un unidd. ) b) c) d) e) ) 7 u b) 4 u c) 8 u d) 6 u e) 8 u Crné
Más detallesCAPÍTULO 6: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO (II)
CAPÍTULO 6: ELACIONES MÉTICAS EN EL TIÁNGULO (II) Dnte Guerrero-Chnduví Piur, 015 FACULTAD DE INGENIEÍA Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems CAPÍTULO 6: ELACIONES MÉTICAS EN EL TIÁNGULO (II)
Más detallesde Thales y Pitágoras
8 Teorems de Thles y Pitágors 8.1. Cuents y problem del dí 1. Reliz l siguiente operción: 874,53 + 3 607,8 + 875,084 2. Reliz l siguiente operción, obtén dos decimles en el cociente y hz l prueb de l división:
Más detalles153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental
L myorí de los omres ncen como originles y terminn como copis 15 ESO Orientl ÍNDICE: MILLA NÁUTICA PISTA DE ATLETISMO 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. LONGITUDES
Más detallesUNIDADES DE GUIADO TIPOLOGIA. La gama de unidades de guía es muy amplia. Las guías se pueden agrupar en diversas familias.
UNIDADES DE GUIADO TIPOLOGIA L gm de uniddes de guí es muy mpli. Ls guís se pueden grupr en diverss fmilis. Uniddes de guí pr l conexión con cilindros estándres. Ests son uniddes pr su conexión con un
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRÍ ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G es prlelo y el áre del prlelogrmo es 8. Hlle el áre sombred. ) ) 8 ) 9 ) ) 6 0. n un trpecio ( // ), se
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRIA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRI ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G // y el áre del prlelogrmo es 8. Hlle el áre de l región sombred. ) ) 8 ) 9 ) ) 6 0. n un trpecio ( // ),
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRÍ ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G es prlelo y el áre del prlelogrmo es m. Hlle el áre sombred. ) m ) m ) 9 m ) m ) 6m G 0. n un trpecio (
Más detallesDepartamento de Física Aplicada III
Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenierí Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín. Diciembre de 00.. Un esfer metálic de rdio se encuentr
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesRepartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Más detallesSeñaléticas Diseño gráfico de señales
Señlétics Diseño gráfico de señles El cálculo de perímetros y áres de figurs plns es de grn utilidd en l vid práctic, pues l geometrí se encuentr presente en tods prtes. En un min subterráne, ls señles
Más detalles1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)
Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics
Más detallesTEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,
Más detallesLos elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área.
POLÍGONOS. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. Los elementos de un polígono son los ldos, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, ls digonles, el perímetro y el áre. LADO REGIÓN EXTERIOR A
Más detallesMención Tecnología, UNGS
Físic I Mención Tecnologí, UNGS Centro de mss 1) Encuentre l posición del centro de mss de los siguientes sistems de prtículs respecto de un sistem de referenci de su elección. m 2m m m 4m m 5m 2m 3m 4m
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág Págin 56 PRACTICA Escribe los seis primeros términos de ls siguientes sucesiones: ) Cd término se obtiene sumndo l nterior El primero es 8 b) El primer término es 6 Los demás se obtienen multiplicndo
Más detallesEl teorema de Pitágoras y la demostración de Euclides
Mtemátics Págin 177 El teorem de Pitágors y l demostrción de Euclides Comprueb en est figur l propiedd nterior. Pr ello: A 1 9 A B 15 16 0 C ) Cuántos cudrditos tiene el cudrdo pequeño, B? Comprueb que
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRIA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRI 0. n l figur, G es prlelo y el áre del prlelogrmo es 8 m. Hlle el áre sombred. ) m ) 8 m ) 9 m ) m ) 6m 0. n un trpecio ( // ), se tom punto
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
u r s o : Mtemátic Mteril N 38 GUÍ TEÓRIO PRÁTI Nº 29 UNIDD: GEOMETRÍ RETS Y PLNOS EN EL ESPIO - ÁRES Y VOLÚMENES DE UERPOS GEOMÉTRIOS Determinción del plno: Un plno qued determindo por: Dos rects que
Más detallesMATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Más detalles2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesGeometría. RESOLUCIÓN Sea n el número de lados de la base del prisma: C: Números de caras del prima V: Número de vértices A: Número de aristas
Geometrí SEMN PRISMS Y PIRÁMIDE. Clcule el número de crs de un prism donde el número de vértices más el número de rists es 50. ) 0 B) 0 C) 0 D) E) 8 V ' BSE Dto: L 86 Perimetro 86 = BSE V 6 V 59 Se n el
Más detallesESPA 2. es limitado longitud. que no lleguen. a tocarse. que son secantes y no se. cortan son. paralelas. origen. perpendiculares.
CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS ESPA 2 Mtemátics y Tecnologí Unidd 4 Línes rects. Ángulos. Polígonos. Teorem de Pitágors RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS Dos puntos A y B determinnn un rect
Más detalles1. Perímetro y área de los polígonos (I) Halla mentalmente el perímetro y el área de un rectángulo que mide 60 m de largo y 40 m de alto.
13 Perímetros y áres 1. Perímetro y áre de los polígonos (I) Hll mentlmente el perímetro y el áre de un rectángulo que mide 60 m de lrgo y 40 m de lto. Perímetro: (60 + 40) = 00 m Áre = 60 40 = 400 m P
Más detallesUNIDAD PRINCIPAL. 10 m decámetro dam. metro m
826464 _ 0315-0328.qxd 12/2/0 09:56 Págin 31 UNIDADES DE LONGITUD El metro es l unidd principl de longitud. Abrevidmente se escribe m. Los múltiplos (uniddes myores) y submúltiplos (uniddes menores) del
Más detalles1.6 Perímetros y áreas
3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente
Más detallesHOJA 6 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
2x x + 30 x 2x x + 20 5x 2x x -2 x 3x + 18 x 4. Rects prlels cortds por un trnsversl. lculr los vlores de x e y en cd cso y fundmentr ls relciones estblecids Ejercicio 1 Ejercicio 2 3x -20º y 2x x + y
Más detallesEn todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras. sen C hipotenusa. cos C. BC : hipotenusa B AC. (Regla: SOHCAHTOA)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Recordmos los siguientes conceptos: ABC es un triángulo rectángulo en A : BC : hipotenus AB : cteto dycente B ó cteto opuesto C AC : cteto opuesto B ó cteto dycente C Propiedd de
Más detallesMECANICA DE FLUIDOS Y MAQUINAS FLUIDODINAMICAS. Guía Trabajos Prácticos N 4 Ecuación de Bernoulli. Mediciones manométricas
MECNIC DE FLUIDOS Y MQUINS FLUIDODINMICS Guí Trbjos Prácticos N 4 Ecución de Bernoulli. Mediciones mnométrics. L presión mnométric en es -0, Kg/cm. Determinr el peso específico reltivo del líquido mnométrico.
Más detalles2. a) Llamando x a la base de un triángulo rectángulo de 18 cm 2 de área, demuestra que su perímetro sería
Resolución de Triángulos - Soluciones 1. Un rectángulo circunscribe simétricmente un sector circulr tl como muestr el dibujo djunto. Si el ángulo del sector es de 1 rdián y su áre es de 7 ², hll en milímetros
Más detalles11 Perímetros y áreas de figuras planas
86464 _ 0371-0384.qxd 1//07 09:4 Págin 371 Perímetros y áres de figurs plns INTRODUCCIÓN En est unidd repsmos ls uniddes de longitud y superficie. Se introducen tmbién lguns uniddes de medid del sistem
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA
UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRÍ ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G // y el áre del prlelogrmo es 8. Hlle el áre sombred. ) ) 8 ) 9 ) ) 6 0. n un trpecio ( // ), se tom punto
Más detallesResolución de triángulos rectángulos
Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.
Más detallesExámen Final B (resuelto)
Exámen Finl B (resuelto) Ejercicio nº.- Clcul: ) ( + + ) ( + ) b) ( + ) ( ) ( + ) ( ) c) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( 0) ( ) 0 + c) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) (
Más detallesGuía del docente. Guía para el docente Geometría Volumen de un cuerpo por rotación y traslación
Guía del docente Descripción curricular: - Nivel: 4. Medio - Subsector: Matemática - Unidad temática: - Palabras claves: traslación, rotación, generación de cuerpos, volumen, esfera, cilindro, cono, prisma,
Más detallesAplicaciones de la integral
CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de
Más detallesE-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619
1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del
Más detallesSEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES. Dos figuras son semejantes cuando solo difieren en segmentos correspondientes son. a a' = b b' = c c' = k
10 Lo fundmentl de l unidd Nombre y pellidos:... Curso:... Fech:... SEMEJNZ FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes cundo solo difieren en segmentos correspondientes son En tl cso, los c b c' b' ' =
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesLos polígonos y la circunferencia
l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 =
Más detallesResolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis
Más detalles7 ACTIVIDADES DE REFUERZO
7 ACTIVIDADES DE REFUERZO Nombre: Curso: Fech: 1. Dibuj un segmento AB de 2 cm de longitud. Trz un circunferenci con centro A y otr con centro B de 2 cm de rdio. Dibuj l rect que ps por los puntos de corte
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 9 EJERCICIOS Ls relciones de proporcionlidd 1 Indic, entre los siguientes pres de mgnitudes, los que son directmente proporcionles, los que son inversmente proporcionles y los que no gurdn
Más detalles12. Los polígonos y la circunferencia
l: ldo SLUINI 107 1. Los polígonos y l circunferenci 1. PLÍGNS PIENS Y LUL lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos:? l: ldo? 4. ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes
Más detallesPROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS
POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete) EJEMPLO Considere
Más detallesQué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa.
Qué es el movimiento rectilíneo uniformemente vrido? Es un movimiento mecánico que experiment un móvil donde l tryectori es rectilíne y l celerción es constnte. Qué es l celerción? Es un mgnitud vectoril
Más detalles11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
SLUINRI 95 11. Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de
Más detallesCAPÍTULO. Aplicaciones
CAPÍTULO 3 Aplicciones 3.5 Trbjo de un fuerz 1 Se dice que un fuerz reliz un trbjo cundo cmbi el estdo de reposo o estdo de movimiento de un cuerpo. En este sentido, el trbjo que reliz un fuerz pr llevr
Más detallesREPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen
Más detallesRECOMENDACIONES PARA SU COLOCACIÓN NIVELACIÓN
L B ECMENDACINES PAA SU CLCACIÓN NIVELACIÓN Al comenzr con l colocción de l primer hild, es necesrio verificr l nivelción del plno superior del cimiento. Pr ello se utilizrá el nivel de mnguer y dos regls
Más detallesANZA. h,zc: y. OCCo E'1C
ANZA Sr h,zc: y OCCo E'1C (Ti - z Ci (Ti Perspecliv cónic con dos puntos de fugo, unque l deformci6n del rjist produce vrios puntos de fug. Modulción según el segmento úreo verticl Modulción según rectángulos
Más detallesSOLUCIONARIO 1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS (I) 4. Calcula el área de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 22 m y 16 m
11 elige Mtemátics, curso y tem. 13. Perímetros y áres 4. Clcul el áre de un triángulo rectángulo en el que los ctetos miden m y 16 m 1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS (I) PIENSA Y CALCULA Hll mentlmente
Más detallesRetos Matemáticos visuales
Retos Mtemáticos visules Bdjoz, 5 de junio de 207 Dpto. de Mtemátics Univ. de Extremdur Retos Mtemáticos visules Dpto. de Mtemátics Univ. de Extremdur «Retos Mtemáticos visules. 5 de junio de 207 Tem
Más detalles2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivamente. Determina el ángulo que forman sus bisectrices.
GEOMETRÍ 1.- Determin ls medids de los ángulos desconocidos. ) b) " 31º " 20º 47º 2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivmente. Determin el ángulo que formn sus bisectrices. 3.- uánto
Más detallesEJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función
Unidd 3 Funciones Cudrátics EJERCICI0S PARA ENTRENARSE 4 Represent en los mismos ejes ls siguientes funciones: )) y y -. )) y 0,5 y - 0,5. c)) y 6 y - 6. Hcemos un tl de vlores y después representmos l
Más detallesLa Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005
L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es
Más detallesORIENTACIONES PARA RECUPERAR LA MATERIA EN LA CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús Deprtmento de Mtemátics ORIENTACIONES PARA RECUPERAR LA MATERIA EN LA CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE ASIGNATURA MATEMÁTICAS CURSO º ESO B Y C LA FECHA
Más detallesEsquema de la unidad. 10 Medida del volumen MEDIDA DEL VOLUMEN. dam 3. m 3 dm 3. dal l dl. 10 m 3 = cm 3 7 l = dam 3 1 hm 3 = dl V =
10 Medid del volumen Esquem de l unidd Nombre y pellidos:... Curso:... Fec:... MEDIDA DEL VOLUMEN UNIDADES DE VOLUMEN dm 3 m 3 dm 3 : 10 3 Ò 10 3 dl l dl : 10 Ò 10 EJEMPLOS: 10 m 3 = cm 3 7 l = dm 3 1
Más detalles