FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 5. VOLUMEN

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 5. VOLUMEN Grdo 11 Tller # 5 Nivel I M. C. ESCHER Un de ls obrs más conocids del rtist gráfico holndés M. Escher es l litogrfí Mnos que dibujn (1948). Representn un pr de mnos, cd un de ls cules dibuj l otr sobre un mism hoj de ppel que su vez está sujet con tchuels l tblero de dibujo. L litogrfí contiene vrios elementos prdójicos: el primero que slt l vist es el círculo vicioso utorreferente de l mno que dibuj l otr y l vez es dibujd por ést. Pero tmbién represent un ntigu contrdicción rtístic, cul es el conflicto entre l bidimensionlidd del dibujo figurtivo y l tridimensionlidd del mundo representdo. En este sentido, se puede interpretr Mnos que dibujn como un metdibujo que reformul dicho conflicto y l vez l ntiguo forismo de que el rtist se retrt si mismo. En mnos que dibujn y otrs obrs. Escher dice clrmente que el dibujo es un form de ilusión. Sin embrgo. Escher ejecut l impostur con un lógic visul tl, que quien l contempl es incpz de sustrerse sus efectos contrdictorios muchos grbdos de Escher precen prdojs lógics de construcción forml. Aprentn estr cimentds en premiss (imágenes) verdders bsds en un rzonmiento (composición) correcto, pero conducen conclusiones contrdictoris ( mundos imposibles). Escher desrrolló su interés por ls prdojs en muchs direcciones un de ls más importntes se bs en el ejemplo de dibujos periódicos llmdos trces L trces pln consiste en l división de un superficie bidimensionl medinte un motivo periódico en form de escque o mosico. Escher intentó un dibujo bsdo en l división espcil periódic del plno en 196. trs un breve visit l Almbr. L ciuddel morisc de Grnd. En Espñ. Pero fue sólo en 196, trs un prolongdo vije Grnd, que se bocó similr ls leyes y técnics del trcedo. Durnte ese vije, con yud de su espos, relizó vris copis de los trcedos morisco que cubrín los muros de l Almbr. Pero estos dibujos ern bstrctos, porque el Islm prohíbe el rte figurtivo en los edificios públicos y religiosos: con todo. Escher quedó fscindo por esos diseños y por l posibilidd de relizr trcedos figurtivos, lgo que ningún rtist. Fuese moro o de otr cultur, hbí intentdo nteriormente. Escher que no hbí estudido mtemátic, procedió inventr ls norms básics del trcedo de un superficie pln y que incluín, según resultó. Los principios generles de l cristlogrfí, disciplin que estudi l estructur y formción de cristles. EL PROBLEMA DE LA MOSCA Y LA ARAÑA L myor prte de nosotros hemos prendido que l rect es l distnci más cort entre dos puntos. Aplicd l tierr en que vivimos, est firmción es l vez inútil y fls. Los mtemáticos del siglo XIX Riemnn y Lobtchevsky, sbín que, en cso de ser ciert, es firmción podí, lo sumo, plicrse úniente superficies especiles. No puede utilizrse en un superficie esféric, en l cul l distnci más cort entre dos puntos es un rco de círculo máximo. Ddo que l form de l tierr es, proximdmente l de un esfer, l distnci más cort entre dos puntos culesquier de l superficie terrestre nunc es un líne rect, sino l porción de rco de círculo máximo. Sin embrgo, pr fines prácticos, incluso en l superficie de l tierr, l distnci más cort entre dos puntos se represent por un líne rect. Quiero decir que, pr medir distncis 1

2 ordinris con cints métrics, metálics o de mder, el principio es sustncilmente correcto. Pero en cunto ls distncis excedn uno centenres de metros, no puede uno permitirse el lujo de menosprecir l curvtur de l tierr l determinción de un geodésic es muy difícil en superficies complejs. Pero podemos proponer un certijo en vist demostrr hst qué punto este problem puede ser engñoso, incluso en el cso más sencillo, el de l superficie pln. En un hbitción de 15 m de lrgo por 6 de ncho de lto, hy un rñ posd en el centro de un de ls predes más pequeñs, medio metro del techo; y en medio de l pred opuest hy, un mosc. L rñ tiene sus propis intenciones sobre l mosc. Pero, cuál es el ino más corto pr que l rñ lcnce su pres? Si se rrstr lo lrgo del suelo y, por fin hci rrib por l pred en que está l mosc, o bien sigue un ino similr por el techo, l distnci es de 1 m. Prece imposible imginr un ino más corto. Sin embrgo, si cortmos un hoj de ppel con ls medids excts pr que, doblndo decudmente, tome l mism form que l hbitción, y unimos con un rect los puntos que representn l rñ y l mosc, obtenemos un geodésic. L longitud de est geodésic es solo 0 m, es decir, 1 m más cort que el ino obvio, conseguido nteriormente por medio de ls línes rects. Este problem revel, gráfiente, el punto que hbímos destcdo nteriormente: nuestrs nociones intuitivs del espcio nos engñn csi siempre. OBJETIVO: Identificr y Aplicr el concepto de volumen pr l solución de problems de l cotidinidd TEORIA VOLUMEN: Extensión del espcio ocupdo por un sólido o limitdo por un superficie cerrd.

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4 GLOSARIO: Volumen, Arist, Cr, Vértice, Angulo Diedro, Ortoedro, Prlelepípedo, Cubo, Pirámide, Prism, Esfer, Cilindro, Cono. BIBLIOGRAFÍA Nichols Fllet, Prdojs y Juegos, Editoril Gedis Brcelon 1998 M. Estmps y Dibujos, Editoril Tschen, Koln, 1959 Diccionrio de Mtemátics, Editoril Norm, Bogotá, 198 A Bldor, Geometrí y Trigonometrí, Editoril Culturl Colombin, Bogotá,1967 Jmes R. Newmn, El mundo de ls Mtemátics.sigm, E Grijlbo Brcelon 198. VOLÚMENES 1. Si l rist del cubo myor es 6 y l del menor es, el cubo menor está contenido en el myor. 4. Ls esquins sombreds de l figur se cortn y los ldos se dobln pr formr un sol. Hllr el volumen de l cj: 6 veces 9 veces 1 veces 7 veces Cuántos cubitos pequeños de rist cben en l cj grnde L figur muestr un cilindro circunscrito un esfer si el rdio de l esfer es R, entonces el volumen del cilindro es: π R π R π R 4π R. Hllr el volumen de l figur L construcción mciz está formd por bloques de 0 cd uno. Cuál es el volumen de dich construcción?

5 7. L figur muestr cilindros de de ltur; el rdio de l bse del cilindro A es del rdio de l bse del cilindro B. Si el cilindro A tiene un volumen de 4, el volumen del cilindro B es: Un cubo A tiene 4 m de ldo; el cubo B tiene de ldo m. qué proporción gurd su volumen con el cubo A? Cuál es l longitud máxim que puede tener un brr de cero contenid en un cj cúbic de 1 de rist? Si l medid de l rist de un cubo se increment en un 50%, entonces el áre del cubo se ument en: 50% 15% 150 % 00% 1. El áre lterl de un cilindro de ltur 4 metros y rdio de l bse metros es: 18 m π 8 m π 64π m 16 m π 1. Un blón se infl hst tener un rdio de 15. Si se infl un poco más el rdio ument. Cuál es el incremento de volumen?.76π.54π.40π.76π 14. En l figur se tiene un cubo de rist y C es el centro de l región cudrngulr de l cr superior. Al extrer l pirámide de vértice C y bse PQRS, el volumen que qued está ddo por: Se vende cfé en dos tipos de recipientes cilíndricos; el más lto tiene el doble de ltur que el otro, pero su diámetro es l mitd de diámetro del más bjo. El ms lto cuest 580 y el más bjo $10. Cuál es más económico?. El más bjo El más lto Igul Fltn dtos 15. Un cilindro y un cono tienen igul bse e igul ltur, entonces del volumen del cono puede decirse que: Es l mitd del volumen del cilindro. Es igul l volumen del cilindro Es l tercer prte del volumen del cilindro. Es el doble del volumen del cilindro. 5

6 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hllr el áre lterl de un prism recto que tiene un ltur de 18 centímetros y un perímetro de 0 centímetros.. Hllr el volumen de un cubo con cd rist de 0 centímetros. Un slón de clses tiene 14 metros de lrgo, 10 metros de ncho y 4 metros de ltur. Cuál es el volumen del curto? Cuál es el áre lterl? 4. Hllr el volumen de un prism recto que tiene como bse un triángulo rectángulo cuyos ctetos tienen 15 centímetros y 0 centímetros, respectivmente; y su ltur es de 50 centímetros. 5. Hllr el volumen de un prism recto cuy bse es un rombo que tiene digonles de 45 centímetros y 60 centímetros; y su ltur es de 150 centímetros. 10. Cuál es el volumen de un pirámide cuy bse tiene un áre de 4 centímetros cudrdos y su ltur es de Hllr el áre lterl de un pirámide cuy bse tiene un perímetro de 6 centímetros y su potem es igul 1. Cuál es el volumen de un pirámide que tiene un bse cudrd de 10 centímetros por ldo y un ltur de 1 1. Hllr el áre lterl de l pirámide que tiene un bse cudrd de 10 centímetros por ldo y un ltur de 1 centímetros. 14. Hllr el volumen de un pirámide que tiene como bse un rectángulo con l hipotenusrt = 6 metros, el cteto RS = 5 metros y l ltur PO = 8 metros. 6. Cuántos pquetes de 1.5 x 0 x 0 centímetros pueden colocrse en un cj que tiene ls dimensiones de 60 x 75 x Hllr el volumen de un pirámide regulr que tiene como bse un hexágono regulr con 6 centímetros por ldo y un ltur de 10 centímetros. 7. Cuántos litros de gu se requerirán pr llenr un lberc de 15 metros de lrgo, 10 metros de ncho y metros de profundidd? 8. Cuántos litros de pintur se necesitrán pr pintr ls predes exteriores de un edificio de 10 metros de lrgo, 10 metros de ncho y 5 metros de ltur, si un litro de pintur cubrirá 5 metros cudrdos? 9. Hllr el peso de un plc de cero de 4 metros de lrgo, metros de ncho y 1 centímetro de espesor si el cero pes 7,9 grmos por centímetro cúbico. 16. Hllr el áre lterl de un pirámide regulr que tiene como bse un octágono regulr (8 ldos) con 1 centímetros por ldo y un rist lterl igul 5 centímetros. 17. Cuál es el volumen de un cono circulr que tiene un ltur de 18 centímetros y un rdio de Hllr el áre lterl de un cono circulr recto que tiene un potem de 4 centímetros y un rdio de 8 centímetros. 6

7 19. Hllr el áre superficil totl de u cono circulr recto que tiene un potem de 40 metros y un rdio de 10 metros. 0. Cuántos litros de gsolin contendrá un tnque cilíndrico que tiene dos metros de diámetro y 8 metros de lrgo? 1. Cuál es l ltur de un tnque cilíndrico recto cuy cpcidd es de 400 litros si su diámetro es de 75. Un rodillo de cero tiene 1.5 metros de lrgo y 75 centímetros de diámetro. Qué áre cubrirá l rodr dndo 50 revoluciones?. En un torno se hce un brr circulr rect prtir de un brr sólid de cero de 10 por 10 por 150 centímetros. Cuál será el desperdicio si se hce l brr cilíndric más grnde prtir de l brr rectngulr? 4. Hllr l cntidd de cero en un tubo de 144 metros que tiene un diámetro interior de.5 centímetros y un diámetro exterior de centímetros. 5. Hllr el volumen de un esfer que teng un diámetro de 66 centímetros. 6. Hllr el áre superficil de un esfer cuyo rdio se de 8 centímetros. 7. El áre de un círculo máximo de un esfer es de 1 centímetros cudrdos. Hllr el áre de l esfer. 8. Cuál es el peso de un bol de hierro que tiene un diámetro de 75 centímetros si 1 centímetro cúbico de hierro pes 7,9 grmos? 7

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