Tema 1: Simetría y teoría de grupos. Química Inorgánica III.

Transcripción

1 Tema 1: Simetría y teoría de grupos. Química Inorgánica III.

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3 Simetría y Vida Maurits Cornelis Escher ( ).

4 Simetría y Vida Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

5 Simetría y Vida Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

6 Simetría y Vida Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

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15 Leeuwarden,y desde 1919 a 1922 estudió en la Escuela de Arquitectura y Maurits Cornelis Escher ( ), dibujante holandés, creador de Algunos de los grabados más conocidos del siglo XX. Nació en Artes Decorativas de aarlem. Sus primeros grabados representan principalmente paisajes y escenas urbanas, pero después de su estancia en Italia comenzó a desarrollar las que él llamó visiones internas. En ocasiones se trata de elaboradas composiciones obsesivas en las que se entrelazan siluetas seriadas de animales, pájaros o peces. acia 1940 sus imágenes comenzaron a tener un cierto sabor surrealista, especialmente en los dibujos de extraños edificios en los que, gracias a sabios juegos perspectivos, aparecen escaleras que ascienden hacia los pisos Inferiores (y descienden hacia los superiores) o cascadas de agua que se elevan hacia las azoteas. Su obra ha intrigado, ciertamente, a matemáticos y psicólogos de la percepción visual. También se ha hecho muy popular entre el gran público, especialmente a partir de la década de los sesenta, cuando algunos jóvenes asociaron sus imágenes con las experiencias alucinógenas producidas por el LSD.

16 En la simetría puntual, las partes indistinguibles se obtienen al realizar un conjunto de operaciones de simetría sobre una molécula en particular. Se obtiene así una clasificación de las moléculas en términos de sus grupos puntuales. Definiciones:.- Elemento de simetría. Una línea, un punto o un plano respecto al cual pueden llevarse a cabo una o más operaciones de simetría..- Operación de simetría. El movimiento de una molécula en relación con cierto elemento de simetría.

17 Elementos de simetría y operaciones resultantes: 1.- Rotaciones. Ejes de simetría. Cn giro 180º O O C3 B giro 120º B

18 El eje de rotación se representa mediante el símbolo Cn siendo 360º/n la rotación necesaria para obtener una configuración equivalente. Operaciones análogas son respectivamente:

19 Otros ejemplos: C5 giro 72º C55 C 4 Xe giro 90º Xe Xe 4

20 Otros ejemplos: C6 giro 60º C66 C7 giro 51º26' C78

21 2.- Reflexiones. Planos de simetría O sv Los dos planos de simetría anteriores contienen al eje C2. Existen también planos de simetría diedrales (sd) que estan entre los ejes y que contienen el eje de orden máximo. inalmente el plano horizontal (sh) esta perpendicular al eje de orden máximo. Ejemplo: O sv' Xe Xe sh sd Xe sv

22 Una segunda reflexión en el plano simplemente devuelve cada uno de los puntos a su posición original. En otras palabras: s 2 = E 3.- Inversión. Centros de simetría. Existe una operación que combina la rotación y la reflexión en una sola. Se trata de la operación inversión y el elemento de simetría asociado es un punto llamado centro de inversión i. i 3N Cl Pt Cl N3 i

23 Cl Br C i C Br Cl no posee ni eje ni plano de simetría Se cumple que i 2 = E 4.- Rotaciones impropias. Ejes de rotación reflexión. Una rotación impropia consiste en girar en sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje y luego aplicar una reflexión en el plano perpendicular a dicho eje. El elemento de simetría asociado es el eje impropio S n.

24 Ejemplos: S4 C giro 90º C sh reflexión igual que C

25 S5 S3 B sh I sh S6 C es decir C C

26 S10 e sh es decir e

27 5.- Efectos de la realización de operaciones consecutivas. C3 sv(2) 3 2 N sv(1) 1 giro 120º 2 1 N 3 sv(3) sv(1) sv(2) 1 2 N 3

28 Lo anterior puede expresarse como: Es decir, la realización de dos o más operaciones de simetría se representa algebraicamente como una multiplicación.

29 C3 4 C2'(1) 1 P 3 C2'(3) ejes 2 C2'(2) 5

30 4 sv(2) sv(1) 4 1 P 3 1 P planos 2 5 sv(3) P 5 3

31 Algunas combinaciones de operaciones son:

32 Operaciones de simetría como elementos de un grupo. Primero es necesario definir un grupo como una colección de elementos que poseen ciertas propiedades en común. La colección de operaciones de simetría vistas para cualquier molécula constituye un grupo. Estas operaciones cumplen con las cuatro características que definen un grupo: Donde X es el inverso de A. X = A -1

33 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. (Se usa la notación de Schoenflies para designar un grupo puntual). Grupos infinitos..- Tienen un número infinito de elementos. Corresponden a las moléculas lineales con o sin centro de simetría. oo sv C N Co Grupo C v. Notar que no tiene centro de simetría.

34 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. o C2 sv oo sv O C O Coo i Grupo D h. Notar que tiene centro de simetría.

35 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. Grupos especiales..- Son los grupos puntuales cúbicos: tetraedro, octaedro e icosaedro. 1.- Tetraedro: C3 C 4 ejes C3

36 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. C2 S4 C 2 S 4 C2 3 ejes C2 S4 3 ejes S4

37 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. Grupo T d. Contiene 17 operaciones de simetría (contando E). 6 sd sd

38 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. 2.- Octaedro: C3 C2 C2 4 ejes C3 3 ejes C2 C2 2 ejes C2

39 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. C4 C2 C4 C2 i C4 C2 centro de inversión 3 ejes C4 3 ejes C2 (C4 2 )

40 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. S4 S6 S4 S4 3 ejes S4 4 ejes S6 3 planos s

41 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. Grupo O h. Contiene 33 operaciones de simetría (contando E). 2 planos sd 4 planos sd

42 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. 3.- Icosaedro: Grupo I h. Contiene 120 operaciones de simetría (contando E). Ejemplo de este grupo: [B ] 2-

43 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. Otros grupos..- La molécula de mínima simetría posee únicamente la operación identidad que puede considerarse también como una rotación de 3 60º es decir C 1. C Grupo C 1. Br Cl

44 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Si la molécula posee un eje C n además de la identidad pertenece al grupo puntual C n. C2 Ejemplo: 2 O 2 O 94.8º O 111.5º Grupo C 2.

45 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Existen dos grupos que poseen un solo elemento de simetría además de la identidad. Si el elemento adicional es un plano de simetría el grupo es C s, si es un centro de simetría el grupo es C i. Ejemplos: Br s Br Cl S C i C O O Cl Br grupo C s grupo C i

46 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Si añadimos al eje C n un plano vertical de simetría obtenemos el grupo C nv. Ejemplos: C2 s v C3 sv(2)... O 3 2 N sv(1) 1 sv(3) grupo C 2v grupo C 3v

47 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Si en lugar de añadir un plano vertical se añade un plano horizontal se obtiene el grupo C nh. Ejemplos: C2 C3 sh N N sh O O B O grupo C 2h grupo C 3h

48 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Otro tipo de adición a un sistema C n es un eje S 2n coincidente con el eje C n, lo que da origen al grupo puntual S 2n. Ejemplos: Cl Cl P (PNCl 2 ) 4 N N Cl Cl N P N P Cl Cl Cl P Cl es decir (+) N (+) P (-) N (-) P eje S4 P (-) N(-) P(+) N (+) grupo S 4

49 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- La adición de un eje de orden n que forme ángulo recto con el eje C n de un sistema C n conduce al grupo puntual D n. Ejemplos: C2 C C C3 conformación gauche grupo D 3

50 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Si al grupo D n se añaden planos que contengan al eje C n (eje de mayor orden) y dividen en ángulos iguales a los ángulos existentes entre los C 2 (planos diedrales) el grupo obtenido es D nd. sd C2' Ejemplos: sd sd C C C3 C C2' C2' C 3 -C 3 intercalado. Grupo D 3d

51 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales..- Los últimos de los grupos que pueden encajarse en este esquema son los formados por la adición de un plano horizontal a los elementos del grupo D n, dando los grupos D nh. Ejemplos: C2 C C sh C2' grupo D 2h

52 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. Ejemplos: C3 sh O O C O C2 C2 C2 grupo D 3h

53 Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales. C6 y C2'' C2' sh C2 C2' grupo D 6h

54 Resumen de grupos puntuales

55 Clasificación de un grupo. El procedimiento para hacerlo es el que esquematizamos a continuación: 1.- Determinar si la molécula es lineal, o si pertenece a un grupo altamente simétrico (Td, Oh, Ih). Si no es así pasar a allar el eje de rotación propia de orden superior (Cn). En ausencia de tal eje buscar (a) un plano de simetría (Cs), (b) un centro de simetría (Ci) o (c) ningún elemento de simetría en absoluto (C1). 3.- Si se encuentra un eje Cn, buscar un conjunto de n ejes C2 perpendiculares al mismo. Si estos se encuentran ver 4 más abajo. Si no existen buscar (a) un plano horizontal (Cnh), (b) n planos verticales (Cnv), (c) un eje S2n coincidente con el Cn (S2n) o (d) ningún plano de simetría ni otros ejes de simetría (Cn). 4.- Si existe un eje Cn y n ejes C2 perpendiculares buscar la presencia de (a) un plano horizontal (Dnh), (b) n planos verticales y ningún plano horizontal (Dnd) o (c) ningún plano de simetría (Dn).