EL ORDEN DISFRAZADO TRABAJO REALIZADO POR: MARI ÁNGELES GARCÍA LEÓN

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1 EL ORDEN DISFRAZADO TRABAJO REALIZADO POR: MARI ÁNGELES GARCÍA LEÓN La madre naturaleza no asistió a clases de geometría en el instituto ni leyó los libros de Euclides de Alejadría. Si geometría es irregular, pero tiene una lógica propia y fácil de comprender. Nassim Nicholas Taleb, El cisne negro.

2 INDICE 1. Introducción 2. Justificación 3. Metodología 4. Objetivos 5. El orden disfrazado 5.1. Qué son los fractales? 5.2. Fractales en la naturaleza 5.3. Algoritmos de escape 5.4. Funciones iteradas 5.5. Lindenmayer y Sierpinscki 5.6. Echer y el infinito 5.7. Órbitas caóticas 5.8. Aleatorios y celulares 5.9. El caos Efectos visuales Jardín fractal

3 INTRODUCCIÓN Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales: el triángulo de Sierspinski, la curva de Koch, el conjunto Mandelbrot, los conjuntos Julia, y muchas otras. Muchos fenómenos naturales presentan formas irregulares, incluso caóticas, que la geometría tradicional es incapaz de analizar: la esponjosidad de las nubes, la ramificación de los árboles, el zigzag de los relámpagos La solución a este problema la hallamos en un concepto matemático revolucionario, el de fractal, y en una nueva forma de ver el mundo, basada en la máxima el todo contiene la parte y la parte, el todo. La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. Es importante reconocer que los fractales verdaderos son una idealización. Ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero; los objetos reales son producidos por procesos que actúan sólo sobre un rango de escalas finitas. En otras palabras, los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.

4 JUSTIFICACIÓN El siguiente trabajo de ciencias lo he querido basar en el mundo matemático y su complejidad parándome a resaltar los fractales, tema al que he querido dedicar este trabajo. Los fractales no es un tema muy complicado y visualmente es divertido. No es apenas teórico y con el mi objetivo es pretender mostrar las diferentes perspectivas de ver el mundo para comprenderlo mejor. Este tema apenas es conocido y es muy interesante ya que se encuentra constantemente a nuestro alrededor ya sea en la naturaleza en plantas o en la arquitectura de numerosos edificios. Al ser un tema muy visual se intentara impactar a los compañeros, sorprendiéndoles con la innovación de coger un tema matemático y ponerlo en práctica. Al coger el mundo fractal dentro de un tema matemático quiero mostrar que las matemáticas que en su mayoría son abstracciones del mundo y visiones de uno mismo en este caso se pueden ver a simple vista siendo fácil la comprensión del siguiente tema fractal.

5 METODOLOGIA Los métodos o herramientas que vamos a utilizar en la elaboración de este trabajo es la búsqueda de información en diferentes lugares como: Internet donde encontraremos diversos tipos de fractales. Imágenes de la fractales encontrados en la naturaleza u imágenes visualmente impactantes que jueguen un poco con el ojo humano. Revistas y libros especializadas en el ámbito matemático. Y por último, nos remontaremos a tiempos anteriores para recopilar fractales estudiados y descubiertos por algunos matemáticos.

6 OBJETIVOS El objetivo específico de este trabajo es dar a conocer un poco más un ámbito perdido en el mundo matemático. De modo general con este trabajo se pretende: Innovar con temas diferentes y visualmente divertidos para despertar el interés del leyente. Conocer el crecimiento fractal de algunas plantas. Mostrar diferentes tipos de fractales que encontramos a nuestro alrededor y que no sabíamos que pertenecen a la dimensión fractal. Se intenta romper con los ideales de que las matemáticas son aburridas dado un nuevo enfoque visual de ellas para convencer al los demás.

7 Qué son los fractales? La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra. Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principio de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias. Investigó además la medida y la forma del Universo, pero siempre pensando en un Universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional. En nuestro siglo la idea del Universo fue cambiando: la Geometría Clásica no es capaz de dar respuesta a un universo en el que tiene cabida el caos, el azar, en el que se combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande: las partículas elementales y el cosmos. Aparecieron otras Geometrías (u otras ramas de la Geometría), que reconvirtieron a esta ciencia en el estudio de las ciencias de la realidad y en el arte, entre el orden y el caos.

8 en la naturaleza Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas, limitadas por valores mínimos y máximos. EJEMPLOS DE MODELOS FRACTALES. LORENZ turbulencias atmosféricas y corrientes marinas. HENON oscilaciones sufridas por cuerpos celestes que hacen que su trayectoria no sea completamente elíptica CURVAS DE KOCH ALEATORIA fronteras de un país, trazado de una costa, trazado de un río.

9 FRACTALES tipo ARBOL sistema arteriales y venosos ELEMENTOS DE LA NATURALEZA QUE PUEDEN ESTUDIARSE MEDIANTE UN MODELO FRACTAL: CUERPO HUMA Redes nerviosas. Redes de vasos sanguíneos. Conductos biliares. Sistemas de tubos pulmonares y bronquios ELEMENTOS DE LA NATURALEZA Montañas Coníferas Sauces

10 La dimensión fractal La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. El concepto de longitud no está claramente definido. La longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una generalización de la dimensión euclídea. Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano). En general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera, y por lo tanto, en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos. La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjunto de longitud L que hacen falta para cubrir X por L. PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN FRACCIONAL? Para calcular la dimensión de un fractal se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas. En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el conjunto Mandelbrot se usan computadoras, pero para fractales más simples se usan formulas matemáticas, una muy común es la de Hausdorff-Besicovitch. Ejemplo: el cálculo de la dimensión del triángulo de Sierpinski, utilizando un método llamado similitud por duplicación. Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al original Si duplicamos los lados de un cuadrado de lado 1 tendremos 4 cuadrados iguales al original

11 Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al original. Disponemos estos datos en una tabla: FIGURA DIMENSION Nº DE COPIAS Líneas 1 2 = 2 1 Cuadrado 2 4 = 2 2 Cubo 3 8 = 2 3 Similitud al duplicar d n = 2 d Un segundo ejemplo podría ser la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud en forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:

12 Algoritmos de escape El fractal de Mandelbrot se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador. Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines) es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación en la fórmula del Mandelbrot. En este mismo sitio, la sección Mundo Mandelbrot está íntegramente dedicada a este legendario fractal.

13 Esa es la fórmula: z es la variable y c el valor de las coordenadas del punto analizado. Con cada punto, z comienza siendo (0,0), y se va aplicando reiteradamente esa fórmula. Si el módulo de z se hace en algún momento mayor que 2, significará que el punto no pertenece al conjunto de Mandelbrot. Dicho de otra forma, Mandelbrot es el conjunto de puntos cuya órbita generada con la fórmula dada nunca escapa de un círculo de radio 2. El fractal de Mandelbrot es una de esas curvas que desafía nuestra capacidad de entendimiento "geométrico", muy habituada a las estructuras euclídeas, simples y prácticas. Una de las características más espectaculares de estos fractales, es que son no derivables en todos sus puntos. En lenguaje menos matemático: una curva cualquiera es no derivable en un punto cuando, aun existiendo ese punto, forma un pico o esquina. La curva de la figura 1 es no derivable en el punto A. Cualquier otro punto más cercano o lejano, por la derecha o por la izquierda, sí es derivable. La figura 2 muestra una zona del fractal de Mandelbrot bastante parecida. Con una mentalidad "clásica" creeremos que lo dicho para la curva anterior puede valer también para ésta, al menos en las inmediaciones del punto A, pero al ampliar la zona del punto A (figura 3) observamos que las cosas se complican: aparecen más y más picos por todos sitios... Uno de nuestros objetivos va a ser modificar esta fórmula para producir mutaciones del conjunto de Mandelbrot. Construiremos diferentes fórmulas, y en la medida de lo posible iremos implementándolas como opciones de una única y monstruosa fórmula que albergará miles de millones de fórmulas deferentes. Todo ello será canalizado a través de la sección mutaciones, y los

14 resultados gráficos se podrán ver en la galería de Mandelbrots. Demostraremos que el conjunto de Mandelbrot es, como dijo James Gleick, «el objeto más complejo de las matemáticas». Otro objetivo: explorar hasta lo imposible las entrañas del Mandelbrot. Nos equivocaremos de dirección, llegaremos a callejones sin salida, exprimiremos la capacidad de nuestras cpu's castigándolas durante horas y horas. Todo ello para comprobar que el fractal está más allá de los límites físicos. Las imágenes de nuestro último viaje pueden verse en este mismo documento. Actualmente llegamos a profundidades de zoom entre 1,0e+015 y 1,0e+020, nada comparado con la capacidad del software, pero se ha de tener en cuenta que esto supone que estamos explorando una zona del orden de diez mil millones de veces más pequeña que un átomo de hidrógeno. Dicho de otra manera, a esta escala la imagen inicial sería más grande que el sistema solar. En teoría podemos llegar a generar zonas tomadas de un Mandelbrot de mayor tamaño que el propio universo. Funciones iteradas Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la figura completa.

15 Lindenmayer y Sierpinski La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente. Quizá se pueda explicar de otra forma, pero lo mejor es verlo en la animación. El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones anteriores. En área fractal, el artículo Koch y Sierpinski detalla más aspectos de este tipo de curvas. Curvas de Koch y Sierpinski En Niels Helge von Koch ( ) define la curva que lleva su nombre. Se forma (fig. 1) partiendo de un segmento el cual es dividido en tres partes iguales. La parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño que el eliminado. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cada segmento formado. La longitud de esta curva evoluciona de acuerdo a la siguiente sucesión: 1, 4/3, 16/9, 64/27, 256/81..., L=(4/3)^k. Dado que la sucesión anteriormente indicada no converge hacia ningún valor, estamos ante una curva de longitud infinita. Y no sólo eso, sino que cualquier intervalo entre dos puntos también cumple esta propiedad. Otra característica de todos sus puntos es que son no derivables, es decir, es imposible trazar una tangente en ninguno de sus puntos. Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski ( ) concibió su archiconocido fractal (fig. 2). Partiendo de un triángulo (no tiene por qué ser equilátero)

16 dibujamos otro uniendo los puntos medios de sus lados. La figura resultante contiene cuatro triángulos semejantes al anterior, pero sólo tres comparten su orientación. Ese cuarto triángulo no pertenece a la curva, y este detalle desencadena propiedades sorprendentes. En la siguiente iteración repetimos el mismo esquema con los tres triángulos aludidos, y así sucesivamente. No es difícil observar que el área definida va decreciendo con arreglo a la sucesión (en el caso de un triángulo equilátero de área 1): 1, 3/4, 9/16, 27/64, 81/256..., A=(3/4)^k. Por tanto, el área total del triángulo de Sierpinski es nula (obviamente tras infinitas iteraciones). Por otra parte, el perímetro de todos los triángulos generados sí es infinito. Siendo 1 la longitud del lado del primer triángulo, el perímetro total crece así: 3, 9/2, 27/4, 81/8, 243/16..., P = 3 (3^k)/(2^k).

17 Echer y el infinito Maurits Cornelis Escher y la palabra imposible quedarán íntimamente ligadas para la posteridad. No hay que analizar con detenimiento su obra para percatarse de que tras sus grabados, técnicamente buenos, se esconden universos más complejos de lo habitual. Su obra está plagada de conceptos geométricos muy interesantes, como la partición regular de la superficie, los cuerpos geométricos complejos, la perspectiva... No es el único artista gráfico que ha explorado estos mundos, pero Escher tenía la virtud de impactar con cada imagen, utilizando para ello su mejor arma, la paciencia, que le llevaba a ensayar una y otra vez diversas posibilidades, hasta dar con la magia. Como le gustaba decir a Escher, dibujar es un engaño. La mayor parte de suobra está vinculada a las perspectivas imposibles (figs. 1 y 2), el análisis deestructuras topológicas como la cinta de Moebio (fig. 3) o la partición regular de la superficie (fig.4). Figura 1 Figura 2 Figura 3

18 Pero, qué tiene que ver Escher con los fractales? Desconozco si alguna vez llegó él a manejar estos términos, aunque bien es cierto que desarrolló con frecuencia estructuras matemáticas complejas y avanzadas mientras continuaba pregonando su desconocimiento total sobre esta materia. Parte de su obra incluye elementos relacionados con el infinito. Según comentó, su aproximación al infinito surgió del modelo de Poincaré, en el cual se puede representar la totalidad de una superficie infinita encerrada en un círculo finito (fig. 5). A partir de aquí desarrolló sus propios modelos, aunque mucho tiempo antes ya había coqueteado con esta idea en dibujos como Evolución II o Más y más pequeño (fig. 6). Figura 5: El modelo de Poincaré. Figura 6: Más y más pequeño. En Más y más pequeño (fig. 6), se puede ver cómo un motivo con forma de lagarto (uno de los favoritos de Escher) es sometido a un proceso de reducción hasta hacerse infinitamente pequeño en el centro de la imagen. Escher grabó, con ayuda de una lupa, lagartos de medio milímetro de longitud. El giro hacia la captura total del infinito se produce con su serie de límites circulares (figs. 7 y 8), donde lo infinitamente pequeño se sitúa en el borde de un círculo, como en el modelo de Poincaré. Otra variante se puede observar en Serpientes (fig. 9), donde los anillos que componen la imagen son infinitamente pequeños tanto en el centro como en el borde. Figura 7: Límite circular III. Figura 8: Límite circular IV.

19 Nos podemos encontrar con fractales que tienen exactamente esa misma estructura (fig. 10). Pese a que los fractales no son invención de nadie, sino que simplemente están ahí esperando a que alguien dé con su fórmula, no me puedo resistir a hablar de fractales "Escherianos", en honor de quien los sacó a luz sin necesidad de fórmulas. Figura 9: Serpientes. Figura 10: Un fractal "escheriano".

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