Estudie la información destacando los conceptos básicos, notaciones y formas existentes para la determinación de conjuntos.

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1 CTIVIDD N 01 OJETIVO N 01 Determinar y representar conjuntos. Estudie la información destacando los conceptos básicos, notaciones y formas existentes para la determinación de conjuntos. sí como en la Geometría las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos básicos que se admiten sin definición; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, también, ideas no susceptibles de definición. NOCIÓN DE CONJUNTO Conjunto: Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denominan elementos ó miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen al conjunto. Notación: Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas:,, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minúsculas: a, b, c, etc. Relación de Pertenencia: Si un objeto x es elemento de un conjunto, se dice que x pertenece al conjunto ó que x está en, y se denota por: x. En caso Ejemplo: contrario, x no pertenece a y se denota por: x. Si es el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y 1; y es el conjunto constituido por: 0 y 1; escribimos: = { 8, -2, 6, { 0, 1 }, 3, 1 ]; = { 0, 1 }. En este caso: 8...( V ) -2...( V ) 1 Universidad Nacional del Santa

2 6...( V ) ( V ) 0...( V ) 3...( V ) { 0, 1}...( V ) { { 0, 1} }...( V ) Se observa, además, que el conjunto pertenece al conjunto. DIGRMS DE VENN-EULER Para representar gráficamente a los conjuntos se usan los Diagramas de Venn-Euler que son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, como se ilustra a continuación con los conjuntos y del ejemplo dado anteriormente. 3 {0, (V) 9 0 (V) { 0, 1 } -2 (V) { 1 } { 0, 1 } (V) DETERMINCION DE CONJUNTOS I. POR EXTENSION O EN FORM TULR Cuando se indica explícitamente cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo : = { 2, 3, 5, 7, 11 } = { 1, 4, 9, 16, 25 } C = { a, e, i, o, u } II. POR COMPRENSION O EN FORM CONSTRUCTIV Cuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante una propiedad común. 2 Universidad Nacional del Santa

3 Ejemplo: = { p / p es un número primo p < 12 } = { x 2 / x Z + x 5 } C = { x / x es una vocal } Esquema general: Conjunto = Forma del elemento Caracteristicas (Pr opiedadaes) Ejemplo: T = { x / x es un pronombre personal en Inglés } Nota: Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll. DIGRM DE LEWIS CRROLL HOMRES MUJERES Hablan Inglés No hablan Inglés Se observa que : Hombres que hablan Inglés CONJUNTOS Hombres que NUMERICOS no hablan 3 Universidad Nacional del Santa

4 Son típicos en matemática los siguientes conjuntos numéricos: = { 0,1, 2,3, 4,... } {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... } = n = / nd, d 0 d ' = { decimales que no pueden expresarse en forma de fraccion} = ' { ^ x iy/ x, y 1 i i } 2 1 = + = = CLSES DE CONJUNTOS CONJUNTO FINITO Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento. Ejemplo : = { x / x es un hablante nativo de Quechua } = { x / x es un mes del año } CONJUNTO INFINITO Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina. Ejemplo : = { p / p es un número primo } = { x / x R 8 < x < 9 } C = { x / x es una estrella de universo } CONJUNTOS ESPECILES 1. CONJUNTO NULO O VCIO Es aquel conjunto que carece de elementos. Ejemplo : = { x / x es el actual Virrey del Perú } = { x / x N 7 < x < 8 } Notación: = { } = { x / x x}. = = = { }. 4 Universidad Nacional del Santa

5 2. CONJUNTO UNITRIO O SINGLETON Es el conjunto que tiene un sólo elemento. Ejemplo: = { x / x Z 10 < x < 12 } = { 11 } = { 2, 2, 2, 2, 2,...} = { 2 } 3. CONJUNTO UNIVERSL Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: = { 1, 2, 3 }; = { 2, 4, 6, 8 } Pueden ser conjuntos universales: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} U = = {x / x N } * Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante un rectángulo. ILUSTRCIÓN RESUMEN NO ES UNITRIO POR EXTENSIÓN ES: {-1, 0, 1, 2, 3} NO ES VCÍO El conjunto ES FINITO = { x Z / - 2 < x 3 }. está por comprensión TIENE COMO CUNJUNTO UNIVERSL Z 5 Universidad Nacional del Santa

6 CTIVIDD N 02 Compruebe su aprendizaje, resolviendo los siguientes EJERCICIOS GRUPO 1 1. Dado el conjuntos = { a, { a }, }. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. a. { a } d. b. El conjunto e. = { } c. { a, { a } } 2. Señalar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. a. = { }. b. = { x R / x 2 +1 = 0 } es un conjunto no vacío. c. = { x R / x 3 + 2x = 0 } es unitario. d. El conjunto = { -1, 1, 3, 5,...} por comprensión es = { x / x = 2n - 3, n Z + }. e. Si W = { x / x R, x 2 23 = 2 }, entonces 5 W. 3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos: a. = { x N / x - 1 < 5 } b. C = { x Z / - 2 < x 3 } c. M = { x / x es un pronombre personal en Inglés } 4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos a. = { 4, 6, 8, 10 } b. X = { 3, 5, 7, 9,...} c. Y = { 1, 4, 9, 16, 25,...} 6 Universidad Nacional del Santa

7 IMPORTNTE Si sus respuestas no coinciden con la clave, intente nuevamente resolver el problema cuya respuesta es errónea. CLVE DE RESPUESTS 1. Son verdaderas a y d. 2. Son verdaderas a, b y c. 3. a. = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 } b. C = { -1, 0, 1, 2, 3 } c. M = { I am, You are, She is, He is, It is, We are, You are, They are }. 4. a. = { x / x es par 4 x 10 } b. X = { x / x es impar x 3 } c. Y = { x / x Z + x 2 } 7 Universidad Nacional del Santa

8 CTIVIDD N 02 nalice los ejemplos que se desarrollan a continuación haciendo hincapié en el uso correcto de la simbolización e identificación de elementos de un conjunto. CUNTIFICDORES Y CONJUNTOS Una función proposicional P(x), relacionada con una proposición cuantificacional, se convierte en una proposición lógica ( V ó F ) de acuerdo con el valor que asume la variable x. Por ejemplo, la función P(x): x 2-4 = 0 es una función preposicional que se convierte en verdadera si x = 2 ó x = -2, y es falsa cuando x toma otros valores. hora consideremos un conjunto cualquiera, por ejemplo : = { -2, 1, 2, -3, 0 } La proposición: Existe por lo menos un x, tal que se verifica P(x) ó equivalentemente: x / P(x), es verdadera, pues existe x = -2, tal que: x 2 4 = 0. sí mismo, la proposición: Para todo x, se verifica P(x) ó equivalentemente x / P(x), es falsa, pues no todo elemento de, verifica x 2-4 = 0, basta tomar x =1 / es diferente de 0. la frase: Existe un, Para algún ó lgunos, etc. que denota una parte de un universo, se llama cuantificador existencial y se denota por ; mientras que a la frase: Para todo, Para cada ó Para cualquier, etc. que denota la totalidad de objetos, se llama cuantificador universal y se denota por. 8 Universidad Nacional del Santa

9 1. Negar que existe un x, tal que se verifica P(x); equivale a decir que: Ningún x, verifica P(x), ó que: Todo x, no verifica P(x); simbólicamente: ~[ x / P(x)] x / ~ P(x). 2. Negar que para todo x, verifica P(x), equivale a decir que: Para algunos x, no se verifica P(x); simbólicamente: ~[ x / P(x)] x / ~ P(x) Ejemplo 01: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo el conjunto = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }. a. x / x 2-5x + 6 = 0. b. x / x 3 + x 2-2x = 0. c. x, y / x + y 4 Solución: a. Es falsa, pues x 2-4x + 5 = 0 se cumple sólo para x = 1, y x = 5 y no para todos los demás elementos de. b. Es verdadera, puesto que la ecuación x3 + x2-2x = 0 tiene dos soluciones x = 0, y x = 1 en el conjunto ; bastaba que hubiera una. c. Es falsa, pues para 5 no existe ningún valor y / 5 + y 4. x y / x + y No existe No se cumple Ejemplo 02: Determinar el valor de verdad y negar las siguientes proposiciones; dado el conjunto = { x / x Z, x 4 }. a. x / x 1 < 2. b. x, y / x 2 + y 2 8. c. x, y / x - y = 0. Solución: 9 Universidad Nacional del Santa

10 a. Falsa, pues para x = 3, y para x = 4 no se satisface la inecuación, burlando el cuantificador. Por otro lado, su negación es: ~ [ x / x 1 < 2 ] x / x (V) b. Verdadera. x, y / x 2 +y Su negación es: ~ [ x, y / x 2 + y 2 8 ] x, y / x 2 + y 2 < 8...(V) c. Verdadera. x, y / x - y = = = = = 0 Su negación es: ~ [ x, y / x - y = 0] x, y / x - y 0...(F) 10 Universidad Nacional del Santa

11 ILUSTRCIÓN RESUMEN : es el Cuantificador U i l Es verdadero : es el Cuantificador Existencial La proposición x, y / x 2 + y 2 8. donde = { x / x Z, x 4 }. x 2 + y 2 8 es la función Su negación es (F): x, tq y / x 2 + y 2 < Universidad Nacional del Santa

12 CTIVIDD N 03 nalice los ejemplos que se desarrollan a continuación haciendo hincapié en el uso correcto de la simbolización e identificación de elementos de un j t EJERCICIOS GRUPO 2 1. Determinar por extensión el conjunto Z que satisface la proposición que se da en cada caso. a. Z = { x / x Z, x - 2 < 4.}. b. Z = { x / x Z, y Z / x 2 + y 2 < 8 }. 2. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. sí mismo, escribir la negación en cada caso. a. x R, y R /( - x ) y = - ( x y ). b. r Q, p Z / p > r. Compare sus respuestas con la clave! CLVE DE RESPUESTS 1. a. Z = {, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. b. Z = { 0, ± 1, ± 2 }. 2. a. V, x R, y R / ( - x ) y - x y. b. F, r Q, p Z / p r. 12 Universidad Nacional del Santa

13 CTIVIDD N 01 OJETIVO N 02 Establecer la relación entre conjuntos y demostrar las propiedades de Inclusión e Igualdad de conjuntos. nalice el siguiente texto remarcando las definiciones, ilustraciones y propiedades de la Inclusión e Igualdad de conjuntos. Entre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones:. INCLUSIÓN: Se dice que un conjunto está incluido, contenido ó es un subconjunto del conjunto, si todo elemento de es también elemento de. Se denota por:. Es decir: [ x / x x ]. Se lee : es subconjunto de si y sólo si todo x de es tal que si x entonces x. Observación: partir de la definición, basta que un sólo elemento de no pertenezca para asegurar que no está incluido o contenido en ; en tal caso se denota por:. Ejemplo. Si = { q, s } = { p, q, r, s } r p s.q Observación: Si un conjunto tiene n elementos entonces tiene: 2 n subconjuntos Ejemplo. Si = { a, b } 13 Universidad Nacional del Santa

14 Los subconjuntos de son:, { a }, { b }, { a, b }. Numero de subconjuntos de es: 2 2 = 4. Ejemplo. Siendo = { 3, { 3 }, { 4 }, { { 4 } } }. Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones : - { 3 }. (V) - { 3 }. (V) - { { 3 } }. (V) - { { { 4 } } }. (V) - { { 4 } }. (V) - 7. (F) - 7. (F) Gráficamente se representa: U U H H Ejemplo: Demostrar que la proposición, equivale a demostrar que: Existe al menos un x tal que x. En efecto, la proposición: equivale a decir: No es cierto que está contenido en ; esto es : ~ [ ] ~ [ / x x ] Definición x / ~ ( x x ) plicando la negación x / x ( x ) ] Ley de p q x / [ x x ] Negación x / (x x ) Propiedades de la Inclusión. La relación de Inclusión entre conjuntos goza de las siguientes propiedades: 1.1 Reflexiva:, conjunto. 14 Universidad Nacional del Santa

15 1.2 ntisimétrica: Si y entonces =. (*) 1.3 Transitiva: Si y C entonces C. 1.4,. (*) Corresponde a la definición de Conjuntos Iguales, que se verá mas adelante. Demostración de 1.1 Demostrar que: equivale a demostrar que, x / x x, la cual es una proposición siempre verdadera, pues: p p es una tautología como se ilustra a continuación: P P P V V F V Demostración de 1.3 Si y C entonces C. x / x x pues. demás, x / x x C pues C. Por la propiedad transitiva de la Condicional: [(p q) (q r )] [p r]. En consecuencia, x / x x C. Es decir Demostración de 1.4,. Recuerde que la proposición p q es falsa sólo si p es verdadera y q es falsa. Luego, x / ( x ) ( x ), esta ultima proposición es verdadera puesto que el antecedente ( x ) es falso, por que el conjunto vacío carece de elementos. Conjuntos Comparables. Los conjuntos y son comparables si: ó. Si ó se dice que y son no comparables.. IGULDD DE CONJUNTOS: = Los conjuntos y son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por: = [( ) ( )]. En caso contrario se escribe:. 15 Universidad Nacional del Santa

16 Nota: La definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de demostrar la igualdad de dos conjuntos. Ejemplo. Establecer si los siguientes conjuntos son iguales: = { 1, -2, 6 }, = { 1, -2, 6, 1, 6 }. Se verifica que = pues todo elemento de es también elemento de, ; y todo elemento de es elemento de,. Observación. Del ejemplo se concluye que un conjunto no varía si sus elementos repetidos se escriben una sola vez, en este caso { 1, -2, 6, 1, 6 } = { 1, -2, 6 }. Propiedades de la Igualdad 2.1 Reflexiva: =,. 2.2 Simétrica: = =. 2.3 Transitiva: = = C = C. Demostración de 2.2 Debemos demostrar que =, es decir. y. Por hipótesis = y por definición: = ( ) ( ) ( ) ( ) Prop. Conmutativa de =. = =. C. SUCONJUNTO PROPIO. Se dice que el conjunto es un subconjunto propio del conjunto, si. En otras palabras, es subconjunto propio de, si tiene uno ó más elementos que no pertenecen a. Gráficamente, U Ejemplo. Dados los conjuntos: = { x / x Z x + 3 = x 2 9 } = { -3, 4 }. De : x + 3 = x Universidad Nacional del Santa

17 x 2 x 12 = 0 x -4-3 x 3 ( x 4 )( x + 3 ) = 0 4 x = -3 ó 4 = D. CONJUNTOS DIFERENTES: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. Se define : Ejemplo. Dados: = { x / ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) x = 0 } = { 0, 1, 2, 3, 4 } De : ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) x = 0. x = 0; 1; 2; 3 E. CONJUNTOS DISJUNTOS Se dice que los conjuntos y son disjuntos cuando no poseen elementos comunes Simbólicamente : y son disjuntos x / x x ` Ejemplo. Siendo: = {2,3,4} y = {5,6,7}. y son disjuntos Gráficamente : F. CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINLES. Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina. Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el número de sus elementos son iguales. Ejemplo. Siendo: = { 10, 11, 12 } 17 Universidad Nacional del Santa

18 = { m, n, p } y son equipotentes. Simbólicamente: <> n( ) =n( ) DIGRMS LINELES Son representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusión entre conjuntos Si : Si : = PROPIEDD N Z Q R C ILUSTRCIÓN RESUMEN Es unitario es sólo un símbolo Tiene 2 1 =2 subconjuntos Dado el conjunto = {{φ}} Sus subconjuntos son {, conjunto φ } 18 Universidad Nacional del Santa

19 CTIVIDD N 02 Resuelva los siguientes ejercicios para reafirmar su aprendizaje, compare sus resultados con la clave. EJERCICIOS GRUPO 3 1. Si = { 2, 4, 6, 0, 5 }, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a.{ 2 } b.{ x / ( x 2 5 )( x 2 ) = 0; x Z + } b. 4 c. R e. { 6 } f. 5 g. h. i. { } 2. Dados los conjuntos = { x / x N, 2 x 9 }, = { 2, 4, 6, 8 } C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = { 1, 3 }. Determinar en cada caso, cuál de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal que: a. X y X b. X y X E c. X y X E d. X y X E e. X C y X D. Sugerencia: póyese con un diagrama. 3. Representar gráficamente las siguientes relaciones: a. b. c. = d. y son comparables. 4. Hallar todos los subconjuntos de, si: a. = { 2, -3, 4 } b. = { { } } c. = Cuántos subconjuntos tiene en cada caso? 5. Demostrar las siguientes propiedades: 19 Universidad Nacional del Santa

20 a. Si y, entonces =. b. =,. c. Si = y = C, entonces = C. d. Si H M M N, entonces H N. e. Si, entonces =. CLVE DE RESPUESTS 1. Son verdaderas: a, d, e, f, h, i. 2. X puede ser igual al conjunto que se indica en cada caso a. D ó b. Sólo c. Sólo C d. Ninguno e. D Gráficamente: 6 D C E a. b. c. = d. e. 20 Universidad Nacional del Santa

21 CTIVIDD N 01 OJETIVO N 03 Efectuar operaciones con conjuntos e interpretar gráficamente los resultados. Infórmese sobre las operaciones entre conjuntos: definición, notación, representación e ilustración gráfica, leyendo el siguiente texto. Entre conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones: Unión, Intersección y Diferencia. 1. UNIÓN DE CONJUNTOS La Unión de los conjuntos y es otro conjunto, denotado por U formado por todos los elementos que pertenecen a, a ó a ambos. U = { x / x x }; = Símbolo de la di ió Para representar gráficamente U, se tendrá presente las relaciones entre los conjuntos dados en cada caso particular. U U U Observación. De la definición se deduce que ( U ) y ( U ). Ejemplo. Si = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, = { 3, 4, 5, 6 }, 21 Universidad Nacional del Santa

22 C = { 2, 3, 6, 8, 10 }. Hallar (a) U (b) U C. Representar gráficamente cada caso. Solución. U = { x / x x } = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } U C = { x / x x C} = { 3, 4, 5, 6, 2, 8, 10 } Se observa que, y que y C son no comparables con algún elemento común, luego se tiene: C Ejemplo. Sea = {x R / x 2 1 = 0}, Solución. = {x R / x = 0} y M = R. Hallar (a) U (b) M U (c) U M = {-1, 1 }, =, M = R; luego: U = U = { x / x x } pero no existe x. Entonces: a. U = {-1, 1}, es decir U =,. b. M U = R c. U M = { x / x x M } } = R. 2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La Intersección de los conjuntos y es el conjunto denotado con formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Es decir, = { x / x x } Gráficamente. U 22 U Universidad Nacional del U Santa

23 Nota : ( ) y ( ) Conjuntos Disjuntos: y son disjuntos si =. Ejemplo. Siendo = { 2, 4, a }, = { a, b, c, d }, C = { b, c }. Hallar a., b. C c. C Representar gráficamente cada caso. Solución. = { x / { x / x x } = { a } C = { x / x x C } = { b, c } C = { x / x x C } = Tenemos: `` b c d U a 4 6 C d U 2 a 4 b c U a., b. C c. C Nota. Si X Y, entonces X Y = X. 3. DIFERENCI DE CONJUNTOS La Diferencia de los conjuntos y, en ese orden, denotado por, es el conjunto formado por todos los elementos de que no pertenecen a. Es decir, = { x / x x } Se lee : diferencia ó menos Gráficamente: U U U - partir de la definición se deduce que: a. b. = c. = Complemento de un Conjunto. El complemento del conjunto respecto al conjunto universal U, es el conjunto formado por todos los elementos de U que no están en. Es decir, = { x / x U x } 23 Universidad Nacional del Santa

24 En otras palabras, el complemento de es el conjunto formado por los x, esto es: = U. Gráficamente: Otras notaciones : C ó º. Observaciones : a. U = U b. = φ Ejemplo. Demostrar que =. Solución. - = equivale a demostrar que: ( I ) ( ) ( ) y ( II ) ( ) ( ). Demostración de ( I ): [( ) ( )] x ( ) / x ( ) x ( ) Pero x ( ) (x ) ( x ) Def. de diferencia ( x ) ( x ) Def. de x ( ) Def. de intersección Se ha demostrado que si un elemento cualquiera x, tal que x ( ) implica que x ( ). Por definición de inclusión, se concluye que : ( ) ( ). Demostración de ( II ): [( ) ( )] x ( )/x ( ) x ( ). Pero x ( ) (x ) (x ) Def. Intersección ( x ) ( x ) Def. de x ( ) Def. Diferencia Luego,x ( ) x ( - ). De ( I ) y ( II ) se concluye la demostración. Ejemplo. Hallar, si = { x / x Z, x es impar }. Solución: = { x / x U x } Siendo: U = Z = { x / x Z, x es par.} 24 Universidad Nacional del Santa

25 4. DIFERENCI SIMÉTRIC DE CONJUNTOS. La Diferencia Simétrica de los conjuntos y, denotado por, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen solamente a ó solamente a, es decir: = ( ) ( ) Gráficamente: U Ejemplo. Si = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, = {1, 4, 6, 7, 9 } y Solución. C = { 1, 9 }. Hallar: a. b. C c. C a. = ( ) U ( ), donde: = { x / x x } = { 2, 3, 5 } = { x / x x } = { 1, 9 } Entonces = { 2, 3, 5, 1, 9 }. b. C = ( C ) U = C; es decir: C = {x /x x C }={4, 6, 7} C = {x / x C x } = x pues C. Luego, C = ( C ) U = C, es decir: C = { 4, 6, 7 }. b. nálogamente, siendo y C conjuntos disjuntos: C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9 } Gráficamente, 25 Universidad Nacional del Santa

26 a. Observaciones : 1. Si C entonces C es el complemento de C con respecto a. 2. Si y son conjuntos disjuntos entonces =. 3. = ( ) - ( ). 26 Universidad Nacional del Santa

27 CTIVIDD N 02 nalice los ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos y su interpretación grafica. EJEMPLOS DE PLICCIÓN continuación se presentan algunos ejercicios resueltos sobre uso de las definiciones y operaciones con conjuntos. 1. La proposición x ( ) es equivalente a: a. ( x ) ( x ) b. ( x ) ( x ) c. x ( - ) d. ( x ) ( x ) Solución. x ( ) [(x ) (x )] Def. de Intersec. [( x ) ( x )] Def. de [ x ( - )] Def. de diferencia. Luego, las expresiones equivalentes a x ( ) son (c) y( d). 2. cuál de las expresiones corresponde la región sombreada? a. [ ( C )] U [( C ) ] b. [ ( C )] U [( C ) ] c. [ ( C )] U [( ) C] Solución. Distinguimos la reunión de dos regiones sombreadas: - La superficie formada por elementos que solo están en y no en ó C; esto se expresa por: ( U C ). C 27 Universidad Nacional del Santa

28 - La inferior formada por los elementos que están en la intersección de con C pero que no pertenecen a ; esto es: ( ). Luego la expresión dada es (b) correspondiente a la región sombreada. ILUSTRCIÓN RESUMEN = - = { x / x x } U = { x / x Operaciones con conjuntos = ( ) ( ) = { x / x 28 Universidad Nacional del Santa

29 CTIVIDD N 02 Resuelva los siguientes ejercicios para autoevaluar su aprendizaje. EJERCICIOS GRUPO Dados los conjuntos: = { x Z : x< 10 }, = { 2 x: x Z +, x 5} C = { 2x 1: x Z +, x 5}, D ={3, 4, 5}, E = {3, 5}. Hallar: ' a. ( ) ( ) ' C D E { } ' ' ' c. ( D E ) ( E ' C) ( C E ) D b. ( E) ( C) ( D E ) ' ( ) ( ) ' U C D E ' d.{( D' C ) ( ) ( ) ( ) } ' ' ' ' D E C C E E I ( E) ( C) ( D E ) ' <, 2. Qué condiciones deben cumplir los conjuntos y para que se verifiquen las siguientes relaciones? a. = Φ b. = c. = U d. Φ = U e. = f. = g. = h. = i. = ' D 1. Si + = { x : x> 4 x= 6} + = { x : x> 0 x 6} C = { x / ( x 1 x 2 4x 3) } Hallar: ( ) ( ) ' ' ( C' ) ( C) ( D E ) ' a. C C' b. ' c. {( ' C ) ( ) ( ) ( ) } ' ' ' ' C C C C I ' ( C) ( ' ) ( C ) 29 Universidad Nacional del Santa

30 CTIVIDD N 01 OJETIVO N 03 Demostrar las leyes del álgebra de conjuntos. nalice la siguiente información sobre las propiedades de las operaciones con conjuntos y las demostraciones realizadas. Las definiciones de las operaciones con conjuntos, son: 1) x / x x 2) = 3) = { x / x x } 4) = { x / x x } 5) = { x / x x } ó = 6) = ( ) ( ) 7) = { x / x U x } ó = { x / x } continuación se presentan las Propiedades de las Operaciones con conjuntos, bajo el título de Leyes ásicas del Álgebra de Conjuntos. Se demuestran algunas de ellas. LEYES ÁSICS DEL ÁLGER DE CONJUNTOS 1. Idempotencia 1 a) = 1 b) = 2. Conmutativa 2 a) = 2 b) = 3. sociativa 3 a) ( C ) = ( ) C 3 b) ( C ) = ( ) C 4. Distributiva 30 Universidad Nacional del Santa

31 4 a) ( C ) = ( ) ( C ) 4 b) ( C ) = ( ) ( C ) 5. 5 a) = 5 a) = 6. 6 a) U = 6 b) U = 7. 7 a) = U 7 b) = 8. 8 a) ( ) = 8 b) U =, = U 9. Leyes de D' Morgan 9 a) ( )' = ' ' 9 b) ( )' = ' ' 10. Leyes de bsorción 10 a) ( ) = 10 b) ( ) = continuación se demuestran: 2 (a), 4 (b), 8 (a) y 9 (b). Demostración (2a) =. Recuerde que dos conjuntos son iguales si y sólo si se verifica la doble inclusión: (I) ( ) ( ) y (II) ( ) ( ) Entonces debe demostrarse (I) y (II); recurriendo a la definición de Inclusión. (I) ( ) ( ) x ( ) / x ( ) x ( ) Pero, x ( ) ( x ) ( x ) Def. Unión ( x ) ( x ) Conmut. de x ( ) Def. Unión Luego, x ( ) x ( ). Con lo que queda demostrado: ( ) ( ) Def. Inclusión II) ( ) ( ) x ( )/ x ( ) x ( ) Pero, x ( ) ( x ) ( x ) Def. Unión ( x ) ( x ) Conmut. de x ( ) Def. Unión x ( ) x ( ), esto es ( ) ( ) por definición de Inclusión. De (I) y (II) se sigue: =. 31 Universidad Nacional del Santa

32 Demostración (4b) ( C ) = ( ) ( C ) Equivale a demostrar: (I)[ ( C ) ] [ ( ) ( C ) ] y (II) [ ( ) ( C ) ] [ ( C ) ]. (I) x ( C ) / x ( C) x ( ) ( C) Pero x ( C ) x ( x C ) Def. Intersec x [ x x C] Def. Unión ( x x ) ( x x C ) Propiedad distributiva de con respecto a : [p ( q r ) ( p q ) ( p r )]. ( x ) ( x C ) Def. Intersec x [ ( ) ( C ) ] Def. Unión Entonces x [ ( C ) ] x [ ( ) ( C ) ] [ ( C) ] [ ( ) ( C )] Def. de. nálogamente se demuestra (II). En efecto, x [ ( ) ( C ) ] / x [ ( ) ( C ) ] x ( ) x ( C) Def. de Intersección [ x x ] [ x x C ] [ (p q) (p r) ] p ( q r) x ( x x C ) Def. de Unión x [ x ( C ) ] Def. de Intersección x [ ( C ) ] Luego x [ ( ) ( C ) ] x [ ( C ) ] Def. de Inclusión [ ( ) ( C ) ] [ ( C) ]. De (I) y (II) se concluye que: ( C ) = ( ) ( C). Demostración (8a) ( ) =. Debe demostrarse que : ( I ) ( ) y ( II ) ( ). 32 Universidad Nacional del Santa

33 (I) x ( ) / x ( ) x Def. Complemento [ x ] Negación de [ x ] Def. Complemento [ ( x ) ] Negación de x pues: ( p) p Luego ( ) por definición de Inclusión. (II) x / x [ ( x ) ] Doble Negación [ x ] [ x ] x x ( ) Negación de Def. Complemento Negación de Def. Complemento ( ) por definición de Inclusión. De (I) y (II) se sigue la igualdad. Demostración (9b) ( )' = ' '. Debe demostrarse: (I)( ) y (II) ( ) Para I x ( ) / x ( ) x Def. Complemento [ x ( )] Negación de [x x ] Def. Intersección Recuerda que: (p q) p q. ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) Negación de ( x ) ( x ) Def. Complemento x ( ) Def. Unión Luego, x ( ) x ( ) ( ) Por Def. de Inclusión Para II x ( ) / x ( ) (x ) (x ) Def. Unión ( x ) ( x ) Def. Complemento ( x ) ( x ) Negación de [ (x ) (x ) ] 33 Universidad Nacional del Santa

34 Por que ( p q ) (p q) [ x ] Def. Intersección x Negación de x ( ) Def. Complemento Luego, x ( ) x ( ), lo cual demuestra que: ( ) ( ). De ( I ) y ( II ) ( ) =. ILUSTRCIÓN RESUMEN sociativa ( C) = ( ) C ( C ) = ( ) C Distributiva ( C) =( ) ( C) Leyes del Álgebra de conjuntos Morgan ( ) = ( ) = bsorción ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = Conmutativa = = 34 Universidad Nacional del Santa

35 CTIVIDD N 02 Demuestre a continuación las leyes del álgebra que se mencionan EJERCICIOS GRUPO 5 I. Utiliza convenientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para resolver los problemas que se plantean a continuación. 1. Cuál es la expresión equivalente a: x [ ( )]? a. x x b. x c. ( x ) ( x ) 2. Cuál es la expresión equivalente a: x [ ( C)]? a. x ( x x C ) b. x ( ) x ( ) c. x ( ) ( x C ) d. x x x C 3. Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas? a. = b. = c. = ( ) II. d. Desarrollar: 1. Dados los conjuntos,, C y D, efectuar las operaciones indicadas y representar gráficamente los resultados, siendo: 2n 1 = { x / x =, n } 3 = { x / x 2 7x = 0 } 35 Universidad Nacional del Santa

36 C = { x / ( x 2 )( x 2 9 )( x 4 ) = 0 } a. ( ) C b. ( C ) - c. ( C ) d. C Nota. U =. 2. Con los conjuntos y se define una nueva operación Ξ, tal que : Ξ = ( ). Si = { 5, 4, 7, 6, 2 }, = { 1, 3, 5, 7, 9 }. Hallar: a. Ξ b. Ξ c. ( Ξ ) Ξ II. Repetir el siguiente diagrama y sombrear la región que se solicita en cada caso. a. ( C ) b. ( C ) c. ( ) C d. ( C ) C U III. Hallar la expresión que representa sombreada. la siguiente región C IV. Qué relación conjuntista representa la región sombreada?. C a) [( ) C' ] U ( ' ' C' ) b) ( ) C c) ( C) ( C) d) ( ' ' C')' U ( C') U( C') e) ( C) U( C ') U ( C ') ' 36 Universidad Nacional del Santa

37 V. Deducir del siguiente diagrama las operaciones que se han realizado para obtener la región sombreada. H P Q M a) ( P Q) ( H' M) b) ( ) H' M ( P Q) c) ( P Q) ( H M) d) ( H M) U ( P Q) e) ( P Q) ( H M) 37 Universidad Nacional del Santa

38 CTIVIDD N 01 OJETIVO N 03 Hallar el Conjunto Potencia de un Conjunto cualquiera y demostrar sus propiedades. Estudie la siguiente información que se ofrece sobre el Conjunto potencia y sus propiedades. Definición. El Conjunto Potencia de un conjunto, denotado por P (), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de. Es decir, P ( ) = { X / X } Nota. 1) X P () X. 2) P (), P (); pues:,. Ejemplo 1. Si = { 1, 2, 3 }, entonces { 1 }, { 2 }, etc. Entonces: P () = {, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, }. Ejemplo 2. P ( ) = { }. Ejemplo 3. = { x / x 4 = 0 } P () = {, }. Ejemplo 4. Dado el siguiente conjunto: = {, { }, { { } }, { { { } } } } Determinar el valor de verdad de cada proposición. 38 Universidad Nacional del Santa

39 ... ( V )... ( V ) { { } }... ( V ) { { } }... ( V ) { { } } P ()... ( V ) { { { } } } P ()... ( V ) { { { { } } } } P ()... ( V ) Propiedades del P (): 1) P () P (). 2) = P () = P (). 3) [P () P () ] P ( ). 4) P ( ) = P () P (). Demostración de ( 1): P () P (). ) Si P () P (). En efecto, sea X P () X X X P () Def. de P () Prop. Transitiva de la Inclusión. Definición de P () Luego, X P () X P () P () P (). )P () P () Sea x { x } Subconjunto de 39 Universidad Nacional del Santa

40 { x } P () Def. P () { x } P () pues P () P () { x } x Def. P () Sub conjunto de por definición de Inclusión. Demostración de (3) [ P () P () ] P ( ). [ ] [ X P() ] [ X P() ] Sea X P() P() Def. Unión ( X ) ( X ) Def. Conj. Pot. X ( ) X P ( ) Luego P () P () P ( ) 40 Universidad Nacional del Santa

41 ILUSTRCIÓN RESUMEN φ P() X P() X Se denota por P() Conjunto potencia de Se define por {X/X } P() Si X = φ, P() = {φ} Tiene 2 n elementos, n es el número de letras de 41 Universidad Nacional del Santa

42 CTIVIDD N 02 Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje. EJERCICIOS GRUPO 5 1) Hallar el Conjunto Potencia de C, siendo C = {, c, { } }. 2) En qué caso se cumple que: P ()? 3) Siendo = { a, } y = { { }, { a } }, hallar: a. P () P () b. P ( ) 4) Demostrar que: a. = P () = P () b. P ( ) = P () P (). CLVE DE RESPUESTS 1) P (C) = {, { },{ c }, { { } }, {,c }, {,{ } }, { c, { } }, C} 2) Si = ó = { } 3) P () P () = P () = {,{a},{ },{{ }},{{a}},{a, },{a,{ }},{a,{a}},{, { }},{,{{a}},{{ }},{a}},{a,,{ }},{a,{ },{a}}, {,{ },{a}},{a,,{a}}, } 42 Universidad Nacional del Santa

43 CTIVIDD N 01 OJETIVO N 06 Resolver problemas diversos relativos al Número Cardinal de Conjuntos. Infórmese sobre las propiedades del número cardinal de conjuntos y sus aplicaciones que se ofrecen en el siguiente texto. Naturalmente que la idea del número de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es primitiva por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto. Se denota por, n( ) = card (). Nota.( ) también se llama número cardinal del conjunto. Ejemplo. Si = {a,b,c} y = {1,-3,5,{3},2}, entonces n()= 3, n()= 5, n[p()] = 2 3 = 8, n[p()]= 5 = 32. Propiedades: 1) Si y son conjuntos finitos disjuntos, entonces: n( ) = n( ) + n( ), si Obviamente que si =, entonces n ( ) = 0. es la parte sombreada del gráfico, entonces: n( ) = n( ) + n( ). U 2) Si y son conjuntos finitos arbitrarios, no necesariamente disjuntos, expresamos: U 43 Universidad Nacional del Santa

44 = ( ) ( ), Con ( ) ( ) =. Entonces por (1): n( ) = n() + n( ) ó n() = n( ) + n( ) 3) Si y son conjuntos finitos arbitrarios, no necesariamente disjuntos, entonces: n( ) = n() + n() n( ) U En efecto, en el gráfico dado observamos que: = [( ) ( )] ( ); es decir es la unión de tres conjuntos disjuntos entre sí. Luego: n( ) = n[( ) ( )]+ n( ) por (1) = n( ) + n( )+ n ( ) por (1) = [n() n( )]+ n( )+ n() n( ) por (2) n( ) = n() + n() n( ). Nota.- Ud. puede tomar = ( ) y demostrar lo mismo. 4) Si, y C son conjuntos finitos tales que: C entonces: n( C) = n() + n() + n(c) n( ) n( C) n( C) + n( C). asta tomar: ( C) = ( C) y aplicar (1) y (3). Para fines prácticos es conveniente representar en un diagrama de Venn compuesto por zonas disjuntas como se ilustra a continuación: a b c U 44 Universidad Nacional del Santa

45 Donde: a = n( ) b = n( ) c = n( ) Ejemplo 1. De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Inglés, 53 no hablan Francés y 27 no hablan Inglés ni Francés. Cuántos alumnos hablan uno de los idiomas? Solución: Hablan Inglés = I Hablan Francés = F n( I ) = 49 n( I ) = 51, Gráficamente: n( F ) = 53 n( F ) = 47. Hablan un solo idioma I F a b c Por dato: Luego: c + 27 = 49 c = 22, a + 27 = 53 a = 26. a + c = 48. U 45 Universidad Nacional del Santa

46 ILUSTRCIÓN RESUMEN P 1 P 2 Cardinal de un conjunto P 3 Es el número de elementos de un conjuntos 46 Universidad Nacional del Santa

47 CTIVIDD N 02 Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje. EJERCICIOS GRUPO 7 1) Los conjuntos, y C, tienen k, 3k y ( k-1) elementos, respectivamente. y tienen k/2 elementos comunes; y C tienen k/4, y y C tienen 2. Si existe un único elemento común a los tres conjuntos. Hallar el número de elementos de: [ ( ) ( ) ] C. 2) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos, y C, se encontró el siguiente resultado: 82 consumen el producto. 54 consumen el producto. 50 sólo consumen el producto. 30 sólo consumen el producto. El número de personas que consumen sólo y C es la mitad de las personas que consumen sólo y C. El número de personas que consumen sólo y es el triple de las personas que consumen los tres productos. El número de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen sólo C. Determinar: a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos. b) El número de personas que no consumen, ni C. c) El número de personas que por lo menos consumen uno de los productos. 47 Universidad Nacional del Santa

48 3) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces: a) Cuántas personas practican sólo un deporte? b) Cuántas personas practican sólo dos deportes? c) Cuántas personas practican al menos dos deportes? d) Cuántas personas practican como máximo dos deportes? 4) En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la Eutanasia, planteándose una moción: 115 europeos votaron a favor de la moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. Cuántos médicos participaron en el congreso? 5) Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPUNS sobre la preferencia de 4 carreras profesionales: Ingeniería de Sistemas (S), Enfermería (E), Comunicación Social (C) y iología en cuicultura (), obteniéndose los siguientes datos: Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (). 22 sólo con (S) 20 sólo con (E) 20 sólo con (C) 20 con (S) y () pero no con (E) 6 sólo con (C) y (E) 4 con (S) y (C) 24 con () y (E) 28 sólo (). Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional? 6) De 700 postulantes que se presentaron a la UNS o a la UNT, 400 lo hicieron a la UNT, igual número a la UNS, ingresando la mitad del total de postulantes. Los no ingresantes se presentaron a la UNMSM, de éstos 90 no se presentaron a la UNS y 1800 no se presentaron a la UNT. Cuántos postulantes ingresaron a la UNT y a la UNS?. 48 Universidad Nacional del Santa

49 7) Suponga que los brevetes sólo se consiguen legalmente, los que tienen brevete profesional saben mecánica mientras que los que tienen brevete particular sólo están autorizados a manejar automóviles y así lo hacen. Si tienen los siguientes datos referente a un grupo de personas: 21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones. 13 saben encender un vehículo pero no tienen brevete. 8 saben manejar vehículos pero no tienen brevete. 2 saben mecánica y manejan camiones. El mismo número sabe manejar vehículos pero no maneja camiones ni tiene brevete. 11 no tienen brevete pofesional y no manejan camiones. 3 tienen brevete particular. demás, téngase en cuenta que los que saben mecánica tienen brevete profesional. Se pregunta lo siguiente: a) Cuántos son en total?. b) Cuántos no tienen brevete?. c) Cuántos cometen infracción de manejar vehículos sin tener brevete?. d) Cuántos saben encender un vehículo pero no manejarlos?. 8) En un avión hay 9 jóvenes, 5 niños peruanos, 9 hombres, 7 jóvenes extranjeros, 14 peruanos, 6 peruanos varones, y 7 mujeres extranjeras. a) Cuál es el número de personas del avión? b) Cuántos son solamente peruanos? 49 Universidad Nacional del Santa

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