Cálculo con aplicaciones en Biología. Homero G. Díaz Marín

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1 Cálculo con aplicaciones en Biología Homero G. Díaz Marín

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3 Contenido 1 El concepto de función Funciones Funciones lineales Funciones crecientes y decrecientes Funciones exponenciales La función exponencial e x Crecimiento exponencial continuo de poblaciones El logaritmo natural y tiempo de duplicación Decaimiento radioactivo Fechamiento de minerales y fósiles Ejercicios de repaso La Derivada Razón media de cambio Razón instantánea de cambio Derivación de funciones polinomiales Derivación de funciones exponenciales Problemas de máximos y mínimos Ejercicios de repaso La Integral Integral Definida: Areas bajo la gráfica Integral Indefinida: Antiderivada Cálculo de áreas usando integrales Cálculo de probabilidades Ejercicios de repaso

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5 Capítulo 1 El concepto de función 1.1 Funciones El concepto de función es uno de los más importantes ya que nos permite expresar la dependencia entre dos cantidades. En lenguaje cotidiano decimos por ejemplo: el precio de un automóvil seminuevo está en función de su modelo, el número de peces en un lago está en función de sus niveles de contaminación, el nivel de riqueza material de un país es función de su PIB per capita. Estas frases expresan la idea de que al conocer un factor se puede determinar completamente al otro. Para estudios de tipo cuantitativo consideramos que ambos factores son cantidades que toman valores numéricos. Es decir, hablaremos de la dependencia de dos cantidades que toman valores en el conjunto de los números reales R. Definición. Una función f es una regla que a todo valor numérico x dentro de un conjunto D R, le asigna un único valor numérico que se denota como f(x). El conjunto D se llama dominio de la función, x es el argumento o variable independiente y al valor y = f(x) se le llama variable dependiente y se lee el valor de f evaluada en x. Una función puede pensarse también como un procedimiento bien determinado que dado un número x lo transforma en otro número f(x). Dicho procedimiento se puede especificar de varias maneras: o bien mediante una fórmula o expresión analítica, o bien mediante una tabla, o bien mediante una gráfica. Una fórmula es una igualdad en la que de un lado muestra la función, f(x), mientras que del otro lado, se indican las operaciones que es necesario hacer con x para obtener el valor de f(x). Ejemplo. Una población de bacterias inicialmente es de 1000 colonias y se incrementa en 20 colonias cada hora, expresar el número de colonias N como una función de x, las horas transcurridas desde el inicio de la observación. Este ejemplo ilustra como el lenguaje algebraico puede ser de gran utilidad para expresar una función mediante una fórmula. Así podemos traducir la frase se incrementa en 20 colonias cada hora adicionando el término 20x y obtenemos la fórmula N(x) = x La función queda completamente especificada con esta fórmula. Una función puede expresarse también como una tabla, es decir una colección de valores de x que forman parejas con sus respectivos valores f(x) asignados mediante la función. Ejemplo. Se midió la estatura (en cm) de un niño cada cumpleaños y se obtuvieron las siguientes mediciones 5

6 x (años) f(x) (cm) Dada una fórmula para una función siempre es posible construir una tabla que cualesquiera valores en x le asigne los valores correspondientes de la funcin. Es claro que una fórmula contiene más información que una tabla, ya que una tabla sólo contiene una colección finita de valores de una función, mientras que una fórmula contiene una infinidad de valores para la función. En el ejemplo anterior, si tuviésemos una fórmula podríamos determinar la estatura del niño en cualquier instante y no solamente cada cumpleaños. Por supuesto que en este momento nos parece difícil adivinar cul es la fórmula que describa la talla como función del peso del niño. Hay situaciones de la vida cotidiana en las que a partir de mediciones y una tabla, es posible adivinar una fórmula o una ley que predice dichas mediciones. Precisamente el cálculo surgió como una necesidad de darle poder predictivo a la ciencia, al permitirle elaborar estas leyes en términos de funciones. Ejemplo. Galileo observó que los cuerpos que caían libremente describían movimientos similares. Por ejemplo al dejar caer una piedra desde la torre de Pisa, observó que la distancia recorrida, h (en metros) por la piedra, se podía describir como función del tiempo transcurrido, t (en segundos), desde que se había dejado caer. Además observó que no importaba la masa de la piedra, es decir, las mediciones eran las mismas, con piedras de masas diferentes: t (s) h(t) (m) Después, Galileo, asumió que el movimiento debía ser uniformemente acelerado, y a partir de esta hipótesis y algunas deducciones matemáticas llegó a la conclusión de que la altura h(t) debía tener la siguiente fórmula que expresaba la distancia vertical recorrida como función del tiempo h(t) = 4.905t 2 Como los datos predichos por la fórmula concordaban con mucha precisión con las mediciones observadas, atribuimos a Galileo el descubrimiento de la ley de la caída libre. Así nació el concepto de ley de la naturaleza como un conjunto de hipótesis que mediante procedimientos matemáticos precisos predicen fenómenos contrastables con mediciones. De la misma manera a como hizo Galileo, en muchos fenómenos biológicos es posible formular hipótesis biológicas que permiten arribar a predicciones contrastables con la observación. A esta herramienta predictiva se le denomina modelo matemático (determinista) del fenómeno en cuestión. Decimos que una variable dependiente y es directamente proporcional (por brevedad usaremos tambin el trmino proporcional) a una variable independiente x, si la razón entre ambas es constante; es decir, si y = kx, donde k se llama constante de proporcionalidad. Así por ejemplo, si el precio y (en pesos) de una bolsa de azúcar es proporcional al peso x (en kg), con constante de proporcionalidad 18, quiere decir que por cada kilo de azúcar debemos pagar 18 pesos. Si el precio es función del peso la función queda determinada por y = f(x) = 18x. Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la edad E en millones de años de rocas presentes en una excavación. La variable independiente x corresponde a la profundidad de la que se extrajo la roca. Profundidad (m) Edad (mill. años)

7 Figura 1.1: Algunos puntos de la gráfica de h(t) = 4.905t Figura 1.2: Gráfica de h(t) = 4.905t 2 Notamos que la edad E es proporcional a la profundidad de la excavación x con constante de proporcionalidad k = 4. Es decir, E = 4x o como función E(x) = 4x. Notamos además que k tiene como unidades m/mill. años. Definición. La representación gráfica de una función f(x) es el trazo en el plano cartesiano que se obtiene al considerar todos los puntos de la forma (x, f(x)), tomando todos los posibles valores x en el dominio D de la función. En términos prácticos la representación gráfica (o simplemente gráfica) de una función se puede esbozar o dibujar si se conoce una tabla con un número suficiente de evaluaciones de la función. En tal caso tendremos una colección de puntos en el plano cartesiano y suponiendo la continuidad de la función podemos intercalar el trazo de la gráfica completa. Ejemplo. Para trazar la gráfica de la función de caída libre h(t) = 4.905t 2 en el lapso de tiempo de 0 a 5 segundos, utilizamos las evaluaciones de la siguiente tabla para esbozar la gráfica de la función en el el intervalo [0, 5]. t (s) h(t) (m) con ello obtenemos una colección de puntos en el plano cartesiano: Al considerar más evaluaciones intermedias (t=.2,.4,.6, etc.) se obtienen más puntos de la gráfica y se puede esbozar la gráfica con más detalle. Al final la gráfica se esboza como un trazo continuo que une todos los puntos calculados: En muchas circunstancias se desconoce la fórmula de una función y solamente es posible trazar algunos puntos. 7

8 Figura 1.3: Crecimiento de una planta de girasol Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a las mediciones de la altura de una planta de girasol, cada semana t (Semanas) Altura (cm) La gráfica correspondiente a estos datos consta de una curva quebrada que une los puntos señalados. Como desconocemos la fórmula de la función que describe la altura h(t) de una planta de girasol como función del tiempo t, no es posible trazar más puntos de la gráfica. Si quisiéramos introducir más datos tendríamos que hacer más mediciones. En estos casos, para tener una idea de como sería la gráfica unimos los puntos con segmentos rectilíneos y obtenemos un trazo poligonal para la gráfica de la función. EJERCICIOS 1. La cantidad de aguacates (en toneladas) producidas en una huerta es proporcional, al número de árboles en el huerto. Si el huerto consta de 255 árboles y produjo 145 toneladas. (a) Calcula la constante de proporcionalidad. Qué unidades tiene la constante de proporcionalidad? (b) Expresa la producción P como función del número de árboles x. (c) Elabora la tabla correspondiente para x = 0, 50, 100, 150, 200. (d) Esboza la gráfica de P (x). 2. Los siguientes datos corresponden a la temperatura (en grados celsius) en el desierto del Vizcaíno durante un día de invierno. t hora T Temperatura ( o C) (a) Esboza la gráfica mediante una poligonal. (b) En qué momento aproximadamente se alcanza la temperatura máxima? Y la mínima? 3. Los siguientes datos corresponden a observaciones del crecimiento de bacterias en un cultivo de E. Coli llevados a cabo en el Instituto Pasteur del sur de India en Se mantuvieron 8

9 las bacterias a una temperatura constante de 37 C o y nutrientes de extracto de carne con sal. t (hr) P(t) (bacterias) 0 2, , , , , ,250, ,750, ,000,000 (a) Esboza la gráfica de la población P como función del tiempo t, con los datos proporcionados. (b) Cuál era la población de bacterias al inicio del experimento? 4. La función de costo, C(x), describe el costo de producción en (miles de pesos) en una granja de truchas para producir x toneladas de trucha al año. Se determinó en un estudio que dicha función tenía la forma C(x) = 0.005x x (a) Evalúa el costo cada 250 tons., es decir en x = 0, 250,..., 1500 (b) Esboza la gráfica de la función costo C(x) en el intervalo [0, 1500]. (c) Aproximadamente cuántas toneladas tienen el costo máximo? Aproximadamente cuál es el costo máximo? 1.2 Funciones lineales Definición. Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b donde m se llama pendiente y b se llama ordenada al origen. Las funciones lineales son las funciones más sencillas que podemos encontrar. Su gráfica también es muy sencilla. Afirmación. La gráfica de una función lineal f(x) = mx + b es un recta que interseca al eje y en el punto (0, b). Si θ es el ángulo que forma dicha recta con el eje x, entonces θ está determinado por la pendiente m, m = tan θ, θ = tan 1 m. Se sigue de esta afirmación las siguiente observaciones 1. Si m = 0, entonces la gráfica es una recta es horizontal, es decir, paralela al eje x, además y es la función constante y = b. 2. Si m > 0, entonces la gráfica es una recta que forma un ángulo θ agudo entre 0 o y 90 o con el eje x 3. Si m < 0, entonces la gráfica es una recta que forma un ángulo θ obtuso entre 90 o y 180 o con el eje x. 9

10 Figura 1.4: Gráfica de y = 4.5x De esta manera, para trazar la gráfica de un función lineal cuando conocemos su fórmula lo único que necesitamos es trazar dos puntos y después unirlos con una recta (una recta está completamente determinada por dos puntos). Ejemplo. Si y es una función lineal de x con ordenada al origen 1.5 y pendiente 4.5; entonces la relación correspondiente se pede expresar como y = 4.5x Su intersección con el eje y, es decir con la recta x = 0, es el punto (0, 1.5). Su intersección con el eje x se puede obtener haciendo y = 0, es decir x = 1.5/4.5 = 1/3. Así la intersección con el eje x es el punto ( 1/3, 0). Es posible trazar la gráfica de la función trazando la recta que pasa por los puntos (0, 1.5), ( 1/3, 0). Ejemplo. Los siguientes valores corresponden a una función lineal, determinar de qué función lineal se trata. x y Solución. Dado que sabemos que y es función lineal de x, entonces tenemos que determinar los valores de la pendiente m y la ordenada al origen b en la ecuación y = mx + b. Basta considerar dos parejas de valores para determinar la función; por ejemplo, al considerar las parejas (3.5, 1), (4.2, 2) y sustituyendo en la ecuación de la recta, obtenemos 1 = 3.5m + b 2 = 4.2m + b Este es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas m, b. Para resolverlo podemos usar por ejemplo el método de suma o resta: Restamos la segunda ecuación de la primera y obtenemos 1 = 0.7m De donde m = 1/0.7. Sustituyendo el valor de m en alguna de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera, se obtiene b = 1 3.5( 1/0.7) = = 4. Por lo tanto, la ecuación de la función lineal que corresponde a la tabla de valores mencionada es y = 10/7x + 4 Ejemplo. Una recta forma un ángulo de 30 o con el eje x y pasa por el punto (1, 2). Determina la ecuación de la recta y = mx + b. Solución. En este caso la pendiente es m = tan 30 o = 1/ 3, para determinar el valor de b la ordenada al origen sustituimos m por 0.5, y la pareja (x, y) por (1, 2) en la ecuación de la recta y = mx + b. 2 = (1)1/ 3 + b de donde b = 2 1/ 3. Finalmente la ecuación de la recta es = (1/ 3)x

11 Los modelos lineales son muy sencillos y en algunas situaciones pueden describir algunos fenómenos biológicos. Ejemplo. En un cultivo de células gliales originalmente había 1000 células; se observó posteriormente que el número de células presentes se incrementaba en 20 cada semana. Expresa el número de células presentes, P (t), como función de t, el número de semanas transcurridas. Solución. El modelo lineal que corresponde sería una ecuación de la forma P (t) = mt + P 0 donde la ordenada al origen es P 0, convenientemente es la población al inicio del experimento. La pendiente m indica la porción de células que se incorporan por unidad de tiempo; en nuestro caso m = 20 células/semana. De esta manera, la función lineal que expresa la población de células como función del tiempo es P (t) = 20t Ejemplo. El número de oyameles presentes en una reserva, decrece de manera lineal por la tala clandestina. Originalmente había 2000 ejemplares y 6 meses después su número se había reducido a Encuentra la función lineal que describe el número de árboles presentes t meses después de iniciadas las observaciones. 2. En cuánto tiempo desaparecerán los oyameles de la zona? Solución. Como se trata de una función lineal tenemos que emplear la siguiente expresión P (t) = mt + P 0. Sabemos que originalmente (cuando t = 0) la población es P 0 = 2000 oyameles. Para conocer el valor de la pendiente m, sustituimos (t, P ) por (6, 1850), en la ecuación, obteniendo 1850 = 6m , Despejando m, 6m = , m = 150/6 = 25. El valor negativo quiere decir que la cantidad de oyameles está disminuyendo a una rapidez de 25 árboles por mes. Así tenemos P (t) = 25t b) Para responder a la pregunta planteada, tomemos en cuenta de que si los oyameles desaparecen, entonces P = 0, es decir, 0 = 25t t = 2000 = 80 meses. 25 Lo que significa que si esta tendencia se mantiene, deben transcurrir 80 meses para que desaparezcan por completo los oyameles. EJERCICIOS 1. Encontrar la función lineal que proporciona los siguientes datos x y Una población de 2000 bacterias se coloca en un cultivo y se observa un crecimiento lineal durante 4 días. Al final de los cuatro días la población era de 6250 células. Escribe la población como función de los días transcurridos. Esboza la gráfica en el intervalo [0, 4]. 11

12 Figura 1.5: Gráfica de P (t) = 25t Durante el siglo XVII las ballenas del Atlántico Norte casi se extinguieron por a causa del exterminio de la industria pesquera Europea. En un periodo de 50 años, la población descendió de 25,000 ejemplares a sólo 20. Suponiendo una función lineal de decremento de la población. (a) Determina la función que describe la población en relación del tiempo transcurrido en años. (b) Aproximadamente cuántas ballenas desaparecían cada año durante ese periodo? (c) Después de cuánto tiempo la cantidad de ballenas se había reducido a la mitad? Aunque aún existen en nuestros días las ballenas en el Atlántico Norte, éstas están condenadas a la extinción. 4. Al inicio del siglo XX en México se hablaban 106 lenguas. Al inicio del 2010, sólo se hablan 46. Suponiendo una función lineal, que expresa el número de lenguas que se hablan, P, como función de los años, t, transcurridos desde Encuentra P 0 y m en la ecuación P = mt+p 0. De seguir esa tendencia En cuánto tiempo perderá México su diversidad cultural? 5. El precio de la gasolina es de $ el litro. Durante un año, el precio se incrementará en 9 centavos cada fin de mes, a partir de enero. (a) Escribir el precio P del litro de gasolina como función lineal de los t meses transcurridos desde enero. (b) Cuál será el precio de la gasolina al finalizar junio? (c) Hacer la gráfica de la función en el intervalo [0, 12]. (d) En qué mes el precio de la gasolina será mayor a $ 13 el litro? 1.3 Funciones crecientes y decrecientes Definición. Una función f(x) es creciente (resp. decreciente) en un intervalo α < x < β, si para toda pareja α < x < x < β se cumple que f(x ) < f(x) (resp. f(x ) > f(x)). En general es difícil determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo; ya que es necesario comparar todas las parejas de puntos x < x. Dichas parejas son infinitas, así que en principio sería imposible concluir nuestra tarea. También es posible entender el comportamiento creciente o decreciente de una función en términos de sus incrementos o decrementos dentro de un intervalo. 12

13 Definición. El cambio o variación de una función f(x) definida en un intervalo a x b se define como f = f(b) f(a). Si f > 0, decimos que se trata de un incremento. decremento. Si f < 0 decimos que se trata de un Afirmación. f(x) es creciente (decreciente) en un intervalo α < x < β si f(x) tiene un incremento (decremento) en todo subintervalo a x b, α < a < b < β. También en términos de incrementos y decrementos no resulta muy práctica la definición de función creciente en un intervalo ya que hay una infinidad de subintervalos a x b contenidos en un intervalo α < x < β. No obstante estas dificultades para determinar si una función es creciente o decreciente, para la clase de funciones lineales es relativamente sencillo verificar si se trata de una función creciente o decreciente. Afirmación. Una función lineal f(x) = mx + b es creciente (resp. decreciente) en todo su dominio si m > 0 (resp. m < 0). En aquellas funciones que no son lineales una misma función puede tener comportamiento creciente o decreciente en intervalos distintos. Ejemplo. Supongamos que P (t) es la población de células cancerosas en un cultivo sometido a cierto fármaco. En un estudio se determinó que la ecuación que describía la población como función de los días transcurridos era P (t) = 0.3t t Observemos que ésta no es una función lineal. La población al inicio del experimento (t = 0) era de P (0) = 500 células. Para realizar la tabla calculamos la población cada 10 días y obtenemos t días P(t) células Al esbozar la gráfica parece que la función es creciente en el intervalo 0 < t < 40 y decreciente para t > Figura 1.6: Gráfica de P (t) = 0.3t t Remarquemos que solamente hemos afirmado que parece ser creciente en el intervalo 0 < t < 40, basándonos en algunas cuantas parejas de valores de la función. Nuestro argumento además es 13

14 sustentado por criterios gráficos. Sin embargo, tendríamos que argumentar de alguna manera que el comportamiento creciente se mantiene para toda pareja (t, t), de números tales que 0 < t < t < 40, no solo para los puntos que hemos considerado. Esta es una de las motivaciones por las que más adelante introduciremos el concepto de derivada. La totalidad de las células desaparecen cuando P = 0. Resolviendo para t tenemos 0 = 0.3t t Empleamos la fórmula general para encontrar las raíces de un polinomio cuadrático ax 2 + bx + c, la cuál es x = b ± b 2 4ac 2a En nuestro caso a = 0.3, b = 24, c = 500. Sustituyendo tenemos t = 24± ( 0.3)(500) 2(.3) el valor que hace sentido en este problema se obtiene tomando el signo - en la raíz cuadrada; t = por lo que aproximadamente después de 97 días todas las células cancerosas han desaparecido. Podemos resumir el comportamiento de la población en el ejemplo anterior como sigue: Primero la población parece crecer hasta aproximadamente los 40 días. La población parece tener un valor máximo de 980 células después de 40 días. En seguida parece que decrece hasta finalmente desaparecer después de aproximadamente 97 días. De este análisis podemos extraer la siguiente conclusión Afirmación. Si f(x) es una función creciente (resp. decreciente) en α < x < x 0 y decreciente (resp. creciente) en x 0 < x < β, y si además es una función continua; entonces f(x) tiene un valor máximo (resp. mínimo) local en x 0. Es decir, f(x 0 ) f(x) (resp. f(x 0 ) f(x)), para todo α < x < β. La condición de que f(x) sea continua se refiere intuitivamente a que el trazo de su gráfica sea continuo. Nosotros consideraremos siempre funciones continuas por lo que este tecnicismo no será visto detallado. La denominación máximo local se refiere a que la función adquiere un máximo en un intervalo α < x < β que contiene a x 0, pudiendo tener otros máximos fuera de este intervalo. EJERCICIOS 1. Suponiendo que una función tiene la gráfica indicada en la figura 1.8 señala aproximadamente cuales son los intervalos en los que es creciente, decreciente y los valores de x donde alcanza un máximo o mínimo local. 2. En cierto modelo, la tasa de crecimiento de la biomasa es f(x) y es función de la biomasa x de un recurso natural. f(x) está dada por ( f(x) = rx 1 x ) K donde r es la tasa intrínseca de crecimiento; K es el nivel de saturación. Para una población de truchas K = 5000, r =

15 Figura 1.7: Una función con dos máximos locales y dos mínimos locales [h] Figura 1.8: (a) Esboza la gráfica de f(x) utilizando los valores x = 1000, 1500,..., 3500, (b) En qué intervalo de 1000 < x < 4000 es creciente la función f(x)? dónde es decreciente? (c) Para qué valor de x, f(x) alcanza un valor máximo? Cuál es el valor máximo de f(x)? (d) Para qué valores de x, la tasa de crecimiento f(x) es Funciones exponenciales Una función exponencial de base a, a > 0, a 1, es una función que tiene la forma f(x) = a bx. También las funciones exponenciales tienen criterios muy sencillos para verificar si se trata de funciones crecientes o decrecientes. Afirmación. La función exponencial f(x) = a bx, es creciente 1. Si a > 1, b > 0, 2. Si 0 < a < 1 y b < 0. Es decreciente 15

16 y x Figura 1.9: Gráficas de 0.5 x, 1.5 x, 0.5 2x, 0.5 2x 1. Si a > 1 y b < 0 2. Si 0 < a < 1 y b > 0. Para ver como aparecen las funciones exponenciales en el estudio de poblaciones biológicas, analicemos el siguiente ejemplo. Ejemplo. Supongamos que un biólogo desea estudiar la reproducción de unas aves migratorias que llegan a una reserva. Ss sabe que dichas aves tienen un sólo periodo de reproducción al año. Realiza el conteo de la población al final del periodo de reproducción durante cinco años consecutivos. Se obtienen los siguientes datos t P (t) Incremento Observa que la población no crece de manera lineal ( Porqué?) Sin embargo el patrón de crecimiento tiene la siguiente peculiaridad: Incremento anual Población al inicio del año.02 Es decir la tasa porcentual de crecimiento se mantiene más o menos constante y es de = 2%. t P(t) Incremento anual Tasa porcentual de crecimiento

17 P t Figura 1.10: Gráficas de P (t) = 2500(1.02) t con t entero Este modelo se puede generalizar de la siguiente manera Afirmación. Bajo ciertas condiciones es posible suponer que una población se incrementa en la misma proporción o porcentaje cada periodo de reproducción. La ecuación que describe el crecimiento (decrecimiento) de la población bajo estas circunstancias es P (t) = P 0 (1 + r) t para crecimiento P (t) = P 0 (1 r) t para decrecimiento Donde t son los periodos de reproducción transcurridos. P 0 es la población inicial (cuando t = 0). r es la tasa porcentual de crecimiento (decrecimiento) por periodo de reproducción. Regresando a los datos del ejemplo anterior vemos como haciendo r =.02 y P 0 = 2500 tenemos el modelo exponencial P (t) = 2500(1.02) t. A continuación contrastamos los datos observados con los datos predichos por el modelo. t Población P(t) Ejemplo. Una población de ballenas se reproduce una sola vez al año. Inicialmente hay 850 individuos y después de un año la población es de 857. Suponiendo un modelo a tasa porcentual constante una vez cada año, P (t) = P 0 (1 + r) t. 1. Determina el valor de la población inicial P 0 y de la tasa porcentual de crecimiento r. 2. Cuál será la población 10 años después de iniciadas las observaciones? 17

18 P t Figura 1.11: Gráfica de P (t) = 850( ) t con t entero Solución. Es claro que P 0 = 850 ( porqué?). Para determinar el valor de r, basta considerar la proporción en la que se incrementó la población al cabo de un año. r = Incremento de la población = Población al inicio del periodo 850 El modelo exponencial es basta sustituir t = 10. r = ( P (t) = ) t, 850 ( P (10) = ) También puede estudiarse el decrecimiento de poblaciones con este modelo exponencial. En este caso la ecuación que describe la población como función del tiempo es P (t) = P 0 (1 r) t donde r tiene ahora un signo menos que indica que se trata de una tasa de decrecimiento. Ejemplo. Una población de monos araña en una región de la selva en Campeche disminuyó de 1320 ejemplares a 1200 ejemplares en 6 años. Suponiendo un modelo de decrecimiento a tasa porcentual constante, P (t) = P 0 (1 r) t y un periodo de reproducción al año. Determina el valor de la tasa de decrecimiento. Solución. Debemos despejar r de la ecuación P = P 0 (1 r) t (1 r) t = P P ( 0 t 1 r = r = 1 t ) 1 P P 0 P P 0 18

19 P t Figura 1.12: Gráfica de P (t) = 1320( ) t con t entero Sustituyendo P 0 = 1320, t = 6 y P (6) = 1200, tenemos: r = es decir una tasa porcentual constante de decrecimiento de 1.576%. Observación. El despeje para r en el modelo de crecimiento P (t) = P 0 (1 + r) t es r = t P P 0 1. en tanto que para el modelo de decrecimiento (como en el problema anterior)es r = 1 t P P 0. EJERCICIOS 1. Una población de golondrinas que arriba a una comunidad se incrementó de 5600 ejemplares a 5630 al cabo de un año. Suponiendo un periodo de reproducción anual a tasa porcentual anual constante. Determina dicha tasa r. 2. Durante la revolución mexicana la población en México disminuyó de 15 millones en 1910, a 13.9 millones de habitantes en Suponiendo un modelo exponencial anual P (t) = P 0 (1 r) t, donde t son los años transcurridos desde 1910 y P 0 es la población de 1910 y r es la tasa porcentual anual de decrecimiento. (a) Determina la tasa porcentual anual de decrecimiento, r. (b) Esboza la gráfica de la función usando t = 0, 1, 2,..., El precio del gas se incrementara en 5 % mensual al final de cada mes a partir de enero. Si el precio original del cilindro de gas es 285 pesos al 1 de enero. Escribe el precio del cilindro de gas como función de los meses t transcurridos a partir del inicio del año. Cuál será el precio el 31 de julio?. 19

20 1.5 La función exponencial e x Crecimiento exponencial continuo de poblaciones Hemos visto que el modelo de crecimiento exponencial de una población P (t) = P 0 (1 + r) t, supone las siguientes hipótesis: A) La población se reproduce con una tasa porcentual constante. B) La población se incrementa por saltos, es decir, sólo lo hace una vez por periodo de reproducción. La hipótesis B es adecuada para describir el crecimiento de algunas poblaciones como las golondrinas, ballenas, para las cuales las escalas temporales pequeñas no son tan importantes. Por ejemplo, para una población que se reproduce una sola vez al año, no nos interesa mucho saber cuál es la población en escala de días entre dos fechas de conteo sucesivas. Sin embargo esta hipótesis resulta inadecuada y poco realista ya que en general la dinámica de poblaciones tiene lugar de manera continua. En el tiempo los organismos nacen y mueren sin tener una fecha específica para hacerlo, por lo que el conteo de la población debe considerarse como un fenómeno continuo en el tiempo que no se produce mediante saltos. Por ejemplo en el estudio del crecimiento semanal de bacterias en un cultivo, no es posible suponer que la población se incrementa sólo cada semana. Es más factible suponer que la población se está incrementando de manera continua, instante a instante. En otras palabras, las escalas de tiempo pequeñas (por ejemplo horas, minutos o segundos) resultan importantes para el bacteriólogo. Ejemplo. Una población de bacterias en un cultivo se reproduce a tasa porcentual constante de 5 % semanal. Calcula la población de bacterias transcurridas 2 semanas, suponiendo que se reproducen una vez cada: a) Semana; b) Día; c) Hora; d) Minuto; e) Segundo. Solución. a) Sustituimos P 0 = 30000, r =.05 y t = 2 en el modelo P (t) = P 0 (1 + r) t, P (2) = 30000(1.05) 2 = b) Suponiendo que las bacterias se reproducen una vez por día, entonces la dinámica de la población de bacterias difiere. Denotemos k = 7 el número de días de la semana. Entonces dado que la tasa porcentual r = 0.05 es semanal, debemos considerar una nueva tasa porcentual diaria, a saber, r/k =.05/7. Además en 2 semanas debemos considerar kt = 7(2) = 14 periodos de reproducción de donde, la población al final de las dos semanas sería P = P 0 ( 1 + r k ) kt = 30000(1 +.05/7) Para los siguientes incisos podemos completar la siguiente tabla que muestra la evolución de la población para los distintos ritmos de reproducción k Tasa porcentual P(t) 1 5% semanal /7% por día /168% por hora /10080% por minuto /604800% por segundo Del ejercicio anterior vale la pena hacer las siguientes observaciones. Observación. Para un ritmo de reproducción más acelerado, la población después de dos semanas tiende a ser mayor. Por ejemplo para un ritmo diario (k = 7), la población esperada es de 33143, mientras que para un ritmo que toma escalas de tiempo de segundos (k = ), la población es de (mayor). 20

21 P P P t t t Figura 1.13: Gráfica de P (t) = 30000(1 +.05/k) kt, k = 1, 7, 168 Para periodos de reproducción cada vez más pequeños, la población después de dos semanas tiene a estabilizarse en un valor determinado de aproximadamente bacterias al final de dos semanas. Afirmación. Si en el modelo de crecimiento exponencial a tasa porcentual constante r ( P r ) kt, k nos interesa predecir el comportamiento de la población a escalas de tiempo pequeñas, debemos tomar k muy grande (esto se escribe k ). Cuando hacemos esto, la población que obtenemos se aproxima a un valor que denotamos P (t) = lim k P 0 ( 1 + r k ) kt. En el ejemplo de las bacterias que acabamos de analizar se tiene lim 30000(1 + k r/k)2k Resulta sorprendente que esta aproximación puede calcularse mediante una fórmula, es decir, no será necesario hacer k para poder calcular la población tomando en cuenta escalas de tiempo pequeñas. Afirmación. Se tiene el límite ( lim P r ) kt = P0 e rt. k k donde e es cierto número irracional (no periódico) al que se llama la base de los logaritmos naturales. Por tanto un modelo de crecimiento exponencial que toma en cuenta escalas muy pequeñas de tiempo, tiene por ecuación P (t) = P 0 e rt A dicho modelo también se le denomina exponencial continuo, porque toma en cuenta que la población crece instante a instante. En el ejemplo de las bacterias se tiene 30000e Ejemplo. Consideremos una población de peces introducidos en una presa consta de 100 mil ejemplares y crece a una tasa anual del 50 %, suponiendo un crecimiento anual, semestral, bimestral y mensual se tiene P (t) = 100(1 +.5/k) kt, con k = 1, 2, 6, 12. Sus gráficas aparecen en la fig Al considerar un crecimiento continuo en el tiempo, k, de donde se tiene P (t) = 100e.5t. 21

22 P miles t Figura 1.14: Gráficas de P (t) = 100(1 +.5/k) kt, k = 1, 2, 6, 12, y gráfica de P (t) = 100e.5t Ejemplo. La población de México en el 2002 fue de millones de habitantes. Si la tasa de crecimiento era 1.4 % anual. Suponiendo que se mantiene constante. 1. Calcula la población en el 2010 utilizando el modelo exponencial continuo P (t) = P 0 e kt. 2. Bajo esa misma dinámica poblacional, calcula la población que había en el Solución. Podemos considerar P 0 = millones como la población inicial, t el número de años transcurridos desde el Para calcular la población en el 2010, utilizamos r =.014 y t = = 8, P (8) = 101.8e millones. Gráfica de P (t) = 101.8e.014t Para calcular la población que hubo en el 2000 hacemos t = = 2, P ( 2) = 101.8e.014( 2) = 98.9 millones. Ejemplo. En cierto país la tasa porcentual de crecimiento es r =.04. En qué proporción se habrá incrementado la población en cinco años? Suponiendo un modelo exponencial continuo. Solución. Como tenemos un modelo exponencial continuo se tiene P (t) = P 0 e rt = P 0 e.04t. Después de cinco años, P (5) = P 0 e.04(5) = P 0 e.2 = P 0 (1.2214) Quiere decir que la población se habrá incrementado en una proporción P (5) P 0 = P 0 P 0 = , que en porcentaje se traduce en un = %. 22

23 P mill t Figura 1.15: Gráfica de P (t) = 101.8e.014t Observación. Notamos que la función exponencial P (t) = P 0 e rt tiene las siguientes propiedades: A). Es creciente si r > 0 B). Es decreciente si r < 0. C). P (0) = P 0. D). Siempre es positiva (si P 0 lo es). En particular no existe ningún valor de t para el cual P (t) = 0. E). Si r > 0, para valores positivos grandes de t, P (t) tiene valores grandes F). Si r < 0, para valores negativos grandes de t, P (t) es muy cercana a El logaritmo natural y tiempo de duplicación Definición. Dado una número positivo y > 0, entonces x es el logaritmo natural de y si y = e x y se escribe x = ln y. El logaritmo natural tiene la siguiente propiedad ln e x = x = e ln x. La cuál es útil en algunos problemas que involucran la función exponencial. En la fig aparece la gráfica de la función logaritmo natural. Ejemplo. Suponiendo que la población mundial crece continuamente de manera exponencial con tasa anual 1.6 % y que en 1995 la población fue de 5770 millones de habitantes. Calcula el tiempo para el cual la población alcanzará los 7000 millones de habitantes con este modelo. Calcula el tiempo de duplicación de la población. Solución. Tenemos que despejar t de la ecuación P = P 0 e rt. De la ecuación obtenemos e rt = P P 0. Aplicando logaritmo rt = ln P P 0, finalmente t = ln P P 0 r 23

24 ln x x 2 4 Figura 1.16: Gráfica de ln x P mill t Figura 1.17: Gráfica de P (t) = 5770e.016t Sustituyendo r =.016, P = 7000 y P 0 = 5770 obtenemos t = ln = que corresponde al año = Para calcular el tiempo de duplicación despejamos t de la ecuación, P = 2P 0. Es decir, de 2P 0 = P 0 e rt,, obtenemos la fórmula general, t = ln (2). r En nuestro ejemplo particular t = ln 2/.016 = 43.32; que corresponde a aproximadamente el año =2038. Ejemplo. Si la población de un país crece de 16 millones a 18.5 millones en 10 años. Calcula la tasa de crecimiento en el modelo exponencial P = P 0 e rt. Solución. El despeje de r utilizando las propiedades del logaritmo natural es r = ln P P 0 t 24

25 y gr [h] t hrs Figura 1.18: Ley de decaimiento del Rn , y(t) = 10e.0077t Sustituyendo P = 18.5, P 0 = 16 y t = 10, tenemos r = ln = que corresponde a una tasa porcentual de 1.45 % anual Decaimiento radioactivo La función exponencial e x aparece también en otros contextos en los que se describe un decaimiento de una cierta magnitud como función del tiempo. Según la explicación de Rutherford para la radioactividad, los átomos de ciertos elementos muy pesados son inestables y se transforman en otros elementos cuyos átomos son más ligeros, emitiendo; Partículas α: combinación de dos protones y dos neutrones. Partículas β: electrones energéticos. Partículas γ: fotones de alta energía o rayos X. Por ejemplo el isótopo de radón Rn es un elemento radioactivo. Rutherford descubrió que si y 0 es la cantidad original de una muestra de material radioactivo, y si y(t) es la cantidad de material radioactivo presente en una muestra t horas después de iniciadas las observaciones, entonces y(t) = y 0 e λt Esta es la ley de decaimiento radioactivo y expresa la cantidad de material radioactivo presente como función del tiempo. La constante λ se llama la constante de desintegración radioactiva del elemento. Para el Rn , la constante radioactiva es λ = y sus unidades son horas 1. Ejemplo. Calcula la porción de material radioactivo presente en una muestra de 10 gr de Rn después de 240 horas Solución. Tomamos y 0 = 10 y entonces y(240) = 10e (240) = 10e = 1.58 gramos Consideremos la ley de decaimiento radioactivo Q = Q 0 e λt 25

26 y gr t hrs Figura 1.19: Vida media de Rn donde Q 0 es la cantidad original de material radioactivo, λ es la constante radioactiva, Q es la cantidad de material radioactivo presente después de t unidades de tiempo. La vida media, t m, de una sustancia radioactiva se define como la cantidad de tiempo requerida para reducir a la mitad la cantidad de la sustancia radioactiva del material. Es una constante que solamente depende de la sustancia y que se puede relacionar a la constante radiactiva, mediante la relación Q = Q 0 2, Q 0e λtm = Q 0 2 de donde es posible obtener la relación t m = ln ( ) 1 2 λ = ln 2 λ Por ejemplo para Rn la vida media es t m = ln 2/ = horas (ver figura) Fechamiento de minerales y fósiles La función exponencial es útil en el fechamiento de minerales y fósiles para determinar el tiempo en el que vivieron organismos o para determinar la edad de una roca. En 1960 W. Libby ganó el Premio Nobel por su descubrimiento del método de datación de carbono. El método consiste en considerar la proporción de carbono 14 respecto al carbono 12 presente en un tejido muerto. Debido a que el carbono 14 decae en carbono 12, dicha proporción disminuye respecto a la proporción carbono 14/ carbono 12 presente en la atmósfera. Se determinó que la vida media del carbono 14 es de 5730 años por lo que su constante radioactiva se obtiene de la relación λ = ln ( ) 1 2 = ln 2 t m sustituyendo t m = 5730 se obtiene λ = Ejemplo. Un fósil tiene 30 % del carbono 14 que contenía originalmente. Calcula la edad del fósil. Solución. Basta considerar la relación Q Q 0 = e λt, de donde Q/Q 0 = e λt. Empleando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación t m t = ln Q Q 0 λ 26

27 sustituyendo en nuestro caso particular se tiene t = 1.6 Ejercicios de repaso ln Expresa el área de un cuadrado como función de la longitud de uno de sus lados. 2. La presión P de un gas a volumen constante es función de su temperatura de acuerdo a la función lineal P (T ) = kt + b para unas constantes k y b. Supón que en un experimento cuando T = 0 o C se midió P = 760 mmhg; después cuando T = 100 o C, se midió P = 1040 mmhg. (a) Determina el valor de las constantes k y b en este experimento. Qué unidades tienen k y b? (b) El cero absoluto se puede aproximar haciendo P = 0. De la ecuación P = kt +b encuentra el valor T para el que P = El nivel de CO 2 en partes por millón (ppm) en el Observatorio Mauna Loa fue de en 1970 y en Asumiendo que el nivel de CO 2 crece de manera lineal (a) Encuentra la ecuación que determina la concentración de CO 2, C(x), como función lineal del tiempo x (en años transcurridos desde 1970). Cuál es la pendiente y cuál es la ordenada al origen? (b) Usa esta ecuación para predecir el nivel de CO 2 en 1900 y en La reacción del cuerpo a las drogas está dada por la ecuación ( M R(D) = D 2 2 D ) 3 donde D es la dosis administrada, M es una constante que representa la dosis que produce máxima reacción. (a) Utiliza M = 200 y esboza la gráfica de la función utilizando los siguientes valores de D, 0, 50,..., 300, 350. (b) En qué intervalos es creciente/decreciente R(D)?. 5. La temperatura corporal en un individuo sigue un ciclo circadiano con un modelo dado por la siguiente ecuación T (t) = 0.002(t 3 45t t ) donde T (t) es la temperatura corporal y t es el tiempo en horas transcurrido desde las 8 hasta el fin del día, 8 t 24. (a) Evalúa la temperatura T (t) cada 2 horas, es decir para t = 8, 10,..., 24. (b) En qué intervalos la temperatura es creciente/decreciente? (c) Aproximadamente a qué hora alcanza la temperatura máxima y la mínima? 27

28 6. La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la razón de enfriamiento R de un objeto caliente es directamente proporcional a la diferencia entre la temperatura T del objeto y la temperatura del ambiente T 0, con constante de proporcionalidad k. (a) Escribe la ecuación que describe R como función de T. Cuál es la pendiente, la ordenada al origen?. (b) Suponiendo que en la cocina hay una temperatura T 0 = 20 o C y que cuando una tasa de café tiene temperatura T = 40 o C, entonces R = 5 o C/seg, calcula la constante k. (c) Esboza la gráfica de la recta del inciso anterior. 7. Una población de golondrinas se reproduce cada otoño (una vez al año), con una tasa de crecimiento de r = 2% anual o r = 0.02 año, con una población inicial P 0 de 10,000 ejemplares. (a) Emplea el modelo de crecimiento con una replicación anual P (t) = P 0 (1 + r) t donde t son los años transcurridos para calcular la población en t = 0, 1, 2,..., 8. (b) Esboza la gráfica con estos valores. (c) En cuánto tiempo se duplica la población? 8. La población P de una ciudad como función del tiempo t, suponiendo el modelo utilizado en el problema anterior, tiene la forma P (t) = 80, 000(1.015) t (a) Determina la razón anual de crecimiento r y la población inicial P 0. (b) Determina el momento t en el que se duplica la población. 9. Una población crece a una tasa porcentual constante 2.5 % anual. Dentro de 5 años la población será de individuos Cuál es la población actualmente? Emplea el modelo de crecimiento con una replicación anual P (t) = P 0 (1 + r) t. 10. Una población de mosquitos se reproduce una vez al mes. Calcula la tasa de reproducción mensual si la población crece de 9000 a 9095 durante dos meses. Emplea el modelo de crecimiento con una replicación mensual P (t) = P 0 (1 + r) t 11. Una población de bacterias crece de manera continua de 6000 a 9000 células durante 24 horas. Determina la ley de crecimiento exponencial P (t) = P 0 e rt. 12. Unos pergaminos datan de año 100 antes de n. e. Determina el porcentaje de carbono 14 aún presente en la fecha de su descubrimiento en el año La datación de carbono 14 del manto de Turín se realizó en El estudio arrojó que estaba presente el 92.3 % del carbono 14 original del Santo Sudario. (a) Calcula la edad probable del Santo Sudario. (b) Calcula el porcentaje presente de carbono 14 si en realidad se tratara de una reliquia de 1960 años de edad. (c) En el año 1398, ante el papado, el obispo Pierre d Arcis, acusó a un colega de falsificación del Santo Sudario. Determina si tenía razón el obispo en sus acusaciones. 28

29 14. Una población de bacterias crece de acuerdo a la ley de evolución P (t) = t + 30t 2. Donde t es el número de horas transcurridas desde iniciado el experimento. (a) Encuentra el tiempo t 0 0, para el cuál la población se hace 0. (b) Esboza la gráfica de la función en el intervalo [0, t 0 ]. 15. Supón que la inflación en México crece de manera continua con tasa del 4.5 % anual. (a) Si el litro de gasolina cuesta 7.9 pesos. Escribe la función que describe el precio P del litro de gasolina en términos del tiempo t medido en años. (b) Dentro de cuántos años se duplicará el precio de la gasolina? (c) En otro país el precio de gasolina se incrementa de 7.9 a 10 pesos en 5 años cuál es la tasa de inflación en ese país? 16. El rubidio 87, Rb 87, es un elemento inestable y decae exponencialmente a estroncio 87, Sr 87 emitiendo radiación beta. Se le encuentra abundantemente en muchos minerales en la Tierra. (a) Si la cantidad de Rb 87 presente en un mineral se reduce a la mitad en aproximadamente años. Calcula la tasa λ de decrecimiento anual en el modelo exponencial Q (t) = Q 0 e λt. (b) En un pedazo de biotita hallado en el Gran Cañón se encontró 202 partes por millón (ppm) de Rb 87 y 3.97 ppm de Sr 87. Suponiendo que originalmente la concentración de Rb 87 en la biotita era de Q 0 = = ppm cuál es la edad de la roca? 17. Una población de pingÿinos en una reserva descendió de 2500 ejemplares en 1970 a sólo 1000 ejemplares en el Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal calcula la población que habrá en el Esboza la gráfica que describa el comportamiento desde 1970 hasta el De seguir esa tendencia En qué momento se extinguirá dicha especie? 18. Una población de antílopes migrantes del norte de Canadá está creciendo a una tasa porcentual constante de 1.5% anual. Suponiendo un periodo de reproducción anual, si en este momento hay 60,000 ejemplares calcula en cuánto tiempo se duplicará la población. 19. La cantidad que queda de una sustancia radioactiva después de t años está dada por Q(t) = Q 0 e t. Si después de 5000 años hay 200 gramos de sustancia Cuántos gramos había inicialmente? 20. Una cuenta de banco que capitaliza mensualmente crece de a pesos en 2 meses. Calcula la tasa mensual de interés. 21. Al producirse x unidades de cierto artículo, el precio unitario de cada unidad será P (x) = 40e.05x dólares. a) Qué cantidad debe producirse para que el precio unitario sea de 10 dólares. b) Esboza la gráfica utilizando x = 0, 20, 40, 60,..., En una cuenta de banco se invirtieron 45,000 pesos durante 6 meses a capitalización mensual. Al final de estos 6 meses la cuenta ascendió a 46,200 pesos. a) Calcula la tasa porcentual mensual de la inversión. b) Calcula a cuánto ascenderá el monto si los 45,000 se invierten durante 25 años. 23. En una zona en recuperación del santuario de la mariposa monarca se observa 30,000 ejemplares se incrementan a 30,560 durante un año. Suponiendo que la población de mariposas monarca se incrementa un vez cada año a tasa porcentual constante: a) determina la tasa porcentual de crecimiento anual, b) Calcula la población que habrá en la zona después de 10 años. 29

30 24. Una población de bacterias crece de acuerdo a la relación P = P 0 e.05t. Encuentra t para el cual se duplica la población. 25. Una población de bacterias crece de acuerdo a la ecuación P = 1000e rt. Encuentra la razón de crecimiento r para la cual la población llega de 1000 a los 5000 en 4 días. 26. Un cultivo de E. coli crece de acuerdo al modelo exponencial, tiene un tiempo de duplicación de 16 minutos. Cuando t = 0 se tenía una población P 0 = P (0) = 20, 000 bacterias. (a) Encuentra la expresión para el número de bacterias después de t horas. (b) Encuentra el número de bacterias después de 6 horas. (c) Cuándo se tendrá una población de P = 1, 000, 000 de bacterias? 27. Un cultivo de bacterias está en fase de crecimiento exponencial. 2 horas después de iniciado el experimento el conteo fue de 5,000 bacterias. 7 horas después había 256,000 bacterias. (a) Cuál era el número de bacterias cuando inició el experimento, es decir en t = 0? (b) Determina el número de bacterias P (t) como función exponencial para t 0. (c) Cuál es el tiempo de duplicación del cultivo? 28. Inicialmente había 100 mg presentes de cierta sustancia radioactiva. Después de 6 horas disminuyó en un 3 %. Encuentra la cantidad de sustancia radioactiva que queda después de 24 horas y determina la vida media de la sustancia. 29. En un pedazo de madera quemada de la caverna de Lascaux se encontró que un 85.5 % del C 14 ya se había desintegrado. Qué edad tenía ese pedazo de madera? 30. La planta de girasol en cierta región crece de acuerdo a la siguiente ecuación logística y(t) = e (t 4.89) + 1 donde y es la altura promedio (en cm), t semanas después de iniciado el experimento. (a) Esboza la gráfica de y(t) en el intervalo t [0, 12]. (b) Cuando ha transcurrido mucho tiempo a qué valor se aproxima y? 30