UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA SEDE MATRIZ CUENCA CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA SEDE ATRIZ CUENCA CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Tesis previa a la obtención del título de Ingeniero Electrónico. ODELACIÓN ATEÁTICA Y SIULACIÓN DE UN FILTRO DIGITAL HIBRIDO FIR ADAPTATIVO LINEAL ÓPTIO AUTORES: Hugo Nelson Apolo Castillo Alejandro Esteban Córdova edina DIRECTOR: Ing. Walter Orozco Cuenca Ecuador 00

2 ODELACIÓN ATEÁTICA Y SIULACIÓN DE UN FILTRO DIGITAL HIBRIDO FIR ADAPTATIVO LINEAL ÓPTIO

3 Declaratoria de Responsabilidad El análisis de la tesis intitulada ODELACIÓN ATEÁTICA Y SIULACIÓN DE UN FILTRO DIGITAL HIBRIDO FIR ADAPTATIVO LINEAL ÓPTIO, es el resultado investigativo y los conceptos desarrollados, análisis realizados y las conclusiones del presente trabajo, son de exclusiva responsabilidad de los autores. Hugo Apolo Esteban Córdova

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5 Certificación En calidad de DIRECTOR DE LA TESIS ODELACIÓN ATEÁTICA Y SIULACIÓN DE UN FILTRO DIGITAL HIBRIDO FIR ADAPTATIVO LINEAL ÓPTIO, elaborada por Hugo Nelson Apolo Castillo y Alejandro Esteban Córdova edina, declaro y certifico la aprobación del presente trabajo de tesis basándoe en la supervisión y revisión de su contenido. Ing. Walter Orozco DIRECTOR DEL PROYECTO

6 Dedicatoria Hugo i failia y aigos han sido un pilar fundaental que con todo su cariño y coprensión han estado siepre apoyándoe e hicieron posible la culinación de la presente tesis y así dar este iportante paso en i vida profesional. Esteban A is abuelos y padres que con su sabiduría han sabido apoyare para no desfallecer en el caino. A is aigos, aquellos que e han ipulsado para ejorar. A profesores y guías que han aclarado nuestro caino

7 . Agradeciiento Nuestro agradeciiento va dirigido a la Universidad Politécnica Salesiana y a los docentes de nuestra carrera, que con sus conociientos han aportado directa e indirectaente en nuestra foración profesional, de anera uy especial al Ing. Walter Orozco que nos supo guiar de anera acertada en el desarrollo de nuestro trabajo de Tesis. Tabién nuestro agradeciiento va a todas aquellas personas que nos apoyaron y nos han peritido llegar a este punto tan iportante de nuestras vidas profesionales, ya que es un gran paso para seguir creciendo en todo aspecto. LOS AUTORES

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9 Índice General Índice General Índice de Figuras. I Índice de Tablas... IV Introducción... V CAPITULO I: DIGITALIZACIÓN DE LA SEÑALES.. Conversión Analógico-Digital uestreo y anteniiento Cuantificación y Decodificación Conversores A/D con Sobreuestreo Ruido de Cuantificación..... Estructuras para la Realización de Sisteas en Tiepo Discreto Errores Resultantes del Redondeo y Truncaiento... 5 CAPITULO II: IPLEENTACIÓN DE SISTEAS EN TIEPO DISCRETO.. Herraientas ateáticas Transforada Z Transforada de Fourier Transforada de Fourier Discreta DTF Transforada Rápida de Fourier FFT Identidad de Parseval Desigualdad de Bessel Aliasing Estadística Probabilidad Valores Esperados Procesos Aleatorios Procesos Estocásticos Estructuras para Sisteas FIR... 38

10 Índice General... Estructura en Fora Directa Estructura en Fora de Cascada Estructura de uestreo en Frecuencia Estructura en Celosía Estructuras Para Sisteas IIR Estructura en Fora Directa Grafos y Estructuras Transpuestas Estructura en Fora de Cascada Estructura en Fora Paralela Estructura en Celosía y en Celosía Escalonada para Sisteas IIR Cuantificación de los Coeficientes del Filtro Análisis de la Sensibilidad a la Cuantificación de los Coeficientes del Filtro Cuantificación de los Coeficientes en Filtros FIR Oscilaciones de Ciclo Líite en Sisteas Recursivos Escalado para Prevenir Desbordaiento CAPITULO III: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES 3.. Consideraciones Generales Causalidad y sus Iplicaciones Características de Filtros Prácticos Selectivos en Frecuencia Diseño de Filtros FIR Filtros FIR Siétricos y Asiétricos Diseño de Filtros FIR de Fase Lineal Usando Ventanas Diseño de Filtros FIR de Fase Lineal ediante el étodo de uestreo en Frecuencia Diseño de Filtros Óptios FIR de Fase Lineal y Rizado Constante Diseño de Diferenciadores FIR Diseño de Transforadores de Hilbert Coparación de étodos de Diseño para Filtros FIR de Fase Lineal Diseño de Filtros Digitales Basado en el étodo De ínios Cuadrados étodo de Aproxiación De Padé étodo de Diseño de ínios Cuadrados Filtros Inversos FIR de ínios Cuadrados (Wiener)... 79

11 Índice General Diseño de Filtros IIR en el Doinio de la Frecuencia Predicción Lineal hacia Adelante y hacia Atrás Predicción Lineal hacia Adelante Predicción Lineal hacia Atrás Coeficientes de Reflexión Óptios para los Predictores en Celosía hacia Delante y hacia Atrás Relación de un Proceso AR con la Predicción Lineal Propiedades de los Filtros de Error de Predicción Lineal Filtros de Wiener para Predicción y Filtrado Filtro FIR de Wiener Principio de Ortogonalidad en Estiación Lineal de ínios Cuadrados Filtro IIR de Wiener Filtro de Wiener no Causal CAPITULO IV: FILTROS ADAPTATIVOS 4.. Aplicaciones de los Filtros Adaptativos Identificación ó odelado del Sistea Ecualización del Canal Adaptativa Cancelación del Eco en la Transisión de Datos a Través de Canales Telefónicos Supresión de Interferencias de Banda Estrecha en una Señal de Banda Ancha ejorador de Línea Adaptativo Cancelación de Ruido Adaptativa Codificación Lineal Predictiva de Señales de Voz atrices Adaptativas Filtros FIR Adaptativos En Fora Directa: Algorito LS Criterio del Error Cuadrático edio ínio El Algorito LS Algoritos Estocásticos de Gradiente Propiedades del Algorito LS Filtros FIR Adaptativos en Fora Directa: Algorito RLS Algorito RLS... 4

12 Índice General Algorito de Factorización LDU y de Raíz Cuadrada Algoritos RLS Rápidos Propiedades de los Algoritos RLS para la Fora Directa Filtros Adaptativos en Celosía-Escalera Algorito Recursivos de ínios Cuadrados en Celosía-Escalera Otros Algoritos en Celosía Propiedades de los Algoritos en Celosía-Escalera... 4 CAPITULO V: ODELACIÓN ATEÁTICA Y SIULACIÓN DEL NUEVO ODELO HIBRIDO ADAPTATIVO LINEAL ÓPTIO 5.. Planteaiento del Nuevo odelo de Estudio odelación ateática Diseño del Algorito de Siulación del Nuevo odelo Siulación Experiental Análisis y Coparación de Resultados... 7 Conclusiones y Recoendaciones VI Bibliografía..... XIII Glosario...XV Anexos......XVIII

13 Índice de Figuras Índice de Figuras Fig... Diagraa de bloques de eleentos básicos de un conversor A/D... Fig... (a) Circuito Electrónico S/H. (b) Respuesta teporal de un circuito S/H ideal... 3 Fig.. 3. Proceso de Cuantificación... 4 Fig.. 4. Ejeplo de un Cuantificador con redondeo... 5 Fig.. 5. Características de los Conversores A/D ideales y prácticos... 6 Fig.. 6. Codificador y Decodificador para un sistea cuantificador de señal diferencial predictivo Fig.. 7. Sistea de odulación delta... 9 Fig.. 8. Principio básico para la ipleentación práctica de un sistea D... 9 Fig.. 9. Tipos de errores de cuantificación en D... 0 Fig.. 0. Sistea de odulación siga delta... 0 Fig... (a) SD siplificado; (b) SD discreto... Fig... agnitud de la respuesta en frecuencia de la función de transferencia del ruido... Fig.. 3. Eleentos básicos de un conversor A/D con sobreuestreo... Fig.. 4. odelo ateático del Ruido de Cuantificación. (a) Sistea Real; (b) odelo ateático... 3 Fig.. 5. Errores de Cuantificación (a) por Redondeo, (b) por Truncaiento... 7 Fig.. 6. Adición de Ruido Aditivo al Proceso de Cuantificación no lineal: (a) Sistea Real, (b) odelo para Cuantificación Fig... No. De operaciones vs. No. De uestras para un algorito FFT. 7 Fig... Señal toada para la adquisición de uestras con Aliasing Fig.. 3. Sistea FIR en una realización directa Fig.. 4. Sistea FIR de fase lineal ( ipar) en una realización directa Fig.. 5. Sistea FIR en una realización en cascada Fig.. 6. Sistea FIR de cuarto orden en una realización en cascada... 4 Fig.. 7. Sistea FIR en una realización de uestreo de frecuencia... 4 Fig.. 8. Filtro en celosía de (-) etapas Fig.. 9. Realización en Fora Directa I Fig.. 0. Realización en Fora Directa II (N=) Fig... Estructura de un filtro de segundo orden (a) y (b) su grafo Fig... (a) Grafo de la estructura transpuesta de la Fig... y (b) su realización Fig.. 3. Estructura en cascada de estructura de segundo orden y una realización de cada sección de segundo orden Fig.. 4. Estructura en paralelo de un sistea IIR... 5 Fig.. 5. Estructura en celosía para un sistea IIR todo polos Fig.. 6. Estructura en celosía escalonada de un sistea de polos-ceros I

14 Índice de Figuras Fig.. 7. Posiciones de los polos para un Filtro FIR paso bajo Fig. 3.. Características de agnitud de los filtros físicaente realizables Fig. 3.. Sietría en las localizaciones de los ceros para un Filtro FIR de fase lineal Fig Características deseadas de respuesta en frecuencia para diferentes tipos de Filtros... 7 Fig Diagraa de Flujo del Algorito de Intercabio de Reez Fig étodo de diseño del filtro inverso de ínios cuadrados Fig étodo de ínios cuadrados para deterinar polos y ceros de un filtro Fig Filtro Inverso FIR de ínios Cuadrados Fig Predicción lineal hacia adelante Fig Filtro de error de predicción Fig Etapa p del filtro en celosía Fig. 3.. odelo para el problea de Estiación Lineal Fig. 4.. Aplicación del filtrado adaptativo a la identificación de un sistea... 0 Fig. 4.. Aplicación del Filtrado Adaptativo a la ecualización de un canal... 0 Fig Diagraa de bloques de un sistea de counicación digital con canceladores de eco en los ódes Fig Interferencia de banda estrecha X(f) en un banda ancha W(f) Fig Filtro adaptativo para eliinar interferencia de banda estrecha en una señal de banda ancha Fig Esquea de un sistea de cancelación de ruido adaptativo Fig Diagraa de bloques de la generación de una señal de voz.... Fig Diagraa de bloques de la estiación de los paráetros de los polos... Fig atriz de antenas: (a) Con patrón de antena. (b) Con nulidad en la dirección de interferencia Fig Sistea de Control de bucle cerrado que representa a Fig. 4.. Velocidad de convergencia de los algoritos RLS y LS para un ecualizado de canal FIR Fig. 4.. Filtros en celosía para el algorito de ínios cuadrados... 3 Fig Filtro adaptativo RLS en celosía-escalera Fig Coplejidad de Cálculos para los Algoritos de Filtros Adaptativos. 4 Fig. 5.. Sistea Adaptativo o Predictor Fig. 5.. Configuración de un Filtro con arreglo lineal Fig Filtro Adaptativo Transversal Fig Esquea de la Configuración del Filtro con algorito LS II

15 Índice de Figuras Fig Predictor en Cascada de etapas tap Fig Cobinación del Predictor de fora directa lineal y el Predictor de cascada Fig Diagraa de Flujo del Algorito utilizado en la siulación Fig Curva obtenida del Aprendizaje LS Fig Núero de Iteraciones de la Curva del Aprendizaje LS Fig Curva obtenida del Aprendizaje CLS Fig. 5.. Núero de Iteraciones de la Curva del Aprendizaje CLS Fig. 5.. Curva obtenida del Aprendizaje FCLS Fig Núero de Iteraciones de la Curva del Aprendizaje FCLS Fig Curva de Convergencia de los Taps de Algorito LS Fig Curva de Convergencia de los Taps de Algorito CLS Fig Curva de Convergencia de los Taps de Algorito FCLS... 7 Fig Curvas de Aprendizaje obtenidas de los distintos Aprendizajes... 7 Fig Convergencia de los Taps de los tres tipos de Aprendizaje III

16 Índice de Tablas Índice de Tablas Tabla.. Códigos Bipolares coúnente utilizados... 7 Tabla.. Algunos ódulos de Segundo Orden para Sisteas Discretos 50 Tabla 3.. Funciones Ventana para el diseño de Filtros FIR...68 Tabla 3.. Funciones para el diseño de Filtros FIR... 7 Tabla 4. Fora LDU del Algorito RLS de raíz cuadrada de Coplejidad 7 Tabla 4.. Fora a priori del Algorito RLS en celosía-escalera Tabla 4.3. Actualización directa del algorito RLS a priori en celosía-escalera Tabla 4.4. Algorito FAEST Tabla 4.5. Algorito RLS rápido estandarizado y siplificado Tabla 5.. Núero de iteraciones entre los 3 étodos de Aprendizaje.. 73 IV

17 Introducción Introducción El hobre desde sus inicios se dio cuenta de la necesidad y gran iportancia de antenerse counicado, por lo que con el pasar del tiepo inventó, desarrolló y ejoró varios edios de counicación, priero con sisteas priitivos, pasando por los analógicos hasta llegar en la actualidad a sisteas digitales uy avanzados. De igual anera se dio cuenta en la iportancia de que la inforación sea segura, confiable y protegida, con la finalidad de que sea utilizada solo por la persona a la cual le vaya a ser útil. En la actualidad la ayor parte de operaciones de inforación son digitales, y coo ningún sistea es ideal, casi siepre se introducen en las transisiones ruido, por lo que es necesario, la utilización de filtros que nos purifiquen la señal, y nos peritan recuperar las señales en su totalidad de ser posible. Los filtros utilizan varias etapas con la finalidad de ejorar los resultados obtenidos, así coo de dispositivos DSP, aunque su coplejidad coputacional auenta. Sin ebargo con los avances de la ciencia en el capo de la inforática se cuenta eleentos ás veloces y con ayor capacidad de procesaiento, por lo que estos inconvenientes disinuyen notableente, increentando las posibilidades de obtener ayor nitidez en las transisiones. Dependiendo del tipo de respuesta que nos pueda dar un filtro digital existen los filtros IIR y FIR, cada uno con diferentes características, otivo por el cual se ha decidido diseñar un nuevo odelo hibrido, que nos brinde nuevas características para ser utilizadas en aplicaciones conocidas coo en nuevas. El descubriiento de un nuevo odelo nos peritirá tener ayores opciones a la hora del procesaiento digital de señales, para de esta anera tener ejores resultados. V

18 Capítulo I CAPÍTULO I DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES

19 Capítulo I CAPÍTULO I DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES La gran ayoría de señales son de naturaleza analógica, es por esto que previo al procesaiento de estas señales se debe pasar por un proceso de digitalización, aunque este proceso es coplicado en el presente capítulo ayuda a su coprensión tanto en los pasos necesarios coo sus principales térinos... CONVERSIÓN ANALÓGICO-DIGITAL Coando de Conversión Control S/H antiene uestrea Conversor A/D Buffer ó Bus Al coputador o Canal de counicación Preaplificador Analógico Estado Fig... Diagraa de bloques de eleentos básicos de un conversor A/D La conversión de una señal analógica a digital requiere que una vez que heos uestreado una señal cuantifiqueos los valores uestreados a un núero finito de niveles, representado cada uno de estos niveles por un cierto núero de bits. Este proceso lo realiza un conversor analógico-digital A/D o ADC, cuyas características usualente las encontraos en las especificaciones de los fabricantes o data sheets.... UESTREO Y ANTENIIENTO El dispositivo encargo del uestreo y anteniiento es S/H, Saple and Hold, este dispositivo toa el valor instantáneo de la señal analógica cada vez que recibe una señal del control de conversión y lo antiene hasta recibir la siguiente orden, hasta que el conversor cuantifique y devuelva una señal digital codificada de la señal de entrada, si no hubiera un S/H la señal de entrada no debe cabiar ás de la itad del escalón de cuantificación durante la conversión. Un S/H ideal no introduce distorsión en el proceso de cuantificación y se odela con precisión ediante un uestreador ideal. En la práctica esto no sucede sino que ocurren

20 Capítulo I degradaciones relacionadas con el tiepo, coo errores en la periodicidad del proceso de uestreo o los llaados jitter, variaciones no lineales en la duración de la apertura de uestreo y cabios en el voltaje antenido durante la conversión droop. Entrada digital de control to Vo Entrada analógica - A + C - A + Salida (a) Entrada Seguiiento de uestras anteniiento H S H S H S H H S H S Salida S/H (b) Fig... (a) Circuito Electrónico S/H. (b) Respuesta teporal de un circuito S/H ideal... CUANTIFICACIÓN Y DECODIFICACIÓN Un ADC convierte un rango continuo de aplitudes de entrada en un conjunto discreto de valores forando palabras o códigos digitales, esto iplica cuantificación y codificación. La cuantificación no es lineal ni invertible que traslada una aplitud dada x( n) x( nt) en el tiepo en una aplitud t nt, toada de un conjunto finito de valores x k. Este procediiento de ilustra en la siguiente figura, donde el rango de aplitudes de la señal se divide en L intervalos: k k k I x x( n) x k,,..., L (..) 3

21 Capítulo I Niveles de Cuantificación Niveles de decisión I k x3 ˆx 3 x4 ˆx 4 Aplitud Instantánea xk xˆk xk Rango del Cuantificador Fig.. 3. Proceso de Cuantificación Con L niveles de decisión y los niveles de cuantificación x, xl,..., xl cuya operación se define coo: ˆ xq( n) Q x( n) xk if x( n) Ik (..) La cuantificación no tiene eoria y se describe coo xq Q x. Para señales coo la voz se utiliza cuantificadores no lineales y variantes en el tiepo; ientras que para aplicaciones de transisión y alacenaiento de señales se usan a enudo cuantificadores unifores o lineales, descritos coo: xˆ x k k xˆ k x para xk, xk finitas k k,,..., L (..3) es el taaño del escalón; si se asigna un cero a un nivel de cuantificación el cuantificador es de tipo redondo (proporciona una salida insensible a cabios infinitesiales de la señal de entrada alrededor del cero), en cabio si se asigna el cero a un nivel de cuantificación el cuantificador se denoina de tipo truncaiento. R es el rango del cuantificador y entre ellos teneos, FSR: Full Scale Range describe las señales bipolares (positivas y negativas), es decir, rango copleto. FS: Full Scale para señales unipolares. El error de cuantificación está siepre en un rango de / e ( n) /. Las uestras excedentes del rango del cuantificador q son recortadas, dándonos un error de cuantificación ás grande /. 4

22 Capítulo I Salida ˆx Q x 9 7 Niveles de Cuantificación Niveles de decisión Palabras código en Copleento a dos x Entrada FS Rango R=RFS (Rango pico a pico) +FS Fig.. 4. Ejeplo de un Cuantificador con redondeo Cada nivel de Cuantificación tiene un solo núero binario, con L niveles necesitaos tabién L núeros binarios diferentes, con una longitud de b bits de puede representar b núeros binarios distintos, o sea, el taaño o resolución del escalón es: o b log L, y b L R (..4) b+ La gran ayoría de procesadores digitales utilizan la el copleento a dos debido a que no se necesita ninguna transforación, sino que se opera directaente, una fracción binaria de (b+) bits de la fora 0... B tiene el valor: 0 y b 0... b (..5) b son los bits ás y enos significativos respectivaente, se puede reducir el error de cuantificación increentando el núero de bits aunque en la práctica siepre va a ver degradaciones, errores de offset (la priera transición no puede ocurrir exactaente en +/LSB ), ganancia o error de factor de escala (la diferencia entre los valores a los cuales ocurren la priera y últia transición no son iguales FS-LSB ), y errores de linealidad (la diferencia entre los valores de 5

23 Capítulo I transición son todas iguales o cabian uniforeente); si el error de linealidad diferencial es bastante grande se puede producir perdidas de una o ás palabras código. Núero digital de salida(código y valor fraccionario) Conversión A/D ideal Transición ideal Valor cuantificado noinal LSB Entrada Analógica Noralizada (a) FS Entrada analógica cuantificada idealente Error de ganancia Error Offset (b) FS 0 3 FS 4 4 (c) 0 No-linealidad Códigos perdidos (d) 3 4 FS 0 3 FS 4 4 (e) Fig.. 5. Características de los Conversores A/D ideales y prácticos LSB, Bit enos Significativo o sus siglas en Inglés Least Signnificant Bit 6

24 Capítulo I Existen uchos esqueas de codificación binaria con varias ventajas y desventajas, coo por ejeplo los que se presentan en la siguiente tabla, para la codificación binaria de 3-bits: Tabla.. Códigos Bipolares coúnente utilizados Fracción Decial Núero Referencia Referencia Signo + Copleento Desplazaiento Copleento Positiva Negativa agnitud a dos Binario a uno +7 +7/8-7/ /8-6/ /8-5/ /8-4/ /8-3/ /8 -/ /8 -/ (0000) (000) - -/8 +/ /8 +/ /8 +3/ /8 +4/ /8 +5/ /8 +6/ /8 +7/ /8 +8/8 (000) (0000)..3. CONVERSORES A/D CON SOBREUESTREO Este tipo de conversores increenta la tasa de uestreo hasta que sea posible la utilización de un cuantificador de baja resolución, el sobreuestreo reduce el rango dináico de los valores de la señal entre uestras sucesivas; la varianza del error de cuantificación en la conversión A/D es /, donde e R / b, esto se logra reduciendo en la varianza la señal y así el núero de bits del cuantificador, 7

25 Capítulo I es decir, una cuantificación diferencial, donde la varianza de la diferencia entre dos uestras sucesivas de la señal: d( n) x( n) x( n ) (..6) Y la varianza de dn: ( ) d E d ( n) E x( n) x( n ) () d x xx d E x ( n) E x( n) x( n ) E x( n ) (..7) Si xx() 0.5 se debe cuantificar la diferencia dn ( ) y recuperar d x xn ( ), a partir de los valores cuantificados de la secuencia d ( ) q n, la autocorrelación entre uestras sucesivas de la señal a frecuencias de uestreo superiores a la tasa de Nyquist; esto se logra por edio de un constante a xn ( ), o sea ax( n ) denoinado predictor de prier orden de xn ( ), valor que puede ser optiizado: xx () () a (0) y xx xx x d x a (..8) Estos predictores se los utiliza en la codificación de voz y transisiones sobre canales telefónicos y son llaados odulación Diferencial de Código de Pulsos DPC, que produce una estiación xn ˆ( ) a partir de uestras pasadas de xn ( ), reduciendo el rango dináico a d( n) x( n) xˆ ( n). xn ( ) dn ( ) Q d ( ) q n xn ˆ( ) xq ( n) PR PR x ( ) q n Codificador Decodificador Fig.. 6. Codificador y Decodificador para un sistea cuantificador de señal diferencial predictivo. 8

26 Capítulo I Se puede evitar la acuulación de errores de cuantificación en el decodificador ediante el uso de un lazo de realientación alrededor del codificador e( n) d( n) d ( n) x( n) xˆ ( n) d ( n) x( n) x ( n), el error en la señal q q q cuantificada reconstruida xq ( n ) es igual al error de cuantificación para la uestra dn. ( ) xn ( ) dn ( ) xn ˆ( ) a xq ( n) Z d ( ) q n xn ˆ( ) a Z x ( ) q n Codificador Decodificador Fig.. 7. Sistea de odulación delta Una fora ás siple de realizar la cuantificación diferencial predictiva es ediante la odulación Delta D, que consiste en un cuantificador de -bit, de dos niveles y un predictor de prier orden; este sistea produce una aproxiación en escalera a la señal de entrada, en donde en cada instante se deterina el signo de la diferencia entre la uestra de entrada xn ( ) y su aproxiación ás reciente en escalera xˆ( n) ax ( n ), esta señal se actualiza luego ediante un paso en la dirección de la diferencia. q x ( n) ax ( n ) d ( n) (..9) q q q T T xt () dt () Reloj FPB xt ˆ( ) xt ˆ( ) Integrador Fig.. 8. Principio básico para la ipleentación práctica de un sistea D 9

27 Capítulo I Este sistea necesita un filtro paso bajo analógico para rechazar las coponentes de fuera de la banda de frecuencias entre B y F s /, ya que Fs debido al sobreuestreo. B Distorsión por Sobrecarga de pendiente xn ( ) xn ( ) Ruido Granular T a a ñ o d el esca ló n x () a t xn ˆ( ) T F s Fig.. 9. Tipos de errores de cuantificación en D En la Figura.9. se uestran dos tipos de cuantificación en D, distorsión de sobrecarga de pendiente y ruido granular; el priero se puede evitar sí d ( ) / / x t dt T Reloj xt () FPB analógico Codificador Decodificador Fig.. 0. Sistea de odulación siga delta ientras que el segundo ocurre cuando se sigue una señal de entrada con cabios lentos (plana), al auentar disinuye la distorsión de sobrecarga pero auenta el ruido granular, por lo que lo ás conveniente es utilizar un sistea de odulación siga-delta SD colocando un integrador delante del D, dándonos coo efectos el increento de la correlación de la señal entrante, enfatiza las bajas 0

28 Capítulo I frecuencias xt () y siplifica el esquea ya que el diferenciador se cancela con el integrador; adeás de todo esto aprovecha la tasa de uestreo y distribuye el error de cuantificación a lo largo de la banda hasta B F F s / de la señal se eliina ediante un filtro digital. Fs B, el ruido en la banda libre Reloj xt () FPB analógico Codificador Decodificador (a) H( z) en ( ) xn ( ) z dn ( ) d ( ) q n (b) Fig... (a) SD siplificado; (b) SD discreto El ruido tiene una función de transferencia: ( ) F Hn F sen (..0) F s La potencia del ruido se reduce auentando la tasa de uestreo, adeás de un doble integrador, anteniendo B fijo; todo esto produce la distribución de la potencia del ruido de cuantificación sobre una banda de frecuencias ayor ( F /, F / ), y luego dando fora a la densidad espectral de potencia del ruido s ediante un filtro. s

29 Capítulo I Para convertir una señal cuantificada con b bits a la tasa de Nyquist, pasaos la señal a través de un filtro paso bajo analógico con una frecuencia de corte B para rechazar el ruido fuera de la banda de ( BF, s / ), el resultado es una aproxiación de la señal de entrada, y por últio se la reuestrea a una tasa enor. Sr ( F) H ( F) e / Fs n F s B B F s F Fig... agnitud de la respuesta en frecuencia de la función de transferencia del ruido Los conversores A/D con sobreuestreo, se fabrican usualente coo circuitos integrados que operan a una fase de uestreo Hz, se subuestrean a 8kHZ y proporcionan una precisión de 6 bits. Sección analógica Sección digital xt () Filtro Anti-aliasing SD bit d ( ) q n F s FPB digital b x ( n) F N q Conversor SD-PC b bits F N FPB Digital Sección digital b bits F S SD Digital bit F s Datos uestreados FPB Sección analógica Filtro de Suavizado Conversor PC-SD Filtros anti-aliasing Fig.. 3. Eleentos básicos de un conversor A/D con sobreuestreo..4. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN Los efectos de la cuantificación son evaluados ediante aproxiaciones estadísticas, donde suponeos que el error de cuantificación tiene naturaleza aleatoria, esto se hace añadiendo ruido a la señal original; si la señal original

30 Capítulo I analógica se encuentra dentro del rango del cuantificador eq ( n ), el error está liitado en agnitud eq ( n) / y el error resultante se llaa error granular. En cabio cuando la entrada se encuentra fuera del rango del cuantificador (recorte), e ( ) q n es liitado y se lo llaa ruido de sobrecarga que produce severas distorsiones en la señal, la solución es escalar la entrada hasta que esta se encuentre dentro del rango del cuantificador. Debeos suponer las propiedades estadísticas que se uestran a continuación de eq ( n) si el taaño del escalón de cuantificación es pequeño y la secuencia xn ( ) de atraviesa varios niveles de cuantificación entre dos uestras sucesivas:. El error eq ( n) se distribuye uniforeente sobre el rango / e ( n) /. q. La secuencia de error e ( ) q n es una secuencia estacionaria de ruido blanco, el error eq ( n ) y el error eq ( ) para n no están correlacionadas entre si. 3. La secuencia de error e ( ) q n no está correlacionada con la secuencia xn ( ). 4. La secuencia xn ( ) tiene edia cero y es estacionaria. xn ( ) Cuantificador Qx( n) x ( ) q n xn ( ) x ( n) x( n) e ( n) q q e ( ) q n (a) (b) Fig.. 4. odelo ateático del Ruido de Cuantificación. (a) Sistea Real; (b) odelo ateático Donde la potencia de la señal es P E x ( n) y la potencia del ruido x x de cuantificación P E e ( n). n e q 3

31 Capítulo I El error de cuantificación se distribuye uniforeente en el rango, el valor edio del error es cero y la varianza o potencia del ruido de cuantificación, está dada por: / / Pn e p() e de e de / / (..) La relación señal a ruido de la señal depende del rango del Conversor A/D y de los datos estadísticos de la señal de entrada, en decibelios, es: P R SQNR 0log 0log 6.0b 6.8 0log db (..) x x 0 0 Pn n x En la práctica el funcionaiento de los circuitos conversores A/D, tienen un funcionaiento inferior a los valores teóricos, lo que provoca que el núero efectivo de bits de alguna anera sea enor que el núero de bits en el conversor A/D... ESTRUCTURAS PARA LA REALIZACIÓN DE SISTEAS EN TIEPO DISCRETO Un Sistea Lineal e Invariante en el tiepo puede ser descrito, por la siguiente ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes: N y( n) a y( n k) b x( n k) k k k k (..) Cuya Transforada nos da a conocer la Función de Transferencia racional: H( z) k k N k bz k az k k (..) La función de transferencia es uy iportante ya que nos da inforación sobre los polos y ceros que deterinan la respuesta en frecuencia del sistea, estos 4

32 Capítulo I datos dependen de los paráetros k b y a k, necesarios para la ipleentación del sistea ya sea en software o hardware, que nos periten deterinar la secuencia yn ( ) de salida a partir de la secuencia xn ( ) de entrada. Se puede organizar la ecuación deferencial de varias aneras, cada una de las cuales representa una estructura diferente para su realización, que se la desarrolla a través un diagraa de bloque constituido por una interconexión de eleentos de retardo, ultiplicadores y suadores. Cada una de estas representaciones iplica tabién un grado de coplejidad distinta, así coo distintos requeriientos coputaciones para su ipleentación en un ordenador digital. Para escoger una estructura para la realización de un sistea debeos toar en cuenta la coplejidad coputacional, por tanto, es necesario toar en analizar el núero de operaciones ateáticas que se van a efectuar, tales coo, ultiplicaciones, divisiones y suas; núero de accesos a eoria o núero de veces que se realiza una coparación entre dos núeros para cada uestra de salida; núero de posiciones necesarias de eoria que utilizan para alacenar los paráetros del sistea, entradas y salidas anteriores, así coo cualquier otro valor interedio necesario para deterinar la salida yn ( ) del sistea. Otro aspecto iportante a toar en cuenta son los efectos de las palabras de longitud finita, ya que todas las operaciones que se realizan en su ipleentación son de precisión finita, y utilizan aritética de punto fijo o punto flotante, por lo que necesariaente se debe realizar redondeo o truncaiento a ciertos valores..3. ERRORES RESULTANTES DEL REDONDEO Y TRUNCAIENTO El procesaiento digital de una señal involucra diversas operaciones aritéticas de punto fijo o de punto flotante, en donde los núeros x se encuentran representados por bits, por lo que es necesario introducir un error cuyo valor dependa del núero de bits del núero original b u respecto al núero de bits después de la cuantificación b, este error puede ser de cuantificación o por truncaiento, donde 5

33 Capítulo I b b u, el error de truncaiento es toar solaente un cierto núero de bits que representan al núero y se lo puede definir coo: E Q ( x) x (.3.) t t El truncaiento de núeros positivos da coo resultado un núero ás pequeño que el núero no cuantificado, reduciendo el núero de bits significativos desde b u hasta b, y el error ás grande se evidencia si descartaos bu b bits, todos los cuales son unos. En cabio cuando se trata de núeros negativos en punto fijo, al realizar una reducción de la agnitud de los núeros, esta se la hace sin toar en cuenta el signo, el efecto de realizar un truncaiento a un núero negativo es increentar la agnitud del núero negativo. El error de truncaiento para la representación de un núero tanto en agnitud, coo en signo es siétrica respecto a cero y se encuentra en el rango de: b b u b bu E t (.3.) El error de redondeo afecta solo a la agnitud del núero, independienteente del tipo de representación en punto fijo, su valor áxio puede ser positivo o negativo dependiendo del valor x, este se puede introducir a través de b b u /, y está dado por: E Q ( x) x (.3.3) r r Este error es siétrico con respecto a cero y se encuentra en el rango de se puede introducir a través de b b u /, y está dado por: b b u b bu E r (.3.4) Cabe encionar que el redondeo o truncaiento se los realiza a la antisa del núero, coo la resolución no es unifore el error de la representación en punto 6

34 Capítulo I flotante es proporcional al núero que se cuantifica. En la Figura.4. se ilustra las relaciones descritas anteriorente. Qr ( x) Qr ( x) b b x b b x Er Qr( x) x b E r (a) b E Q ( x) x t b t E t (b) b Fig.. 5. Errores de Cuantificación (a) por Redondeo, (b) por Truncaiento Usualente se adopta una etodología estadística para copensar los errores de truncaiento y redondeo, por lo que se introduce ruido aditivo al valor sin cuantificar x Q( x) x (.3.5) Donde puede ser por redondeo E o por truncaiento la Figura.6.: r E t, tal coo se ve en x x x Cuantificador Qx ( ) (a) x (b) Fig.. 6. Adición de Ruido Aditivo al Proceso de Cuantificación no lineal: (a) Sistea Real, (b) odelo para Cuantificación. 7

35 Capítulo I x puede caer en cualquiera de los niveles del cuantificador, por lo que el error de cuantificación se odela coo una variable aleatoria distribuida uniforeente dentro de los rangos especificados por la representación en punto fijo; generalente en la práctica bu b b,por lo que es posible presidir del factor u. 8

36 Capítulo II CAPÍTULO II IPLEENTACIÓN DE SISTEAS EN TIEPO DISCRETO 9

37 Capítulo II CAPÍTULO II IPLEENTACIÓN DE SISTEAS EN TIEPO DISCRETO Son uchas las herraientas ateáticas y conceptos iportantes que se utilizaran en el diseño de filtros digitales; en este capítulo se los presenta de una anera concreta, adeás se encuentran descritas las principales estructuras y realizaciones de los Sisteas en Tiepo Discreto así coo sus características y expresiones ateáticas que rigen sus coportaientos en el tiepo y frecuencia... HERRAIENTAS ATEÁTICAS... TRANSFORADA Z Las propiedades que brinda la transforada de Fourier constituyen una herraienta básica para el análisis de Señales y Sisteas Invariantes en el tiepo. Es así que la transforada z es usada para señales y sisteas discretos LTI coo lo representa con el iso papel la transforada de LaPlace en el análisis de señales y sisteas continuos LTI. Con la transforada z se tiene una anera de caracterizar los sisteas LTI y sus respuestas para la variedad de señales que se puede tener localizando sus polos y ceros. La Transforada Z Directa. siguiente: La transforada z de una señal discreta representada por x (n) se indica de la z x( n) X ( z) (..) Sin ebargo por facilidad la transforada Z de una señal x(n) se encuentra denotada por: X ( z) Z x( n) (..) Es así que la transforada z directa se encuentra representada coo se ve a continuación, debido a que transfora una señal en doinio del tiepo en la señal copleja X (z). n X ( z) x( n) z n (..3) 0

38 Capítulo II Finalente, a la transforada z se le conoce coo la transforada z bilateral para así poder distinguirla de la transforada z unilateral, la isa que se encuentra representada por: X ( z) n0 x( n) z n (..4) A pesar de esto, el térino bilateral será usado si x(n) es causal (es decir si x(n)=0 para n<0), pues en este caso unilateral coo bilateral son equivalentes, y tabién se incluirá este térino bilateral en casos en los que sea necesario para evitar abigüedades, coo el que se indicó anteriorente. La Transforada Z Inversa. Ocasionalente en uchos probleas se tiene que la transforada z, y lo que se quiere deterinar es la señal, es así que existen un étodo denoinado la transforada z inversa, que no es ás que el procediiento para transforar desde el doinio z al doinio del tiepo. El objetivo en sí es encontrar x(n) a partir de X(z), por lo que: x n = πj X z. z n dz (..5) Sin ebargo para siplificar los cálculos existen un étodo de inversión en la cual se puede encontrar la inversión de una anera ás fácil y esto es utilizando o ayudándose de tablas. Propiedades de la transforada Z Linealidad. Si y x n z x z x n z x z entonces x n = a x n + a x n z X z = a X z + a X (z) (..6)

39 Capítulo II Desplazaiento en el tiepo Si la ROC de z k X(z) es la isa X(z), excepto por z=0 si k > 0, y z =, si k < 0. Se da que: Si x n z X z entonces x(n k) z z k X(z) (..7) Escalado en el doinio z Si x n z X z ROC: r < z < r entonces a n x(n) z X a z ROC: a r < z < a r (..8) En fora polar se tendría que: w = a z = r 0 r e j (w w 0) (..9) Inversión Teporal. Si x n z X z ROC: r < z < r entonces x n z X z ROC: r < z < r (..0) Diferenciación en el doinio z. Si x n z X z entonces nx n z z dx(z) dz (..) Convolución de dos secuencias Si x n z X z y x n z X z entonces x n = x n x n z X z = X z X z (..) Correlación de dos secuencias Si x n z X z entonces r x x l = x n z X z n= x n x n l z Rx x z = X z X (z ) (..3)

40 Capítulo II ultiplicación de dos secuencias Si x n z X z x n z X z entonces x n = x n x n z X z = πj X v X z v v dv (..4) Relación de Parseval. n * * x ( n) x( n) X( v) X v dv * j v (..5) El Teorea del valor inicial. x 0 = li z X(z) (..6)... TRANSFORADA DE FOURIER Lo que hace la Transforada de Fourier básicaente es coo su nobre lo indica, transforar una señal en el doinio del tiepo al doinio de la frecuencia, de la cual tabién se puede hacer el procediiento inverso ediante la anti transforada para volver al doinio teporal. La transforada de Fourier no solo facilita para el anejo de inforación, sino que con ella se puede odificar la isa por lo que puede ser apliaente usada en filtros, en las counicaciones (odulaciones, líneas de transisión), en el procesaiento de iágenes, sonidos e incluso en otras aplicaciones as teóricas coo la estadística, análisis sisográfico, etc. Dando un ejeplo práctico de esto, se puede ver coo se aplica la transforada de Fourier en los circuitos electrónicos, tal coo es el caso del ecualizador en un equipo de úsica, en la que los leds indicadores suben o bajan según los diferentes coponentes frecuenciales de la señal. Este procediiento se hace ediante la Transforada de Fourier plasada en un chip integrado, pero que noralente se lo prograa con la Transforada Rápida de Fourier o FFT (siglas en inglés) para que el procesaiento de la inforación sea realizada lo ás rápido posible. 3

41 Capítulo II Representación ateática. La Transforada de Fourier se usa generalente con señales aperiódicas (sin ebargo se puede usarla tabién para señales periódicas gracias a la función delta) a diferencia de la serie de Fourier. Una de las condiciones fundaentales para obtener la Transforada de Fourier es que la señal se totalente integrable: x(t) dt < (..7) La Transforada de Fourier se define coo: Y su antitransforada es: jwt x( w) x( t). e dt jwt x( t) x( w). e dw (..8) (..9) Coo se encionó anteriorente, para calcular la Transforada de Fourier de señales periódicas se utiliza la ayuda de la función delta, de la cual se tiene que: F ( t t ) e 0 jwt0 (..0) Y gracias a la propiedad de dualidad que tiene la Transforada de Fourier se tiene que: (..) F x( t) X ( w) (..) F X ( t). x( w) Obteneos jw0t F e w w0 ( ) (..3) Es así que se puede calcular la Transforada de Fourier para cualquier señal periódica de potencia edia infinita: T T x( t) dt< Es así que para señal x(t) periódica se cuple que: (..4) F x( t) a ( w kw ) periodica n n 0 (..5) 4

42 Capítulo II..3. TRANSFORADA DE FOURIER DISCRETA DTF La Transforada de Fourier Discreta DFT, no es ás que un caso particular de la transforada de Fourier para una secuencia de una longitud finita, en las que se evalúa el espectro en unas frecuencias concretas. Cabe recalcar que DFT no es lo iso que la TFSD (Transforada de Fourier de Secuencias Discretas), ya que esta se puede aplicar para secuencias en las que puedan tener un intervalo de longitud infinita. Coo ya se encionó, con la DFT se puede calcular sobre el intervalo teporal 0 < n < N, siendo N la longitud (secuencia finita). La DFT tiene diversas aplicaciones, sin ebargo las principales de las que se puede nobrar son:.- En la estiación espectral, que es el reconociiento de señales que van escladas con ruido e interferencia.- La deterinación de una salida teporal de un sistea LTI. 3.- Reconociiento e identificación de la función de transferencia de los sisteas a partir de su coportaiento frecuencial. Representación ateática. Suponiendo que de una señal se tiene las uestras en frecuencia en un intervalo finito definido coo X πk N, k = 0,,, N, que corresponden a una secuencia periódica de x(n) de período N, se tiene que: x n = l= x(n ln) (..6) Cuando existe aliasing (coo se verá en un punto ás adelante), entonces la señal con aliasing x p (n) es una repetición periódica de x(n), si x(n) tiene una duración finita de longitud L N, es así que x p (n) sobre un período está dada por: x p n = x n, 0 n L 0 L n N (..7) A veces es necesario el relleno de una función ceros pero que sin ebargo no proporcionan alguna inforación adicional acerca del espectro X(w) de la señal x(n). Teniendo a L coo el núero de uestras equidistantes de X(w), y si es necesario rellenando con N L ceros a la secuencia x(n), se puede calcular sin problea la DFT de N puntos, por lo que se obtendrá una ejor representación de la transforada de Fourier X(w). 5

43 Capítulo II A continuación se ostrará la representación ateática de la transforada de Fourier de una secuencia x(n) de duración finita y longitud L: X w = L n=0 x n e jwn, 0 w π (..8) Si se uestrea X(w) en frecuencias igualente espaciadas w k = πk N, k = 0,,, N, donde N L, las uestras resultantes son: L k X ( k) X x( n) e N n0 (..9) N j kn N x n e (..30) X ( k) ( ) n0 j kn N donde k es el intervalo k=0,,,.,n. El índice superior del suatorio se ha increentado de L a N por conveniencia, ya que x(n)=0 para n L. A esta ecuación se la denoina la transforada discreta de Fourier (DFT), la cual perite transforar una secuencia x(n) de longitud L N, en una secuencia de uestras en frecuencias de longitud N. De la isa anera, se puede recuperar la secuencia x(n) a partir de las uestras de frecuencia, en la que la ecuación queda expresada: x n = N N jπkn N k=0 X(k)e, n = 0,,,, N (..3) A esta ecuación se la conoce coo la DFT inversa, que tabién se le representa por las siglas IDFT...4. TRANSFORADA RÁPIDA DE FOURIER FFT La transforada rápida de Fourier (FFT por sus siglas en inglés) no es ás que un algorito para el cálculo y la rápida evaluación de las integrales de Fourier. Esta fue desarrollada en los laboratorios de IB y coo ya se dijo su efectividad e iportancia radica en la obtención de resultados de un rápido cálculo durante el procediiento del análisis. Para la aplicación, con este algorito se puede obtener rápidaente el espectro de la señal a partir de la señal teporal de entrada. Esto tabién puede ser 6

44 Capítulo II analizado por la transforada discreta de Fourier pero obviaente toará ucho ás tiepo para el análisis y el cálculo. A continuación se presenta una gráfica en la que uestra la diferencia de tiepo y la velocidad de cálculo entre la tradicional transforada discreta y la FFT. Se puede ver tabién que auenta es tiepo según auenta el núero de uestras a analizar. En la gráfica se ve que la una auenta de fora exponencial el núero de operaciones para la resolución, ientras que la otra (FFT) lo hace de fora casi lineal. No. Operaciones necesarias TF. No. De operaciones =N^ FFT. No. De operaciones=n*log(n) 0 No. de uestras Fig... No. De operaciones vs. No. De uestras para un algorito FFT Lo que intenta la FFT es resolver de la anera ás eficiente la DFT o la ecuación que se presenta a continuación: x n = N N jπkn N k=0 X(k)e, n = 0,,,, N (..3) El étodo presentado a continuación se denoina doblaiento sucesivo. Para siplificar las ecuaciones y sus representaciones, la ecuación (..3) queda coo: x n = N N X(k) k=0 W N nk (..33) Con la FFT se puede reducir las operaciones de N a N*log (N). Por definición se tiene que: W N e j N n N (..34) 7

45 Capítulo II Donde en W N y sus coeficientes no es ás que la raíz N-ésia de valor unidad. Se puede expresar (ya que N es entero positivo): N = (..35) Ahora sustituyendo se tiene que: X ( n) x( n) W k 0 nk X ( n) x( n) W x(k ) W n( k ) n(k ) k0 k0 (..36) anera: Puesto que W nk W nk, la ecuación (..36) puede expresarse de la siguiente X ( n) x( k) W x(k ) W W nk nk n k0 k0 (..37) Definiendo ahora: X par ( n) x( k) W k 0 nk nk X ipar ( n) x(k ) W W k 0 n0,,..., (..38) Por lo que toando en consideración todo lo anterior, quedará que: X n = X par n + X ipar n W n (..39) De esto dado que: W W n W n W n n Teneos : X ( n ) x ( n) x ( n) W n par ipar (..40) 8

46 Capítulo II Considerando que el núero de uestras es igual a n, se puede deostrar que el núero de operaciones coplejas, entre suas y restas, esta dado de la siguiente fora: n = n + n n (..4) a n = a n + n n (..4) Son expresiones que indican el núero de ultiplicaciones y suas, para las que (0) y a(0) son iguales a 0, puesto que la transforada de un punto no requiere operación alguna. Una vez descrito lo anterior, se podrá ostrar a continuación que el núero de suas y ultiplicaciones (operaciones coplejas) que se necesita para ipleentar un algorito FFT puede deostrarse coo se encionará a continuación: n n n ( ) log ( n) N log N ( n) Nn n (..43) n an ( ) log a( n) N log N n a( n) Nn n (..44) FFT Inversa Siepre que haya coo realizar odificaciones siples a las entradas de cualquier algorito que se aplique para hallar la FFT, tabién lo habrá coo si se quiere aplicar la FFT inversa. Es así que partiendo de: X n = N x k = N N jπkn N k=0 X(k)e (..45) N X(n)e jπkn N n=0 (..46) 9

47 Capítulo II Se tiene que para hallar la inversa que y toando de la ecuación (..46) en su conjugada y dividiendo abos lados para N, se tiene: x ( k) X ( n). e N N N * * j kn N k0 (..47) De esa ecuación se usa X (n) coo la entrada para el algorito con el que se va a aplicar la FF directa y el resultado que se obtiene es x (k). Ahora de este resultado se obtiene su coplejo conjugado y posteriorente se lo ultiplica por N, resultando la inversa deseada x(k), dando coo resultado: x ( k, z) X ( n, p). e N NN * * j ( nk pz) N n0 p0 (..48)..5. IDENTIDAD DE PARSEVAL Básicaente lo que quiere decir la identidad o relación de Parseval es que tanto en el doinio de la frecuencia coo en el del tiepo la representación de la señal es la isa, es decir, que en la representación de estas dos foras diferentes de la señal se debe encontrar la isa cantidad de energía puesto que representa la isa señal. Para la DFT la relación de Parseval se encuentra representada por: N N x i = i=0 agx k N k=0 (..49) La parte izquierda de esta señal indica el total de energía de la señal contenida y representada en el doinio del tiepo, encontrada por la suatoria de las energías de las N individuales uestras. La parte derecha de la ecuación representa la energía contenida en el doinio de la frecuencia encontrada por la suatoria de las energías de las N + sinusoides, y se debe recordar que la energía es proporcional al cuadrado de la aplitud. De la ecuación tabién se tiene que X f es el espectro de la frecuencia de x n, con una pequeña odificación. La priera y la últia coponente de la frecuencia, X 0 y X[N ] han sido divididas por la, esto y con el factor N del lado derecho de la ecuación representa varios sutiles detalles adicionales para el cálculo y la suatoria de 30

48 Capítulo II energías. La relación de Parseval es interesante pues representa la conservación de la energía, esta tiene uchos usos prácticos en DSP...6. DESIGUALDAD DE BESSEL Proposición acerca de los coeficientes de un eleento x en un espacio de Hilbert (para clarificar y para generalizar el concepto de series de Fourier, y la transforación de Fourier) con respecto a una secuencia ortonoral, es decir, esa la vez un conjunto ortogonal y la nora de cada uno de sus vectores es igual a. Esta definición sólo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno, coo sucede en los espacios euclídeos E n donde el producto interno puede definirse en térinos de distancias y proyecciones perpendiculares de vectores. Entonces sea H un espacio de Hilbert, suponga que e, e,... es una secuencia ortonoral en H. Entonces, para todo x en H se tiene que: x, ek x (..50) k Donde *,* denota el producto interior en el espacio de Hilbert H, la sua infinita por definición es: x ' x, e e, (..5) k k k La desigualdad de Bessel da notar que esta serie ateática converge. Para una secuencia ortonoral copleta (esto es, para una secuencia ortonoral que a la vez en una base ortonoral de H ), se tiene la identidad de Parseval, que replaza la desigualdad por una igualdad (y consecuenteente x ' con x ). En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interior definido, dada ortonoral de V, se cuple que para todo x en V :,,..., n una subconjunto x n i x, (..5) i Procesaiento Digital de Señales o sus siglas en inglés de Digital Signal Processing 3

49 Capítulo II..7. ALIASING El térino de Aliasing nace de la reconstrucción de una señal. Para reconstruir una señal hay que saber los diferentes procediientos para la reconstrucción de la isa, coo generalente puede inforar el teorea del uestreo coo ya se vio en el capítulo. Si se pudo reconstruir exactaente la señal analógica de las uestras obtenidas, se debió haber hecho correcta y propiaente el uestreo, y de otra anera, si se hace al el uestreo, se obtendrán enos uestras y en el oento de la reconstrucción se podría perder inforación o datos iportantes, coo es el caso del llaado problea del Aliasing. Coo se ve en la figura hay diversas sinusoides que representan el antes y después de la digitalización. La línea continua representa la señal analógica que puede ser la entrada a un ADC, ientras que los indicadores cuadrados es la señal digital que podría ser obtenida a la salida del ADC. La señal analógica tiene una frecuencia ayor a 0,95 de la velocidad de uestreo, con una cantidad de,05 uestras por ciclo de onda sinusoidal. Obviaente y coo se puede distinguir en la gráfica, estas uestras no representan adecuadaente la inforación, estas ás bien representan una diferente onda sinusoidal de la verdadera señal analógica que se quería representar. En sí, la onda de 0,95 se falsifica a sí iso coo una onda sinusoidal de 0,05 de frecuencia en la señal digital. Este fenóeno del cabio de frecuencias de las sinusoides durante la toa de uestras se llaa ALIASING. Coo resuen se puede decir que la sinusoide asue otra frecuencia (identidad) que no es la propia de la señal, por lo que al finalizar la señal digital representada no está relacionada con la señal analógica original que se quería reconstruir. 3

50 Capítulo II 3 Frecuencia Analógica 0.95 de la tasa de uestreo Aplitud 0 3 Tiepo Núero de uestra Fig... Señal toada para la adquisición de uestras con Aliasing..8. ESTADÍSTICA..8.. PROBABILIDAD Al hablar de probabilidad hay que toar en cuenta un espacio uestral (S), el cual es el conjunto de todos los resultados posibles de un experiento estadístico. Concretaente con la probabilidad se sabe la frecuencia con la que se obtiene un resultado de un conjunto de diferentes resultados que se dan coo respuesta P A = n A n = n A N (..53) Coo se observa en la ecuación (..53), N representa el núero de eleentos. Es así que la probabilidad de cualquier evento A es igual a la razón de n de estos eleentos que son contenidos en A para estos N puntos del espacio uestral. Representando esta ecuación de otra anera, se tiene que: P A = li N n A N (..54) Cuando la probabilidad de un evento es cierta y siepre ocurrirá es igual a, pero al contrario, si este evento es iposible que se dé, su probabilidad es igual a 0. 33

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